L1 SEG(MATH II)Série Corrigée N°2 Déterminants Systèmes d’équations linéaires

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

L1 SEG (MATH II)

Série Corrigée N°2-ÉNONCÉS
Déterminants/Systèmes d’équations linéaires
Exercice 1 :
𝒂
𝒃
𝒄
−𝒃 𝒂 −𝒅
Soit la matrice 𝑨 =
−𝒄 𝒅
𝒂
−𝒅 −𝒄 𝒃
Calculer 𝑨. 𝒕𝑨 et en déduire 𝑑𝑒𝑡 𝑨

𝒅
𝒄
−𝒃
𝒂

Exercice 2 :
Calculer et factoriser les déterminants suivants

.
.𝚫

𝚫𝟏 =

𝟑

=

𝟏
𝟏
𝟏
𝟏

𝐚−𝐛−𝐜
𝟐𝐛
𝟐𝐜

𝒂
𝒃
𝒄
𝒅

𝒂𝟐
𝒃𝟐
𝒄𝟐
𝒅𝟐

𝒂𝟑
𝒃𝟑
𝒄𝟑
𝒅𝟑
𝟐𝐚
𝐛−𝐜 −𝐚
𝟐𝐜

;

.𝚫

𝟐

𝟐𝐚
𝟐𝐛
𝐜 −𝐚−𝐛

=

𝟏+𝒙
𝟏
𝟏
𝟏

𝟏
𝟏
𝟏
𝟏−𝒙
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏+𝒛
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏−𝒛

Exercice 3 : (ISG-DS Avril 2010)
𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏
Résoudre par la méthode de Gauss le système suivant : 𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒛 = 𝟐
−𝟐𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = −𝟑

Exercice 4 : (ISG-SP 1993)
𝟐 𝟓 𝟑
On considère la matrice 𝑨 = 𝟏 𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
1) Calculer 𝑨−𝟏
2)
a) Vérifier que 𝑨𝟑 − 𝟕𝑨𝟐 + 𝟒𝑨 − 𝑰 = 𝟎
b) En déduire une expression de 𝑨 −𝟏 en fonction de 𝑰, 𝑨 𝒆𝒕 𝑨𝟐
c) Retrouver le résultat de 1)
𝟐𝒙 + 𝟓𝒚 + 𝟑𝒛 = 𝟏
d) Résoudre le système suivant : 𝒙 + 𝟑𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟐
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟑

1

;

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Exercice 5 :
−𝟐 𝟐
𝟒
𝟏 −𝟑 −𝟒
−𝟏 𝟐
𝟑
1) La matrice 𝑨 est-elle inversible ?
−𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛 + 𝒕 = −𝟑
𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟒𝒛 − 𝟐𝒕 = 𝟏
2) Résoudre le système
−𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛 − 𝒕 = 𝟏

On considère la matrice 𝑨 =

Exercice 6 :
𝟏
1) Calculer le rang de cette matrice −𝟏
𝟐

𝟐
−𝟐
𝟒

𝟏
𝟏
𝟐

−𝟏
−𝟏
−𝟐

−𝟏
𝟐
𝟑

𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝒛 − 𝒕 − 𝒖 = 𝟐
−𝒙
− 𝟐𝒚 + 𝒛 − 𝒕 + 𝟐𝒖 = 𝟏
2) Résoudre le système suivant
𝟐𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟐𝒛 − 𝟐𝒕 + 𝟑𝒖 = 𝟐

Exercice 7 :
𝟏
−𝒎
−𝒎
On considère la matrice carrée d’ordre 3 𝑴𝒎 = −𝟐 𝟑 − 𝒎 𝟒 − 𝒎 où 𝒎 ∈ ℝ
𝟐
−𝟐
−𝟑
1)
a) Déterminer les valeurs de 𝒎 pour lesquelles 𝑴𝒎 est inversible
−𝒎
−𝒎
𝟏
b) Vérifier que pour 𝒎 ≠ 𝟏 , la matrice 𝑵𝒎 =

−𝟐

𝒎−𝟏
𝟐𝒎−𝟑

𝒎−𝟏
𝟑𝒎−𝟒

𝒎−𝟏

𝒎−𝟏

est l’inverse de 𝑴𝒎

𝟐
−𝟐
−𝟑
𝒙 − 𝒎𝒚 − 𝒎𝒛 = 𝟏
2) Résoudre alors le système suivant −𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝒎 𝒚 + 𝟒 − 𝒎 𝒛 = −𝟏
𝟐𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟑𝒛 = 𝟏

Exercice 8 :
Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre réel 𝒎 , les systèmes suivants
𝒙−𝒚−𝒛 =𝟎
𝒙+𝒎 𝒚+ 𝒛+ 𝒕
𝒎𝒙
+
𝒎𝒚
−
𝟐𝒛
=
𝟏
𝒚+𝒎 𝒙+ 𝒛+ 𝒕
1)
4)
𝟏
𝒛+ 𝒎 𝒙+𝒚+ 𝒕
𝒎𝒙 + 𝒚 − 𝟐𝒎𝒛 = − 𝟒
𝒕+𝒎 𝒙+𝒚+𝒛
𝒎−𝟏 𝒙+𝒚−𝒛 = 𝒎
𝟐𝒙 + 𝒎𝒚 + 𝒛 = 𝟑
2)
𝒎𝒙 + 𝟏 − 𝒎 𝒚 + 𝒎𝒛 = 𝒎𝟐
𝒎𝒙 + 𝒎𝒚 + 𝒛 = 𝟏
3) 𝒙 + 𝒎𝟐 𝒚 + 𝒛 = 𝒎
𝒙 + 𝒎𝒚 + 𝒎𝒛 = 𝟏
2

=
=
=
=

𝟏
𝟐
𝟏
𝟐

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Exercice 9 : (ISG-SP 2009)
𝒎
𝟏
On considère la matrice 𝑩𝒎 = −𝟏 𝟒
𝟑 −𝟏
1) Calculer 𝑑𝑒𝑡 𝑩𝒎
2) Pour 𝒎 ≠ 𝟐 𝒆𝒕 𝒎 ≠ −𝟐𝟓
𝒙
𝟎
Résoudre le système : 𝑩𝒎 𝒚 = 𝟎
𝒛
𝟎
3) Pour 𝒎 = 𝟐
𝒙
𝟎
Résoudre le système : 𝑩𝟐 𝒚 = 𝟎
𝒛
𝟎

𝟓
𝒎
𝟓

Exercice 10 : (ISG-SP 2008)
𝟐 −𝟏 𝟏
Soit la matrice 𝑲 = −𝟏 𝒎 𝟏 ; 𝒎 ∈ ℝ
𝟏
𝟏 𝟐
1) Discuter suivant 𝒎 le rang de 𝑲 et déduire la dimension de 𝑲𝒆𝒓 𝑲
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝒛 = 𝟎
2) Résoudre le système : −𝒙 + 𝒎𝒚 + 𝒛 = 𝟏 ; 𝒎 ∈ ℝ
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏

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