Olympiades maths Orient 2021 Corrigé Exercices nationaux

Proposition de corrigé des
Olympiades nationales de mathématiques 2021 Orient
EXERCICES NATIONAUX
Exercice 1 : Nombre de diviseurs, somme des diviseurs d’un entier.
1. D6 = {1, 2, 3, 6} , D101 = {1, 101} , D361 = {1, 19, 361} , D2021 = {1, 43, 47, 2021}.
2. S6 = 12 , S101 = 102 , S361 = 381 , S2021 = 2112.
3. Pour n=6: N6=4, 2S6=24, (n+1)N6=7×4=28, 24≤28, inégalité vérifiée.
Pour n=101: N101=2, 2S101=204, (n+1)N101=102×2=204, 204≤204, inégalité vérifiée.
Pour n=361: N361=3, 2S361=762, (n+1)N361=362×3=1086, 762≤1086, inégalité vérifiée.
Pour n=2021: N2021=4, 2S2021=4224, (n+1)N2021=2022×4=8088, 4224≤8088, inégalité
vérifiée.
4. a. Si di est un diviseur de n alors qi l’est aussi. Par suite, Tn=2Sn.
b. a+b-ab-1=a(1-b)+b-1=(b-1)(1-a) ≤ 0 car b ≥ 1 et a ≥ 1. D’où, a+b ≤ ab +1.
c. d et q sont des entiers ≥ 1, donc d+q ≤ dq+1, cad d+q ≤ n +1.
d. Tn = 
 +   +  +   + ⋯ +  + 1
 

2Sn ≤  
+ 1 +  + 1 + ⋯ +  + 1. D’où, 2Sn≤(n+1)Nn.
 

5. a. a+b-ab-1=(b-1)(1-a)=0 ssi a=1 ou b=1.
Ainsi, a+b=ab+1 ssi a=1 ou b=1.
Par suite, d+q=dq+1 ssi d=1 ou q=1, et dans ce cas : d+q=n+1.
Alors Tn =  
+ 1 +  + 1 + ⋯ +  + 1.
D’où, 2Sn = (n+1)Nn.

 

b. d=1 ou q=1 n’est réalisé pour tous les diviseurs que pour n premier (Dn={ ⏟
1 , ⏟ }).
 

D’où, seuls 1 et les nombres premiers satisfont l’égalité : 2Sn=(n+1)Nn.
c. La réciproque est vraie :
Si n est premier, ses diviseurs sont 1 et n dont la somme est 1 + n et l’effectif est 2,
donc l’égalité (*) est vérifiée.

yucefnohra@gmail.com

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Exercice 2 : Entiers N-décomposables.
Partie A: quelques exemples.

…

…

…

…

…

7=+
1. a. 
 49-7=21q  q=2, et alors r=5.
49 = 22 + 
7=2+5
Par suite, #
et donc 7 est 22-décomposable.
7 = 22 × 2 + 5
7=+
 42=9q  q n’est pas un entier.

49 = 10 + 
Par suite, 7 n’est pas 10-décomposable.
45 =  + 
b. 
 1980=99q  q=20 et alors r=25.
2025 = 100 + 
45 = 20 + 25
Par suite, #
et donc 45 est 100-décomposable.
45 = 100 × 20 + 25
=+
2. a. 
 n2-n=0  n(n-1)=0  n=0 ou n=1.
= 1×+
D’où, juste 0 et 1 sont 1-décomposables.
=+
'()*
)()*
b. 
 n2-n=q  n2-n-q=0  n1=
et n2=
avec n≥q et n
= 2 + 
∈ IN  1+4q est un carré parfait  q ∈ {0, 2, 6, 12, 20, ....}
q
n1
n2
n≥q vérifiée ?




0
0
1


2
-1
2
6
-2
3
12
-3
4
D’où, il y a juste 3 nombres 2-décomposables : 0, 1 et 2.
3. a. – Si N=1 alors il est 1-décomposable (d.d).
– Si N ≠ 1 alors:
+ =+
 N2-N=q(N-1)  N(N-1)=q(N-1)  q=N, et alors r=0.

+ = + + 
+ =++0
Par suite: #
, d’où N est N-décomposable.
+ =+×++0
b. – Si N=1 alors N-1=0 qui est 1-décomposable (d.d).
– Si N ≠ 1 alors:
+−1=+
 (N-1)2-(N-1) = (N-1)q  (N-1)(N-2)=(N-1)q  q=N-2, et

+ − 1 = + + 
alors r=1.
yucefnohra@gmail.com

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+ − 1 = + − 2 + 1
, d’où N-1 est N-décomposable.
Par suite, 
+ − 1 = ++ − 2 + 1
c. – Si N=1, 2 n’est pas 1-décomposable (d.d).
– Si N=2, 2 est 2-décomposable (d.d).
– Si N=3 alors:
2=+
 2=2q  q=1, et alors r=1.

4 = 3 + 

2=1+1
Par suite: #
 2 est 3-décomposable.
4=3×1+1
– Si N≥4 alors:
2=+
 2=(N-1)q  q=
.

4 = + + 
'
Or N≥4  N-1≥3  q n’est pas un entier.
Par suite 2 n’est pas N-décomposable.

Partie B: Une étude des nombres N-décomposables.
1. a. – Si k=0 alors 0≤0≤N (N étant supérieur ou égal à 1).
– Si N=1 alors k=0 ou k=1 (qui sont les seuls 1-décomposables (d.d)), et dans les 2 cas
on a 0≤k≤N
– Si k ≠ 0 et N ≠ 1 alors:
//'
. =+
 k2-k=Nq-q  k(k-1)=(N-1)q  q=
.

. = + + 
'

Or, q≤k (car q+r=k) 

//'
'

≤k 

/'

'

≤ 1  k-1≤N-1 (car N>1)  k≤N.

D’où, 0≤k≤N.
b. 3-décomposables : 0≤k≤3
– Si k=0 alors:
0=+
 (q,r)=(0,0)  0 est 3-décomposable.

0 = 3 + 
yucefnohra@gmail.com

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– Si k=1 alors:
1=+
 (q,r)=(0,1)  1 est 3-décomposable.

1 = 3 + 
– Si k=2 alors 2 est 3-décomposable (d.d).
– Si k=3 alors 3 est 3-décomposable (d.d).
D’où les entiers 3-décomposables sont {0, 1, 2, 3}.

4-décomposables : 0≤k≤4
– Si k=0 alors:
0=+
 (q,r)=(0,0)  0 est 4-décomposable.

0 = 4 + 
– Si k=1 alors:
1=+
 (q,r)=(0,1)  1 est 4-décomposable.

1 = 4 + 
– Si k=2 alors 2 n’est pas 4-décomposable (d.d).
– Si k=3 alors:
3=+
 (q,r)=(2,1)  3 est 4-décomposable.

9 = 4 + 
– Si k=4 alors 4 est 4-décomposable (d.d).
D’où les entiers 4-décomposables sont {0, 1, 3, 4}.
2.

– Si N=1 alors k ne peut être que 0 ou 1 (d.d)
0=+
• pour k=0: 
 (q,r)=(0,0) unique.
0=1×+
1=+
• Pour k=1: 
 (q,r)=(1,0) ou (0,1) non unique.
1=1×+
– Si N≥2 alors:
/ 0 '/
/'/ 0
. =+
2
et r=
 (q,r) unique.
 k -k=Nq-q  q=

. = + + 
'
'

yucefnohra@gmail.com

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3. a. La consigne signale que q est compris entre 1 et k, donc sous-entendu on prend dans
cette question k≥1.
– Si k=1 alors k est 1-décomposable, et par suite il existe un q (dans ce cas q=1) tel que
1≤q=1≤k=1 avec k=1 solution de 1 2-1-1(1-1)=0.
– Si k=1 alors k est N-décomposable (N>1).
1=+
 q=0 avec k=1 solution de 1 2-1-0(N-1)=0, mais dans ce cas q=0 n’est

1 = + + 
pas compris entre 1 et k. Donc ce cas est à rejeter.
. =+
– Si k≥2 (et alors N≥2 avec k≤N): 
, dans ce cas q ne peut pas être 0 car
. = + + 
sinon le système n’aura pas de solution  q≥1.
En plus, k=q+r  q≤k.
D’où, 1≤q≤k.
En outre, le système entraine que k2-k=Nq-q, donc k est solution de 1 2-1-q(N-1)=0.
b. k solution de 1 2-1-q(N-1)=0  k2-k=q(N-1).
Or, 1≤q≤k  il existe un entire r tel que k=q+r.
Par suite, k2-k=q(N-1)  k2-q-r=qN-q  k2=qN+r.
D’où, k est N-décomposable.
c. 2p-1(2p-1) est 22p-décomposable ssi il existe un entier naturel q tel que 1≤q≤2p-1(2p-1)
et 2p-1(2p-1) est solution de 22p-2(2p-1)2-2p-1(2p-1)=q(22p-1).
Cad, 22p-2(22p-2p+1+1)-22p-1+2p-1= q(22p-1)
22p-2 × 22p - 22p-2 × 2p+1 + 22p-2 - 22p-1+2p-1= q(22p-1)
2

2p-2

×2 -2 ×2

2p

2p-2

2 (2

2p

2p

p-1

-2 ) -

p-1

02

*

+

02

*

-

02

+2p-1= q(22p-1)

+ 2p-1= q(22p-1)

22p(22p-2-2p-1) – 22p-2 + 2p-1= q(22p-1)
22p(22p-2-2p-1) – (22p-2 - 2p-1) = q(22p-1)
(22p-2-2p-1) (22p-1) = q(22p-1)
q = 22p-2-2p-1 , p étant supérieur ou égal à 1.
Notons que q est bel et bien un entier naturel car 22p-2-2p-1=22(p-1)-2p-1 ≥ 0.
En plus, pour p>1, q>1 et q<2p-1(2p-1) (car 22p-2-2p-1 < 22p-1 – 2p-1)
 1<q<2p-1(2p-1), par suite 1≤q≤2p-1(2p-1).
yucefnohra@gmail.com

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Signalons que si p=1 alors 2p-1(2p-1) est 22p-décomposable devient
1 est 4-décomposable qui est vrai (d.d)
. =+
4. k est N-décomposable  
, par suite:
. = + + 
N-k = N-2k+k
(N-k)2 = N2-2kN+k2
= N2-2kN+Nq+r
= N-2k+q+r
= N(N-2k+q)+r
= (N-2k+q)+r
+ − . = + − 2.    
Donc, 
 N-k est N-décomposable.
+ , .  ++ , 2.    
5. – Si N=2 alors = 1 est 2-décomposable (d.d).
– Si N≥4. Notons N=2p (p≥2 et p ≠ N).
On sait que N est N-décomposable: #

23  23  0
+ =++0

43  23 % 23  0
+ +%+0

3 =3+0

 p = n’est pas N-décomposable.

3  3 % 3  0 5 +3  0
6. Quelques exemples avant de démontrer :
Les entiers 3-décomposables sont 4 (pair) : {0, 1, 2, 3}
Les entiers 4-décomposables sont 4 (pair) : {0, 1, 3, 4}
Les entiers 5-décomposables sont 4 (pair) : {0, 1, 4, 5}
Les entiers 9-décomposables sont 4 (pair) : {0, 1, 8, 9}
Les entiers 10-décomposables sont 4 (pair) : {0, 1, 9, 10}
Les entiers 12-décomposables sont 4 (pair) : {0, 1, 11, 12}
Démontrons:
– Si N=3, c’est déjà démontré à l’aide de l’exemple ci-dessus.
– Si N≥4 avec N impair:
On sait que 0≤k≤N, donc k ∈ 60,
1, 2, 3, … … , + , 3, + , 2, + , 1, +8.
9 : ; < = >?@; A<@ B C ;D;@.

Or on a démontré que pour N≥4, 2 n’est pas N-décomposable. Par suite, dans la liste
ci-dessus, il faut barrer le 2. Il faudra alors barrer N-2 (car on a démontré que si k est
N-décomposable alors N-k est aussi N-décomposable). Par conséquent, il restera
toujours un nombre pair d’entiers N-décomposables (tout autre entier k barré va
entraîner un autre barré N-k).

yucefnohra@gmail.com

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– Si N≥4 avec N pair:
1, 2, 3, … … , + − 3, + − 2, + − 1, +}.
On sait que 0≤k≤N, donc k ∈ 60,
9 : ; < = >?@; >A<@ B C ;D;@.

Or on a démontré que pour N≥4, 2 n’est pas N-décomposable. Par suite, dans la liste
ci-dessus, il faut barrer le 2. Il faudra alors barrer N-2 (car on a démontré que si k est
N-décomposable alors N-k est aussi N-décomposable). De plus, on a démontré que


pour N≥4, n’est pas N-décomposable. Alors, il faut barrer



. Par conséquent, il

restera toujours un nombre pair d’entiers N-décomposables (tout autre entier k barré
va entraîner un autre barré N-k).
//'
. =+
 q=
. Sachant que N-1 est premier, alors pour que q soit entier, il
7. 
. = + + 
'
faut que k ou k-1 soient multiples de N-1. Par suite, k ne peut être que N ou N-1.
D’où, les entiers N-décomposables sont {0, 1, N-1, N}.
8. k≥2 et k est N-décomposable  k2-k=q(N-1)  N-1 est diviseur de k2-k.
Or, l’ensemble des diviseurs de k2-k est fini, d’où, N ne peut prendre qu’un nombre fini
de valeurs.

Exercice 3 : Fractions et pyramides égyptiennes.
1. a. Faux :



b. Vrai :



b.



G





× ? = <? qui est égyptienne.
<

c. Faux :

2. a.



+ F = H qui n’est pas égyptienne.

I
0
I
J

=









=F+H

F

qui n’est pas égyptienne.

,




= G + H + FL
G

3. a. AB=BC=CD=DA=







=F+K+*



FL

,

M



. D’où la décomposition n’est pas unique.










= F + G + H + K + FL + *
L

, SA=SB=SC=SD=



L

.
*

+
FL

, S=4AB+4SA=

* 

=

L F

qui est

égyptienne. D’où SABCD est égyptienne.

yucefnohra@gmail.com

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*

*

+  , si p ou q est inférieur à 4 alors S sera supérieur à 1 et par suite n’est plus
A

b. S=

égyptienne. Donc p>4 et q>4. D’où, p≥4 et q≥4.
c. Pyramide égyptienne ⇔ S =
d.

A

*A)*

suite,

=
A

A





⇔n=



=
O P



P
)
2 Q

A

= *A)* .

. Si p et q sont impairs, alors pq est impair et p+q est pair. Par

*A)

*A)

ne sera plus un entier et SABCD ne sera plus égyptienne.

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