163

Exercice 163
√
a ax − x2
√
f (x) =
a − ax

(1)

Si x est proche de a. Faisons ça salement pour commencer pour voir à quoi on a
affaire.
√
√
a a2 − a2
a2 − a
0
√
√ = −a
lim
f
(x)
=
=
a
(2)
x→a
0
a − a2
a − a2
Indétermination... Remarquons que la fonction racine ayant en argument a2 , f (a)
est a priori définie pour tout a réel non nul, ce qui est rassurant. Classiquement, on
utilise peut utiliser la méthode de l’Hospital en dérivant le numérateur N (x) et le
dénominateur D(x) :
dN
a 2√aax − 2x
dx
=
lim
x→a
x→a dD
− 2√aax
dx
a 12 − 2a
a
= 2(2a − ) = 3a
1
2
−2

lim f (x) = lim

x→a

=

Si on est mal luné,√on peut vouloir tester autre chose avec un changement de
variables... Posons y = ax et f (x) = g(y), puis substituons :
√
a ax − x2
√
g(y) =
a − ax
4

ay − ay2
=
a−y
y a3 − y 3
= 2
a a−y
On factorise via Horner... Sauf si l’on se souvient de l’identité remarquable 3 et que
l’on est un peu feignant comme moi, on prend un raccourci...
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 )

(3)

Ainsi on réécrit g(y) :
 2
y
(a−y)(a
+ ay + y 2 )

(a−y)
a2

y
= 2 (a2 + ay + y 2 )
a

g(y) =

1

(4)
(5)

Et si on prend la limite 1 :
lim =

y→a

a 2
(a + a2 + a2 ) = 3a
a2

Cela semble fonctionner...

1. lim y = lim
x→a

x→a

√

ax = a

2

(6)