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Rôles du solide de masse m1 et de la poulie n°1 :
Relation fondamentale de la statique appliquée à la masse m1 immobile :

m1⋅⃗g + T⃗1= ⃗0 ; soit en projetant et en passant aux normes des vecteurs :
m1⋅g=T 1
La poulie n° 1 possède un axe de rotation maintenu fixe par sa liaison à la poutre mais peut
tourner librement sans frottement. La tension se conserve le long du fil supérieur. Pourtant,
elle ne tourne pas puisque m1 est immobile. Chaque fil étant inextensible, l’axe de la poulie
n°2 reste fixe.
Rôle de la poulie n° 2 :
Son moment d’inertie par rapport à son axe de rotation est négligé : on peut considérer que
la tension (notée T2) est la même le long de chaque brin de câble, même si la poulie tourne
avec une accélération non nulle. L’axe restant fixe et le poids de la poulie est négligé : la
tension T1 exercée sur la poulie par le câble supérieur est compensée par les deux tensions
exercées vers le bas par les deux brins du câble inférieur :

T 1=2T 2 ; donc : T 2=

m1⋅g
=4⋅g
2

Accélération des solides de masses m2 et m3 :
La norme de l’accélération, notée a, est la même pour les deux masses puisque le câble
inférieur est inextensible. Relation fondamentale de la dynamique appliquée à m2 sachant
que ce solide est soumis à son poids et à l’action verticale ascendante du câble ; la relation
est projetée sur un axe vertical descendant :

m2⋅g−T 2=m2⋅a ; a=

g
9

Détermination de m³ :
Ce solide est soumis à son poids et à la tension verticale ascendante du câble. Projection sur
un axe vertical ascendant de la relation fondamentale de la dynamique :

T 2−m3⋅g=m3⋅a=

( )

m3⋅g
1
; 4⋅g=m3⋅g⋅ 1+
9
9

m3 =

36
=3,6 kg
10

Remarque 1 : Imaginons un système empêchant la poulie n° 2 de tourner ; on aurait alors
un simple problème de statique conduisant à m1=m2 +m3 soit à m3 =3,5 kg. L’accélération des
masses modifient les tensions du câble inférieur.
Remarque 2 : la faible accélération permet, à vitesses initiales nulles, d’obtenir un tel
mouvement sur une durée de plusieurs secondes mais bien sûr, ce mouvement est limité
dans le temps : la masse m3 en montant finit par venir se bloquer dans la poulie n° 2 ; on
peut aussi envisager que la masse m² ,en descendant, finisse par toucher le sol.
Remarque 3 : une étude plus complète devrait tenir compte de la masse de la poulie n° 2 et
du moment d’inertie de sa partie tournante par rapport à son axe de rotation. L’étude serait
analogue à celle d’une machine d’Atwood classique dans la mesure où l’immobilité de m4
entraîne l’immobilité de l’axe de la poulie n° 2. On pourrait aussi tenir compte des masses
des câbles...