BA laps

article [utf8]inputenc

1

Méthode paramétrique
En utilisant Carnot
x2 sin2 x =

x2
(1 − cos 2x)
2

(1)

On peut réécrire l’expression de I :
I1 =

π
2

Z

π

x2 sin2 x =

0

π 3 Z 2 x2
−
cos 2xdx
48
2
0

(2)

On peut introduire l’expression suivante et partir sur une intégrale plus générale :
"

x2 ejax

P(a) =

Z

π
2

d2 jbx
=−
e
db2

#

(3)
b=a

x2 ejax dx

0

( π
)#
d2 Z 2 jbx
e dx
=−
db2 0
b=a
"

"

(

ejbπ/2 − 1
jb

"

(

j − jejbπ/2
b

d2
=−
db2
d2
=−
db2

d π2 ejbπ/2 b − j + jejbπ/2
P(a) = −
db
b2
"

=−

2
(j π4 ejaπ/2 a

+

π jaπ/2
e
2

−

)#
b=a
)#
b=a

#

b=a
π jaπ/2
e
)a
2
3
a

− 2( π2 ejaπ/2 a − j + jejaπ/2 )

Si a = 2
2

(j π (−1)2 + π2 (−1) − π2 (−1))2 − 2( π2 (−1)2 − j + j(−1))
P(2) = − 4
8
2
−jπ − π + π − (−2π − j − j)
=−
8
jπ 2 − 2π + 2j
=
8
1

Ainsi on peut calculer la seconde partie de la première intégrale en prenant la partie
réelle de l’expression particularisée à a = 2 :
Z
0

π
2

(

jπ 2 − 2π + 2j
x cos 2xdx = Re
8

)

2

=−

2π
8

(4)

On obtient donc :

π  2
π 3 1 −2π
−
=
π +6
48 2 8
48
La deuxième partie est donnée directement par

I1 =

I2 =

Z π/2

2

2

2

2

(x sin x + x cos x)dx =

Z π/2

0

x2 dx =

0

(5)

π3
24

(6)

La troisième se calcule via les deux autres
I3 =

Z π/2
0

x2 cos2 xdx = I2 − I1 =

2


π  2
π −6
48

(7)