M1-L3 (ÉCONOMÉTRIE) Série Corrigée N°1- Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple.pdf


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BEN AHMED MOHSEN

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M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Exercice 1 :
𝟏𝟎
On considère les matrices 𝑨 =
𝟐

𝟒
𝟖

𝟒
𝟔
,𝑩 = 𝟑
𝟕
𝟓

𝟐
𝟗
𝟒

𝟏
𝒆𝒕 𝑪 = 𝟔
𝟖

𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟓

𝟓
𝟒
𝟕

1) Calculer 𝑩. 𝑨 −𝟏 et déduire 𝑨′ . 𝑩′ −𝟏
2) Calculer 𝒕𝒓 𝑨. 𝑩 𝒆𝒕 𝒕𝒓 𝑩. 𝑨
3) Calculer 𝑪−𝟏
4) Soit 𝑫 une matrice de dimension 𝒏, 𝒑 𝒆𝒕 𝑬 = 𝑫′ . 𝑫
Montrer que :
a) 𝑬 est symétrique
b)
𝒕𝒓 𝑬 =

𝒅𝒊𝒋
𝒊

𝒋

5) On considère des matrices carrées 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 où 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 sont deux matrices non singulières,
développer le produit matriciel suivant : 𝑿 =

𝑨𝑩 + 𝑪𝑫



𝑬𝑭

−𝟏

+ 𝑮𝑯



Exercice 2 :
On considère :
 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … 𝑿𝒏 𝒏 vecteurs colonne de ℝ𝒌
 𝒊 le vecteur unitaire de ℝ𝒌 : 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … , 𝟏
𝟏
 La matrice 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝒊𝒊′



𝒏

𝑿′𝟏
 𝑿 une matrice de dimension 𝒏, 𝒌 dont l’ième ligne est 𝑿′𝒊 : 𝑿 = ⋮
𝑿′𝒏
𝒌
 𝑿 un vecteur colonne de ℝ (les moyennes des lignes de la matrice 𝑿′ ou les moyennes des
colonnes de la matrice 𝑿
1) Montrer que :
a)
𝒏

𝑿′ 𝑿
b)

𝑿𝒊 𝑿′𝒊

=
𝒊=𝟏

1

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𝒏


𝑿𝒊=
c)
𝑿=
2)

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿 𝒊 − 𝒂
𝒊=𝟏



= 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂



Où 𝒂 est un vecteur de ℝ𝒌

Exercice 3 :
On considère une matrice 𝑿 de dimension 𝒏, 𝒌 ; le vecteur 𝜷 = 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 , … , 𝜷𝒌 ′ et les vecteurs
aléatoires 𝒀 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , … , 𝒚𝒏 ′ et 𝓔 = 𝓔𝟏 , 𝓔𝟐 , … , 𝓔𝒏 ′ . On suppose que les 𝓔𝐢 sont iid de 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 et que
𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
1) Déterminer, en fonction de 𝑿 et 𝒀 le vecteur 𝜷 qui minimise 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 par rapport à 𝜷
(Indication : 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔 )
2) Démontrer que les matrices 𝑴 et 𝑷 sont symétriques idempotentes ; 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿 −𝟏𝑿′ et
𝑴 =𝑰−𝑷
3) Démontrer que 𝑴𝑷 = 𝟎
4) Déterminer en fonction de 𝑴 la variance de 𝓔 avec 𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷

Exercice 4 :
Le tableau suivant fournit des données trimestrielles relatives à la rentabilité de l’indice boursier
américain Don Jones 𝑹𝑫𝑱 = 𝑿 et la rentabilité de l’indice boursier européen Euro Stoxx 50 𝑹𝑬𝑺 = 𝒀
Relation entre RDJ et RES
𝒙𝒊

𝒚𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊 𝒚 𝒊

𝒚𝟐𝒊

1990.2

0,0463

0,0252

0,0024

0,0012

0,0006

1990.3

-0,0276

-0,0969

0,0008

0,0027

0,0094











2005.3

0,0150

0,0767

0,0062

0,0012

0,0059

Somme

1,3753

1,1155

0,1865

0,2162

0,3287



Source : Eurostat

2

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1)
2)
3)
4)
5)

Estimer par la méthode du MCO les paramètres de la régression de RES par rapport à RDJ
Tester au risque 5% la significativité des paramètres du modèle
Calculer 𝑹𝟐
Interpréter ces résultats
Pour le quatrième trimestre 2005, la valeur prévisionnelle de RDJ et 0,0252 ; déterminer la valeur
prévisionnelle de RES pour cette période

Exercice 5 :
On considère les deux modèles :
𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Et
𝑴𝟐 : 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
1) Déterminer 𝒃 l’estimateur MCO de 𝒃 puis calculer 𝑬 𝒃 et 𝑽 𝒃
2) Comparer 𝑽 𝒃 et 𝑽 𝜷𝟐 où 𝜷𝟐 est l’estimateur MCO de 𝜷𝟐 puis interpréter
3) Démontrer que : 𝒊 𝓔𝒊 ≠ 𝟎 et déduire que pour le modèle 𝑴𝟐 ; 𝑹𝟐 n’est pas nécessairement dans
l’intervalle 𝟎, 𝟏

Exercice 6 :
Le revenu 𝑹𝒕 et l’épargne nette 𝑬𝒕 ont été mesurés par trimestres pendant 3 ans pour une catégorie
socioprofessionnelle bien déterminée ; après correction des variations saisonnières, exprimées en
millions d’euros, les indicateurs suivants sont disponibles :

𝟏
𝑹=
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝑹𝟐𝒕

𝑹𝒕 = 𝟏𝟗, 𝟕 ;
𝒕=𝟏

𝒕=𝟏

𝟏
= 𝟒𝟖𝟐𝟕 ; 𝑬 =
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝑬𝒕 = 𝟔, 𝟏 ;
𝒕=𝟏

𝟏𝟐

𝑬𝟐𝒕
𝒕=𝟏

= 𝟒𝟓𝟔 ;

𝑬𝒕𝑹𝒕 = 𝟏𝟒𝟖𝟎
𝒕=𝟏

On suppose que les variables 𝑬𝒕 et 𝑹𝒕 sont liées par le modèle 𝑬𝒕 = 𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕 , les v.a 𝒖𝒕 étant de
loi 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 pour tout 𝒕 et indépendantes0
1) Calculer 𝒂 et 𝒃 , estimateurs des MCO de 𝒂 et 𝒃 ; donner un intervalle de confiance de niveau
0,95 pour 𝒂 et 𝒃
2) Etudier la validité du modèle

3

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3) On désire tester l’hypothèse qu’une augmentation absolue de 1% du revenu implique une
augmentation absolue de 1% de l’épargne. Ecrire cette hypothèse en fonction des coefficients de
la régression et résoudre le problème du test.
4) Même question avec une augmentation relative de1% du revenu.

Exercice 7 :
On possède deux échantillons 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 et 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , … , 𝒚𝒏 de deux variables 𝑿 et 𝒀 . Aucune des
deux variables n’étant privilégiée a priori, on considère la régression linéaire de 𝑿 sur 𝒀 (modèle A) et
celle de 𝒀 sur 𝑿 (modèle B) :
𝑨 𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒚𝒊 + 𝓔𝒊
𝑩 𝒚𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝒊 + 𝒖𝒊
𝓔𝒊 Et 𝒖𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 suivant respectivement les lois 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐𝓔 et 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐𝒖 .
On désigne par 𝒏𝑺𝟐𝒙 , 𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝒏𝑺𝟐𝒙 la quantité
𝒏

𝒙𝒊 − 𝑿

𝟐

𝒊=𝟏

𝒏

, 𝒓𝒆𝒔𝒑.

𝒚𝒊 − 𝒀

𝟐

𝒊=𝟏

Et par 𝝆 le coefficient de corrélation linéaire entre 𝒙𝒊 et 𝒚𝒊 .
1) 𝒂 , 𝒃 , 𝜶 𝒆𝒕 𝜷 étant les estimateurs MCO de 𝒂 , 𝒃 , 𝜶 𝒆𝒕 𝜷
Montrer que 𝒃𝜷 = 𝝆𝟐 et 𝜶 − 𝒀 𝒂 − 𝑿 = 𝝆𝟐𝑿𝒀
2) 𝑹𝟐𝑨 et 𝑹𝟐𝑩 désignent les coefficients de détermination de 𝑨 et 𝑩 ; établir une relation entre 𝑹𝟐𝑨
et 𝑹𝟐𝑩
3) 𝑺𝟐𝓔 et 𝑺𝟐𝒖 étant les estimateurs sans biais de 𝝈𝟐𝓔 et 𝝈𝟐𝒖 , montrer que :
𝑺𝟐𝓔 𝑺𝟐𝒖
=
𝑺𝟐𝒙 𝑺𝟐𝒚
4) On appelle 𝒕𝑨 𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝒕𝑩 la statistique de Student utilisée pour tester 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝜷 = 𝟎
Montrer que :

4

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𝒕𝟐𝑨

𝑹𝟐𝑨
= 𝒏−𝟐
𝟏 − 𝑹𝟐𝑨

Conclure.

Exercice 8 :
Le taux d’équipement des ménages en PlayStation 2 est une variable 𝒚𝒕 , 𝒕 représentant l’année
d’observation, 𝒕 = 𝟏à𝑻.
On postule pour 𝒚𝒕 un modèle de type logistique :
𝒚𝒕 =

𝟏
+ 𝓔𝒕 , 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 é𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒅𝒆𝒖𝒙 𝒓é𝒆𝒍𝒔 𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇𝒔.
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

1) Tracer le graphe de
𝒇 𝒕 =

𝟏
𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

2) Déterminer les équations vérifiées par les estimateurs des moindres carrés 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 de 𝒂 𝒆𝒕 𝒃
3) Par un changement de variable approprié, montrer que le modèle logistique peut être transformé
en un modèle linéaire que l’on précisera.
On fournit les données suivantes :
𝒕

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

𝒚𝒕
2,9
4,4
6,0
8,4
11,8
14,6
18,3
(En %)
En déduire des estimations 𝒂′ 𝒆𝒕𝒃′ de 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 ; estimer 𝑽 𝒃′ et en déduire un intervalle de confiance
de niveau 0,95 pour 𝒃.
4) Montrer que si, 𝒚𝒕 suit exactement un modèle logistique 𝒚𝒕 = 𝒇 𝒕 alors
𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
5) Déduire de la question précédente que pour tester le modèle logistique, on doit valider le
modèle :
𝒙𝒕 =

𝜟𝒚𝒕
𝒚𝒕+𝟏 − 𝒚𝒕
=
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

5

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Etudier, à partir des données, l’adéquation de 𝒚𝒕 à un modèle logistique. En déduire une prévision pour
le taux d’équipement en PlayStation 2 pour 2005

Exercice 9 :
L’analyse d’une série temporelle de 12 ans concernant la demande d’habillement 𝒚 en fonction du
revenu 𝒙 des ménages a conduit à :
𝑳𝒏 𝒚𝒕 =𝟎, 𝟔𝟓 + 𝟏, 𝟏 𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝟎,𝟏𝟏

𝟎,𝟎𝟕

Peut-on dire que l’élasticité de la demande d’habillement soit égale à l’unité ?

Exercice 10 :
Soit le modèle linéaire simple :
𝟏 𝑳𝒏 𝑫𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝑳𝒏 𝑹𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Où 𝑫𝒊 est la dépense alimentaire du ménage 𝒊, 𝑹𝒊 son revenu disponible. Les 𝓔𝒊 constituent des termes
aléatoires indépendants, identiquement distribués selon la loi normale d’espérance mathématiqu e nulle
et de variance 𝝈𝟐 . L’estimateur par les MCO du modèle 𝟏 , sur un échantillon de 20 ménages, a donné
les résultats suivants :
𝟐 𝑳𝒏 𝑫𝒊 = 𝟐, 𝟕𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 𝑳𝒏 𝑹𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝟐,𝟔𝟒

𝟎,𝟎𝟖𝟗

Les chiffres entre parenthèses indiquent les écarts-types estimés des estimateurs de 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 .
1) Donner une interprétation économique des paramètres 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 .
2) Tester au seuil de 5% l’hypothèse nulle selon laquelle le paramètre 𝒃 est égal à l’unité
3) Tester au seuil de 5% l’hypothèse nulle selon laquelle 𝒃 < 1 . interpréter économiquement ce
test
4) Calculer le coefficient de détermination 𝑹𝟐
5) Tester la significativité globale du modèle

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Exercice 11 : (Extrait de l’examen- ISG SP2007)
Soit le modèle de régression simple : 𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕 + 𝓔𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : 𝕀 à 2005𝕀𝕍), on a estimé
par les MCO le modèle 𝑴𝟏 . Les résultats d’estimation sont :
𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓 𝒙𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
𝟑,𝟎𝟎

𝟒,𝟕𝟎

Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student
a) Tester au risque de 5% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏 (on rappelle que pour les
modèles simples : 𝑭 =
b) Tester au risque de 5%

𝑺𝑪𝑬

𝑺𝑪𝑹 𝑻−𝟐

= 𝒕𝟐𝜷𝟐 )

𝑯𝟎 ∶ 𝜷𝟐 = 𝟏
𝑯𝟏 ∶ 𝜷𝟐 ≠ 𝟏

2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎
a) Estimer la variance des résidus 𝝈𝟐
b) Déterminer les matrices 𝑿′ 𝑿 𝒆𝒕 𝑿′ 𝑿

−𝟏

associées au modèle 𝑴𝟏
𝒑

c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 95% pour 𝒚𝟐𝟓 sachant que 𝒙𝟐𝟓 = 𝟗𝟖

Exercice 12 : (IHEC SP2010)
On considère un modèle simple 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 . A partir d’une étude économique portant sur 85
entreprise, un économètre a fournit les résultats suivants :
𝒚𝒊 = 𝟏𝟑𝟐, 𝟖 + 𝟏, 𝟏 𝒙𝒊
𝟒,𝟑

𝟏𝟎,𝟐

Les valeurs entre parenthèses représentent les 𝒕 Student. 𝑺𝑪𝑹 = 𝟔𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟐
1) Tester au risque de 5% si l’effet de 𝑿 sur 𝒀 est significativement différent de zéro
2)
a) Calculer la variance estimée des résidus
b) Calculer la variance estimée de 𝜷𝟐

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c) Déduire 𝑺𝑪𝑬
d) Construire le tableau d’analyse de la variance et montrer l’équivalence des résultats de la
première question au test de significativité globale basé sur la loi de Fisher
3) Le coefficient 𝜷𝟐 est-il significativement différent de -1 ?

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M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°1- CORRIGÉS
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Corrigé 1:
𝟒
1) 𝑩. 𝑨 = 𝟑
𝟓

𝟐
𝟗
𝟒

𝟒𝟒
𝑩. 𝑨 = 𝟒𝟖
𝟓𝟖

𝟏𝟎
𝟐
𝟑𝟐
𝟖𝟒
𝟓𝟐

𝟒
𝟖

𝟔
𝟕

𝟑𝟖
𝟒𝟒
𝟖𝟏 , or 𝟒𝟖
𝟓𝟖
𝟓𝟖

𝒅𝒆𝒕 𝑨′ . 𝑩′ = 𝒅𝒆𝒕 𝑩. 𝑨



𝟑𝟐
𝟖𝟒
𝟓𝟐

𝟑𝟖
𝟖𝟏 = 𝟎 d’où 𝑩. 𝑨 n’est pas inversible.
𝟓𝟖

= 𝒅𝒆𝒕 𝑩. 𝑨 = 𝟎 Ainsi 𝑨′ . 𝑩′ n’est pas inversible.

2) 𝒕𝒓 𝑨. 𝑩 = 𝒕𝒓 𝑩. 𝑨 = 𝟏𝟖𝟔
3) 𝒅𝒆𝒕 𝑪 = −𝟑𝟎 ; 𝑪𝒐𝒎 𝑪 =

𝑪−𝟏

𝟏
=
𝑪𝒐𝒎 𝑪
𝒅𝒆𝒕 𝑪



𝟏𝟎
𝟏𝟐
−𝟏𝟒

−𝟏𝟎
−𝟑𝟑
𝟐𝟔

𝟏 𝟏𝟎
=−
−𝟏𝟎
𝟑𝟎
𝟏𝟎

𝟏𝟐
−𝟑𝟑
𝟓𝟕

𝟏𝟎
𝟓𝟕 , par la suite
−𝟒𝟒
−𝟏𝟒
𝟐𝟔
−𝟒𝟒

4)
a) 𝑬′ = 𝑫′ . 𝑫



= 𝑫′ . 𝑫 = 𝑬 d’où 𝑬 est une matrice symétrique

b)
𝒏

𝑬 = 𝒆𝒓,𝒔

𝟏≤𝒓≤𝒑
𝟏≤𝒔≤𝒑

, 𝒕𝒆𝒍𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒓,𝒔 =
𝒏

𝒆𝒋𝒋 𝒆𝒕 𝒆𝒋𝒋 =
𝒋=𝟏

5) 𝑿 =
=

=

𝒅𝒊,𝒓 𝒅𝒊,𝒔
𝒊=𝟏

𝒑

𝒐𝒓 𝒕𝒓 𝑬 =

𝒅′𝒓 𝒅𝒔

𝑨𝑩 + 𝑪𝑫

𝒅𝟐𝒊𝒋

𝒅𝒊𝒋 𝒅𝒊𝒋 =
𝒊=𝟏



𝒑

𝒏

𝑬𝑭

𝑨𝑩 + 𝑫′ 𝑪′ 𝑭−𝟏𝑬−𝟏 + 𝑮𝑯

𝒋=𝟏 𝒊=𝟏



+ 𝑮𝑯

𝒅𝟐𝒊𝒋

𝒅′ 𝒐ù 𝒕𝒓 𝑬 =

𝒊=𝟏
−𝟏

𝒏



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𝑿 = 𝑨𝑩𝑭−𝟏𝑬−𝟏 + 𝑨𝑩𝑮𝑯 + 𝑫′ 𝑪′ 𝑭−𝟏 𝑬−𝟏 + 𝑫′ 𝑪′ 𝑮𝑯



𝒅′ 𝒐ù 𝑿 = 𝑬′ −𝟏𝑭′ −𝟏 𝑩′ 𝑨′ + 𝑯′ 𝑮′ 𝑩′ 𝑨′ + 𝑬′ −𝟏𝑭′ −𝟏 𝑪𝑫 + 𝑯′ 𝑮′ 𝑪𝑫

Corrigé 2:
1)
a)


𝑿 𝑿 = 𝑿𝟏



𝑿′𝟏
⋮ =
𝑿′𝒏

𝑿𝒏

𝒏

𝑿𝒊 𝑿′𝒊
𝒊=𝟏

b)
𝑿′ 𝒊 = 𝑿𝟏



𝟏
⋮ =
𝟏

𝑿𝒏

𝒏

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

c)
𝟏
𝑿=
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝑿 =
𝒊=𝟏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

2)
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿𝒊 − 𝒂
𝒊=𝟏



𝒏

𝑿𝒊 𝑿′𝒊

=



𝒏

𝒂′

𝑿𝒊

𝒊=𝟏

𝑿′𝒊 + 𝒏𝒂𝒂′

−𝒂

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏


= 𝑿′ 𝑿 − 𝒏𝑿𝒂′ − 𝒏𝒂𝑿 + 𝒏𝒂𝒂′






= 𝑿′ 𝑿 −𝒏𝑿𝑿 + 𝒏𝑿𝑿 − 𝒏𝑿𝒂′ − 𝒏𝒂𝑿 + 𝒏𝒂𝒂′
𝟎






= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 − 𝒏𝑿𝑿 + 𝒏 𝑿𝑿 − 𝑿𝒂′ − 𝒂𝑿 + 𝒂𝒂′
= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 − 𝒏
= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 −

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏







+ 𝒏 𝑿𝑿 − 𝑿𝒂′ − 𝒂𝑿 + 𝒂𝒂′

𝟏 ′ ′


𝑿 𝒊𝒊 𝑿 + 𝒏 𝑿 𝑿 − 𝒂′ − 𝒂 𝑿 − 𝒂′
𝒏

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= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 −

𝟏 ′ ′

𝑿 𝒊𝒊 𝑿 + 𝒏 𝑿 𝑿 − 𝒂 − 𝒂 𝑿 − 𝒂
𝒏

= 𝑿′ 𝑰𝒏 −

𝟏 ′
𝒊𝒊 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂
𝒏

𝒏


𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿𝒊 − 𝒂 ′ = 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂

𝒅 𝒐ù







𝒊=𝟏

Corrigé 3:
1)
𝒏

𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔
𝒊=𝟏

= 𝒀 − 𝑿𝜷



𝒀 − 𝑿𝜷

= 𝒀′ − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 − 𝑿𝜷
= 𝒀′ 𝒀 − 𝒀′ 𝑿𝜷 − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′ 𝑿′ 𝑿𝜷
𝜷′ 𝑿′ 𝒀 = 𝑿𝜷 ′ 𝒀 𝒆𝒕

𝑿 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒏 × 𝒌
⟹ 𝑿𝜷 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒏 × 𝟏
𝜷 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒌 × 𝟏
⟹ 𝑿𝜷 ′ 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝟏 × 𝒏

𝒐𝒓 𝒀 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒏 × 𝟏 𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝑿𝜷 ′ 𝒀 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝟏 × 𝟏
𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒊𝒕 𝑿𝜷 ′ 𝒀 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆
𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑿𝜷 ′ 𝒀 =

𝑿𝜷 ′ 𝒀 ′ = 𝒀′ 𝑿𝜷

𝒏

𝓔𝒊 𝟐 = 𝒀′ 𝒀 − 𝟐𝒀′ 𝑿𝜷 + 𝜷′ 𝑿′ 𝑿𝜷

𝒆𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕
𝒊=𝟏

𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶

𝝏𝑨𝑿
𝝏𝑨𝑿
𝝏𝑿′ 𝑨𝑿
′ 𝒆𝒕
=
𝑨
;
=
𝑨
= 𝑨 + 𝑨′ 𝑿
𝝏𝑿′
𝝏𝑿
𝝏𝑿
𝝏

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

𝝏𝜷

=

𝝏 𝒀′ 𝒀
𝝏 𝒀′ 𝑿 𝜷
𝝏 𝜷′ 𝑿′ 𝑿 𝜷
−𝟐
+
𝝏𝜷
𝝏𝜷
𝝏𝜷

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𝝏

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

= 𝟎 − 𝟐 𝒀′ 𝑿 ′ +

𝝏𝜷

𝑿′ 𝑿 + 𝑿′ 𝑿

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 ∶
𝜷 Minimise

𝒊 𝓔𝒊

𝟐

𝝏



𝜷
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

= −𝟐𝑿′ 𝒀 + 𝟐 𝑿′ 𝑿 𝜷

𝝏𝜷

par rapport à 𝜷 implique que :
𝝏
𝜷𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

𝝏𝜷
𝝏𝟐

=𝟎

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊
𝝏𝜷𝟐

>0

−𝟐𝑿′ 𝒀 + 𝟐 𝑿′ 𝑿 𝜷 = 𝟎 ⟹ 𝑿′ 𝑿 𝜷 = 𝑿′ 𝒀
𝒅′ 𝒐ù 𝜷 = 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

2) 𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶ 𝑴 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 ⟺ 𝑴𝒏 = 𝑴


𝑷 ′ 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿
= 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′ ′
−𝟏

𝑿′ 𝑿

𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′

𝑿′ 𝑿

−𝟏 𝑿′

𝑰𝒌

𝑷 ′ 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′

= 𝑷 𝒅′ 𝒐ù 𝑷 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆

 𝑴′ 𝑴 = 𝑰𝒏 − 𝑷 ′ 𝑰𝒏 − 𝑷
= 𝑰𝒏 − 𝑷′ 𝑰𝒏 − 𝑷
= 𝑰𝒏 − 𝑷 −𝑷′ + 𝑷′ 𝑷
𝟎

𝑴′ 𝑴 = 𝑰𝒏 − 𝑷 = 𝑴 𝒅′ 𝒐ù 𝑴 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆
3) 𝑴𝑷 = 𝑰𝒏 − 𝑷 𝑷 = 𝑷 − 𝑷𝟐 = 𝑷 − 𝑷 = 𝟎
4) 𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶ 𝑿 é𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒂𝒍é𝒂𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆 𝒆𝒕 𝑴 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒍é𝒂𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆
𝑬 𝑴𝑿 = 𝑴𝑬 𝑿

𝒆𝒕 𝑽 𝑴𝑿 = 𝑴𝑽 𝑿 𝑴′

𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
= 𝒀 − 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

12

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𝓔 = 𝒀 − 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′

𝒀

𝑷

= 𝒀 − 𝑷𝒀
= 𝑰𝒏 − 𝑷 𝒀
𝓔 = 𝑴𝒀
Ainsi 𝑽 𝓔 = 𝑽 𝑴𝒀 = 𝑴𝑽 𝒀 𝑴′
Or 𝑽 𝒀 = 𝑽 𝓔 + 𝑿𝜷 = 𝑽 𝓔 = 𝝈𝟐 𝒄𝒂𝒓 𝑿 𝒆𝒕 𝜷 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒍é𝒂𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆𝒔
Par la suite 𝑽 𝓔 = 𝑴𝝈𝟐𝑴′ = 𝝈𝟐𝑴𝑴′ = 𝝈𝟐 𝑴

Corrigé 4:
1) 𝒚𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝒊 + 𝒖𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟖𝟐
𝑪𝒐𝒗 𝒙, 𝒚
𝜷=
=
𝑽 𝒙
𝟏
𝜶 = 𝒚 − 𝜷𝒙 =
𝒏

𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒏𝒙𝒚
𝟏𝟖𝟐 𝟐
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒏𝒙
𝟏𝟖𝟐

=

𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊



𝟏
𝒏

𝟏𝟖𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊



𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝟏
𝒏

𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒚𝒊

𝟐
𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

= 𝟏, 𝟏𝟖

𝟏𝟖𝟐

𝒚𝒊 − 𝜷
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖
𝒊=𝟏

2)
 On se propose de tester 𝑯𝟎 : 𝜶 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜶 ≠ 𝟎 sous un seuil de signification de 𝜽 = 𝟓%
𝑻=

𝜶−𝜶
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 É𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝜶

Avec
𝟏
𝒙=
𝒏
𝟏
𝒚=
𝒏

𝒏

𝒙𝒊 = 𝟕, 𝟓𝟔. 𝟏𝟎−𝟑 ,
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊 =
𝒊=𝟏

𝟔. 𝟏𝟑. 𝟏𝟎−𝟑

,

𝟏
𝑽 𝒙 =
𝒏
𝟏
𝑽 𝒚 =
𝒏

𝒏

𝒙𝟐𝒊 − 𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟕. 𝟏𝟎−𝟑
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝟐𝒊 − 𝒚𝟐 = 𝟏, 𝟕𝟔. 𝟏𝟎−𝟑
𝒊=𝟏

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𝟏
𝑪𝒐𝒗 𝒙, 𝒚 =
𝒏

𝒏

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒙𝒚 = 𝟏, 𝟒𝟐. 𝟏𝟎−𝟑
𝒊=𝟏

𝒏

𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝒏𝑽 𝒚 = 𝟎, 𝟑𝟐

𝒊=𝟏
𝒏

𝒏

𝑺𝑪𝑬 =

𝟐

=𝜷

𝒊=𝟏
𝒏

𝒖𝟐𝒊

𝑺𝑪𝑹 =

𝟐

= 𝒏𝜷𝟐 𝑽 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟔

𝒊=𝟏

𝒏

=

𝒊=𝟏

𝝈𝟐 =

𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏

𝒚 𝒊 − 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝟐

=

𝒏

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐



𝒊=𝟏

𝑺𝑪𝑹
𝝈𝟐 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝟐𝒊
= 𝟎, 𝟒𝟏. 𝟏𝟎−𝟑 , 𝝈𝟐𝜶 =
𝒏−𝟐
𝒏 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒙

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟒

𝒊=𝟏

𝟐

=

𝝈𝟐 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝟐𝒊
= 𝟐, 𝟑𝟖. 𝟏𝟎−𝟔
𝒏𝟐 𝑽 𝒙

Règle de décision :
𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝜶−𝟎
>𝒕 𝜽 𝒏−𝟐
𝟏−𝟐
𝝈𝜶

𝒐𝒓 𝑻𝟎 = 𝟏, 𝟖𝟏𝟓 𝒆𝒕 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟖𝟎 = 𝚽 −𝟏 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 ≯ 𝒕

𝜽
𝟏−𝟐

𝒏−𝟐

On ne rejette pas 𝑯𝟎 et le paramètre 𝜶 est statistiquement non significatif
 Nous testons maintenant l'hypothèse 𝑯𝟎 : 𝜷 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜷 ≠ 𝟎 au même seuil de
signification 𝜽 = 𝟓%
𝑻=

𝜷−𝜷
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 É𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝜷

𝒂𝒗𝒆𝒄

𝝈𝟐𝜷

=

𝒏
𝒊=𝟏

𝝈𝟐
𝒙𝒊 − 𝒙

𝟐

𝝈𝟐
=
= 𝟐, 𝟑𝟐. 𝟏𝟎−𝟑
𝒏𝑽 𝒙

Règle de décision :
𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝜷−𝟎
> 𝒕 𝜽 𝒏−𝟐
𝟏−𝟐
𝝈𝜷

𝒐𝒓 𝑻𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖 𝒆𝒕 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟖𝟎 = 𝚽 −𝟏 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 ≯ 𝒕
De même le paramètre 𝜷 est statistiquement non significatif.
14

𝜽
𝟏−
𝟐

𝒏−𝟐

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3)
𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
𝑺𝑪𝑹
=𝟏−
= 𝟕𝟕%
𝑺𝑪𝑻
𝑺𝑪𝑻

4) Le modèle est statistiquement non significatif puisque les paramètres 𝜶 et 𝜷 sont
statistiquement non significatifs.
D’autre part 23% de la rentabilité de l’indice boursier européen Euro Stoxx 50 𝑹𝑬𝑺 = 𝒀 n’est pas
expliquée par la rentabilité de l’indice boursier américain Don Jones 𝑹𝑫𝑱 = 𝑿
5) En supposant que le modèle reste valable pour le quatrième trimestre 2005, on obtient :
𝒑

𝒑

𝒚𝟐𝟎𝟎𝟓/𝟒 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝟐𝟎𝟎𝟓/𝟒 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖 + 𝟏, 𝟏𝟖 × 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟕

Corrigé 5:
1) 𝑴𝟐 : 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 𝒆𝒕 𝑴𝟐: 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Le résidu des MCO pour l’observation 𝒊 est défini par𝓔𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 , l’estimateur MCO 𝒃 est
obtenu par la minimisation du carré des résidus :
𝒏

𝐦𝐢𝐧
𝒃

𝒏

𝓔𝟐𝒊

= 𝐦𝐢𝐧
𝒃

𝒊=𝟏

𝒚 𝒊 − 𝒃 𝒙𝒊
𝒊=𝟏
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

𝝏
𝒃 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆

𝝏

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔 𝒊

𝝏𝒃

𝟐

𝝏𝒃

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔 𝒊
𝝏𝒃𝟐

𝝏𝟐

=𝟎⟺

=𝟎

𝝏

𝒏
𝒊=𝟏

>0

𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊
𝝏𝒃

𝟐

=𝟎

𝒏

⟺ −𝟐

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 = 𝟎
𝒊=𝟏

𝒏



𝒏

𝒙𝟐𝒊 = 𝟎

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒃
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

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𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 𝒃 =

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒅′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕

𝑶𝒏 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒆

𝑬 𝒃 =𝑬

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

=𝑬

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝝏𝟐

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔𝒊
𝝏𝒃𝟐

𝒏

𝒙𝟐𝒊 > 0

=𝟐
𝒊=𝟏

Or sous les hypothèses des MCO : les variables explicatives 𝒙𝟏≤𝒊≤𝒏 sont non aléatoires, par la suite :


𝑬 𝒃

𝑬 𝒃 =

=

=

𝒏

𝟏

𝒏 𝒙𝟐 𝑬
𝒊=𝟏 𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝟏
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝑬 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝟏
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒙𝒊 𝑬 𝒚 𝒊
𝒊=𝟏

Or 𝑬 𝒚𝒊 = 𝑬 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝑬 𝓔𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 puisque toujours sous l’hypothèse de nullité des
𝟎

moyennes des erreurs on a 𝑬 𝓔𝒊 = 𝟎 ∀𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 ce qui donne :
𝑬 𝒃 =

𝒏

𝟏
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒃𝒙𝟐𝒊 = 𝒃
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒏

𝒙𝟐𝒊 = 𝒃
𝒊=𝟏

D’où 𝒃 est un estimateur non biaisé de 𝒃


𝑽 𝒃

𝑽 𝒃 =𝑬 𝒃−𝑬 𝒃
𝑽 𝒃 =𝑬 𝒃−𝒃

𝟐

𝟐

Calculons 𝒃 − 𝒃 :

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𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒃−𝒃=

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒃𝒙𝒊 +
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

=

=

−𝒃

𝒃

𝓔𝒊

−𝒃

𝒏
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 + 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

= 𝒃+

𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 , 𝒃 − 𝒃 =
𝑽 𝒃 =𝑬 𝒃−𝒃

−𝒃

−𝒃

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 ∶

𝟐

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

=𝑬

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

=𝑬

=

𝟐

𝒏

𝟏

𝑬
𝒏
𝟐 𝟐
𝒙
𝒊=𝟏 𝒊

𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒊=𝟏

𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶
𝟐

𝒏

𝒂𝒊

𝒏

𝒏

𝒂𝟐𝒊 + 𝟐

=

𝒊=𝟏

𝒏−𝟏

𝒊=𝟏

𝒂𝒊 𝒂𝒋 ; 𝒊 ≠ 𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

Application 1 : pour 𝒏 = 𝟐
𝟐

𝟐

𝒂𝒊

𝟐

= 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐

𝟐

=

𝒊=𝟏

𝒂𝟐𝟏

+

𝒂𝟐𝟐

𝟏

𝒂𝟐𝒊

+ 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟐 =
𝒊=𝟏

𝟐

+𝟐

𝒂𝒊 𝒂𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝟐

Application 1 : pour 𝒏 = 𝟑

17

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𝟐

𝟑

𝒂𝒊

= 𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 + 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐𝒂𝟑

𝟐

= 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑

𝒊=𝟏
𝟑

𝟐

𝟑

𝒂𝟐𝒊 + 𝟐

=

𝒂𝒊 𝒂𝒋

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏 𝒋=𝟐

Il en résulte :
𝟐

𝒏

𝑬

𝒙𝒊 𝓔𝒊

𝒏

=𝑬

𝒏−𝟏

𝒙𝒊 𝓔𝒊

𝒊=𝟏

𝟐

𝒊=𝟏

𝒏

+𝟐

𝒙𝒊 𝓔𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

𝒏

𝒏−𝟏

=

𝑬

𝒙𝟐𝒊 𝓔𝟐𝒊

𝒏

+𝟐

𝑬 𝒙𝒊 𝓔𝒋

𝒊=𝟏

; 𝒊≠𝒋

𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

𝒏

𝒏−𝟏

𝒙𝟐𝒊 𝑬

=

; 𝒊≠𝒋

𝓔𝟐𝒊

+𝟐

𝒙𝒊 𝑬 𝓔𝒋

𝝈𝟐

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

; 𝒊≠𝒋

𝟎

D’après l’hypothèse de nullité des moyennes des erreurs 𝑬 𝓔𝒋 = 𝟎 ∀𝒋 ∈ 𝟐, 𝟑, … , 𝒏
Et L’hypothèse d’ homoscédasticité 𝑬 𝓔𝟐𝒊 = 𝑽 𝓔𝒋 = 𝝈𝟐 ; ∀𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 on obtient :
𝟐

𝒏

𝑬

𝒏

= 𝝈𝟐

𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒊=𝟏

𝑫′ 𝒐ù

𝒙𝟐𝒊

𝒆𝒕 𝑽 𝒃 =

𝒊=𝟏

𝟐

𝒏

𝟏

𝑬
𝒏
𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒙𝒊 𝓔𝒊

=

𝒊=𝟏

𝝈𝟐
𝑽 𝒃 = 𝒏 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

2)
𝝈𝟐
𝑽 𝒃
𝑽 𝜷

−𝟏=

𝝈𝟐

𝒏
𝒊=𝟏

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒙𝒊 − 𝒙

𝟐

−𝟏⟺



𝑽 𝒃
𝑽 𝜷
𝑽 𝒃
𝑽 𝜷

−𝟏=

−𝟏=

18

𝒏
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝟐

𝒏
𝟐
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒏𝒙
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

−𝟏

−𝟏

𝟏
𝒏
𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒏

𝒙𝟐𝒊

𝝈𝟐
𝒊=𝟏

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𝑽 𝒃
𝑽 𝜷

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

−𝟏 =

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

− 𝒏𝒙𝟐 −
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒏𝒙𝟐

−𝟏 =− 𝒏
𝟐 < 0
𝑽 𝜷
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝑽 𝒃

Ainsi 𝑽 𝒃 < 𝑉 𝜷 𝒆𝒕 𝒃 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒑𝒍𝒖𝒔 𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝜷
3) Supposons par l’absurde que pour le modèle 𝑴𝟐 , 𝒐𝒏 𝒂

𝒊 𝓔𝒊

=𝟎

Or 𝓔𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 par la suite
𝒏

𝒏

𝓔𝒊 = 𝟎 ⟺
𝒊=𝟏

𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 = 𝟎
𝒊=𝟏
𝒏



𝒏

𝒚𝒊 − 𝒃
𝒊=𝟏

⟺𝒃=
𝒅′ 𝒐ù

𝒊 𝓔𝒊

𝒙𝒊 = 𝟎
𝒊=𝟏

𝒏
𝒊=𝟏 𝒚𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊



𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

; 𝒂𝒃𝒔𝒖𝒓𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥’𝐡𝐲𝐩𝐨𝐭𝐡è𝐬𝐞 𝐞𝐬𝐭 𝐟𝐚𝐮𝐬𝐬𝐞

≠ 𝟎 Pour le modèle 𝑴𝟐
𝒏

𝑫′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕 , 𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

𝒊=𝟏

=

𝒚 𝒊 − 𝒚𝒊 − 𝒚 − 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 =

𝟐

𝒏

𝓔𝒊 − 𝒚 − 𝒚𝒊

𝓔𝒊

𝟐

𝒊=𝟏
𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 =

𝒏

𝓔𝟐𝒊
𝒊=𝟏
𝑺𝑪𝑹

+

𝒏

𝒚 − 𝒚𝒊

𝟐

𝒊=𝟏

−𝟐

𝓔𝒊 𝒚 − 𝒚 𝒊
𝒊=𝟏

𝑺𝑪𝑬
𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬 − 𝟐𝒚

𝒏

𝓔𝒊 + 𝟐
𝒊=𝟏

𝓔𝒊 𝒃𝒙𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬 − 𝟐𝒚

𝒏

𝓔𝒊 + 𝟐𝒃
𝒊=𝟏

𝓔𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏

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𝒏

𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐨𝐧𝐬 ∶ 𝒃

𝓔𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒃

𝓔𝒊 𝒙𝒊 =
𝒊=𝟏

=

=

=

=

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒏

𝓔𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒃
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊 −
𝒊=𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝟐𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒙𝒊 𝒚𝒊 −
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝒃

𝒏

𝓔𝒊 𝒙𝒊 = 𝟎 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬 − 𝟐𝒚
𝒊=𝟏

𝓔𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒐𝒏 𝒂

𝓔𝒊 ≠ 𝟎 𝒆𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕 𝒐𝒏 𝒂 𝒑𝒂𝒔 𝒕𝒐𝒖𝒋𝒐𝒖𝒓𝒔 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬
𝒊=𝟏
𝒏

𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 = 𝑺𝑪𝑹 − 𝟐𝒚

𝓔𝒊
𝒊=𝟏

D’où :
𝒔𝒊 𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 ≥ 𝟎 ⟹ 𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
≤𝟏
𝑺𝑪𝑻

𝒆𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 ≤ 𝟎 𝒐𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
≥𝟏
𝑺𝑪𝑻

Conclusion : pour le modèle 𝑴𝟐 ; 𝑹𝟐 n’est pas nécessairement dans l’intervalle 𝟎, 𝟏

20

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