resume201

Exercice 201








C : x(t) y(t) = a cos3 t sin3 t où t ∈ [0π]

(1)

Donc l’équation paramétrique d’une droite T passant par P t et tangente à la courbe
C peut s’écrire en fonction d’un paramètre λ (associé à une longueur dans la direction
de la tangente).
!

!

d x
x
x
T (λ, P t) :
= Pt +
y
yP t
dt y

!

λ
tP t

!

!

x
−3 sin tP t cos2 tP t
= Pt + a
λ
yP t
3 cos tP t sin2 tP t
sin tP t
−3 cos
0
xP t
tP t
+
=
tP t
yP t
0
3 cos
sin tP t

!

!

!

xP t
λ
yP t

Ce qui donne :




q

−3 3 xyPP tt
0
x
x
 xP t λ
q
T (λ, P t) :
= Pt + 
x
P
t
yP t
y
yP t
0
3 3 yP t
!

!

!

Pour s’en convaincre, un petit graphique

1.2
1
0.8

y/a

0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-1

-0.5

0

x/a

1

0.5

1

(2)

Point d’intersection avec l’axe vertical
Si x = 0, on peut calculer un paramètre λ0


q



−3 3 xyPP tt
0
xP t

 xP t λ0 = 0
q
+
x
P
t
3
yP t
yP t
y0
0
3 yP t
!

!

!

(3)

Seule l’équation en x est intéressante pour calculer λ0 :
s

s

3

3

yP t
1
xP t − 3
xP t λ0 = 0 −→ λ0 =
xP t
3

xP t
yP t

(4)

Donc on en déduit que l’ordonnée d’intersection y0 avec la verticale s’écrit en fonction des coordonnées de P t :
y0 = yP t +

v
u
u
3
t

xP t
yP t

!2

yP t

(5)

Remarquons que si xP t est nul (c’est à dire quand t = π/2), la tangente et l’axe
vertical sont confondus !
Si on calcule le graphique en fonction de t :
1
0.9
0.8
0.7

y 0 /a

0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0

0.5

1

1.5

2

t

2

2.5

3

3.5