Devoir Régionale 4 Eco

COMMISSARIAT REGINAL DE L’EDUCATION ZAGHOUAN
Section : 4èm Economie et gestion
Date : 16 / 05 / 2011
Durée : 2 heures

Devoir de synthèse N° 3
en mathématiques
Exercice n°1 ( 4 points )

Pour chacune des questions une seule des trois réponses est proposées est exacte.
L’élève indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
0 1 0 1


1 0 1 0
Pour les questions 1) et 2) on considère la matrice M = 
associé à un graphe de
0 1 0 1


 0 0 1 0


1 0 2 0
 0 3 0 3




0
2
0
2
2
0
4
0




sommets S1 , S2 , S3 et S4 ; Sachant que M2 = 
et M3 = 

1 0 2 0
0 3 0 3




0 1 0 1
1 0 2 0




1) Le nombre des chaînes de longueur 3 reliant les sommets S2 et S3 est
a) 2
b) 3
c) 4
2) La distance du sommet S4 au sommet S1 est
a) 3
b) 2

c) 1

3) Soit (X , Y) une série statistique tel que cov (X,Y) = 5,1
La valeur de cov ( 2X -1 , 3Y +4) vaut :
a) 33,6
b) 5,1

c) 30,6

4) lim x 4 e  x est égal à
x 

a) +

b) 0

c) -

Exercice n°2 ( 4 points )
0

0
Soit G un graphe dont M est sa matrice associée. On donne M =  0

1
1

1) Justifier que le graphe G est orienté
2) Représenter le graphe G ( on notera A,B,C,D et E ses sommets)
3) Le graphe G admet-il un cycle orienté eulérien ? Justifier
4) a) Montrer que G admet une chaîne orienté eulérienne
b) Citer un exemple d’une chaîne eulérienne orienté

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1 1 1 0

0 0 0 1
0 0 1 1

0 1 0 0
0 0 1 0 

Page 1

Exercice n°3 ( 6 points )
Dans la figure (1) de l’annexe ci-jointe Cg est la courbe représentative dans un repère
1
orthonormé
de la fonction définie sur IR par : g ( x)  x 2 ( Unité graphique : 1cm)
2
1 2
x  2 ln x  2 et Cf sa courbe représentative
2

la fonction définie sur ] 0 , + [ par : f ( x) 

Soit
1)

Calculer lim f ( x) ; Interpréter graphiquement le résultat

2)

a) Montrer que

x 0

lim f ( x)  

x 

b) Calculer lim

x  

3)

f ( x)
puis interpréter le résultat graphiquement
x

a) Montrer que pour tout

f ' ( x) 

x2  2
x

b) Dresser le tableau de variation de
4)

Tracer la courbe Cf dans le repère

5)

a) A l’aide d’une intégration par partie, montrer que :

e

 ln xdx  1
1

b) Calculer en cm2 l’aire de la partie limitée par la courbe Cf la courbe Cg et les droites
d’équations respectives

et

Exercice n°4 ( 6 points )
On considère la série statistique double donnant l’évolution du nombre d’acheteurs ; exprimés
en milliers d’un produit fabriqués dans une usine de 1960 au 2010
Années

1970

1975

1980

1985

1990

1995

2000

2010

Rangs xi

10

15

20

25

30

35

40

50

Nombres
d’acheteurs yi

80

125

160

180

200

210

230

250

1) a) Représenter dans le repère de la figure 2 le nuage de points M(xi , yi )
b) Placer le point moyen G
2) Au vu de ce nuage . On décide d’ajuster par une fonction logarithmique
a) Recopier et compléter le tableau suivant ( les valeurs sont arrondis à 10 -1 près )
ti = lnxi
yi

80

125

160

180

200

210

230

250

b) Déterminer une équation de la droite de régression de y en t par la méthode des moindres
carrés ( les valeurs sont arrondis à 10-1 près )
c) Déduire y en fonction de x
d) Estimer le nombre d’acheteurs en 2015.

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Feuille a rendre avec la copie
Nom et prénom…………………………
Classe………………………….
ANEXE
Figure 1

Figure 2

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