Correction Examen sur les fonctions du lundi 22 mai

Correction Examen sur les fonctions du lundi 22 mai

Exercice 1 :
Question 1 : Soit f la fonction definie par

 x

2

Pour f (2  1) , on remplace x par 2  1 , on obtient 2  1  5 , et en simplifiant 2  6 .
La bonne réponse est la réponse a.
Question 2 : Sur
a.

 x

, x est égale a

2

, si on remplace x par un nombre négatif, on ne peut calculer la racine carré, et donc

mettre au carré par la suite. Ainsi, cette fonction n’est pas définie sur
b. x , La fonction x est définie sur

.

, mais elle n’est pas égale a x pour l’ensemble des images de

x < 0.
c.

x 2 , est définie sur

puisque le carré d’un nombre négatif est calculé avant d’utiliser la

fonction racine carrée, de plus toutes les images de x sur

donnent la même image que x .

Question 3 : x   7;3 signifie que
a. x  4  3 , pour x=-7, x  4  11
b. x  2  3 , pour x=3, x  2  5
c. x  2  5 , étude des variations de la fonction, x  2 <0 pour x  2
Donc on a pour x  2 , la fonction étudiée est  x  2
Donc on a pour x  2 , la fonction étudiée est x  2
Pour x=-7   x  2 = 5
Pour x=-2   x  2 = 0
Pour x=-2  x  2 = 0
Pour x= 3  x  2 = 5
Or, les fonctions f ( x)   x  2 et f ( x)  x  2 sont affines, donc leur sens de variation est
constant, on peut en déduire le tableau de variation suivant :

x  2
x2

x2

-7

-2

3

+
X

0

X
+

0

5

5
0

On a donc bien f(x) inférieur ou égal à 5 pour tout x sur l’intervalle [-7 ;3].

Exercice 2 :
Même démarche que pour la question 3 de l’exercice 1 :

x  1 <0  si x  1; on considère –x+1
si x  1; on considère x-1

x

1
1
1
<0  si x   ; on considère  x 
2
2
2

si x 

1
1
; on considère x 
2
2

NOTE : On ne doit pas utiliser deux fois les signes < et >, car alors la fonction ne serait pas définie sur
le bon intervalle.

On en déduit ensuite le tableau pour pouvoir exprimer f(x), les valeurs de f étant obtenues en faisant
la différence x  1 - x 

-

x

x 1
x
f

1
2

1
:
2

-1/2

+

1

-x+1

-x+1

x-1

-x-1/2

x+1/2

x+1/2

2/3

-2x+1/2

-3/2

On peut donc exprimer

1 3


x


;


2 2


1
 1
f ( x)     x  1; 2 x  
2
 2
3


x

1;



2


On peut tracer la courbe représentative comme suit :

Avec en bleu la courbe représentative de f(x)= x  1 - x 

1
et en orange la courbe f(x) = 0,5.
2

NOTE : Les deux courbes sont parfaitement indépendantes et il n’est pas nécessaire de faire les 4
premières questions pour répondre à la question 5.

Exercice 3 :
L’exercice 3 ayant été mieux réussi, la correction sera moins détaillée, d’autant que je pense que vous
avez des exercices très similaires dans votre cours.
La fonction f : x
Donc pour x 

2 

7
est définie si 4  3x  0
4  3x

4
4
, on a donc f :]  ; [
3
3

Pour la seconde question, il faut étudier le sens de variation de chaque fonction de référence en
partant de :
-la fonction affine de coefficient négatif donc décroissant
-puis racine carrée qui ne change pas le sens de variation
-puis inverse qui change le sens de variation, donc croissant
-puis linéaire avec coefficient positif qui ne change pas le sens de variation
-et l’ajout d’une constante qui ne change rien au sens de variation.

4
3

La fonction est donc croissante sur ]  ; [ .
Exercice 4
Si on remplace x par 0, alors la fonction n’est pas définie.