L3(ÉCONOMÉTRIE)Série Corrigée N°1 Modèles Économétriques à Une Équation Régression Simple .pdf

---

À propos / Télécharger Aperçu

---

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 24/04/2012 à 00:38, depuis l'adresse IP 197.7.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 14887 fois.
Taille du document: 521 Ko (6 pages).
Confidentialité: fichier public

Aperçu du document

---

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Exercice 1 :

𝟒 𝟐
𝟏
𝟔
, 𝑩 = 𝟑 𝟗 𝒆𝒕 𝑪 = 𝟔
𝟕
𝟓 𝟒
𝟖
1) Calculer 𝑩. 𝑨 −𝟏 et déduire 𝑨′ . 𝑩′ −𝟏
2) Calculer 𝑡𝑟 𝑨. 𝑩 et 𝑡𝑟 𝑩. 𝑨
3) Calculer 𝑪−𝟏
4) Soit 𝑫 une matrice de dimension 𝒏, 𝒑 et 𝑬 = 𝑫′ . 𝑫
Montrer que
a) 𝑬 est symétrique
b)
On considère les matrices 𝑨 =

𝑡𝑟 𝑬 =

𝟏𝟎
𝟐

𝟒
𝟖

𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟓

𝟓
𝟒
𝟕

𝒅𝒊𝒋
𝒊

𝒋

5) On considère des matrices carrées 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 où 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 sont deux matrices non singulières,
développer le produit matriciel suivant : 𝑿 =

𝑨𝑩 + 𝑪𝑫

′

𝑬𝑭

−𝟏

+ 𝑮𝑯

′

Exercice 2 :
On considère :
 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 𝒏 vecteur colonne de ℝ𝒌
 𝒊 le vecteur unitaire de ℝ𝒌 : 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … , 𝟏
 La matrice 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝟏𝒏𝒊𝒊′

′

𝑿′𝟏
 𝑿 une matrice de dimension 𝒏, 𝒌 dont l’ième ligne est 𝑿′𝒊 : 𝑿 = ⋮
𝑿′𝒏
𝒌
 𝑿 un vecteur colonne de ℝ (les moyennes des lignes de la matrice 𝑿′ ou les moyennes des
colonnes de la matrice 𝑿
1) Montrer que :
a)
𝒏

𝑿𝒊 𝑿′𝒊

′

𝑿𝑿=
𝒊=𝟏

b)

𝒏

𝑿′𝒊

=

c) 𝑿 =

𝑿𝒊

𝒊=𝟏
𝟏 ′
𝑿
𝒏 𝒊

2) Déduire que :
𝑛

𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿𝒊 − 𝒂 ′ = 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂
𝑖=1

1

′

𝒐ù 𝒂 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒅𝒆 ℝ𝒌

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Exercice 3 :
On considère une matrice 𝑿 de dimension 𝒏, 𝒌 ; le vecteur 𝜷 = 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 … , 𝜷𝒌 ′ et les vecteurs aléatoires
𝒀 = 𝒚𝟏 , 𝒚𝟐 … 𝒚𝒏 ′ et 𝓔 = 𝓔𝟏 , 𝓔𝟐 … 𝓔𝒏 ′ . On suppose que les 𝓔𝒊 sont iid de 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 et que 𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
1) Déterminer, en fonction de 𝑿 et 𝒀 le vecteur 𝜷 qui minimise 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 par rapport à 𝜷
(Indication : 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔 )
2) Démontrer que les matrices 𝑴 et 𝑷 sont symétriques idempotentes ; 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿 −𝟏 𝑿′ et
𝑴= 𝑰−𝑷
3) Démontrer que 𝑴𝑷 = 𝟎
4) Déterminer en fonction de 𝑴 la variance de 𝓔 avec 𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷

Exercice 4 :
Le tableau suivant fournit des données trimestrielles relatives à la rentabilité de l’indice boursier américain
Dow Jones 𝑹𝑫𝑱 = 𝑿 et la rentabilité de l’indice boursier européen Euro Stoxx 50 𝑹𝑬𝑺 = 𝒀
Relation entre RDJ et RES

𝒙𝒊

𝒚𝒊

𝒙𝒊 𝟐

𝒙 𝒊 𝒚𝒊

𝒚𝒊 𝟐

1990.2

0,0463

0,0252

0,0024

0,0012

0,0006

1990.3

-0,0276

-0,0969

0,0008

0,0027

0,0094

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

⋮

2005.3

0,0150

0,0767

0,0062

0,0012

0,0059

Somme

1,3753

1,1155

0,1865

0,2162

0,3287

Source : Eurostat

1)
2)
3)
4)
5)

Estimer par la méthode du MCO les paramètres de la régression de RES par rapport à RDJ
Tester au risque 5% la significativité des paramètres du modèle
Calculer 𝑹𝟐
Interpréter ces résultats
Pour quatrième trimestre 2005, la valeur prévisionnelle de RDJ est 0,0252 ; déterminer la valeur
prévisionnelle de RES pour cette période

Exercice 5 :
On considère les deux modèles :
𝑴𝟏 ∶ 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Et
𝑴𝟐 ∶ 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
1) Déterminer 𝒃 l’estimateur MCO de 𝒃 puis calculer 𝑬 𝒃 et 𝑽 𝒃
2) Comparer 𝑽 𝒃 et 𝑽 𝜷𝟐 où 𝜷𝟐 est l’estimateur MCO de 𝜷𝟐 puis interpréter

2

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
𝒊 𝓔𝒊

3) Démontrer que
l’intervalle 𝟎, 𝟏

≠ 𝟎 et déduire que pour le modèle 𝑴𝟐 ; 𝑹𝟐 n’est pas nécessairement dans

Exercice 6 :
On s’intéresse à la relation entre P.I.B et les investissements privés, on considère les modèles suivants :
𝑴𝑨 : 𝒚𝒊 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 𝒙𝒊 + 𝒆𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝑴𝑩 : 𝒘𝒊 = 𝒃𝟏 + 𝒃𝟐 𝒙𝒊 + 𝒆𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝑴𝑪 : 𝒚𝒊 = 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 𝒛𝒊 + 𝒆𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝒀 𝒆𝒕 𝑿 : Le P.I.B et les investissements en mille Dinars
𝑾 𝒆𝒕 𝒁 : Le P.I.B et les investissements en millions de Dinars
1) Comparer les paramètres des trois modèles
2) Déterminer l’effet d’une augmentation de 1 million des investissements privés sur le P.I.B d’après
les trois modèles si 𝒂𝟐 = 𝟎, 𝟑
3) Etudier l’efficacité des estimateurs des trois pentes
4) Comparer les coefficients de détermination des trois modèles

Exercice 7 :
Le revenu 𝑹𝒕 et l’épargne nette 𝑬𝒕 Ont été mesurés par trimestre pendant 3 ans pour une catégorie socioprofessionnelle bien déterminée ; après correction des variations saisonnières, exprimées en millions
d’euros, les indicateurs suivants sont disponibles :
𝟏𝟐

𝑹=
𝑬=

𝟏
𝟏𝟐

𝑹𝒕 𝟐 = 𝟒𝟖𝟐𝟕 ;

𝑹𝒕 = 𝟏𝟗, 𝟕 ;
𝒕=𝟏
𝟏𝟐

𝟏
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝒕=𝟏
𝟏𝟐

𝑬𝒕 𝟐 = 𝟒𝟓𝟔

𝑬𝒕 = 𝟔, 𝟏 ;
𝒕=𝟏

;

𝒕=𝟏

𝟏𝟐

𝑬𝒕 𝑹𝒕 = 𝟏𝟒𝟖𝟎 .
𝒕=𝟏

On suppose que les variables 𝑬𝒕 et 𝑹𝒕 Sont liées par le modèle 𝑬𝒕 = 𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕 , les v.a 𝒖𝒕 étant de loi
𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 pour tout t et indépendantes.
1) Calculer 𝒂 et 𝒃 , estimateurs des MCO de 𝒂 et 𝒃 ; donner un intervalle de confiance de niveau 0,95
pour 𝒂 et 𝒃
2) Etudier la validité du modèle
3) On désire tester l’hypothèse qu’une augmentation absolue de 1% du revenu implique une
augmentation absolue de 1% de l’épargne. Ecrire cette hypothèse en fonction des coefficients de la
régression et résoudre le problème du test.
Même question avec une augmentation de 1% du revenu.

3

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Exercice 8 :
On possède deux échantillons 𝒙𝟏 , … , 𝒙𝒏 et 𝒚𝟏 , … , 𝒚𝒏 de deux variables 𝑿 et 𝒀. Aucune des deux
variables n’étant privilégiée a priori, on considère la régression linéaire de 𝑿 sur 𝒀 (modèle A) et celle de 𝒀
sur 𝑿 (modèle B) :
𝑨
𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒚𝒊 + 𝓔𝒊
𝑩
𝒚𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝒊 + 𝒖𝒊
𝓔𝒊 et 𝒖𝒊 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 suivant respectivement les Lois 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐𝓔 et 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐𝒖 .
On désigne par 𝒏𝑺𝟐𝒙 (resp.𝒏𝑺𝟐𝒚 ) La quantité
𝒏

𝒏

𝒙𝒊 − 𝑿

𝟐

𝒚𝒊 − 𝒀 𝟐 )

(𝒓𝒆𝒔𝒑.

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

Et par 𝝆 le coefficient empirique de corrélation linéaire entre 𝒙𝒊 et 𝒚𝒊 .
1) 𝒂 , 𝒃 , 𝜶 𝒆𝒕 𝜷 étant les estimateurs des MCO de 𝒂 , 𝒃 , 𝜶 𝒆𝒕 𝜷
Montrer que 𝒃𝜷 = 𝝆𝟐 et 𝜶 − 𝒀 𝒂 − 𝑿 = 𝝆𝟐 𝑿𝒀
2) 𝑹𝟐𝑨 et 𝑹𝟐𝑩 désignent les coefficients de détermination de 𝑨 et 𝑩 ; établir une relation entre 𝑹𝟐𝑨
et 𝑹𝟐𝑩
3) 𝑺𝟐𝓔 et 𝑺𝟐𝒖 étant les estimateurs sans biais de 𝝈𝟐𝓔 et 𝝈𝟐𝒖 , montrer que :
𝑺𝟐𝓔 𝑺𝟐𝒖
=
𝑺𝟐𝒙 𝑺𝟐𝒚
4) On appelle 𝒕𝑨 (𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝒕𝑩 ) la statistique de Student utilisée pour tester 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 (𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝜷 = 𝟎)
𝑹𝟐

Montrer que : 𝒕𝑨 𝟐 = (𝒏 − 𝟐) 𝟏−𝑹𝑨 𝟐 . Conclure.
𝑨

Exercice 9 :
Le taux d’équipement des ménages en PlayStation est une variable 𝒚𝒕 , 𝒕 représentant l’année
d’observation , 𝒕 = 𝟏 à 𝑻 .
On postule pour 𝒚𝒕 un modèle de type logistique :
𝟏
𝒚𝒕 =
+ 𝓔𝒕 , 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 é𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒅𝒆𝒖𝒙 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎è𝒕𝒓𝒆𝒔 𝒓é𝒆𝒍𝒔 𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇𝒔.
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕
1) Tracer le graphe de
𝟏
𝒇𝒕 =
𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕.
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕
2) Déterminer les équations vérifiées par les estimateurs des moindres carrés 𝒂 et 𝒃 de 𝒂 et 𝒃
3) Par un changement de variables approprié, montrer que le modèle logistique peut être transformé
en un modèle linéaire que l’on précisera.
On fournit les données suivantes :
1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004
𝒕
2,9
4,4
6,0
8,4
11,8
14,6
18,3
𝒚𝒕
(En %)

En déduire des estimations 𝒂∗ et 𝒃∗ de 𝒂 et 𝒃 ; estimer 𝑉 𝒃∗ et en déduire un intervalle de confiance de
niveau 0,95 pour 𝒃 .
𝒅𝒚
𝟏
4) Montrer que, si 𝒚𝒕 suit exactement un modèle logistique 𝒚𝒕 = 𝒇 𝒕 , 𝒅𝒕𝒕 𝒚 𝟏−𝒚 est une
𝒕

constante.
4

𝒕

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Etudier, à partir des données, l’adéquation de 𝒚𝒕 à un modèle logistique. En déduire une prévision pour le
taux d’équipement en PlayStation pour 2005.

Exercice 10 :
L’analyse d’une série temporelle de 12 ans concernant la demande d’habillement 𝒚 en fonction du revenu
𝒙 des ménages a conduit à :
𝑳𝒏 𝒚𝒕 = 𝟎, 𝟔𝟓 + 𝟏, 𝟏𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝟎,𝟏𝟏

𝟎,𝟎𝟕

Peut-on dire que l’élasticité de la demande d’habillement soit égale à l’unité ?

Exercice 11 :
Soit le modèle linéaire simple :
𝟏 𝑳𝒏 𝑫𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝑳𝒏 𝑹𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, … , 𝒏
Où 𝑫𝒊 est la dépense alimentaire du ménage 𝒊 , 𝑹𝒊 son revenu disponible. Les 𝓔𝒊 constituent des termes
aléatoires indépendants, identiquement distribués selon la loi normale d’espérance mathématique nulle et
de variance 𝝈𝟐 . L’estimateur par les MCO du modèle 𝟏 , sur un échantillon de 20 ménages , a donné les
résultats suivants :
𝟐 𝑳𝒏 𝑫𝒊 = 𝟐, 𝟕𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓𝑳𝒏 𝑹𝒊
; 𝒊 = 𝟏, … , 𝒏
𝟐, 𝟔𝟒
𝟎, 𝟎𝟖𝟗
Les chiffres entre parenthèses indiquent les écarts-types estimés des estimateurs de 𝒂 et 𝒃 .
1) Donner une interprétation économique des paramètres 𝒂 et 𝒃
2) Tester au seuil de 5%, l’hypothèse nulle selon laquelle le paramètre 𝒃 est égal à l’unité
3) Tester au seuil de 5%, l’hypothèse nulle selon laquelle 𝒃 < 1 . Interpréter économiquement ce test
4) Calculer le coefficient de détermination 𝑹𝟐
5) Tester la significativité globale du modèle.

Exercice 12 : (Extrait de l'examen- ISG SP2007)
Soit le modèle de régression simple : 𝑴𝟏 ∶ 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕 + 𝓔𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝑻
1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : Ι à 2005 : ΙV), on a estimé
par les MCO le modèle 𝑴𝟏 . Les résultats d’estimation sont :
𝑴𝟏 ∶ 𝒚𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 ; 𝐭 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟒
𝟑. 𝟎𝟎 (𝟒, 𝟕𝟎)
Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student
a) Tester au risque de 5% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏 (On rappelle que pour les
𝑺𝑪𝑬
modèles simples : 𝑭 = 𝑺𝑪𝑹 𝑻−𝟐 = 𝒕 𝜷𝟐 𝟐 )
𝑯 ∶ 𝜷𝟐 = 𝟏
b) Tester au risque de 5% 𝟎
𝑯𝟏 ∶ 𝜷 𝟐 ≠ 𝟏
2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎
a) Estimer la variance des résidus 𝝈𝟐
b) Déterminer les matrices 𝑿′ 𝑿 𝒆𝒕 𝑿′ 𝑿 −𝟏 associées au modèle 𝑴𝟏
c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 95% pour 𝒚𝟐𝟓 𝒑 sachant que 𝒙𝟐𝟓 = 𝟗𝟖

5

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

Exercice 13 : (Extrait de l'examen- IHEC SC2000)
Le modèle des ventes d’un produit d’une entreprise est le suivant :
𝒀𝒕 = 𝑷𝒃𝒕 .𝑰𝒄𝒕 . 𝒆 𝒂+𝒖𝒕
𝟏 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟐𝟎
Où
 𝒀𝒕 , 𝑷𝒕 𝒆𝒕 𝑰𝒕 Sont respectivement les ventes, le prix du produit et les frais publicitaires de la période
𝒕
 𝒂 , 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 les paramètres du modèle
 𝒖𝒕 sont des perturbations aléatoires vérifiant les hypothèses de base en la méthode des M.C.O
1) Comment feriez-vous pour estimer les paramètres du modèle par la méthode des moindres carrés
ordinaires (M.C.O) ?
2) Donner la signification économique des paramètres 𝒃 𝒆𝒕 𝒄
3) Donner les signes attendus des paramètres 𝒃 𝒆𝒕 𝒄 en justifiant votre réponse

Exercice 14 : (ISG-SP2010)
On considère un modèle simple 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 . A partir d’une étude économique portant sur 85
entreprises, un économètre a fourni les résultats suivants :
𝒚𝒊 = 𝟏𝟑𝟐, 𝟖 − 𝟏, 𝟏𝒙𝒊
𝟒,𝟑

𝟏𝟎,𝟐

Les valeurs entre parenthèses représentent les 𝒕 Student. 𝑺𝑪𝑹 = 𝟔𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟐
1) Tester au risque de 5% si l’effet de 𝑿 sur 𝒀 est significativement différent de zéro
2)
a) Calculer la variance estimée des résidus
b) Calculer la variance estimée de 𝜷𝟐
c) Déduire SCE
d) Construire le tableau d’analyse de la variance et montrer l’équivalence des résultats de la
première question au test de significativité globale basé sur la loi de Fisher
3) Le coefficient 𝜷𝟐 est-il significativement différent de -1 ?

ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN:
 ÉCONOMÉTRIE
 TECHNIQUES DE SONDAGE
 STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II)
 STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I)
 ANALYSE (MATH I)
 ALGÈBRE (MATH II)
3 rue Bougainvilliers Avenue 20 Mars Le Bardo, Tunisie
CONTACT :
Téléphone : (+216) 97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
Page Facebook : http://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

6

BEN AHMED MOHSEN



Sur le même sujet..

---