Fichier PDF

Partagez, hébergez et archivez facilement vos documents au format PDF

Partager un fichier Mes fichiers Boite à outils PDF Recherche Aide Contact


M1 L3 (ÉCONOMÉTRIE) Série Corrigée N°1 Modèles Économétriques à Une Équation Régression Simple .pdf



Nom original: M1-L3 (ÉCONOMÉTRIE) Série Corrigée N°1- Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple.pdf
Auteur: MOHSEN

Ce document au format PDF 1.5 a été généré par Microsoft® Office Word 2007, et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 09/12/2012 à 00:00, depuis l'adresse IP 197.6.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 5316 fois.
Taille du document: 773 Ko (38 pages).
Confidentialité: fichier public



Télécharger le fichier (PDF)








Aperçu du document


BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Exercice 1 :
𝟏𝟎
On considère les matrices 𝑨 =
𝟐

𝟒
𝟖

𝟒
𝟔
,𝑩 = 𝟑
𝟕
𝟓

𝟐
𝟗
𝟒

𝟏
𝒆𝒕 𝑪 = 𝟔
𝟖

𝟗
𝟏𝟎
𝟏𝟓

𝟓
𝟒
𝟕

1) Calculer 𝑩. 𝑨 −𝟏 et déduire 𝑨′ . 𝑩′ −𝟏
2) Calculer 𝒕𝒓 𝑨. 𝑩 𝒆𝒕 𝒕𝒓 𝑩. 𝑨
3) Calculer 𝑪−𝟏
4) Soit 𝑫 une matrice de dimension 𝒏, 𝒑 𝒆𝒕 𝑬 = 𝑫′ . 𝑫
Montrer que :
a) 𝑬 est symétrique
b)
𝒕𝒓 𝑬 =

𝒅𝒊𝒋
𝒊

𝒋

5) On considère des matrices carrées 𝑨, 𝑩, 𝑪, 𝑫, 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 où 𝑬 𝒆𝒕 𝑭 sont deux matrices non singulières,
développer le produit matriciel suivant : 𝑿 =

𝑨𝑩 + 𝑪𝑫



𝑬𝑭

−𝟏

+ 𝑮𝑯



Exercice 2 :
On considère :
 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … 𝑿𝒏 𝒏 vecteurs colonne de ℝ𝒌
 𝒊 le vecteur unitaire de ℝ𝒌 : 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … , 𝟏
𝟏
 La matrice 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝒊𝒊′



𝒏

𝑿′𝟏
 𝑿 une matrice de dimension 𝒏, 𝒌 dont l’ième ligne est 𝑿′𝒊 : 𝑿 = ⋮
𝑿′𝒏
𝒌
 𝑿 un vecteur colonne de ℝ (les moyennes des lignes de la matrice 𝑿′ ou les moyennes des
colonnes de la matrice 𝑿
1) Montrer que :
a)
𝒏

𝑿′ 𝑿
b)

𝑿𝒊 𝑿′𝒊

=
𝒊=𝟏

1

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒏


𝑿𝒊=
c)
𝑿=
2)

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿 𝒊 − 𝒂
𝒊=𝟏



= 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂



Où 𝒂 est un vecteur de ℝ𝒌

Exercice 3 :
On considère une matrice 𝑿 de dimension 𝒏, 𝒌 ; le vecteur 𝜷 = 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 , … , 𝜷𝒌 ′ et les vecteurs
aléatoires 𝒀 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , … , 𝒚𝒏 ′ et 𝓔 = 𝓔𝟏 , 𝓔𝟐 , … , 𝓔𝒏 ′ . On suppose que les 𝓔𝐢 sont iid de 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 et que
𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
1) Déterminer, en fonction de 𝑿 et 𝒀 le vecteur 𝜷 qui minimise 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 par rapport à 𝜷
(Indication : 𝒊 𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔 )
2) Démontrer que les matrices 𝑴 et 𝑷 sont symétriques idempotentes ; 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿 −𝟏𝑿′ et
𝑴 =𝑰−𝑷
3) Démontrer que 𝑴𝑷 = 𝟎
4) Déterminer en fonction de 𝑴 la variance de 𝓔 avec 𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷

Exercice 4 :
Le tableau suivant fournit des données trimestrielles relatives à la rentabilité de l’indice boursier
américain Don Jones 𝑹𝑫𝑱 = 𝑿 et la rentabilité de l’indice boursier européen Euro Stoxx 50 𝑹𝑬𝑺 = 𝒀
Relation entre RDJ et RES
𝒙𝒊

𝒚𝒊

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊 𝒚 𝒊

𝒚𝟐𝒊

1990.2

0,0463

0,0252

0,0024

0,0012

0,0006

1990.3

-0,0276

-0,0969

0,0008

0,0027

0,0094











2005.3

0,0150

0,0767

0,0062

0,0012

0,0059

Somme

1,3753

1,1155

0,1865

0,2162

0,3287



Source : Eurostat

2

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

1)
2)
3)
4)
5)

Estimer par la méthode du MCO les paramètres de la régression de RES par rapport à RDJ
Tester au risque 5% la significativité des paramètres du modèle
Calculer 𝑹𝟐
Interpréter ces résultats
Pour le quatrième trimestre 2005, la valeur prévisionnelle de RDJ et 0,0252 ; déterminer la valeur
prévisionnelle de RES pour cette période

Exercice 5 :
On considère les deux modèles :
𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Et
𝑴𝟐 : 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
1) Déterminer 𝒃 l’estimateur MCO de 𝒃 puis calculer 𝑬 𝒃 et 𝑽 𝒃
2) Comparer 𝑽 𝒃 et 𝑽 𝜷𝟐 où 𝜷𝟐 est l’estimateur MCO de 𝜷𝟐 puis interpréter
3) Démontrer que : 𝒊 𝓔𝒊 ≠ 𝟎 et déduire que pour le modèle 𝑴𝟐 ; 𝑹𝟐 n’est pas nécessairement dans
l’intervalle 𝟎, 𝟏

Exercice 6 :
Le revenu 𝑹𝒕 et l’épargne nette 𝑬𝒕 ont été mesurés par trimestres pendant 3 ans pour une catégorie
socioprofessionnelle bien déterminée ; après correction des variations saisonnières, exprimées en
millions d’euros, les indicateurs suivants sont disponibles :

𝟏
𝑹=
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝑹𝟐𝒕

𝑹𝒕 = 𝟏𝟗, 𝟕 ;
𝒕=𝟏

𝒕=𝟏

𝟏
= 𝟒𝟖𝟐𝟕 ; 𝑬 =
𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝑬𝒕 = 𝟔, 𝟏 ;
𝒕=𝟏

𝟏𝟐

𝑬𝟐𝒕
𝒕=𝟏

= 𝟒𝟓𝟔 ;

𝑬𝒕𝑹𝒕 = 𝟏𝟒𝟖𝟎
𝒕=𝟏

On suppose que les variables 𝑬𝒕 et 𝑹𝒕 sont liées par le modèle 𝑬𝒕 = 𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕 , les v.a 𝒖𝒕 étant de
loi 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐 pour tout 𝒕 et indépendantes0
1) Calculer 𝒂 et 𝒃 , estimateurs des MCO de 𝒂 et 𝒃 ; donner un intervalle de confiance de niveau
0,95 pour 𝒂 et 𝒃
2) Etudier la validité du modèle

3

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

3) On désire tester l’hypothèse qu’une augmentation absolue de 1% du revenu implique une
augmentation absolue de 1% de l’épargne. Ecrire cette hypothèse en fonction des coefficients de
la régression et résoudre le problème du test.
4) Même question avec une augmentation relative de1% du revenu.

Exercice 7 :
On possède deux échantillons 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 et 𝒚𝟏, 𝒚𝟐 , … , 𝒚𝒏 de deux variables 𝑿 et 𝒀 . Aucune des
deux variables n’étant privilégiée a priori, on considère la régression linéaire de 𝑿 sur 𝒀 (modèle A) et
celle de 𝒀 sur 𝑿 (modèle B) :
𝑨 𝒙𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝒚𝒊 + 𝓔𝒊
𝑩 𝒚𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝒊 + 𝒖𝒊
𝓔𝒊 Et 𝒖𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 suivant respectivement les lois 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐𝓔 et 𝓝 𝟎, 𝝈𝟐𝒖 .
On désigne par 𝒏𝑺𝟐𝒙 , 𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝒏𝑺𝟐𝒙 la quantité
𝒏

𝒙𝒊 − 𝑿

𝟐

𝒊=𝟏

𝒏

, 𝒓𝒆𝒔𝒑.

𝒚𝒊 − 𝒀

𝟐

𝒊=𝟏

Et par 𝝆 le coefficient de corrélation linéaire entre 𝒙𝒊 et 𝒚𝒊 .
1) 𝒂 , 𝒃 , 𝜶 𝒆𝒕 𝜷 étant les estimateurs MCO de 𝒂 , 𝒃 , 𝜶 𝒆𝒕 𝜷
Montrer que 𝒃𝜷 = 𝝆𝟐 et 𝜶 − 𝒀 𝒂 − 𝑿 = 𝝆𝟐𝑿𝒀
2) 𝑹𝟐𝑨 et 𝑹𝟐𝑩 désignent les coefficients de détermination de 𝑨 et 𝑩 ; établir une relation entre 𝑹𝟐𝑨
et 𝑹𝟐𝑩
3) 𝑺𝟐𝓔 et 𝑺𝟐𝒖 étant les estimateurs sans biais de 𝝈𝟐𝓔 et 𝝈𝟐𝒖 , montrer que :
𝑺𝟐𝓔 𝑺𝟐𝒖
=
𝑺𝟐𝒙 𝑺𝟐𝒚
4) On appelle 𝒕𝑨 𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝒕𝑩 la statistique de Student utilisée pour tester 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 𝒓𝒆𝒔𝒑. 𝜷 = 𝟎
Montrer que :

4

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒕𝟐𝑨

𝑹𝟐𝑨
= 𝒏−𝟐
𝟏 − 𝑹𝟐𝑨

Conclure.

Exercice 8 :
Le taux d’équipement des ménages en PlayStation 2 est une variable 𝒚𝒕 , 𝒕 représentant l’année
d’observation, 𝒕 = 𝟏à𝑻.
On postule pour 𝒚𝒕 un modèle de type logistique :
𝒚𝒕 =

𝟏
+ 𝓔𝒕 , 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 é𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒅𝒆𝒖𝒙 𝒓é𝒆𝒍𝒔 𝒔𝒕𝒓𝒊𝒄𝒕𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇𝒔.
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

1) Tracer le graphe de
𝒇 𝒕 =

𝟏
𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

2) Déterminer les équations vérifiées par les estimateurs des moindres carrés 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 de 𝒂 𝒆𝒕 𝒃
3) Par un changement de variable approprié, montrer que le modèle logistique peut être transformé
en un modèle linéaire que l’on précisera.
On fournit les données suivantes :
𝒕

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

𝒚𝒕
2,9
4,4
6,0
8,4
11,8
14,6
18,3
(En %)
En déduire des estimations 𝒂′ 𝒆𝒕𝒃′ de 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 ; estimer 𝑽 𝒃′ et en déduire un intervalle de confiance
de niveau 0,95 pour 𝒃.
4) Montrer que si, 𝒚𝒕 suit exactement un modèle logistique 𝒚𝒕 = 𝒇 𝒕 alors
𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
5) Déduire de la question précédente que pour tester le modèle logistique, on doit valider le
modèle :
𝒙𝒕 =

𝜟𝒚𝒕
𝒚𝒕+𝟏 − 𝒚𝒕
=
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

5

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

Etudier, à partir des données, l’adéquation de 𝒚𝒕 à un modèle logistique. En déduire une prévision pour
le taux d’équipement en PlayStation 2 pour 2005

Exercice 9 :
L’analyse d’une série temporelle de 12 ans concernant la demande d’habillement 𝒚 en fonction du
revenu 𝒙 des ménages a conduit à :
𝑳𝒏 𝒚𝒕 =𝟎, 𝟔𝟓 + 𝟏, 𝟏 𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝟎,𝟏𝟏

𝟎,𝟎𝟕

Peut-on dire que l’élasticité de la demande d’habillement soit égale à l’unité ?

Exercice 10 :
Soit le modèle linéaire simple :
𝟏 𝑳𝒏 𝑫𝒊 = 𝒂 + 𝒃𝑳𝒏 𝑹𝒊 + 𝓔𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Où 𝑫𝒊 est la dépense alimentaire du ménage 𝒊, 𝑹𝒊 son revenu disponible. Les 𝓔𝒊 constituent des termes
aléatoires indépendants, identiquement distribués selon la loi normale d’espérance mathématiqu e nulle
et de variance 𝝈𝟐 . L’estimateur par les MCO du modèle 𝟏 , sur un échantillon de 20 ménages, a donné
les résultats suivants :
𝟐 𝑳𝒏 𝑫𝒊 = 𝟐, 𝟕𝟖 + 𝟎, 𝟐𝟓 𝑳𝒏 𝑹𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
𝟐,𝟔𝟒

𝟎,𝟎𝟖𝟗

Les chiffres entre parenthèses indiquent les écarts-types estimés des estimateurs de 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 .
1) Donner une interprétation économique des paramètres 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 .
2) Tester au seuil de 5% l’hypothèse nulle selon laquelle le paramètre 𝒃 est égal à l’unité
3) Tester au seuil de 5% l’hypothèse nulle selon laquelle 𝒃 < 1 . interpréter économiquement ce
test
4) Calculer le coefficient de détermination 𝑹𝟐
5) Tester la significativité globale du modèle

6

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

Exercice 11 : (Extrait de l’examen- ISG SP2007)
Soit le modèle de régression simple : 𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒕 + 𝓔𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
1) Sur la base d’un échantillon de 24 observations trimestrielles (de 2000 : 𝕀 à 2005𝕀𝕍), on a estimé
par les MCO le modèle 𝑴𝟏 . Les résultats d’estimation sont :
𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓 𝒙𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
𝟑,𝟎𝟎

𝟒,𝟕𝟎

Les valeurs entre parenthèses sont les 𝒕 de Student
a) Tester au risque de 5% la significativité globale du modèle 𝑴𝟏 (on rappelle que pour les
modèles simples : 𝑭 =
b) Tester au risque de 5%

𝑺𝑪𝑬

𝑺𝑪𝑹 𝑻−𝟐

= 𝒕𝟐𝜷𝟐 )

𝑯𝟎 ∶ 𝜷𝟐 = 𝟏
𝑯𝟏 ∶ 𝜷𝟐 ≠ 𝟏

2) On donne 𝑿 = 𝟔𝟕 ; 𝑽 𝑿 = 𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒀 = 𝟗𝟖𝟎
a) Estimer la variance des résidus 𝝈𝟐
b) Déterminer les matrices 𝑿′ 𝑿 𝒆𝒕 𝑿′ 𝑿

−𝟏

associées au modèle 𝑴𝟏
𝒑

c) Déterminer un intervalle de prévision au niveau 95% pour 𝒚𝟐𝟓 sachant que 𝒙𝟐𝟓 = 𝟗𝟖

Exercice 12 : (IHEC SP2010)
On considère un modèle simple 𝒚𝒊 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 . A partir d’une étude économique portant sur 85
entreprise, un économètre a fournit les résultats suivants :
𝒚𝒊 = 𝟏𝟑𝟐, 𝟖 + 𝟏, 𝟏 𝒙𝒊
𝟒,𝟑

𝟏𝟎,𝟐

Les valeurs entre parenthèses représentent les 𝒕 Student. 𝑺𝑪𝑹 = 𝟔𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟐
1) Tester au risque de 5% si l’effet de 𝑿 sur 𝒀 est significativement différent de zéro
2)
a) Calculer la variance estimée des résidus
b) Calculer la variance estimée de 𝜷𝟐

7

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

c) Déduire 𝑺𝑪𝑬
d) Construire le tableau d’analyse de la variance et montrer l’équivalence des résultats de la
première question au test de significativité globale basé sur la loi de Fisher
3) Le coefficient 𝜷𝟐 est-il significativement différent de -1 ?

8

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°1- CORRIGÉS
Modèles Économétriques à Une Équation-Régression Simple
Corrigé 1:
𝟒
1) 𝑩. 𝑨 = 𝟑
𝟓

𝟐
𝟗
𝟒

𝟒𝟒
𝑩. 𝑨 = 𝟒𝟖
𝟓𝟖

𝟏𝟎
𝟐
𝟑𝟐
𝟖𝟒
𝟓𝟐

𝟒
𝟖

𝟔
𝟕

𝟑𝟖
𝟒𝟒
𝟖𝟏 , or 𝟒𝟖
𝟓𝟖
𝟓𝟖

𝒅𝒆𝒕 𝑨′ . 𝑩′ = 𝒅𝒆𝒕 𝑩. 𝑨



𝟑𝟐
𝟖𝟒
𝟓𝟐

𝟑𝟖
𝟖𝟏 = 𝟎 d’où 𝑩. 𝑨 n’est pas inversible.
𝟓𝟖

= 𝒅𝒆𝒕 𝑩. 𝑨 = 𝟎 Ainsi 𝑨′ . 𝑩′ n’est pas inversible.

2) 𝒕𝒓 𝑨. 𝑩 = 𝒕𝒓 𝑩. 𝑨 = 𝟏𝟖𝟔
3) 𝒅𝒆𝒕 𝑪 = −𝟑𝟎 ; 𝑪𝒐𝒎 𝑪 =

𝑪−𝟏

𝟏
=
𝑪𝒐𝒎 𝑪
𝒅𝒆𝒕 𝑪



𝟏𝟎
𝟏𝟐
−𝟏𝟒

−𝟏𝟎
−𝟑𝟑
𝟐𝟔

𝟏 𝟏𝟎
=−
−𝟏𝟎
𝟑𝟎
𝟏𝟎

𝟏𝟐
−𝟑𝟑
𝟓𝟕

𝟏𝟎
𝟓𝟕 , par la suite
−𝟒𝟒
−𝟏𝟒
𝟐𝟔
−𝟒𝟒

4)
a) 𝑬′ = 𝑫′ . 𝑫



= 𝑫′ . 𝑫 = 𝑬 d’où 𝑬 est une matrice symétrique

b)
𝒏

𝑬 = 𝒆𝒓,𝒔

𝟏≤𝒓≤𝒑
𝟏≤𝒔≤𝒑

, 𝒕𝒆𝒍𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒓,𝒔 =
𝒏

𝒆𝒋𝒋 𝒆𝒕 𝒆𝒋𝒋 =
𝒋=𝟏

5) 𝑿 =
=

=

𝒅𝒊,𝒓 𝒅𝒊,𝒔
𝒊=𝟏

𝒑

𝒐𝒓 𝒕𝒓 𝑬 =

𝒅′𝒓 𝒅𝒔

𝑨𝑩 + 𝑪𝑫

𝒅𝟐𝒊𝒋

𝒅𝒊𝒋 𝒅𝒊𝒋 =
𝒊=𝟏



𝒑

𝒏

𝑬𝑭

𝑨𝑩 + 𝑫′ 𝑪′ 𝑭−𝟏𝑬−𝟏 + 𝑮𝑯

𝒋=𝟏 𝒊=𝟏



+ 𝑮𝑯

𝒅𝟐𝒊𝒋

𝒅′ 𝒐ù 𝒕𝒓 𝑬 =

𝒊=𝟏
−𝟏

𝒏



9

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝑿 = 𝑨𝑩𝑭−𝟏𝑬−𝟏 + 𝑨𝑩𝑮𝑯 + 𝑫′ 𝑪′ 𝑭−𝟏 𝑬−𝟏 + 𝑫′ 𝑪′ 𝑮𝑯



𝒅′ 𝒐ù 𝑿 = 𝑬′ −𝟏𝑭′ −𝟏 𝑩′ 𝑨′ + 𝑯′ 𝑮′ 𝑩′ 𝑨′ + 𝑬′ −𝟏𝑭′ −𝟏 𝑪𝑫 + 𝑯′ 𝑮′ 𝑪𝑫

Corrigé 2:
1)
a)


𝑿 𝑿 = 𝑿𝟏



𝑿′𝟏
⋮ =
𝑿′𝒏

𝑿𝒏

𝒏

𝑿𝒊 𝑿′𝒊
𝒊=𝟏

b)
𝑿′ 𝒊 = 𝑿𝟏



𝟏
⋮ =
𝟏

𝑿𝒏

𝒏

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

c)
𝟏
𝑿=
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝑿 =
𝒊=𝟏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

2)
𝒏

𝒏

𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿𝒊 − 𝒂
𝒊=𝟏



𝒏

𝑿𝒊 𝑿′𝒊

=



𝒏

𝒂′

𝑿𝒊

𝒊=𝟏

𝑿′𝒊 + 𝒏𝒂𝒂′

−𝒂

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏


= 𝑿′ 𝑿 − 𝒏𝑿𝒂′ − 𝒏𝒂𝑿 + 𝒏𝒂𝒂′






= 𝑿′ 𝑿 −𝒏𝑿𝑿 + 𝒏𝑿𝑿 − 𝒏𝑿𝒂′ − 𝒏𝒂𝑿 + 𝒏𝒂𝒂′
𝟎






= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 − 𝒏𝑿𝑿 + 𝒏 𝑿𝑿 − 𝑿𝒂′ − 𝒂𝑿 + 𝒂𝒂′
= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 − 𝒏
= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 −

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏

𝟏 ′
𝑿𝒊
𝒏







+ 𝒏 𝑿𝑿 − 𝑿𝒂′ − 𝒂𝑿 + 𝒂𝒂′

𝟏 ′ ′


𝑿 𝒊𝒊 𝑿 + 𝒏 𝑿 𝑿 − 𝒂′ − 𝒂 𝑿 − 𝒂′
𝒏

10

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

= 𝑿′ 𝑰𝒏 𝑿 −

𝟏 ′ ′

𝑿 𝒊𝒊 𝑿 + 𝒏 𝑿 𝑿 − 𝒂 − 𝒂 𝑿 − 𝒂
𝒏

= 𝑿′ 𝑰𝒏 −

𝟏 ′
𝒊𝒊 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂
𝒏

𝒏


𝑿𝒊 − 𝒂 𝑿𝒊 − 𝒂 ′ = 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿 + 𝒏 𝑿 − 𝒂 𝑿 − 𝒂

𝒅 𝒐ù







𝒊=𝟏

Corrigé 3:
1)
𝒏

𝓔𝒊 𝟐 = 𝓔′ 𝓔
𝒊=𝟏

= 𝒀 − 𝑿𝜷



𝒀 − 𝑿𝜷

= 𝒀′ − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 − 𝑿𝜷
= 𝒀′ 𝒀 − 𝒀′ 𝑿𝜷 − 𝜷′ 𝑿′ 𝒀 + 𝜷′ 𝑿′ 𝑿𝜷
𝜷′ 𝑿′ 𝒀 = 𝑿𝜷 ′ 𝒀 𝒆𝒕

𝑿 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒏 × 𝒌
⟹ 𝑿𝜷 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒏 × 𝟏
𝜷 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒌 × 𝟏
⟹ 𝑿𝜷 ′ 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝟏 × 𝒏

𝒐𝒓 𝒀 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝒏 × 𝟏 𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝑿𝜷 ′ 𝒀 𝒅𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂𝒕 𝟏 × 𝟏
𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒊𝒕 𝑿𝜷 ′ 𝒀 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆
𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑿𝜷 ′ 𝒀 =

𝑿𝜷 ′ 𝒀 ′ = 𝒀′ 𝑿𝜷

𝒏

𝓔𝒊 𝟐 = 𝒀′ 𝒀 − 𝟐𝒀′ 𝑿𝜷 + 𝜷′ 𝑿′ 𝑿𝜷

𝒆𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕
𝒊=𝟏

𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶

𝝏𝑨𝑿
𝝏𝑨𝑿
𝝏𝑿′ 𝑨𝑿
′ 𝒆𝒕
=
𝑨
;
=
𝑨
= 𝑨 + 𝑨′ 𝑿
𝝏𝑿′
𝝏𝑿
𝝏𝑿
𝝏

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

𝝏𝜷

=

𝝏 𝒀′ 𝒀
𝝏 𝒀′ 𝑿 𝜷
𝝏 𝜷′ 𝑿′ 𝑿 𝜷
−𝟐
+
𝝏𝜷
𝝏𝜷
𝝏𝜷

11

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝝏

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

= 𝟎 − 𝟐 𝒀′ 𝑿 ′ +

𝝏𝜷

𝑿′ 𝑿 + 𝑿′ 𝑿

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 ∶
𝜷 Minimise

𝒊 𝓔𝒊

𝟐

𝝏



𝜷
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

= −𝟐𝑿′ 𝒀 + 𝟐 𝑿′ 𝑿 𝜷

𝝏𝜷

par rapport à 𝜷 implique que :
𝝏
𝜷𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

𝝏𝜷
𝝏𝟐

=𝟎

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝓔𝒊
𝝏𝜷𝟐

>0

−𝟐𝑿′ 𝒀 + 𝟐 𝑿′ 𝑿 𝜷 = 𝟎 ⟹ 𝑿′ 𝑿 𝜷 = 𝑿′ 𝒀
𝒅′ 𝒐ù 𝜷 = 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

2) 𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶ 𝑴 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 ⟺ 𝑴𝒏 = 𝑴


𝑷 ′ 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿
= 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′ ′
−𝟏

𝑿′ 𝑿

𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′

𝑿′ 𝑿

−𝟏 𝑿′

𝑰𝒌

𝑷 ′ 𝑷 = 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′

= 𝑷 𝒅′ 𝒐ù 𝑷 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆

 𝑴′ 𝑴 = 𝑰𝒏 − 𝑷 ′ 𝑰𝒏 − 𝑷
= 𝑰𝒏 − 𝑷′ 𝑰𝒏 − 𝑷
= 𝑰𝒏 − 𝑷 −𝑷′ + 𝑷′ 𝑷
𝟎

𝑴′ 𝑴 = 𝑰𝒏 − 𝑷 = 𝑴 𝒅′ 𝒐ù 𝑴 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆
3) 𝑴𝑷 = 𝑰𝒏 − 𝑷 𝑷 = 𝑷 − 𝑷𝟐 = 𝑷 − 𝑷 = 𝟎
4) 𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶ 𝑿 é𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒂𝒍é𝒂𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆 𝒆𝒕 𝑴 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒍é𝒂𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆
𝑬 𝑴𝑿 = 𝑴𝑬 𝑿

𝒆𝒕 𝑽 𝑴𝑿 = 𝑴𝑽 𝑿 𝑴′

𝓔 = 𝒀 − 𝑿𝜷
= 𝒀 − 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

12

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝓔 = 𝒀 − 𝑿 𝑿′ 𝑿

−𝟏𝑿′

𝒀

𝑷

= 𝒀 − 𝑷𝒀
= 𝑰𝒏 − 𝑷 𝒀
𝓔 = 𝑴𝒀
Ainsi 𝑽 𝓔 = 𝑽 𝑴𝒀 = 𝑴𝑽 𝒀 𝑴′
Or 𝑽 𝒀 = 𝑽 𝓔 + 𝑿𝜷 = 𝑽 𝓔 = 𝝈𝟐 𝒄𝒂𝒓 𝑿 𝒆𝒕 𝜷 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒏𝒐𝒏 𝒂𝒍é𝒂𝒕𝒐𝒊𝒓𝒆𝒔
Par la suite 𝑽 𝓔 = 𝑴𝝈𝟐𝑴′ = 𝝈𝟐𝑴𝑴′ = 𝝈𝟐 𝑴

Corrigé 4:
1) 𝒚𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝒊 + 𝒖𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟏𝟖𝟐
𝑪𝒐𝒗 𝒙, 𝒚
𝜷=
=
𝑽 𝒙
𝟏
𝜶 = 𝒚 − 𝜷𝒙 =
𝒏

𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒏𝒙𝒚
𝟏𝟖𝟐 𝟐
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒏𝒙
𝟏𝟖𝟐

=

𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊



𝟏
𝒏

𝟏𝟖𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊



𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝟏
𝒏

𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒚𝒊

𝟐
𝟏𝟖𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

= 𝟏, 𝟏𝟖

𝟏𝟖𝟐

𝒚𝒊 − 𝜷
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖
𝒊=𝟏

2)
 On se propose de tester 𝑯𝟎 : 𝜶 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜶 ≠ 𝟎 sous un seuil de signification de 𝜽 = 𝟓%
𝑻=

𝜶−𝜶
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 É𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝜶

Avec
𝟏
𝒙=
𝒏
𝟏
𝒚=
𝒏

𝒏

𝒙𝒊 = 𝟕, 𝟓𝟔. 𝟏𝟎−𝟑 ,
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊 =
𝒊=𝟏

𝟔. 𝟏𝟑. 𝟏𝟎−𝟑

,

𝟏
𝑽 𝒙 =
𝒏
𝟏
𝑽 𝒚 =
𝒏

𝒏

𝒙𝟐𝒊 − 𝒙𝟐 = 𝟎, 𝟗𝟕. 𝟏𝟎−𝟑
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝟐𝒊 − 𝒚𝟐 = 𝟏, 𝟕𝟔. 𝟏𝟎−𝟑
𝒊=𝟏

13

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝟏
𝑪𝒐𝒗 𝒙, 𝒚 =
𝒏

𝒏

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒙𝒚 = 𝟏, 𝟒𝟐. 𝟏𝟎−𝟑
𝒊=𝟏

𝒏

𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝒏𝑽 𝒚 = 𝟎, 𝟑𝟐

𝒊=𝟏
𝒏

𝒏

𝑺𝑪𝑬 =

𝟐

=𝜷

𝒊=𝟏
𝒏

𝒖𝟐𝒊

𝑺𝑪𝑹 =

𝟐

= 𝒏𝜷𝟐 𝑽 𝒙 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟔

𝒊=𝟏

𝒏

=

𝒊=𝟏

𝝈𝟐 =

𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏

𝒚 𝒊 − 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝟐

=

𝒏

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐



𝒊=𝟏

𝑺𝑪𝑹
𝝈𝟐 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝟐𝒊
= 𝟎, 𝟒𝟏. 𝟏𝟎−𝟑 , 𝝈𝟐𝜶 =
𝒏−𝟐
𝒏 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒙

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟒

𝒊=𝟏

𝟐

=

𝝈𝟐 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝟐𝒊
= 𝟐, 𝟑𝟖. 𝟏𝟎−𝟔
𝒏𝟐 𝑽 𝒙

Règle de décision :
𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝜶−𝟎
>𝒕 𝜽 𝒏−𝟐
𝟏−𝟐
𝝈𝜶

𝒐𝒓 𝑻𝟎 = 𝟏, 𝟖𝟏𝟓 𝒆𝒕 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟖𝟎 = 𝚽 −𝟏 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 ≯ 𝒕

𝜽
𝟏−𝟐

𝒏−𝟐

On ne rejette pas 𝑯𝟎 et le paramètre 𝜶 est statistiquement non significatif
 Nous testons maintenant l'hypothèse 𝑯𝟎 : 𝜷 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜷 ≠ 𝟎 au même seuil de
signification 𝜽 = 𝟓%
𝑻=

𝜷−𝜷
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 É𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝜷

𝒂𝒗𝒆𝒄

𝝈𝟐𝜷

=

𝒏
𝒊=𝟏

𝝈𝟐
𝒙𝒊 − 𝒙

𝟐

𝝈𝟐
=
= 𝟐, 𝟑𝟐. 𝟏𝟎−𝟑
𝒏𝑽 𝒙

Règle de décision :
𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝜷−𝟎
> 𝒕 𝜽 𝒏−𝟐
𝟏−𝟐
𝝈𝜷

𝒐𝒓 𝑻𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟖 𝒆𝒕 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟖𝟎 = 𝚽 −𝟏 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 ≯ 𝒕
De même le paramètre 𝜷 est statistiquement non significatif.
14

𝜽
𝟏−
𝟐

𝒏−𝟐

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

3)
𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
𝑺𝑪𝑹
=𝟏−
= 𝟕𝟕%
𝑺𝑪𝑻
𝑺𝑪𝑻

4) Le modèle est statistiquement non significatif puisque les paramètres 𝜶 et 𝜷 sont
statistiquement non significatifs.
D’autre part 23% de la rentabilité de l’indice boursier européen Euro Stoxx 50 𝑹𝑬𝑺 = 𝒀 n’est pas
expliquée par la rentabilité de l’indice boursier américain Don Jones 𝑹𝑫𝑱 = 𝑿
5) En supposant que le modèle reste valable pour le quatrième trimestre 2005, on obtient :
𝒑

𝒑

𝒚𝟐𝟎𝟎𝟓/𝟒 = 𝜶 + 𝜷𝒙𝟐𝟎𝟎𝟓/𝟒 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟖 + 𝟏, 𝟏𝟖 × 𝟎, 𝟎𝟐𝟓𝟐 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟕

Corrigé 5:
1) 𝑴𝟐 : 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 𝒆𝒕 𝑴𝟐: 𝒚𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
Le résidu des MCO pour l’observation 𝒊 est défini par𝓔𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 , l’estimateur MCO 𝒃 est
obtenu par la minimisation du carré des résidus :
𝒏

𝐦𝐢𝐧
𝒃

𝒏

𝓔𝟐𝒊

= 𝐦𝐢𝐧
𝒃

𝒊=𝟏

𝒚 𝒊 − 𝒃 𝒙𝒊
𝒊=𝟏
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔𝒊

𝝏
𝒃 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆

𝝏

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔 𝒊

𝝏𝒃

𝟐

𝝏𝒃

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔 𝒊
𝝏𝒃𝟐

𝝏𝟐

=𝟎⟺

=𝟎

𝝏

𝒏
𝒊=𝟏

>0

𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊
𝝏𝒃

𝟐

=𝟎

𝒏

⟺ −𝟐

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 = 𝟎
𝒊=𝟏

𝒏



𝒏

𝒙𝟐𝒊 = 𝟎

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒃
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

15

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 𝒃 =

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒅′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕

𝑶𝒏 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝒒𝒖𝒆

𝑬 𝒃 =𝑬

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

=𝑬

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝝏𝟐

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝓔𝒊
𝝏𝒃𝟐

𝒏

𝒙𝟐𝒊 > 0

=𝟐
𝒊=𝟏

Or sous les hypothèses des MCO : les variables explicatives 𝒙𝟏≤𝒊≤𝒏 sont non aléatoires, par la suite :


𝑬 𝒃

𝑬 𝒃 =

=

=

𝒏

𝟏

𝒏 𝒙𝟐 𝑬
𝒊=𝟏 𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝟏
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝑬 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝟏
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒙𝒊 𝑬 𝒚 𝒊
𝒊=𝟏

Or 𝑬 𝒚𝒊 = 𝑬 𝒃𝒙𝒊 + 𝓔𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 + 𝑬 𝓔𝒊 = 𝒃𝒙𝒊 puisque toujours sous l’hypothèse de nullité des
𝟎

moyennes des erreurs on a 𝑬 𝓔𝒊 = 𝟎 ∀𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 ce qui donne :
𝑬 𝒃 =

𝒏

𝟏
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒃𝒙𝟐𝒊 = 𝒃
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒏

𝒙𝟐𝒊 = 𝒃
𝒊=𝟏

D’où 𝒃 est un estimateur non biaisé de 𝒃


𝑽 𝒃

𝑽 𝒃 =𝑬 𝒃−𝑬 𝒃
𝑽 𝒃 =𝑬 𝒃−𝒃

𝟐

𝟐

Calculons 𝒃 − 𝒃 :

16

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒃−𝒃=

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒃𝒙𝒊 +
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

=

=

−𝒃

𝒃

𝓔𝒊

−𝒃

𝒏
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 + 𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

= 𝒃+

𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 , 𝒃 − 𝒃 =
𝑽 𝒃 =𝑬 𝒃−𝒃

−𝒃

−𝒃

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 ∶

𝟐

𝟐
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

=𝑬

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒏
𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

=𝑬

=

𝟐

𝒏

𝟏

𝑬
𝒏
𝟐 𝟐
𝒙
𝒊=𝟏 𝒊

𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒊=𝟏

𝑹𝒂𝒑𝒑𝒆𝒍 ∶
𝟐

𝒏

𝒂𝒊

𝒏

𝒏

𝒂𝟐𝒊 + 𝟐

=

𝒊=𝟏

𝒏−𝟏

𝒊=𝟏

𝒂𝒊 𝒂𝒋 ; 𝒊 ≠ 𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

Application 1 : pour 𝒏 = 𝟐
𝟐

𝟐

𝒂𝒊

𝟐

= 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐

𝟐

=

𝒊=𝟏

𝒂𝟐𝟏

+

𝒂𝟐𝟐

𝟏

𝒂𝟐𝒊

+ 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟐 =
𝒊=𝟏

𝟐

+𝟐

𝒂𝒊 𝒂𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝟐

Application 1 : pour 𝒏 = 𝟑

17

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝟐

𝟑

𝒂𝒊

= 𝒂𝟐𝟏 + 𝒂𝟐𝟐 + 𝒂𝟐𝟑 + 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝟏𝒂𝟑 + 𝟐𝒂𝟐𝒂𝟑

𝟐

= 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒂𝟑

𝒊=𝟏
𝟑

𝟐

𝟑

𝒂𝟐𝒊 + 𝟐

=

𝒂𝒊 𝒂𝒋

𝒊=𝟏

𝒊=𝟏 𝒋=𝟐

Il en résulte :
𝟐

𝒏

𝑬

𝒙𝒊 𝓔𝒊

𝒏

=𝑬

𝒏−𝟏

𝒙𝒊 𝓔𝒊

𝒊=𝟏

𝟐

𝒊=𝟏

𝒏

+𝟐

𝒙𝒊 𝓔𝒋
𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

𝒏

𝒏−𝟏

=

𝑬

𝒙𝟐𝒊 𝓔𝟐𝒊

𝒏

+𝟐

𝑬 𝒙𝒊 𝓔𝒋

𝒊=𝟏

; 𝒊≠𝒋

𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

𝒏

𝒏−𝟏

𝒙𝟐𝒊 𝑬

=

; 𝒊≠𝒋

𝓔𝟐𝒊

+𝟐

𝒙𝒊 𝑬 𝓔𝒋

𝝈𝟐

𝒊=𝟏

𝒏

𝒊=𝟏 𝒋=𝒊+𝟏

; 𝒊≠𝒋

𝟎

D’après l’hypothèse de nullité des moyennes des erreurs 𝑬 𝓔𝒋 = 𝟎 ∀𝒋 ∈ 𝟐, 𝟑, … , 𝒏
Et L’hypothèse d’ homoscédasticité 𝑬 𝓔𝟐𝒊 = 𝑽 𝓔𝒋 = 𝝈𝟐 ; ∀𝒊 ∈ 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 on obtient :
𝟐

𝒏

𝑬

𝒏

= 𝝈𝟐

𝒙𝒊 𝓔𝒊
𝒊=𝟏

𝑫′ 𝒐ù

𝒙𝟐𝒊

𝒆𝒕 𝑽 𝒃 =

𝒊=𝟏

𝟐

𝒏

𝟏

𝑬
𝒏
𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒙𝒊 𝓔𝒊

=

𝒊=𝟏

𝝈𝟐
𝑽 𝒃 = 𝒏 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

2)
𝝈𝟐
𝑽 𝒃
𝑽 𝜷

−𝟏=

𝝈𝟐

𝒏
𝒊=𝟏

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒙𝒊 − 𝒙

𝟐

−𝟏⟺



𝑽 𝒃
𝑽 𝜷
𝑽 𝒃
𝑽 𝜷

−𝟏=

−𝟏=

18

𝒏
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 − 𝒙
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝟐

𝒏
𝟐
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝒏𝒙
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

−𝟏

−𝟏

𝟏
𝒏
𝟐 𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒏

𝒙𝟐𝒊

𝝈𝟐
𝒊=𝟏

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC



𝑽 𝒃
𝑽 𝜷

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

−𝟏 =

𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

− 𝒏𝒙𝟐 −
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒏𝒙𝟐

−𝟏 =− 𝒏
𝟐 < 0
𝑽 𝜷
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝑽 𝒃

Ainsi 𝑽 𝒃 < 𝑉 𝜷 𝒆𝒕 𝒃 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒑𝒍𝒖𝒔 𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝜷
3) Supposons par l’absurde que pour le modèle 𝑴𝟐 , 𝒐𝒏 𝒂

𝒊 𝓔𝒊

=𝟎

Or 𝓔𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒚𝒊 = 𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 par la suite
𝒏

𝒏

𝓔𝒊 = 𝟎 ⟺
𝒊=𝟏

𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 = 𝟎
𝒊=𝟏
𝒏



𝒏

𝒚𝒊 − 𝒃
𝒊=𝟏

⟺𝒃=
𝒅′ 𝒐ù

𝒊 𝓔𝒊

𝒙𝒊 = 𝟎
𝒊=𝟏

𝒏
𝒊=𝟏 𝒚𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊



𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

; 𝒂𝒃𝒔𝒖𝒓𝒅𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝐥’𝐡𝐲𝐩𝐨𝐭𝐡è𝐬𝐞 𝐞𝐬𝐭 𝐟𝐚𝐮𝐬𝐬𝐞

≠ 𝟎 Pour le modèle 𝑴𝟐
𝒏

𝑫′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕 , 𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

𝒊=𝟏

=

𝒚 𝒊 − 𝒚𝒊 − 𝒚 − 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 =

𝟐

𝒏

𝓔𝒊 − 𝒚 − 𝒚𝒊

𝓔𝒊

𝟐

𝒊=𝟏
𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 =

𝒏

𝓔𝟐𝒊
𝒊=𝟏
𝑺𝑪𝑹

+

𝒏

𝒚 − 𝒚𝒊

𝟐

𝒊=𝟏

−𝟐

𝓔𝒊 𝒚 − 𝒚 𝒊
𝒊=𝟏

𝑺𝑪𝑬
𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬 − 𝟐𝒚

𝒏

𝓔𝒊 + 𝟐
𝒊=𝟏

𝓔𝒊 𝒃𝒙𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

⟺ 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬 − 𝟐𝒚

𝒏

𝓔𝒊 + 𝟐𝒃
𝒊=𝟏

𝓔𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏

19

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒏

𝐂𝐚𝐥𝐜𝐮𝐥𝐨𝐧𝐬 ∶ 𝒃

𝓔𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒃

𝓔𝒊 𝒙𝒊 =
𝒊=𝟏

=

=

=

=

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊
𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏 𝒙𝟐
𝒊=𝟏 𝒊

𝒏

𝓔𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊 − 𝒃𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝟐𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊 − 𝒃
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒏

𝒏
𝒊=𝟏 𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝒙𝒊

𝒙𝒊 𝒚𝒊 −
𝒊=𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝟐𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒙𝒊 𝒚𝒊 −
𝒊=𝟏

𝒙𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝒃

𝒏

𝓔𝒊 𝒙𝒊 = 𝟎 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬 − 𝟐𝒚
𝒊=𝟏

𝓔𝒊
𝒊=𝟏

𝒏

𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒐𝒏 𝒂

𝓔𝒊 ≠ 𝟎 𝒆𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕 𝒐𝒏 𝒂 𝒑𝒂𝒔 𝒕𝒐𝒖𝒋𝒐𝒖𝒓𝒔 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑹 + 𝑺𝑪𝑬
𝒊=𝟏
𝒏

𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 = 𝑺𝑪𝑹 − 𝟐𝒚

𝓔𝒊
𝒊=𝟏

D’où :
𝒔𝒊 𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 ≥ 𝟎 ⟹ 𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
≤𝟏
𝑺𝑪𝑻

𝒆𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬 ≤ 𝟎 𝒐𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
≥𝟏
𝑺𝑪𝑻

Conclusion : pour le modèle 𝑴𝟐 ; 𝑹𝟐 n’est pas nécessairement dans l’intervalle 𝟎, 𝟏

20

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

Corrigé 6:
1) 𝑻 = 𝟏𝟐
𝑻
𝒕=𝟏 𝑬𝒕 𝑹𝒕

𝒃=

𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝑹𝒕

− 𝑻𝑬𝑹
𝟐

− 𝑻𝑹

= 𝟎, 𝟐𝟐𝟑

𝒂 = 𝑬 − 𝒃𝑹 = 𝟏, 𝟔𝟗𝟗
𝑻

𝑻

𝟐

𝑬𝟐𝒕 − 𝑻𝑬 = 𝟗, 𝟒𝟖 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑬 =

𝑺𝑪𝑻 =
𝒕=𝟏

𝒕=𝟏

𝑺𝑪𝑹
𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬
𝝈𝟐 =
=
=
𝑻−𝟐
𝑻−𝟐
𝝈𝟐𝒃

𝝈𝟐

=

𝝈𝟐𝒂 =

𝑻=

𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝑹𝒕

𝝈𝟐
𝑻

𝟐

𝑹𝟐𝒕 − 𝑻𝑹 = 𝟖, 𝟒𝟓

𝟐

− 𝑻𝑹

− 𝑻𝑬

𝟐

− 𝒃𝟐

𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝑹𝒕

𝑻−𝟐

𝟐

− 𝑻𝑹

= 𝟎, 𝟏𝟎𝟑

= 𝟔, 𝟎𝟔. 𝟏𝟎−𝟒 ⟹ 𝝈𝒃 = 𝟐, 𝟒𝟔. 𝟏𝟎−𝟐

𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝑹𝒕

𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝑹𝒕

𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝑬𝒕

− 𝑻𝑹

= 𝟎, 𝟐𝟒𝟒 ⟹ 𝝈𝒂 = 𝟎, 𝟒𝟗𝟒

𝟐

𝒃−𝒃
↝𝝉 𝒏−𝟐
𝝈𝒃

𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒊𝒓𝒆 𝒖𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒃
𝑰𝑪𝟏−𝜶 𝒃 = 𝒃 ± 𝝈𝒃 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝟐

𝒐ù 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟐𝟖
𝟐

⟹ 𝑰𝑪𝟎,𝟗𝟓 𝒃 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟖; 𝟎, 𝟐𝟕𝟖
𝒅𝒆 𝒎ê𝒎𝒆 𝑻 =

𝒂−𝒂
↝ 𝝉 𝒏−𝟐
𝝈𝒂

𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒊𝒓𝒆 𝒖𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒂
𝑰𝑪𝟏−𝜶 𝒂 = 𝒂 ± 𝝈𝒂 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝟐

𝒐ù 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟐𝟖
𝟐

⟹ 𝑰𝑪𝟎,𝟗𝟓 𝒂 = 𝟎, 𝟓𝟗𝟖; 𝟐, 𝟕𝟗𝟗

21

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

2)
𝑹𝟐 =

𝑺𝑪𝑬
= 𝟖𝟗, 𝟏𝟑% 𝒅′ 𝒐ù 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒊𝒅𝒊𝒕é 𝒅𝒖𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆
𝑺𝑪𝑻

𝒅′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕 𝒃 = 𝟎 ∉ 𝑰𝑪𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝒃 = 𝟎, 𝟏𝟔𝟖; 𝟎, 𝟐𝟕𝟖
𝒅′ 𝒐ù𝒍𝒆 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕 𝒅𝒆 𝒍′ 𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕𝒉è𝒔𝒆 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟏è𝐫𝐞 𝒆𝒔𝒑è𝒄𝒆 𝜶 = 𝟓%
3)
Test de l’hypothèse d’un report intégral d’une variation absolue du revenu 𝜟𝑹 sur celle de l’épargne 𝜟𝑬
𝜟𝑹 = 𝟏% ⟹ 𝑹′𝒕 − 𝑹𝒕 = 𝟏%
𝑯𝟎: 𝜟𝑹 = 𝜟𝑬 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏: 𝜟𝑹 ≠ 𝜟𝑬
𝒐𝒓 𝜟𝑬 = 𝑬′𝒕 − 𝑬𝒕 = 𝒂 + 𝒃𝑹′𝒕 + 𝒖′𝒕 − 𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕 = 𝒃𝜟𝑹 + 𝜟𝒖
En négligeant les perturbations 𝜟𝒖 ≅ 𝟎 on obtient 𝜟𝑬 = 𝒃𝜟𝑹 ainsi tester l’hypothèse d’un report
intégral d’une variation absolue du revenu 𝜟𝑹 sur celle de l’épargne 𝜟𝑬 revient à tester
𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝒃 ≠ 𝟏 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟏è𝐫𝐞 𝒆𝒔𝒑è𝒄𝒆 𝜶 = 𝟓%
𝑻=

𝒃−𝒃
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝒃

Règle de décision :
𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =
𝒐𝒓 𝑻𝟎 =

𝒃−𝟏
> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝝈𝒃
𝟐

𝟎, 𝟐𝟐𝟑 − 𝟏
= 𝟑𝟏, 𝟓𝟖 𝒆𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟐𝟖 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕 𝜽 𝒏 − 𝟐
𝟏−𝟐
𝟐, 𝟒𝟔. 𝟏𝟎−𝟐
𝟐

Ce qui conduit au rejet de 𝑯𝟎 autrement dit le rejet d’un transfert intégral d’une variation absolue du
revenu 𝜟𝑹 sur celle de l’épargne 𝜟𝑬
4) Test de l’hypothèse d’un report intégral d’une variation relative du revenu 𝜟𝑹 𝑹 sur celle de
𝒕
𝜟𝑬
l’épargne
𝑬𝒕
𝜟𝑹
𝑹′𝒕 − 𝑹𝒕
= 𝟏% ⟹
= 𝟏%
𝑹
𝑹𝒕

22

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝑯𝟎 :

𝜟𝑹 𝜟𝑬
𝜟𝑹 𝜟𝑬
=
𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 :

𝑹𝒕
𝑬𝒕
𝑹𝒕
𝑬𝒕

𝜟𝑬 𝑬′𝒕 − 𝑬𝒕
𝒂 + 𝒃𝑹′𝒕 + 𝒖′𝒕 − 𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕
𝒐𝒓
=
=
𝑬𝒕
𝑬𝒕
𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕
=
𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆

𝒃𝜟𝑹 + 𝜟𝒖
𝒃𝜟𝑹
=
; 𝑬𝒏 𝒏é𝒈𝒍𝒊𝒈𝒆𝒂𝒏𝒕 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝜟𝒖 𝒆𝒕 𝒖𝒕
𝒂 + 𝒃𝑹𝒕 + 𝒖𝒕 𝒂 + 𝒃𝑹𝒕

𝜟𝑹 𝜟𝑬
𝜟𝑹
𝒃𝜟𝑹
=

=
⟹𝒂=𝟎
𝑹𝒕
𝑬𝒕
𝑹𝒕
𝒂 + 𝒃𝑹𝒕

Ainsi tester le transfert intégral d’une variation relative du revenu 𝜟𝑹 𝑹 sur celle de l’épargne 𝜟𝑬 𝑬
𝒕
𝒕
Revient à tester𝑯𝟎 : 𝒂 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏: 𝒂 ≠ 𝟎 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟏è𝐫𝐞 𝒆𝒔𝒑è𝒄𝒆 𝜽 = 𝟓%
𝑻=

𝒂−𝒂
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝒂

Règle de décision :
𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =
𝒐𝒓 𝑻𝟎 = 𝟑, 𝟒𝟒 𝒆𝒕 𝒕

𝜽
𝟏−𝟐

𝒂−𝟎
>𝒕 𝜽 𝒏−𝟐
𝟏−
𝝈𝒂
𝟐

𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟐𝟖 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕

𝜽
𝟏−𝟐

𝒏−𝟐

Ce qui conduit au rejet de 𝑯𝟎 autrement dit le rejet d’un transfert intégral d’une variation relative du
revenu sur celle de l’épargne

Corrigé 7:
1)
𝒂 = 𝑿 − 𝒃𝒀 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒃 =

𝒏
𝒊=𝟏

𝒆𝒕 𝜶 = 𝒀 − 𝜷𝑿 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝜷 =

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝒃𝜷 =

𝒙𝒊 − 𝑿 𝒚 𝒊 − 𝒀
𝒏
𝒊=𝟏
𝒏
𝒊=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑽 𝑿 𝑽 𝒀

𝒚𝒊 − 𝒀

𝟐

=

𝒚𝒊 − 𝒀 𝒙𝒊 − 𝑿
𝒏
𝒊=𝟏
𝟐

𝒙𝒊 − 𝑿

𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
𝑽 𝑿
=

𝑪𝒐𝒗 𝒀, 𝑿
𝑽 𝒀

= 𝝆𝟐

23

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒐ù 𝝆 =

𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀

𝐜𝐨𝐞𝐟𝐟𝐢𝐜𝐢𝐞𝐧𝐭 𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐫𝐫é𝐥𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐥𝐢𝐧é𝐚𝐢𝐫𝐞 𝐞𝐧𝐭𝐫𝐞 𝒙𝒊 𝐞𝐭 𝒚𝒊 .

𝑽 𝑿 𝑽 𝒀

𝒅′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆 𝒑𝒂𝒓𝒕 𝜶 − 𝒀 𝒂 − 𝑿 = −𝜷𝑿 −𝒃𝒀 = 𝒃𝜷𝑿𝒀 = 𝝆𝟐 𝑿𝒀
2)
𝑹𝟐𝑨

𝑺𝑪𝑬𝑨 𝒃𝟐
=
=
𝑺𝑪𝑻𝑨

𝒆𝒕

𝑹𝟐𝑩

𝟐

𝒏
𝒊=𝟏

𝒚𝒊 − 𝒀
𝒏𝒃𝟐 𝑽 𝒀
𝒃𝟐𝑽 𝒀
=
=
𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐
𝒏𝑽 𝑿
𝑽 𝑿

𝒏
𝒊=𝟏

𝑺𝑪𝑬𝑩 𝜷𝟐 𝒏𝒊=𝟏 𝒙𝒊 − 𝑿 𝟐 𝒏𝜷𝟐𝑽 𝑿
𝜷𝟐 𝑽 𝑿
=
=
=
𝟐 = 𝒏𝑽 𝒀
𝑺𝑪𝑻𝑩
𝒏
𝑽 𝒀
𝒚 −𝒀
𝒊=𝟏

𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆

𝑹𝟐𝑨 𝑹𝟐𝑩

𝒊

𝒃𝟐𝑽 𝒀
=
𝑽 𝑿

𝜷𝟐 𝑽 𝑿
𝑽 𝒀

= 𝒃𝜷

𝟐

= 𝝆𝟐

𝟐

𝒅′ 𝒐ù 𝝆𝟐 = 𝑹𝟐𝑨 = 𝑹𝟐𝑩

3)
𝑺𝑪𝑹𝑨
𝑺𝑪𝑹𝑩
𝒆𝒕 𝑺𝟐𝒖 =
𝒏−𝟐
𝒏−𝟐

𝑺𝟐𝓔 =

𝒐𝒓 𝑹𝟐𝑨 = 𝟏 −

𝑺𝑪𝑹𝑨
𝑺𝑪𝑹𝑨
=𝟏−
⟹ 𝑺𝑪𝑹𝑨 = 𝒏𝑽 𝑿 𝟏 − 𝑹𝟐𝑨 ; 𝒅𝒆 𝒎ê𝒎𝒆 𝑺𝑪𝑹𝑩 = 𝒏𝑽 𝒀 𝟏 − 𝑹𝟐𝑩
𝑺𝑪𝑻𝑨
𝒏𝑽 𝑿

𝑺𝟐𝓔 𝑺𝑪𝑹𝑨 𝒏 − 𝟐 𝑺𝑪𝑹𝑨 𝒏𝑽 𝑿 𝟏 − 𝑹𝟐𝑨
𝑽 𝑿
𝑺𝟐𝑿 ′
𝑺𝟐𝓔 𝑺𝟐𝒖
𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝟐 =
=
=
=
= 𝟐 𝒅 𝒐ù 𝟐 = 𝟐
𝑺𝒖 𝑺𝑪𝑹𝑩 𝒏 − 𝟐 𝑺𝑪𝑹𝑩 𝒏𝑽 𝒀 𝟏 − 𝑹𝟐𝑩
𝑽 𝒀
𝑺𝒀
𝑺𝑿 𝑺𝒀
4)
𝒕𝑨 =

𝒐𝒓

𝒃
𝒃𝟐
⟹ 𝒕𝟐𝑨 = 𝟐
𝝈𝒃
𝝈𝒃

𝝈𝟐𝒃

𝑺𝟐𝓔
𝒏𝒃𝟐𝑽 𝒀
=
⟹ 𝒕𝟐𝑨 =
𝒏𝑽 𝒀
𝑺𝟐𝓔
⟹ 𝒕𝟐𝑨 =

𝒏𝒃𝟐𝑽 𝒀
𝑺𝑪𝑹𝑨 𝒏 − 𝟐

⟹ 𝒕𝟐𝑨 =

𝒏 𝒏 − 𝟐 𝒃𝟐𝑽 𝒀
𝑺𝑪𝑹𝑨

24

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝒐𝒓 𝑹𝟐𝑨 =



𝒕𝟐𝑨



𝒕𝟐𝑨

=

=

𝒏 𝒏 − 𝟐 𝒃𝟐𝑽 𝒀
𝒏𝑽 𝑿 𝟏 − 𝑹𝟐𝑨
𝒏 − 𝟐 𝒃𝟐 𝑽 𝒀
𝑽 𝑿 𝟏 − 𝑹𝟐𝑨

𝒃𝟐 𝑽 𝒀
𝒏 − 𝟐 𝑹𝟐𝑨
𝒏 − 𝟐 𝑹𝟐𝑩
𝒏 − 𝟐 𝝆𝟐
𝟐
𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝒕𝟐𝑨 =
=
=
𝒕
=
𝑩
𝑽 𝑿
𝟏 − 𝝆𝟐
𝟏 − 𝑹𝟐𝑨
𝟏 − 𝑹𝟐𝑩

En effet la statistique de Student utilisée pour tester 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 et identique à celle qu’on utilise pour
tester 𝑯𝟎 : 𝜷 = 𝟎
D’où tester 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 revient à tester 𝑯𝟎 : 𝜷 = 𝟎

Corrigé 8:
1)

𝒇′ 𝒕 =

𝟏
𝟏+𝒂𝒆−𝒃𝒕



=

𝒂𝒃𝒆−𝒃𝒕
𝟐
𝟏+𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒆𝒕 𝐥𝐢𝐦𝒕→+∞ 𝒇 𝒕 = 𝐥𝐢𝐦𝒕→+∞

>0; 𝒇 𝟎 =
𝟏

𝟏+𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟏
𝟏+𝒂

𝒄𝒂𝒓 𝒂 > 0

= 𝟏 ⟹ 𝒚 = 𝟏 𝒂𝒔𝒚𝒎𝒑𝒕𝒐𝒕𝒆 à 𝓒𝒇 𝒂𝒖 𝓥 +∞

𝒇 𝒕
𝒚=𝟏

𝟏
𝟏+𝒂

𝒕

25

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

2)
𝒚𝒕 =

𝟏
𝟏
+
𝓔

𝒚
=
𝒕
𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕
𝓔𝟐𝒕 =

𝑺 𝒂, 𝒃 =
𝒕

𝒚𝒕 − 𝒚𝒕

𝟐

=

𝟐

𝒚𝒕 − 𝒇 𝒕

𝒕

𝒕

MCO
𝟏 :

𝝏𝑺 𝒂, 𝒃
=𝟎
𝝏𝒂

⟺ −𝟐
𝒕

𝟏 ⟺

𝝏𝒇 𝒕
𝝏𝒂


𝒕

𝒚𝒕𝒆−𝒃𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒕

𝟐 :

𝒚𝒕 − 𝒇 𝒕

𝒚𝒕 𝒆−𝒃𝒕


𝝏𝑺 𝒂, 𝒃
𝝏𝒃

𝒕

𝒕

+
𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟑

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆

=𝟎

𝒆−𝒃𝒕

𝟐 =
𝒕

𝝏𝒃

𝒚𝒕 − 𝒇 𝒕

𝒂𝒕𝒚𝒕𝒆−𝒃𝒕

𝟐 ⟺

𝟐

𝒆−𝒃𝒕

𝟐

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟑

=𝟎

𝝏𝒇 𝒕

⟺ −𝟐

𝝏𝒇 𝒕
𝒆−𝒃𝒕
= 𝟎 ; 𝒐𝒓
=−
𝝏𝒂
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

= 𝟎 ; 𝒐𝒓

𝝏𝒇 𝒕
𝝏𝒃

=

𝒂𝒕𝒆−𝒃𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟐

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆

𝒕𝒆−𝒃𝒕

𝟐 =
𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟑

𝒂, 𝒃 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆:
𝒚𝒕 𝒆−𝒃𝒕

𝟏
𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒆−𝒃𝒕

𝟐 =
𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟑

𝒂𝒕𝒚𝒕𝒆−𝒃𝒕

𝒆𝒕 𝟐

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒕

𝒕𝒆−𝒃𝒕

𝟐 =
𝒕

𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟑

La résolution d’un tel système, non linéaire en 𝒂 𝒆𝒕 𝒃 ne peut être explicite et doit faire appel à un
algorithme numérique. Afin d’obtenir des solutions explicites d’où la nécessité de faire un changement
de variable approprié

26

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

3)
𝒚𝒕 =

𝟏
𝟏+



𝟏
− 𝟏 = 𝒂𝒆−𝒃𝒕
𝒚𝒕



𝟏 − 𝒚𝒕
= 𝒂𝒆−𝒃𝒕
𝒚𝒕

𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝟏 − 𝒚𝒕
= 𝑳𝒏 𝒂 − 𝒃𝒕
𝒚𝒕

⟺ 𝑳𝒏

𝟏 − 𝒚𝒕
, 𝜶 = 𝑳𝒏 𝒂 𝒆𝒕 𝜷 = −𝒃
𝒚𝒕

𝑷𝒐𝒔𝒐𝒏𝒔 𝒛𝒕 = 𝑳𝒏

𝑨𝒊𝒏𝒔𝒊 𝒍𝒆 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆 𝒚𝒕 =
𝜷=

𝑻
𝒕=𝟏 𝒕𝒛𝒕
𝑻
𝒕=𝟏

− 𝑻𝒕𝒛

𝒕−𝒕

𝟏
+ 𝓔𝒕 𝒅𝒆𝒗𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒛𝒕 = 𝜶 + 𝜷𝒕 + 𝒖𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒆𝒕 𝜶 = 𝒛 − 𝜷𝒕

𝟐

𝑵𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 𝒃 = −𝜷 𝒆𝒕 𝒂 = 𝒆𝜶
𝝈𝟐𝒃

𝑶𝒓 𝑽 𝒃 =

𝝈𝟐𝜷

=

𝒕
𝒚𝒕
𝟏 − 𝒚𝒕
𝒛𝒕 = 𝑳𝒏
𝒚𝒕
𝑻

𝝈𝟐𝒖

=

𝑻
𝒕=𝟏

2

3

4

2,9

4,4

6,0

3,511

3,077

2,752

= 𝟏𝟒𝟎 ,

𝒕=𝟏

𝑻

,

𝑻

𝒕𝟐

𝒕 = 𝟐𝟖 ,

𝒕−𝒕

𝟐

5

6

7

8,4

11,8

14,6

18,3

2,389

2,012

1,766

1,496

𝑻

𝑻

𝒛𝟐𝒕

𝑧𝑡 = 𝟏𝟕, 𝟎𝟎𝟑 ,
𝒕=𝟏

= 𝟒𝟒, 𝟒𝟖 ,

𝒕=𝟏

= 𝟐𝟖 , 𝒛 = 𝟐, 𝟒𝟐𝟗 ,

𝑧𝑡 − 𝒛

𝟐

= 𝟑, 𝟏𝟖

𝒕=𝟏
𝑻
𝒕=𝟏 𝒕𝒛𝒕
𝑻
𝒕=𝟏

− 𝑻𝒕𝒛

𝒕−𝒕

𝟐

𝒕𝑧𝑡 = 𝟓𝟖, 𝟔𝟎𝟓 , 𝒕 = 𝟒
𝒕=𝟏

𝑻

𝒕=𝟏

𝜷=

𝟐

1

𝑻

𝒕=𝟏

𝒕−𝒕

= −𝟎, 𝟑𝟑𝟔 ⟹ 𝒃 = 𝟎, 𝟑𝟑𝟔

𝜶 = 𝒛 − 𝜷𝒕 = 𝟑, 𝟕𝟕𝟑 ⟹ 𝒂 = 𝟒𝟑, 𝟓

27

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝑻

𝑺𝑪𝑻 =

𝑻

𝑧𝑡 − 𝒛

𝟐

= 𝟑, 𝟏𝟖 , 𝑺𝑪𝑬 = 𝜷𝟐

𝒕=𝟏

𝒖𝟐𝒕 = 𝝈𝟐𝒖 =
𝒕=𝟏

𝑾=

= 𝟑, 𝟏𝟔 ⟹ 𝑺𝑪𝑹 = 𝟎, 𝟎𝟐

𝑺𝑪𝑹
= 𝟒. 𝟏𝟎−𝟑
𝑻−𝟐

𝝈𝟐𝒖
𝑻
𝒕=𝟏

𝟐

𝒕=𝟏

𝑻

𝝈𝟐𝜷 =

𝒕−𝒕

𝒕−𝒕

𝟐

= 𝟏, 𝟒𝟑. 𝟏𝟎−𝟒 ⟹ 𝝈 𝒃 = 𝝈𝜷 = 𝟏, 𝟐. 𝟏𝟎−𝟐

𝒃 −𝒃
↝ 𝝉 𝑻−𝟐
𝝈𝒃

𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒓𝒖𝒊𝒓𝒆 𝒖𝒏 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒇𝒊𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒃
𝑰𝑪𝟏−𝜽 𝒃 = 𝒃 ± 𝝈 𝒃 𝒕

𝜽
𝟏−𝟐

𝑻−𝟐

𝒐ù 𝒕

𝜽
𝟏−𝟐

𝑻 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟓 = 𝟐, 𝟓𝟕𝟏

⟹ 𝑰𝑪𝟎,𝟗𝟓 𝒃 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟓; 𝟎, 𝟑𝟔𝟕
4)
𝒚𝒕 𝒔𝒖𝒊𝒕 𝒖𝒏 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆 𝒍𝒐𝒈𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 ⟹ 𝒚𝒕 = 𝒇 𝒕
𝑶𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒗é𝒓𝒊𝒇𝒊𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆
𝒐𝒓

𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝟏
= 𝒇′ 𝒕
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
𝒇 𝒕 𝟏−𝒇 𝒕

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒇′ 𝒕 =

𝒂𝒃𝒆−𝒃𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒆𝒕 𝒇 𝒕 𝟏 − 𝒇 𝒕

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆

=
𝟐

𝒂𝒃𝒆−𝒃𝒕
𝒇 𝒕 𝟐

=𝒇 𝒕 − 𝒇 𝒕

𝟐

=

𝟏
𝟏

−𝒃𝒕
𝟏 + 𝒂𝒆
𝟏 + 𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝒂𝒃𝒆−𝒃𝒕
=
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
𝒇 𝒕 𝟐

=
𝟐

𝒂𝒆−𝒃𝒕
𝒇 𝒕 𝟐

𝒇 𝒕 𝟐
=𝒃
𝒂𝒆−𝒃𝒕

𝑫′ 𝒐ù𝒔𝒊 𝒚𝒕 𝒔𝒖𝒊𝒕 𝒖𝒏 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆 𝒍𝒐𝒈𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 ⟹

𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

28

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

5)
𝑬𝒏 𝒓𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂ç𝒂𝒏𝒕

𝒅𝒚𝒕
𝜟𝒚𝒕
𝒑𝒂𝒓
𝒐𝒏 𝒆𝒏 𝒅é𝒅𝒖𝒊𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒊 𝒚𝒕 = 𝒇 𝒕 𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔:
𝒅𝒕
𝜟𝒕

𝒅𝒚𝒕
𝟏
𝜟𝒚𝒕
𝟏
=𝒃⟹
≅𝒃⟹
𝒅𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
𝜟𝒕 𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

𝒚𝒕+𝟏 − 𝒚𝒕
𝒕+𝟏 −𝒕

𝟏
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

≅𝒃⟹

𝒚𝒕+𝟏 − 𝒚𝒕
≅𝒃
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

𝟏

𝜟𝒚𝒕
≅ 𝒃(𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕

⟹ 𝒙𝒕 =

Par la suite si, 𝒚𝒕 suit exactement un modèle logistique alors : 𝒙𝒕 = 𝒃 + 𝒗𝒕𝒐ù 𝑬 𝒗𝒕 = 𝟎 𝒆𝒕 𝑽 𝒗𝒕 = 𝝈𝟐𝒗
𝒕

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005
𝒑

0,029
0,044
0,06
0,084
0,118
0,146
0,183 𝒚𝟖
𝒚𝒕
𝒚𝒕+𝟏 − 𝒚𝒕
𝒑
𝒙𝒕 =
0,53
0,38
0,43
0,44
0,27
0,30
𝒙𝟕
𝒚𝒕 𝟏 − 𝒚𝒕
𝒚 −𝒚
Pour calculer 𝒙𝟕 = 𝟖 𝟕 on doit déterminer une prévision du taux d’équipement des ménages en
𝒚𝟕 𝟏−𝒚𝟕

PlayStation 2 pour l’année 2005 en d’autres termes une prévision pour 𝒚𝟖 mais avant toute autre chose
on doit estimer et étudier la validité du modèle 𝒙𝒕 = 𝒃 + 𝒗𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 = 𝟏𝟗𝟗𝟖, … ; 𝑻 − 𝟏 = 𝟐𝟎𝟎𝟑
𝒙𝒕 = 𝒃 + 𝒗𝒕 ⟹ 𝒙𝒕 = 𝒃
Pour estimer 𝒃 on va utiliser les MCO :
𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒗𝟐𝒕

=

𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝝏

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒙𝒕 − 𝒙𝒕
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒙𝒕 − 𝒃

𝝏𝒃

2

=

𝒙𝒕 − 𝒃

2

𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖
2

𝑻−𝟏

= 𝟎 ⟹ −𝟐

𝒙𝒕 − 𝒃 = 𝟎
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑



𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒙𝒕 −
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒃=𝟎⟹
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑



𝒙𝒕 − 𝟔𝒃 = 𝟎

𝒙𝒕 − 𝟔𝒃 = 𝟎
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

29

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝟏
⟹𝒃=𝒙=
𝟔

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝟏
𝒙𝒕 =
𝟔

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒙𝒕 = 𝟎, 𝟑𝟗
𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝑽 𝒙𝒕 = 𝑽 𝒃 + 𝒗𝒕 = 𝑽 𝒗𝒕 = 𝝈𝟐𝒗
𝟏
𝑬𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒐𝒏 𝒂
𝟔−𝟏

𝒅𝒐𝒏𝒄

𝝈𝟐𝒗

𝟏
=
𝟔−𝟏

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒙𝒕 − 𝒙

𝟐

𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒕𝒆𝒖𝒓 𝒔𝒂𝒏𝒔 𝒃𝒊𝒂𝒊𝒔 𝒅𝒆 𝑽 𝒙𝒕

𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒕=𝟐𝟎𝟎𝟑

𝒙𝒕 − 𝒙

𝟐

= 𝟎, 𝟎𝟏𝟏

𝒕=𝟏𝟗𝟗𝟖

𝒅′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕 𝑽 𝒃 = 𝑽 𝒙 =

𝑽 𝒙𝒕
𝝈𝟐𝒗
𝝈𝟐𝒗
=
⟹ 𝝈𝟐𝒃 =
= 𝟏, 𝟖𝟑. 𝟏𝟎−𝟑 ⟹ 𝝈𝒃 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟑
𝟔
𝟔
𝟔

On se propose de tester 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝒃 ≠ 𝟎 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟏è𝐫𝐞 𝒆𝒔𝒑è𝒄𝒆 𝜶 = 𝟓%
𝑻=

𝒃−𝒃
↝ 𝝉 𝟔 − 𝟏 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝒃

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝒃−𝟎
> 𝒕𝟏−𝜶 𝟔 − 𝟏
𝝈𝒃
𝟐

𝒐𝒓 𝑻𝟎 = 𝟗, 𝟎𝟕 𝒆𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝟔 − 𝟏 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟓 = 𝟐, 𝟓𝟕𝟏 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝟔 − 𝟏
𝟐

𝟐

D’où la validité du modèle
Supposons que le modèle reste valable une année après, ce qui donne une prévision pour
𝒑
𝒚𝟖 − 𝒚𝟕
𝒑
𝒑
𝒙𝟕 = 𝒃 = 𝟎, 𝟑𝟗 𝒐𝒓 𝒙𝟕 =
𝒚𝟕 𝟏 − 𝒚𝟕
D’où la prévision pour le taux d’équipement en PlayStation 2 pour 2005 :
𝒑

𝒑

𝒚𝟖 = 𝒚𝟕 + 𝒙𝟕 𝒚𝟕 𝟏 − 𝒚𝟕 = 𝒚𝟕 + 𝒃𝒚𝟕 𝟏 − 𝒚𝟕 = 𝟎, 𝟐𝟒𝟏

30

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

Corrigé 9:
𝑴𝟏 : 𝑳𝒏 𝒚𝒕 = 𝒂 + 𝒃 𝑳𝒏 𝒙𝒕 +𝒖𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, … , 𝑻 = 𝟏𝟐 𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 𝒘𝒕 = 𝑳𝒏 𝒚𝒕 𝒆𝒕 𝒛𝒕 = 𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝒐𝒏 𝒑𝒐𝒖𝒓𝒓𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆𝒓𝑴𝟏 𝒆𝒏 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆 𝒍𝒊𝒏é𝒂𝒊𝒓𝒆 ∶ 𝒘𝒕 = 𝒂 + 𝒃 𝒛𝒕 +𝒖𝒕
𝒅𝒀
𝑶𝒏 𝒅é𝒇𝒊𝒏𝒊𝒕 𝒍’é𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒊𝒕é 𝒅𝒆 𝒀𝒑𝒂𝒓 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 à 𝑿 𝒑𝒂𝒓 ℇ =
𝒅𝑳𝒏 𝒚𝒕
𝟏
=
𝒅𝒚𝒕
𝒚𝒕

𝒅𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝟏
=
𝒅𝒙𝒕
𝒙𝒕

𝒐𝒓

𝒅𝑿

𝒀
𝑿

𝒅𝒚𝒕
𝒚𝒕
𝒅𝒙𝒕
=
𝒙𝒕

𝒅𝑳𝒏 𝒚𝒕 =
𝒅𝑳𝒏 𝒙𝒕

𝒅𝒚𝒕
𝒅𝑳𝒏 𝒚𝒕
𝒅𝒘𝒕
𝒅𝑳𝒏 𝒚𝒕
𝒚
𝒐𝒓
=
= 𝒃 𝒆𝒕
= 𝒕
𝒅𝒙𝒕
𝒅𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝒅𝒛𝒕
𝒅𝑳𝒏 𝒙𝒕
𝒙𝒕
D’où le paramètre 𝒃 n’est autre que l’élasticité de la demande d’habillement 𝒚 par rapport au revenu
des ménages 𝒙
Donc il s’agit d’un test de type 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝒃 ≠ 𝟏 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟏è𝐫𝐞 𝒆𝒔𝒑è𝒄𝒆 𝜶 = 𝟓%
𝑻=

𝒃−𝒃
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝒃

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =
𝒐𝒓 𝑻𝟎 =

𝒃−𝟏
> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝝈𝒃
𝟐

𝟏, 𝟏 − 𝟏
= 𝟏, 𝟒𝟐 𝒆𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟐𝟖 ⟹ 𝑻𝟎 ≯ 𝒕𝟏−𝜶 𝟔 − 𝟏
𝟎, 𝟎𝟕
𝟐
𝟐

On ne rejette pas 𝑯𝟎: 𝒃 = 𝟏 et on peut accepter que l’élasticité de la demande d’habillement soit égale
à l’unité

Corrigé 10:
1) 𝒃 constitue l’élasticité des dépenses alimentaires des ménages par rapport aux revenus
disponibles.

31

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

Le modèle 𝟏 s’exprime sous forme logarithmique ce qui fait que le paramètre 𝒂 ne possède pas de
contenu économique pertinent.
2) 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝒃 ≠ 𝟏 𝒔𝒐𝒖𝒔 𝒖𝒏 𝒔𝒆𝒖𝒊𝒍 𝜶 = 𝟓%
𝑻=

𝒃−𝒃
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝒃

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =
𝒐𝒓 𝑻𝟎 =

𝒃−𝟏
> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝝈𝒃
𝟐

𝟎, 𝟐𝟓 − 𝟏
= 𝟖, 𝟒𝟐𝟕 𝒆𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟏𝟖 = 𝟐, 𝟏𝟎𝟏 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝟎, 𝟎𝟖𝟗
𝟐
𝟐

Donc on rejette 𝑯𝟎 par la suite le paramètre 𝒃 est statistiquement différent de 1
3) 𝑯𝟎 : 𝒃 = 𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝒃 < 1 𝑠𝑜𝑢𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑒𝑢𝑖𝑙 𝛼 = 5%
𝑻=

𝒃−𝒃
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝒃

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝒃−𝟏
< 𝒕𝜶 𝒏 − 𝟐 = −𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝝈𝒃

𝒐𝒓 𝑻𝟎 = −𝟖, 𝟒𝟐𝟕 𝒆𝒕 𝒕𝜶 𝒏 − 𝟐 = −𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = −𝒕𝟎,𝟗𝟓 𝟏𝟖 = −𝟏, 𝟕𝟑𝟒 ⟹ 𝑻𝟎 < 𝒕𝜶 𝒏 − 𝟐
On accepte l’hypothèse selon laquelle 𝒃 < 1
Il s’agit de biens de première nécessité ce qui explique une demande inélastique 𝒃 < 1 .
4)
𝒐𝒏 𝒂

𝒃𝟐
𝝈𝟐𝒃

=

𝟎, 𝟐𝟓𝟐
= 𝟕, 𝟖𝟗
𝟎, 𝟎𝟖𝟗𝟐
𝒃𝟐

𝒏 − 𝟐 𝑹𝟐
𝒐𝒓 𝒐𝒏 𝒂 𝒅é𝒎𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟐 =
; (𝒗𝒐𝒊𝒓 𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟕)
𝟏 − 𝑹𝟐
𝝈𝒃
𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆

𝒃𝟐
𝝈𝟐𝒃

𝟏−

𝑹𝟐

= 𝒏−𝟐

𝑹𝟐





𝒃𝟐
𝝈𝟐𝒃
𝒃𝟐
𝝈𝟐𝒃



𝒃𝟐
𝝈𝟐𝒃

𝑹𝟐 = 𝒏 − 𝟐 𝑹𝟐

= 𝒏−𝟐+

32

𝒃𝟐
𝝈𝟐𝒃

𝑹𝟐

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC



𝒃𝟐 𝝈𝟐𝒃

𝟐

𝒅 𝒐ù 𝑹 =

𝒏−𝟐 +

𝒃𝟐

=

𝟕, 𝟖𝟗
= 𝟑𝟎, 𝟒𝟖%
𝟏𝟖 + 𝟕, 𝟖𝟗

𝝈𝟐𝒃

5) Test de significativité globale 𝑯𝟎: 𝒃 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏: 𝒃 ≠ 𝟎
𝑹𝟐
𝒏−𝟐
↝ 𝓕 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝟏 − 𝑹𝟐 𝟐 − 𝟏

𝑭=

𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑹𝟐 >

𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐
𝒏 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐

𝒐𝒓 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐 = 𝒇𝟎,𝟗𝟓 𝟏, 𝟏𝟖 = 𝟒, 𝟒𝟏
𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐
𝟒, 𝟒𝟏
=
= 𝟎, 𝟏𝟗𝟕
𝒏 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐
𝟏𝟖 + 𝟒, 𝟒𝟏



𝒆𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒐𝒏 𝒂 𝑹𝟐 = 𝟎, 𝟑𝟎𝟒𝟖 >

𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐
𝒏 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐

Donc on rejette 𝑯𝟎 en effet la régression est globalement significative

Corrigé 11: (Extrait de l’examen- ISG SP2007)
1)
a) Test de significativité globale 𝑯𝟎: 𝒃 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏: 𝒃 ≠ 𝟎
𝑺𝑪𝑬

𝑭=

𝑹𝟐
𝑻−𝟐
𝟐−𝟏 =
= 𝒕𝟐𝜷𝟐 ↝ 𝓕 𝟐 − 𝟏, 𝑻 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏,
𝑺𝑪𝑹
𝟏 − 𝑹𝟐 𝟐 − 𝟏
𝑻−𝟐

𝒂𝒗𝒆𝒄

𝒕𝟐𝜷𝟐
𝒐𝒃𝒔

=

𝜷𝟐𝟐
𝝈𝟐𝜷
𝟐

=

𝟒, 𝟕𝟎𝟐

= 𝟐𝟐, 𝟎𝟗 ⟹

𝑹𝟐

𝜷𝟐𝟐 𝝈𝟐𝜷𝟐

=

𝑻−𝟐 +

𝜷𝟐𝟐
𝝈𝟐𝜷

𝟐

𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝑻 − 𝟐 = 𝒇𝟎,𝟗𝟓 𝟏, 𝟐𝟐 = 𝟒, 𝟑𝟎


𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝑻 − 𝟐
𝟒, 𝟑𝟎
=
= 𝟎, 𝟏𝟔𝟑
𝑻 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝑻 − 𝟐
𝟐𝟐 + 𝟒, 𝟑𝟎

33

=

𝟐𝟐, 𝟎𝟗
= 𝟎, 𝟓𝟎𝟏
𝟐𝟐 + 𝟐𝟐, 𝟎𝟗

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝑻 − 𝟐
𝑻 − 𝟐 + 𝟐 − 𝟏 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝑻 − 𝟐

𝑹𝟐 >

On rejette 𝑯𝟎 et le modèle est globalement significatif
b)
𝒐𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓 𝑯𝟎 ∶ 𝜷𝟐 = 𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 ∶ 𝜷𝟐 ≠ 𝟏, 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟓%
𝜷𝟐 − 𝜷𝟐
↝ 𝝉 𝑻 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈 𝜷𝟐

𝑻=

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝒐𝒓 𝜷𝟐 = 𝟎, 𝟖𝟓 𝒆𝒕

𝜷𝟐 − 𝟏
> 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐
𝝈 𝜷𝟐
𝟐

𝜷𝟐
𝜷𝟐 − 𝟏
𝟎, 𝟖𝟓 – 𝟏
= 𝟒, 𝟕𝟎 ⟹ 𝝈 𝜷𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟖𝟏, 𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑻𝟎 =
=
= 𝟎, 𝟖𝟐𝟗
𝝈 𝜷𝟐
𝝈 𝜷𝟐
𝟎, 𝟏𝟖𝟏

𝒅′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟐𝟐 = 𝟐, 𝟎𝟕𝟒
𝟐

𝒆𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕 𝑻𝟎 ≯ 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐
𝟐

Donc on ne rejette pas 𝑯𝟎 et la valeur 𝜷𝟐 = 𝟏 sera statistiquement significative
2)
a)
𝝈𝟐 =

𝑺𝑪𝑹
𝑺𝑪𝑻 − 𝑺𝑪𝑬
=
=
𝑻−𝟐
𝑻−𝟐

⟹ 𝝈𝟐 =

𝑻
𝒕=𝟏

𝒚𝒕 − 𝒀

𝟐𝟒
× 𝟗𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟖𝟓𝟐 × 𝟔𝟖𝟎
𝟐𝟐

𝟐

− 𝜷𝟐𝟐
𝑻−𝟐

𝑻
𝒕=𝟏

𝒙𝒕 − 𝑿

𝒀
𝟐𝟒×𝟏

𝒕=𝟏

𝟏
𝒙𝒕 = 𝑻𝑿 = 𝟐𝟒 × 𝟔𝟕 = 𝟏𝟔𝟎𝟖 , 𝑽 𝑿 =
𝑻

𝑻

𝒙𝟐𝒕 − 𝑿𝟐
𝒕=𝟏

𝑻

𝒙𝟐𝒕 = 𝑻 𝑽 𝑿 + 𝑿𝟐 = 𝟐𝟒 × 𝟔𝟖𝟎 + 𝟔𝟕𝟐 = 𝟏𝟐𝟒𝟎𝟓𝟔



=

𝑻
𝑻−𝟐

𝑿

. 𝜷 +

𝑽 𝒀 − 𝜷𝟐𝟐𝑽 𝑿

= 𝟓𝟑𝟑, 𝟏𝟐𝟕

b) 𝑳′ é𝒄𝒓𝒊𝒕𝒖𝒓𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒅𝒖 𝒎𝒐𝒅è𝒍𝒆 𝑴𝟏 :
𝑻

𝟐

𝒕=𝟏

34

=

𝟐𝟒×𝟐

𝟐×𝟏

𝓔
𝟐𝟒×𝟏

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC
𝑻

𝟏
𝑿′ 𝑿 =
𝒙𝟏




𝑻

𝟏 𝒙𝟏
⋮ ⋮ =
𝟏𝒙𝑻

𝟏
𝒙𝑻

𝒙𝒕
𝒕=𝟏
𝑻

𝑻

𝒙𝟐𝒕

𝒙𝒕
𝒕=𝟏

=

−𝟏

=

𝟏
𝟏𝟐𝟒𝟎𝟓𝟔
𝟑𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎 −𝟏𝟔𝟎𝟖

𝟏𝟔𝟎𝟖
𝟏𝟐𝟒𝟎𝟓𝟔

𝒕=𝟏

𝒅𝒆𝒕 𝑿′ 𝑿 = 𝟐𝟒 × 𝟏𝟐𝟒𝟎𝟓𝟔 − 𝟏𝟔𝟎𝟖𝟐 = 𝟑𝟗𝟏𝟔𝟖𝟎 𝒆𝒕 𝑪𝒐𝒎 𝑿′ 𝑿 =
𝑿′ 𝑿

𝟐𝟒
𝟏𝟔𝟎𝟖

𝟏𝟐𝟒𝟎𝟓𝟔
−𝟏𝟔𝟎𝟖

−𝟏𝟔𝟎𝟖
𝟐𝟒

−𝟏𝟔𝟎𝟖
𝟐𝟒

c)
𝒚𝒕 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻 ; En supposant que le modèle estimé durant les24trimestres reste
encore valide pour le premier trimestre de 2006 on obtient :
𝒑

𝒑

𝒚𝑻+𝟏 = 𝒚𝟐𝟓 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓𝒙𝟐𝟓 = 𝟑𝟗, 𝟎𝟓 + 𝟎, 𝟖𝟓 × 𝟗𝟖 = 𝟏𝟐𝟐, 𝟑𝟓
𝒑

𝒚𝑻+𝟏 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒙𝑻+𝟏 𝒆𝒕 𝒚𝑻+𝟏 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝒙𝑻+𝟏 + 𝓔𝑻+𝟏
𝒑

⟹ 𝒚𝑻+𝟏 − 𝒚𝑻+𝟏 = 𝓔𝑻+𝟏 − 𝜷𝟏 − 𝜷𝟏 − 𝜷𝟐 − 𝜷𝟐 𝒙𝑻+𝟏
𝒑

𝑬 𝒚𝑻+𝟏 − 𝒚𝑻+𝟏 = 𝑬 𝓔𝑻+𝟏 = 𝟎
𝒑

𝑽 𝒚𝑻+𝟏 − 𝒚𝑻+𝟏 = 𝑬

𝒑

𝒚𝑻+𝟏 − 𝒚𝑻+𝟏

𝟐

= 𝑬 𝓔𝟐𝑻+𝟏 + 𝑬

𝜷𝟏 − 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 − 𝜷𝟐 𝒙𝑻+𝟏

𝟐

𝑷𝒖𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝜷𝟏 𝒆𝒕 𝜷𝟐 𝒏𝒆 𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆𝒏𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝓔𝟏, 𝓔𝟐, … , 𝓔𝑻 𝒆𝒕 𝒒𝒖𝒆 𝑬 𝓔𝒕 𝓔𝑻+𝟏 = 𝟎 ∀ 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
𝒐𝒏 𝒂 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒃𝒊𝒆𝒏 𝑬 𝜷𝟏 𝓔𝑻+𝟏 = 𝑬 𝜷𝟐𝓔𝑻+𝟏 = 𝟎
𝑬 𝓔𝟐𝑻+𝟏 = 𝝈𝟐
𝒆𝒕 𝑬

𝜷𝟏 − 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 − 𝜷𝟐 𝒙𝑻+𝟏

𝟐

=𝑽
=𝑽

𝜷𝟏 − 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 − 𝜷𝟐 𝒙𝑻+𝟏
𝜷𝟏 + 𝒙𝑻+𝟏 𝜷𝟐 − 𝜷𝟏 + 𝒙𝑻+𝟏 𝜷𝟐

= 𝑽 𝜷𝟏 + 𝒙𝑻+𝟏 𝜷𝟐
= 𝑽 𝜷𝟏 + 𝑽 𝒙𝑻+𝟏 𝜷𝟐 + 𝟐𝒙𝑻+𝟏 𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟏, 𝜷𝟐
= 𝝈𝟐

𝟏
+
𝒏

𝑻
𝒕=𝟏

𝑿𝟐
𝒙𝒕 − 𝑿

35

𝟐

+

𝝈𝟐 𝒙𝟐𝑻+𝟏
𝑻
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿


𝟐

𝟐𝝈𝟐 𝒙𝑻+𝟏 𝑿
𝑻
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

𝟐

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝑿𝟐
𝒙𝒕 − 𝑿

𝒙𝟐𝑻+𝟏
+ 𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

𝝈𝟐

𝟏
+
𝒏

𝑻
𝒕=𝟏

= 𝝈𝟐

𝟏
+
𝒏

𝒙𝑻+𝟏 − 𝑿 𝟐
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

=

𝒑

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝑽 𝒚𝑻+𝟏 − 𝒚𝑻+𝟏 = 𝝈𝟐 + 𝝈𝟐

𝟏
+
𝒏

𝟐



𝒙𝑻+𝟏 − 𝑿 𝟐
𝟏
𝟐 𝟏+
=
𝝈
+
𝑻
𝟐
𝒏
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

𝟐𝒙𝑻+𝟏 𝑿
𝒙𝒕 − 𝑿

𝑻
𝒕=𝟏

𝟐

𝒙𝑻+𝟏 − 𝑿 𝟐
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

𝒑

𝒚𝑻+𝟏 − 𝒚𝑻+𝟏

𝑻=

𝝈 𝟏+

𝟏
+
𝒏

↝ 𝝉 𝑻−𝟐
𝟐

𝒙𝑻+𝟏 − 𝑿
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

Sera la statistique de décision pour construire l’intervalle de prévision
𝒑

𝑰𝑪𝟏−𝜶 = 𝒚𝑻+𝟏 ± 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐 𝝈 𝟏 +
𝟐

𝟏
+
𝒏

𝒙𝑻+𝟏 − 𝑿 𝟐
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒙𝒕 − 𝑿

𝑰𝑪𝟗𝟓% = 𝟏𝟐𝟐, 𝟑𝟓 ± 𝟐, 𝟎𝟕𝟒 × 𝟐𝟑, 𝟎𝟗 × 𝟏 +

𝟏
𝟗𝟖 − 𝟔𝟕 𝟐
+
𝟐𝟒
𝟐𝟒 × 𝟔𝟖𝟎

= 𝟕𝟐, 𝟏𝟏𝟏; 𝟏𝟕𝟐, 𝟓𝟖𝟗

Corrigé 12: (IHEC SP2010)
1) 𝒐𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓 𝑯𝟎 ∶ 𝜷𝟐 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 ∶ 𝜷𝟐 ≠ 𝟎, 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟓%
𝑻=

𝜷𝟐 − 𝜷𝟐
↝ 𝝉 𝑻 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈 𝜷𝟐

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝒐𝒓 𝑻𝟎 =

𝜷𝟐 − 𝟏
> 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐
𝝈 𝜷𝟐
𝟐

𝜷𝟐
= 𝟏𝟎, 𝟐 𝒆𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟖𝟑 = 𝚽−𝟏 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐
𝝈 𝜷𝟐
𝟐
𝟐

Donc on rejette 𝑯𝟎 et la valeur 𝜷𝟐 sera statistiquement significative. D’où l’effet de X sur Y est
significativement différent de zéro
2)

36

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

a)
𝝈𝟐 =

𝑺𝑪𝑹
𝟔𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟐
=
= 𝟕𝟓, 𝟏𝟏
𝒏−𝟐
𝟖𝟑
b)

𝑻𝟎 =

𝜷𝟐
𝜷𝟐
𝟏, 𝟏
⟺ 𝝈 𝜷𝟐 =
=
= 𝟎, 𝟏𝟏
𝝈 𝜷𝟐
𝑻𝟎 𝟏𝟎, 𝟐
c)
𝒏

𝒏

𝑺𝑪𝑬 =

𝒚𝒊 − 𝒚
𝒊=𝟏

𝟐

=

𝜷𝟐𝟐

𝒙𝒊 − 𝒙
𝒊=𝟏

⟹ 𝑺𝑪𝑬 =

𝟐

𝒆𝒕 𝝈𝟐𝜷𝟐 =

𝜷𝟐𝟐

𝝈𝟐
𝝈𝟐𝜷

𝒏
𝒊=𝟏

𝝈𝟐
𝒙𝒊 − 𝒙

= 𝟏, 𝟏𝟐 ×

𝟐

𝟐

𝟕𝟓, 𝟏𝟏
= 𝟕𝟓𝟏𝟏
𝟎, 𝟏𝟏𝟐

Tableau d’Analyse de la Variance

Source de la variation Somme des Carrés
Régression
Résidus

Total

Degré de liberté

𝑺𝑪𝑬 = 𝟕𝟓𝟏𝟏

𝟐−𝟏=𝟏

𝑺𝑪𝑹 = 𝟔𝟐𝟑𝟒, 𝟑𝟐

𝒏 − 𝟐 = 𝟖𝟑

𝑺𝑪𝑻 = 𝟏𝟑𝟕𝟒𝟓, 𝟑𝟐

𝒏 − 𝟏 = 𝟖𝟒

Carrés Moyens
𝑺𝑪𝑬
= 𝟕𝟓𝟏𝟏
𝟏
𝑺𝑪𝑹
𝝈𝟐 =
= 𝟕𝟓, 𝟏𝟏
𝒏−𝟐
𝑺𝑪𝑻
= 𝟏𝟔𝟑, 𝟔𝟑
𝒏−𝟏

Test de significativité globale 𝑯𝟎: 𝒃 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏: 𝒃 ≠ 𝟎
𝑺𝑪𝑬
𝑭=

𝑺𝑪𝑹

𝟐 − 𝟏 =↝ 𝓕 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏,
𝒏−𝟐

𝒐𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑭𝒐𝒃𝒔 > 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐
𝒐𝒓 𝑭𝒐𝒃𝒔 =

𝟕𝟓𝟏𝟏
= 𝟏𝟎𝟎 > 𝒇𝟏−𝜶 𝟐 − 𝟏, 𝒏 − 𝟐 = 𝒇𝟎,𝟗𝟓 𝟏, 𝟖𝟑 ≅ 𝟑, 𝟖𝟒
𝟕𝟓, 𝟏𝟏

On retrouve ainsi les résultats de 1) et le modèle est globalement significatif.
3) 𝒐𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓 𝑯𝟎 ∶ 𝜷𝟐 = −𝟏 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 ∶ 𝜷𝟐 ≠ −𝟏, 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒏 𝒓𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝟓%

37

BEN AHMED MOHSEN

Téléphone :(+216)97619191
Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

𝑻=

𝜷𝟐 − 𝜷𝟐
↝ 𝝉 𝒏 − 𝟐 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈 𝜷𝟐

𝑶𝒏 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕𝒕𝒆 𝑯𝟎 𝒔𝒊 𝑻𝟎 =

𝒐𝒓 𝑻𝟎 =

𝜷𝟐 + 𝟏
> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐
𝝈 𝜷𝟐
𝟐

𝜷𝟐 + 𝟏
𝟏, 𝟏 + 𝟏
=
= 𝟏𝟗, 𝟎𝟗 𝒆𝒕 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝟐 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟖𝟑 = 𝚽 −𝟏 𝟎, 𝟗𝟕𝟓 = 𝟏, 𝟗𝟔
𝝈 𝜷𝟐
𝟎, 𝟏𝟏
𝟐

𝒆𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝟐
𝟐

Donc on rejette 𝑯𝟎 et la valeur 𝜷𝟐 est significativement différent de -1

ASSISTANCE&FORMATION UNIVERSITAIRE EN:
 ÉCONOMÉTRIE
 TECHNIQUES DE SONDAGE
 STATISTIQUES MATHÉMATIQUES (STAT II )
 STATISTIQUES DESCRIPTIVES & PROBABILITÉS (STAT I )
 ALGÈBRE (MATH II)
 Mathématiques pour l'ingénieur
3 rue Bougainvilliers Avenue 20 Mars Le Bardo, Tunisie
CONTACT : 97619191 /omega.center.cp@gmail.com
https://www.facebook.com/ISG.ISCAE.IHEC.ESC

BEN AHMED MOHSEN

38


Documents similaires


Fichier PDF m1 l3 EconomEtrie serie corrigee n 1 modeles Econometriques a un
Fichier PDF iscae lfg1corrige td n 1derivees differentielles
Fichier PDF iscae lfg1corrige td n 1derivees differentielles
Fichier PDF m1 l3 EconomEtrie serien 2 reg lin mult
Fichier PDF iscae lfg1corrige td n 2 taylor et applications
Fichier PDF methode du maximum de vraisemblance


Sur le même sujet..