TLC thèse

Théorie homotopique des Schémas
Mlle. AZI Khadija

Table des matières
1 Généralités sur les schémas
1.1 Spectre d’un anneau : . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dé…nition ensembliste : . . . . . .
1.1.2 Topologie de Zariski sur SpecA :
1.1.3 Propriétés topologiques : . . . . .
1.1.4 Applications continues : . . . . .
1.2 Schéma a¢ ne : . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Préfaisceau : . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Faisceau : . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Faisceau structural : . . . . . . . .
1.2.4 Schéma a¢ ne : . . . . . . . . . . .
2 Topologie
2.0.5
2.0.6
2.0.7
2.0.8
2.0.9
2.0.10

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de Zariski dans le cas projectif
Dé…nitions : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ensembles algébriques projectifs : . . . . . . . . . .
Idéal d’un ensemble algébrique projectif : . . . . .
Nullstellensatz projectif : . . . . . . . . . . . . . . . .
Anneau gradué associé à un ensemble algébrique :
Les ouverts : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10

3 Topologie de Grothendieck
11
3.1 Prétopologie de Grothendieck : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2

Résumé

Chapitre 1
Généralités sur les schémas
1.1
1.1.1

Spectre d’un anneau :
Dé…nition ensembliste :

Dé…nition 1.1
Le spectre d’un anneau commutatif unitare A est l’ensemble de ses idéaux premiers,
on le note SpecA:
Exemple 1.1
1) Si A est un anneau principal :
i) SpecZ correspond à l’ensemble des nombres premiers et 0.
Les nombres premiers sont en correspondance avec les idéaux premiers pZ et 0 correspond à l’idéal nul.
ii) SpecR [X] contient 0 (l’idéal nul), R car chaque réel r correspond à l’idéal premier
(X r)R [X] et les couples des nombres complexes conjugués (z; z 0 ) correspondant à
l’idéal (X z)(X z 0 )R [X] :
2) Si A est un corps :
Dans ce cas SpecA contient seulement l’idéal nul.

1.1.2

Topologie de Zariski sur SpecA :

Les fermés :
Dé…nition 1.2
A tout idéal a de A on associe l’ensemble V (a) = fp idéal premier tel que a v pg :
Proposition 1.1
1) Si a et b sont deux idéaux de A alors V (a) [TV (b) = V (ab):
P
2) Si fai gi est une famille d’idéaux de A alors V (ai ) = V ( ai ) :
Preuve.

2

1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU :

3

1) Montrons que V (a) [ V (b) = V (ab)
On procède par souble inclusion :
i) V (a) [ V (b) V (ab) :
Soit p 2 V (a) [ V (b):
Donc p 2 V (a) ou p 2 V (b):
=) a v p ou b v p:
=) ab v p:
=) p 2 V (ab):
D’où V (a) [ V (b) V (ab):
ii) V (ab) V (a) [ V (b) :
Soit p 2 V (ab) , donc ab v p:
Supposons par exemple que b * p
Alors il va exister x 2 b tel que x 2
=p
Or 8y 2 a on a xy 2 p
Comme p est premier
= p alors
T et x 2
P forcément y 2 p; d’où a v p ce qui établit ii).
2) Montrons que V (ai ) = V ( ai ) :
Soit fai gi estPune famille d’idéaux de A
On sait que Pai est le plus
P petit idéal contenant tous les ai :
T
Donc p 2 V ( ai ) ()
ai v p () ai v p pour tout i () p 2 V (ai ):

Remarque 1.1

A présent on peut dé…nir une topologie sur SpecA:
Les fermés sont les ensemble V (a):
On note que V (A) = ? et V ((0)) = SpecA:
On a bien une topologie au sens de la proposition précédente :
L’intersection quelconque ainsi que la réunion …nie d’ensembles de la forme V (a) est
encore un ensemble de la forme V (a):
Dé…nition 1.3
Les ensembles V (a) forment donc les fermés d’une certaine topologie sur SpecA appelée
la topologie de Zariski sur SpecA:
Les ouverts fondamentaux :
Dé…nition 1.4
Soit a un idéal quelconque de A:
Les ensembles U (a) = SpecA r V (a) constituent les ouverts de la topologie de Zariski
sur SpecA:
Notion de voisinage :
Dé…nition 1.5
Soit W SpecA:
W est un voisinage de a pour la topologie de Zariski si et seulement s’il existe I idéal
de A tel que a 2 U (I) W:

4

CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS

1.1.3

Propriétés topologiques :

Points particuliers :
Remarque 1.2
Un point de SpecA est fermé si le singleton correspondant est une partie fermée dans
SpecA:
Proposition 1.2
Le point dé…ni par un idéal premier est fermé si et seulement si l’idéal est maximal.
Corollaire 1.1
Si A 6= f0g alors SpecA a toujours des points fermés.
Preuve.

Supposons que SpecA 6= f0g ;alors il existe un idéal premier I 6= (0) :
Donc il va exister un idéal maximal J contenant I:
Ainsi J est un point fermé de SpecA:
Exemple 1.2
Contrairement à ce qui se passe pour les topologies métriques tous les points ne sont
pas fermés en général.
En e¤et, dans SpecZ et SpecR [X] il existe un idéal premier (l’idéal nul) non maximal.
Points génériques :
Puisqu’un point x de SpecA n’est pas nécessairement fermé on peut considérer son
adhérence dans SpecA pour la topologie de Zariski.
Dé…nition 1.6
On dit qu’un point est générique s’il n’appartient à l’adhérence d’aucun autre point.
Remarque 1.3
Il est facile de remarquer qu’un point correspondant à un idéal premier est générique
si et seulement si l’idéal premier est minimal (c’est à dire ne contient aucun autre idéal
premier).
Exemple 1.3
i) Si A est intègre :
L’idéal nul est un idéal premier minimal, il correspond donc à un point générique de
SpecA. C’est aussi l’unique point générique sur SpecA L’adhérence du point générique
est l’espace tout entier.
ii) i) Si A n’est pas intègre :
Dans ce cas il peut y avoir plusieurs points génériques.
L’adhérence de chacun de ces points est un fermé de SpecA appelé une composante
irréductible de SpecA:

1.1. SPECTRE D’UN ANNEAU :

5

Séparation et compacité :
Proposition 1.3
L’espace SpecA est quasi-compact : En e¤et, de tout recouvrement d’ouverts d’ouverts
de SpecA on peut extraire un recouvrement …ni.
Preuve.

Soit fUi gi un recouvrement ouvert de SpecA.
T
P
P
On sait d’après la proposition 1.1 que V (ai ) = V ( ai ) est non vide donc ai = A:
Celà implique que l’unité 1 de A appartient à la somme d’un nombre …ni d’idéaux..
Les ouverts Ui correspondant aux complémentaires de ces V (Ii ) recouvrent SpecA:
Proposition 1.4
L’espace SpecA n’est pas séparé.
Remarque 1.4
On a vu plus haut qu’un point dé…ni par un idéal premier n’est pas nécessairement
fermé donc SpecA n’est pas séparé.

1.1.4

Applications continues :

Proposition 1.5
Soit h : A ! B un homomorphisme d’anneaux :
Pour tout idéal p l’application Spec(h) : SpecA ! SpecB qui à p associe h 1 (p) est
continue.
Preuve.

On sait que l’image réciproque d’un idéal premier est un idéal premier.
D’autre part, pour tout idéal J de B on montre que h 1 (V (J)) = V (h
fermé dans SpecA:
D’où Spec(h) est une application continue.

1

(J)) est un

Exemple 1.4
Pour tout anneau A, il existe un unique homomorphisme d’anneaux Z ! A:On a
donc une application continue SpecA ! SpecZ.
Si A est de caractéristique p tel que p positif premier alors l’image de cette application
est le nombre pZ:

6

1.2
1.2.1

CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES SCHÉMAS

Schéma a¢ ne :
Préfaisceau :

Dé…nition 1.7
Soit X un espace topologique. Un préfaisceau d’ensembles F sur X est la donnée de :
1) Pour tout ouvert U de X d’un ensemble F (U )
2) Pour toute inclusion V
U d’une application de restriction U V : F (U ) ! F (V )
véri…ant :
i) F (?) = 0
ii) U U est l’application identité F (U ) ! F (U )
iii) Si U V
W trois ouverts de X alors U W = V W U V
En langage des catégorie un préfaisceau d’ensembles F sur un espace topologique X
est un foncteur contravariant de la catégorie T op(X) dans la catégorie des ensembles Ens.
Exemple 1.5
Sur une variété di¤érentielle X, la donnée C 1 (U ) des fonctions réelles de classe C 1
sur un ouvert U de X dé…nit un préfaisceau sur X:
Les applications de restriction sont les restrictions au sens usuel.

1.2.2

Faisceau :

Dé…nition 1.8
S Un préfaisceau F est appelé faisceau lorsque, pour tout ouvert V de X, tel que V =
Vi et pour toute famille de sections fsi g 2 F (Vi )
si jVi \Vj = sj jVi \Vj alors 9!s 2 F (U ) tel que sjVi = si :

1.2.3

Faisceau structural :

A isomorphisme près, il existe un faisceau d’anneaux commutatifs sur l’espace topologique SpecA dont l’anneau des sections est un ouvert de la forme D(f ) (où f 2 A)
s’identi…ant à l’anneau local Af :
Dé…nition 1.9
La donnée de l’espace topologique SpecA muni de ce faisceau d’anneaux constitue un
espace topologique annelé.
Si U est un ouvert de SpecA, l’anneau des sections sur U du faisceau structural est
appelé anneau des fontions régulières sur U:

1.2.4

Schéma a¢ ne :

Dé…nition 1.10
Pour tout idéal premier p de A, l’anneau des germes de fonctions régulières en p 2
SpecA s’identi…e au localisé Ap de A en l’idéal premier p:
L’espace annelé SpecA est ainsi un espace topologique annelé en anneaux locaux appelé
schéma a¢ ne.

Chapitre 2
Topologie de Zariski dans le cas
projectif
2.0.5

Dé…nitions :

Soit n 2 N et E l’espace vectoriel de dimension n + 1 sur k:
On introduit la relation d’équivalence < sur E r f0g dé…nie par : x<y () 9 2 k
tel que y = x:
La relation < n’est autre que la colinéarité des vecteurs, les classes d’équivalence pour
< sont donc les droites vectorielles de E privées de l’origine.
Dé…nition 2.1 Espace projectif
L’espace projectif associé à E qu’on note P (E) est le quotient de E r f0g par la
relation <:
Si on désigne par p la projection canonique k n+1 r f0g ! P (k n+1 ):
Pour x = (x0 ; :::; xn ) et x 6= 0, si x = p(x) on dit que x est un point de P (k n+1 ) de
coordonnées homogènes (x0 ; :::; xn ):
On pose P n = P (k n+1 ):
On note alors que les xi ne sont pas tous nuls et que si 2 k alors ( x0 ; :::; xn ) est
un autre système de coordonnées homogènes de x:
Remarque 2.1
1) Lorsque k = R ou C l’espace projectif a une topologie naturelle, celle quotient de
la topologie de k n+1 r f0g :
L’espace projectif est donc compacte et connexe.
2) Le fait que l’espace projectif associé à k n+1 soit de dimension n correspond au fait
que les droites vectorielles y sont contractées en des points.

2.0.6

Ensembles algébriques projectifs :

On va travailler sur un corps commutatif k.
On désigne par P n l’espace projectif de dimension n.
On note par (x0 ; :::; xn ) les coordonnées dans P n :
Soit k[X1 ; :::; Xn ] l’anneau des polynomes .
Remarque 2.2
7

8

CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF

Parmi les di¤érences avec le cas a¢ ne il convient de préciser que les polynomes F de
k[X1 ; :::; Xn ] ne sont plus des fonctions sur l’espace projectif parce que leur valeur en un
point x dépend du système de coordonnées homogènes.
On rappelle que si F est homogène de degré d alors F ( x0 ; :::; xn ) = d F (x0 ; :::; xn ):
Proposition 2.1
Soit F 2 k[X1 ; :::; Xn ] et x 2 P n :
On dit que x est un zéro de F si F (x) = 0 pour tout système de coordonnées homogènes
x de x:
On écrit alors indi¤éremment F (x) = 0 ou F (x) = 0:
i) Si F est homogène il su¢ t qu’on ait pour tout système de coordonnées homogènes
F (x) = 0:
ii) Si F = F0 +F1 +:::+Fr où Fi sont homogènes de degré i alors F (x) = 0 , Fi (x) = 0
pour tout i 2 f1; :::; rg :
Preuve.

Pour ii) Supposons que F ( x) = d Fd (x) + ::: + F1 (x) + F0 (x) = 0:
Ceci implique Fi (x) = 0
8i = 0; :::; r:
Réciproquement si pour tout i = 0; ::; r on a Fi (x) = 0 alors F ( x) = F (x) = 0:
Dé…nition 2.2 Ensemble algébrique projectif
Soit S k[X1 ; :::; Xn ]:
On appelle ensemble algébrique projectif un ensemble de la forme :
Zp (S) = fx 2 P n / 8F 2 S F (x) = 0g (Au sens de la proposition 2.4 bien entendu).
S’il n’y a pas de confusion on écrit Z(S) au lieu de Zp (S):
1) Si I = hSi on a bien Z(S) = Z(hSi):
2) Comme k[X1 ; :::; Xn ] est nothérien il est toujours possible de se ramener au cas où
S est …ni formé par des polynomes homogènes.
Exemple 2.1
1) Z(f0g) = P n :
2) Comme dans le cas a¢ ne, les points x = (x0 ; :::; xn ) 2 P n sont des ensembles
algébriques projectifs.
Remarque 2.3
Similairement au cas a¢ ne on a les propriétés suivantes :
i) L’application Zp est décroissante .
ii) L’intersection quelconque d’ensembles algébriques projectifs ainsi que leur réunion
…nie sont des ensembles algébriques projectifs. Ce qui munit P n d’une topologie dont les
fermés seront les Zp : c’est la topologie de Zariski.
Pour les parties de P n on utilisera la topologie induite (dite encore de Zariski).

9

2.0.7

Idéal d’un ensemble algébrique projectif :

Remarque 2.4
Soit V une partie de P n : L’idéal de V est dé…ni par :
Ip (V ) = fF 2 k[X1 ; :::; Xn ] / 8x 2 V F (x) = 0g
Toujours au sens de la proposition 2.4.
Proposition 2.2
1)
2)
3)
4)
5)

L’idéal Ip (V ) est homogène et radical.
L’application Ip est décroissante.
Pour tout ensemble algébrique projectif V on a Zp (Ip (V )) = V:
Si I est un idéal on a I Ip (Zp (I)):
Ip (I) = (0) et Ip (?) = k[X1 ; :::; Xn ]:

2.0.8

Nullstellensatz projectif :

Dans la suite on supposera que le corps k est algébriquement clos. On a alors une
variante du Nullstellensatz a¢ ne énoncée comme suit :
Théorème 2.1 Nullstellensatz projectif
Soit I un idéal homogène de k[X1 ; :::; Xn ].
i) Zp (I) = ? , (X1 ; :::; Xn ) = k[X1 ; :::; Xn ]
ii) Si Zp (I) 6= ? on a Ip (Zp (I)) = rac(I):

rac(I):

Remarque 2.5
On obtient ainsi -comme dans le cas a¢ ne- une bijection entre les ensembles algébriques
projectifs et les idéaux homogènes radicaux de k[X1 ; :::; Xn ]:

2.0.9

Anneau gradué associé à un ensemble algébrique :

Soit V
P n un ensemble algébrique projectif et Ip (V ) son idéal.
Comme Ip (V ) est homogène alors l’anneau quotient p (V ) = k[X1 ; :::; Xn ] = Ip (V ) est
gradué.
Remarque 2.6
1) Là encore on pourra traduire les propriétés algébriques en propriétés géométriques
grâce à la correspondance entre les idéaux homogènes radicaux de p (V ) et les ensembles
algébriques projectifs inclus dans V:
2) Contrairement au cas a¢ ne les p (V ) ne dé…nissent plus des fonctions sur V , bien
que pour un F 2 p (V ) et x 2 P n le fait que F possède un zéro en x est indépendant du
choix du représentant de F:

10

CHAPITRE 2. TOPOLOGIE DE ZARISKI DANS LE CAS PROJECTIF

2.0.10

Les ouverts :

Dé…nition 2.3
Soit V un ensemble algébrique projectif et f 2
d strictement positif.
On pose D+ (f ) = fx 2 V tel que f (x) 6= 0g :
Les D+ (f ) ainsi dé…nis sont des ouverts de V:

p (V

) un polynome homogène de degré

Proposition 2.3
Tout ouvert non vide de V s’écrit comme réunion …nie d’ouverts de la forme D+ (f ):
Soit U V un ouvert non vide de sorte que V r U = Vp (I) où I est un idéal homogène
de k[X1 ; :::; Xn ]:
On a donc I = (F0 ; F1 ; :::; Fr ) avec les Fi 2 k[X1 ; :::; Xn ] homogènes.
Alors si fi est l’image de Fi dans p (V ) on a U = D+ (f1 ) [ D+ (f2 ) [ ::: [ D+ (fr ):

Chapitre 3
Topologie de Grothendieck
Soit X un espace topologique.
On considère la catégorie Ouv(X) dont les objets sont les ouverts de X et pour tout
U ! V si U V
U; V deux ouverts de X on pose :
Hom(U; V ) =
? sinon
On dé…nit sur cette catégorie le produit …bré comme suit : U X V = U [ V:

3.1

Prétopologie de Grothendieck :

Dé…nition 3.1
Soit C une petite catégorie.
Une prétopologie sur C est la donnée de :
Pour tout objet X 2 Ob(C) Cov(X) est un ensemble de familles de morphismes
(f i : U i > X)i telle que :
0) Pour tout (f i : U i > X) 2 Cov(X) les morphismes Fi sont quadrables (ie Pour
tout Y > X sur C alors Ui xY le produit …bré sur X existe)
1) Stabilité par changement de base :
Pour tout X de C, pour tout (f i : U i > X) 2 Cov(X)
pour tout (g : Y > X) de C, alors la famille (Ui xY > Y ) 2 Cov(Y )
2) Stabilité par composition :
Soit X de C, et (f i : U i > X) 2 Cov(X)
Pour tout Y soit (gji : V ji > U i) 2 Cov(U i)
Alors la famille (fi ogji : V ji >X) 2 Cov(X)
3) Identité :
Pour tout X 2 Ob(C) alors (id : X > X) 2 Cov(X)

11