MQ Série de révision no 1 I.FI.D 2015

BEN AHMED MOHSEN
omega.center.cp@gmail.com

Téléphone: (+216) 97 619191 / 54 619191
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Série de Révision no 1
Pour Réussir l'Épreuve des Méthodes Quantitatives
Du Concours I.FI.D 2015
Exercice 1 :
ÉNONCÉ
On considère une variable aléatoire 𝑿 normale centrée réduite 𝑿 ↝ 𝓝 𝟎, 𝟏 .
On pose 𝒀 = 𝑿
1)
2)
3)
4)
5)

Déterminer le domaine des valeurs possibles de 𝒀
Déterminer 𝑮 𝒚 la fonction de répartition de 𝒀 en fonction de 𝑭 la fonction de répartition de 𝑿
En déduire la densité de probabilité de la variable 𝒀
Prouver que 𝑬 𝒀𝟐 est égale à l’unité
Prouver que la médiane de 𝒀 est le troisième quartile de la variable 𝑿

Le rappel de cours
𝑳𝒐𝒊 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍𝒆 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓é𝒆 𝒓é𝒅𝒖𝒊𝒕𝒆 𝓝 𝟎, 𝟏
𝟏

𝑫𝒆𝒏𝒔𝒊𝒕é 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕é 𝒅. 𝒅. 𝒑 : 𝒁 ↝ 𝓝 𝟎, 𝟏 ⟹ 𝒇 𝒛 =

𝟐𝝅

𝒛𝟐
−
𝒆 𝟐

𝑽𝒂𝒍𝒆𝒖𝒓𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒗. 𝒂 𝒁 ∶ 𝜴𝒁 = −∞, +∞
𝟏

𝑭𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒓é𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒇. 𝒓 : 𝜱 𝒛 = 𝑷 𝒁 < 𝑧 =

𝟐𝝅

𝜱 −𝒛 = 𝟏 − 𝜱 𝒛
𝟏
𝜱 𝟎 =
𝟐
𝒅𝜱 𝒛
=𝒇 𝒛
𝒅𝒛
𝑭𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒈é𝒏é𝒓𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆𝒔 𝒎𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒇. 𝒈. 𝒎 : 𝑴𝒁 𝒕 = 𝑬 𝒆
𝑴𝒁 𝒕 =

𝟏
𝟐𝝅

+∞

𝒛𝟐

𝒕𝟐

𝒕𝒁

𝒆𝒕𝒛− 𝟐 𝒅𝒛 = 𝒆 𝟐 ; ∀ 𝒕 ∈ ℝ
−∞

1
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=

𝒛

𝒕𝟐

𝒆− 𝟐 𝒅𝒕
−∞

𝟏
𝟐𝝅

+∞

−∞

𝒛𝟐
𝒕𝒛 − 𝟐
𝒆 𝒆 𝒅𝒛

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𝑬 𝒁 =𝟎
𝑽 𝒁 =𝟏

Corrigé
1) 𝑿 ↝ 𝓝 𝟎, 𝟏 ⟹ 𝜴𝑿 = −∞, +∞
𝒀 = 𝑿 ⟹ 𝜴𝒀 = 𝟎, +∞
2) 𝑮 𝒚 = 𝑷 𝒀 < 𝑦 = 𝑷 𝑿 < 𝑦 = 𝑷 −𝒚 < 𝑋 < 𝑦 = 𝑭 𝒚 − 𝑭 −𝒚
𝑭 𝒚 = 𝑷 𝑿 < 𝑦 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒊𝒕 𝑭 𝒚 𝒆𝒔𝒕 𝒍𝒂 𝒇. 𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗. 𝒂 𝑿
𝒐𝒓 𝑭 −𝒚 = 𝟏 − 𝑭 𝒚 , 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑮 𝒚 = 𝑭 𝒚 − 𝟏 − 𝑭 𝒚
𝒅′ 𝒐ù 𝑮 𝒚 = 𝟐𝑭 𝒚 − 𝟏
3) 𝑺𝒐𝒊𝒕 𝒈 𝒚 𝒍𝒂 𝒅. 𝒅. 𝒑 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗. 𝒂 𝒀, 𝒐𝒓

𝒅𝑮 𝒚
𝒅𝒚

= 𝒈 𝒚 𝒆𝒕

𝒅𝑭 𝒚

=𝒇 𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝑮 𝒚
𝒅 𝟐𝑭 𝒚 − 𝟏
=
𝒅𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝑭 𝒚
⟹ ∀ 𝒚 ∈ 𝟎, +∞ 𝒈 𝒚 = 𝟐
𝒅𝒚
⟹ ∀ 𝒚 ∈ 𝟎, +∞ 𝒈 𝒚 = 𝟐𝒇 𝒚

𝑮 𝒚 = 𝟐𝑭 𝒚 − 𝟏 ⟹ ∀ 𝒚 ∈ 𝟎, +∞

𝒅′ 𝒐ù 𝒍𝒂 𝒅. 𝒅. 𝒑 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗. 𝒂 𝒀 ∶ 𝒈 𝒚 =

𝟐 −𝒚𝟐
𝒆 𝟐 , ∀ 𝒚 ∈ 𝟎, +∞
𝝅
𝟎 , 𝒂𝒊𝒍𝒍𝒆𝒖𝒓𝒔

4) 𝑬 𝒀𝟐 = 𝑬 𝑿 𝟐 = 𝑬 𝑿𝟐
𝑽 𝑿 =𝟏
𝒐𝒓 𝑽 𝑿 = 𝑬 𝑿𝟐 − 𝑬 𝑿
𝑬 𝑿 =𝟎

𝟐

⟹ 𝑬 𝑿𝟐 = 𝟏

𝑫′ 𝒐ù 𝑬 𝒀𝟐 = 𝟏
𝟏

5) 𝑺𝒐𝒊𝒕 𝑴𝒆𝒀 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒆𝒖𝒓 𝒎é𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗. 𝒂 𝒀, 𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝑮 𝑴𝒆𝒀 = 𝟐
𝒐𝒓 𝑮 𝒚 = 𝟐𝑭 𝒚 − 𝟏 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒆𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒊𝒆𝒓 𝑮 𝑴𝒆𝒀 = 𝟐𝑭 𝑴𝒆𝒀 − 𝟏
𝟏
⟹ 𝟐𝑭 𝑴𝒆𝒀 − 𝟏 =
𝟐
⟹ 𝟐𝑭 𝑴𝒆𝒀 =
⟹ 𝑭 𝑴𝒆𝒀 =

𝟑
𝟐

𝟑
𝟒

𝑵𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 𝑸𝟑 𝑿 𝒍𝒆 𝒕𝒓𝒐𝒊𝒔𝒊è𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒂𝒓𝒕𝒊𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗. 𝒂 𝑿, 𝒄𝒆 𝒒𝒖𝒊 𝒅𝒐𝒏𝒏𝒆 𝑭 𝑸𝟑 𝑿 =
𝑪𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒕𝒐𝒖𝒕𝒆 𝒇. 𝒓 , 𝑭 𝒓é𝒂𝒍𝒊𝒔𝒆 𝒖𝒏𝒆 𝒃𝒊𝒋𝒆𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒔𝒖𝒓 𝜴𝑿
𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒖𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 ∶ 𝑭 𝑸𝟑 𝑿 = 𝑭 𝑴𝒆𝒀 ⟺ 𝑸𝟑 𝑿 = 𝑴𝒆𝒀

2
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𝟑
𝟒

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Exercice 2 :
ÉNONCÉ
On note 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 les gains d’une entreprise sur 𝒏 périodes successives. On admet que ces variables
sont indépendantes, ayant la même espérance mathématique 𝒎 et la même variance 𝝇𝟐 .
On pose :
𝒀𝟏 = 𝑿𝟏 ,
𝒀𝟐 =
𝒀𝟑 =
𝒆𝒕 𝒀𝒏 =
1)
2)
3)
4)
5)

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐
,
𝟐

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑
𝟑

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + ⋯ + 𝑿𝒏
𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒏 𝒆𝒏𝒕𝒊𝒆𝒓 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒇
𝒏

Que représentent les variables 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , … , 𝒀𝒏 pour l’entreprise ?
Déterminer les espérances mathématiques des variables 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , … , 𝒀𝒏
Calculer les variances et les écarts types des variables 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , … , 𝒀𝒏
Calculer 𝑬 𝒀𝟐𝒊 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏
i.
ii.
iii.

Calculer pour les trois premiers variables 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 les covariances entre 𝒀𝒊 et 𝒀𝒋 pour
𝒊 = 𝟏, 𝟐 𝒆𝒕 𝟑 et pour 𝒋 = 𝟏, 𝟐 𝒆𝒕 𝟑
En déduire tout les coefficients de corrélation linéaire 𝝆𝒊𝒋 entre 𝒀𝒊 et 𝒀𝒋 pour 𝒊 = 𝟏, 𝟐 𝒆𝒕 𝟑
et pour 𝒋 = 𝟏, 𝟐 𝒆𝒕 𝟑
Exprimer 𝒀𝒏 en fonction de 𝒀𝒏−𝟏 et de 𝑿𝒏

Corrigé
1)
𝟏
∀ 𝒌 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 ; 𝒀𝒌 =
𝒌

𝒏

𝑿𝒍 = 𝑿 é𝒕𝒂𝒏𝒕 𝒍𝒂 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 𝒆𝒎𝒑𝒊𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒍’𝒏 − é𝒄𝒉𝒂𝒏𝒕𝒊𝒍𝒍𝒐𝒏 𝒊. 𝒊. 𝒅
𝒍=𝟏

𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 , … , 𝑿𝒏 , 𝒆𝒍𝒍𝒆 𝒓𝒆𝒑𝒓é𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒖𝒏𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒎𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆 𝒕𝒉é𝒐𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒎 𝒅𝒆𝒔 𝒈𝒂𝒊𝒏𝒔 𝒅𝒆
𝒍’𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆𝒑𝒓𝒊𝒔𝒆 𝒔𝒖𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒌 𝒑é𝒓𝒊𝒐𝒅𝒆𝒔. 𝑶𝒏 𝒏𝒐𝒕𝒆 𝒎 = 𝑿
2)
𝑬 𝒀𝟏 = 𝑬 𝑿𝟏 = 𝒎

3
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Rappel de cour
𝒍𝒆𝒔 𝒗. 𝒂 𝑿𝒊

𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒏

𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒄 ∶ • 𝑬 𝑿𝟏 = 𝑬 𝑿𝟐 = ⋯ = 𝑬 𝑿𝒏 = 𝒎

• 𝜴𝑿𝟏 = 𝜴𝑿𝟐 = ⋯ = 𝜴𝑿𝒏
• 𝒇𝑿𝟏 𝒙 = 𝒇𝑿𝟐 𝒙 = ⋯ = 𝒇𝑿𝒏 𝒙
• 𝑭𝑿𝟏 𝒙 = 𝑭𝑿𝟐 𝒙 = ⋯ = 𝑭𝑿𝒏 𝒙
• 𝑴𝑿𝟏 𝒕 = 𝑴𝑿𝟐 𝒕 = ⋯ = 𝑴𝑿𝒏 𝒕
𝒏

∀𝒍𝒆𝒔 𝒗. 𝒂 𝑿𝒊

𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒏

𝒊𝒏𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒐𝒖 𝒑𝒂𝒔, 𝒐𝒏 𝒂 𝒕𝒐𝒖𝒋𝒐𝒖𝒓𝒔: 𝑬

𝒏

𝑿𝒊 =
𝒊=𝟏

𝑬 𝒀𝟐 = 𝑬

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐
𝟏
= 𝑬 𝑿𝟏 + 𝑬 𝑿𝟐
𝟐
𝟐

𝑬 𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝟏
𝒎+𝒎 = 𝒎
𝟐

=

𝑬 𝒀𝟐 = 𝒎
𝑬 𝒀𝒏

𝟏
=𝑬
𝒏

𝒏

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝒑𝒖𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒆𝒔 𝒗. 𝒂 𝑿𝒊

𝒏

𝟏
= 𝑬
𝒏

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒏

𝟏
=
𝒏

𝒏

𝒊=𝟏

𝟏
𝑬 𝑿𝒊 =
𝒏

𝒏

𝒎=
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏𝒎 = 𝒎
𝒏

𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒊𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒄 ∀ 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 ; 𝑬 𝑿𝒊 = 𝒎

𝑬 𝒀𝒏 = 𝒎
3)
𝑽 𝒀𝟏 = 𝑽 𝑿𝟏 = 𝝇𝟐 ⟹ 𝝇𝟐𝒀𝟏 = 𝝇𝟐

Rappel de cours
𝑽 𝒂𝑿𝟏 + 𝒃𝑿𝟐 = 𝒂𝟐 𝑽 𝑿𝟏 + 𝒃𝟐 𝑽 𝑿𝟐 + 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒗 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐
𝑿𝟏 𝒆𝒕 𝑿𝟐 𝟐 𝒗. 𝒂 𝒊𝒏𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 ⟹ 𝑪𝒐𝒗 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐 = 𝟎

𝑪𝒐𝒗

𝑿𝒊 ,
𝒊
𝒏

𝑽

𝒀𝒋
𝒋

𝑪𝒐𝒗 𝑿𝒊 , 𝒀𝒋
𝒊

𝒋

𝒏

𝑿𝒊 =
𝒊=𝟏

=

𝑽 𝑿𝒊 + 𝟐
𝒊=𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝑿𝒊 , 𝑿𝒋
𝟏≤𝒊<𝑗 ≤𝑛

4
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𝑿𝟏 + 𝑿𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝑽 𝒀𝟐 = 𝑽
= 𝑽 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 = 𝑽 𝑿𝟏 + 𝑽 𝑿𝟐 + 𝟐 × × 𝑪𝒐𝒗 𝑿𝟏 , 𝑿𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
𝟎

⟹ 𝑽 𝒀𝟐 =
𝑽 𝒀𝟐 =

𝑽 𝒀𝒏

𝟏
𝑽 𝑿𝟏 + 𝑽 𝑿𝟐
𝟒

=

𝟐 𝝇𝟐
𝟒

𝝇𝟐
𝝇
⟹ 𝝇𝟐𝒀𝟐 =
𝟐
𝟐

𝟏
=𝑽
𝒏

𝒏

𝟏
= 𝟐𝑽
𝒏

𝑿𝒊
𝒊=𝟏

𝑶𝒓 𝒍𝒆𝒔 𝒗. 𝒂 𝑿𝒊

𝒊=𝟏,𝟐,…,𝒏

𝒊=𝟏

𝒏

𝑿𝒊 =
𝒊=𝟏

𝑨𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑽 𝒀𝒏 =

𝑿𝒊

𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒊𝒏𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒄 ∀ 𝒊 ≠ 𝒋 𝑪𝒐𝒗 𝑿𝒊 , 𝑿𝒋 = 𝟎,

𝒏

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝑽

𝒏

𝒏

𝝇𝟐 = 𝒏 𝝇𝟐

𝑽 𝑿𝒊 =
𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝟏
𝒏 𝝇𝟐
𝟐
𝒏

𝑽 𝒀𝒏 =

𝝇𝟐
𝝇
⟹ 𝝇𝟐𝒀𝒏 =
𝒏
𝒏

4)
𝑬 𝒀𝟐𝟏 = 𝑬 𝑿𝟐𝟏 𝒐𝒓 𝑽 𝑿𝟏 = 𝑬 𝑿𝟐𝟏 − 𝑬 𝑿𝟏

𝟐

⟹ 𝑬 𝑿𝟐𝟏 = 𝑽 𝑿𝟏 + 𝑬 𝑿𝟏

𝑫′ 𝒐ù 𝑬 𝒀𝟐𝟏 = 𝝇𝟐 + 𝒎𝟐
𝑬 𝒀𝟐𝟐 = 𝑽 𝒀𝟐 + 𝑬 𝒀𝟐
𝑶𝒓 𝑽 𝒀𝟐 =

𝟐

𝝇𝟐
𝒆𝒕 𝑬 𝒀𝟐 = 𝒎
𝟐

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑬 𝒀𝟐𝟐 =

𝝇𝟐
+ 𝒎𝟐
𝟐

𝑬 𝒀𝟐𝒏 = 𝑽 𝒀𝒏 + 𝑬 𝒀𝒏

𝟐

𝑶𝒓 𝑽 𝒀𝒏

𝝇𝟐
=
𝒆𝒕 𝑬 𝒀𝒏 = 𝒎
𝒏

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝑬

𝒀𝟐𝒏

𝝇𝟐
=
+ 𝒎𝟐
𝒏

5
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𝟐

= 𝝇𝟐 + 𝒎𝟐

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5)
i.

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𝑽 𝒀𝒊 + 𝒀𝒋 = 𝑽 𝒀𝒊 + 𝑽 𝒀𝒋 + 𝟐𝑪𝒐𝒗 𝒀𝒊 , 𝒀𝒋 ⟹ 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝒊 , 𝒀𝒋 =

𝑽 𝒀𝒊 + 𝒀𝒋 − 𝑽 𝒀𝒊 − 𝑽 𝒀𝒋
𝟐

𝑬𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒄𝒖𝒍𝒊𝒆𝒓 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝒊 , 𝒀𝒊 = 𝑽 𝒀𝒊

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟏 = 𝑽 𝒀𝟏 = 𝝇𝟐
𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟐 , 𝒀𝟐 = 𝑽 𝒀𝟐

𝝇𝟐
=
𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟑 , 𝒀𝟑 = 𝑽 𝒀𝟑 =

𝝇𝟐
𝟑
𝑽 𝒀𝟏 + 𝒀𝟐 − 𝑽 𝒀𝟏 − 𝑽 𝒀𝟐
𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 = 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟐 , 𝒀𝟏 =

=

𝑽 𝑿𝟏 +

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐
𝝇𝟐
𝟐
−
𝝇
−
𝟐
𝟐
𝟐

𝟑
𝟏
𝟑𝝇𝟐
𝑽 𝟐 𝑿𝟏 + 𝟐 𝑿𝟐 − 𝟐
=
𝟐
𝟗
𝟏
𝟑𝝇𝟐
𝑽
𝑿
+
𝑽
𝑿
−
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐 ; 𝒄𝒂𝒓 ∀ 𝒊 ≠ 𝒋 𝑪𝒐𝒗 𝑿 , 𝑿 = 𝟎
=𝟒
𝒊
𝒋
𝟐
𝟗 𝟐 𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝝇 + 𝟒𝝇 − 𝟐𝝇
=𝟒
𝟐
𝝇𝟐
𝟐
𝑽 𝒀𝟏 + 𝒀𝟑 − 𝑽 𝒀𝟏 − 𝑽 𝒀𝟑
=
𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐 = 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟐 , 𝒀𝟏 =
𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟑 = 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟑 , 𝒀𝟏

=

𝑽 𝑿𝟏 +

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑
𝝇𝟐
𝟐
−
𝝇
−
𝟑
𝟑
𝟐

𝟒
𝟏
𝟏
𝟒
𝑽 𝟑 𝑿𝟏 + 𝟑 𝑿𝟐 + 𝟑 𝑿𝟑 − 𝟑 𝝇𝟐
=
𝟐

6
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𝟏𝟔 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟒 𝟐
𝝇 + 𝟗𝝇 + 𝟗𝝇 − 𝟑𝝇
= 𝟗
𝟐
𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟑 = 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟑 , 𝒀𝟏 =

𝝇𝟐
𝟑

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 = 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟑 , 𝒀𝟐 =

𝑽 𝒀𝟐 + 𝒀𝟑 − 𝑽 𝒀𝟐 − 𝑽 𝒀𝟑
𝟐

=

𝑽

𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑
𝝇𝟐 𝝇𝟐
+
−
𝟐
𝟑
𝟐 − 𝟑
𝟐

𝟓
𝟓
𝟏
𝟓
𝑽 𝟔 𝑿𝟏 + 𝟔 𝑿𝟐 + 𝟑 𝑿𝟑 − 𝟔 𝝇𝟐
=
𝟐
𝟐𝟓 𝟐 𝟐𝟓 𝟐 𝟏 𝟐 𝟓 𝟐
𝝇 + 𝟑𝟔 𝝇 + 𝟗 𝝇 − 𝟔 𝝇
= 𝟑𝟔
𝟐
𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑 = 𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟑 , 𝒀𝟐

𝝇𝟐
=
𝟑

Rappel de cours
𝑪𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒓𝒓é𝒍𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒍𝒊𝒏é𝒂𝒊𝒓𝒆 ∶ 𝝆𝒊𝒋 =

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝒊 , 𝒀𝒋
𝑽 𝒀𝒊 𝑽 𝒀𝒋

ii.
𝝆𝒊𝒊 =

𝝆𝟏𝟐 =

𝝆𝟏𝟑 =

𝝆𝟐𝟑 =

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝒊 , 𝒀𝒊
𝑽 𝒀𝒊 𝑽 𝒀𝒊
𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟐
𝑽 𝒀𝟏 𝑽 𝒀𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟏 , 𝒀𝟑
𝑽 𝒀𝟏 𝑽 𝒀𝟑

𝑪𝒐𝒗 𝒀𝟐 , 𝒀𝟑
𝑽 𝒀𝟐 𝑽 𝒀𝟑

=

=

=

=

𝑽 𝒀𝒊
𝑽 𝒀𝒊 𝑽 𝒀𝒊
𝝇𝟐
𝟐
𝝇𝟐
𝝇𝟐 𝟐
𝝇𝟐
𝟑
𝝇𝟐
𝝇𝟐 𝟑
𝝇𝟐
𝟑
𝝇𝟐
𝟐

𝝇𝟐
𝟑

⟹ 𝝆𝒊𝒊 = 𝟏 ∀ 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑

⟹ 𝝆𝟏𝟐 =

𝟐
𝟐

⟹ 𝝆𝟏𝟑 =

𝟑
𝟑

⟹ 𝝆𝟐𝟑 =

𝟔
𝟑

7
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iii.
𝟏
𝒀𝒏 =
𝒏
𝒀𝒏 =

𝒏

𝒊=𝟏

𝟏
𝑿𝒊 =
𝒏

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𝒏−𝟏

𝑿𝒊 + 𝑿𝒏
𝒊=𝟏

𝟏
𝒀
+ 𝑿𝒏
𝒏 𝒏−𝟏

Exercice 2 :
ÉNONCÉ
On considère une grandeur 𝒙𝒕 positive telle que :
𝒚𝒕 = 𝒍𝒏 𝒙𝒕 = 𝒂𝒕 + 𝒃 + 𝒖𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
Avec 𝒖𝒕 des termes d’erreurs indépendants, suivant la loi normale centrée réduite :
𝑬 𝒖𝒕 = 𝟎 ; 𝑽 𝒖𝒕 = 𝟏. On pose 𝜟𝒚𝒕 = 𝒚𝒕 − 𝒚𝒕−𝟏
1) Prouver que si on néglige le terme d’erreur, le paramètre 𝒂 est le taux de croissance moyen de la
grandeur 𝒚𝒕
2) Calculer l’espérance mathématique et la variance de 𝜟𝒚𝒕
𝟏

3) Prouver que le coefficient de corrélation linéaire entre 𝜟𝒚𝒕 et 𝜟𝒚𝒕−𝟏 est égale à − 𝟐
4) Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre 𝜟𝒚𝒕 et 𝜟𝒚𝒕−𝟐
5) On suppose dans cette question que 𝒃 = 𝟎
i. Déterminer en fonction des valeurs de 𝒚𝒕 et de 𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻 l’expression de
l’estimateur de 𝒂 par les moindres carrés ordinaires
ii. Exprimer cette estimation en fonction des valeurs de 𝒙𝒕 et de 𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻
6) On suppose dans cette question que 𝒂 = 𝒃 = 𝟎
i. Déterminer la fonction de répartition de 𝒙𝒕
ii. En déduire la densité de probabilité de 𝒙𝒕
iii. Déterminer la moyenne géométrique de 𝒙𝒕 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕 = 𝟏, 𝟐, … , 𝑻 en fonction de la
moyenne arithmétique des variables 𝒖𝒕
iv. En déduire l’espérance mathématique de cette moyenne géométrique

Corrigé
1) 𝜟𝒚𝒕 = 𝒚𝒕 − 𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂𝒕 + 𝒃 + 𝒖𝒕 − 𝒂 𝒕 − 𝟏 + 𝒃 + 𝒖𝒕−𝟏
= 𝒂𝒕 + 𝒃 + 𝒖𝒕 − 𝒂𝒕 − 𝒂 + 𝒃 + 𝒖𝒕−𝟏
= 𝒂 + 𝒖𝒕 − 𝒖𝒕−𝟏
𝜟𝒚𝒕 = 𝒂 + 𝜟𝒖𝒕
8
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1) En négligeant les perturbations 𝜟𝒖𝒕 ≅ 𝟎 on obtient 𝜟𝒚𝒕 ≅ 𝒂 , taux de croissance moyen de la
grandeur 𝒚𝒕

𝒕𝒂𝒖𝒙 𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒐𝒊𝒔𝒔𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒈𝒓𝒂𝒏𝒅𝒆𝒖𝒓 𝒚𝒕 :
2) 𝑬 𝜟𝒚𝒕 = 𝑬 𝒂 + 𝒖𝒕 − 𝒖𝒕−𝟏

𝒚𝒕 − 𝒚𝒕−𝟏
𝜟𝒚𝒕
=
= 𝜟𝒚𝒕
𝒕− 𝒕−𝟏
𝟏

= 𝒂 + 𝑬 𝒖𝒕 − 𝑬 𝒖𝒕−𝟏
𝟎

𝟎

𝑬 𝜟𝒚𝒕 = 𝒂
𝑽 𝜟𝒚𝒕 = 𝑽 𝒂 + 𝒖𝒕 − 𝒖𝒕−𝟏

= 𝑽 𝒖𝒕 + 𝑽 𝒖𝒕−𝟏
𝟏

𝟏

𝑽 𝜟𝒚𝒕 = 𝟐

Rappel de cours
𝑾 𝒆𝒕 𝒁 𝟐 𝒗. 𝒂 𝒊𝒏𝒅é𝒑𝒆𝒏𝒅𝒂𝒏𝒕𝒆𝒔 ⟹ 𝑽 𝑾 ± 𝒁 = 𝑽 𝑾 + 𝑽 𝒁
3) 𝑪𝒐𝒗 𝜟𝒚𝒕 , 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏 − 𝑬 𝜟𝒚𝒕 𝑬 𝜟𝒚𝒕−𝟏
𝒂

𝒐𝒓 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂 + 𝒖𝒕 − 𝒖𝒕−𝟏

𝒂

𝒂 + 𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝒕−𝟐

𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂𝟐 + 𝒂𝒖𝒕−𝟏 − 𝒂𝒖𝒕−𝟐 + 𝒂𝒖𝒕 + 𝒖𝒕 𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝒕 𝒖𝒕−𝟐 − 𝒂𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝟐𝒕−𝟏 + 𝒖𝒕−𝟏 𝒖𝒕−𝟐
3) 𝑬 𝒖𝒕 = 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 = 𝑬 𝒖𝒕−𝟐 = 𝟎
𝑪𝒐𝒗 𝒖𝒕 , 𝒖𝒕−𝟏 = 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟏 − 𝑬 𝒖𝒕 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 = 𝟎 ⟹ 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟏 = 𝟎
𝟎

𝟎

𝑪𝒐𝒗 𝒖𝒕 , 𝒖𝒕−𝟐 = 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟐 − 𝑬 𝒖𝒕 𝑬 𝒖𝒕−𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟐 = 𝟎
𝟎

𝟎

𝑪𝒐𝒗 𝒖𝒕−𝟏 , 𝒖𝒕−𝟐 = 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 . 𝒖𝒕−𝟐 − 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 𝑬 𝒖𝒕−𝟐 = 𝟎 ⟹ 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 . 𝒖𝒕−𝟐 = 𝟎
𝟎

𝑽 𝒖𝒕−𝟏 = 𝑬 𝒖𝟐𝒕−𝟏 − 𝑬 𝒖𝒕−𝟏

𝟐

𝟎

= 𝟏 ⟹ 𝑬 𝒖𝟐𝒕−𝟏 = 𝟏

𝟎

𝑨𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏
= 𝑬 𝒂𝟐 + 𝒂𝒖𝒕−𝟏 − 𝒂𝒖𝒕−𝟐 + 𝒂𝒖𝒕 + 𝒖𝒕 𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝒕 𝒖𝒕−𝟐 − 𝒂𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝟐𝒕−𝟏 + 𝒖𝒕−𝟏 𝒖𝒕−𝟐
𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂𝟐 − 𝒂 𝑬 𝒖𝒕−𝟐 + 𝒂 𝑬 𝒖𝒕 + 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟏 − 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟐 − 𝑬 𝒖𝟐𝒕−𝟏 + 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 . 𝒖𝒕−𝟐
𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂𝟐 − 𝟏 𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝑪𝒐𝒗 𝜟𝒚𝒕 , 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂𝟐 − 𝟏 − 𝒂𝟐
𝑪𝒐𝒗 𝜟𝒚𝒕 , 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = −𝟏
9
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𝟏

𝟎

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𝑪𝒐𝒗 𝜟𝒚𝒕 , 𝜟𝒚𝒕−𝟏
−𝟏
𝝆𝜟𝒚𝒕 ,𝜟𝒚𝒕−𝟏 =
=
𝟐×𝟐
𝑽 𝜟𝒚𝒕 𝑽 𝜟𝒚𝒕−𝟏
𝑶𝒓 𝑽 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝑽 𝒂 + 𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝒕−𝟐

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= 𝑽 𝒖𝒕−𝟏 + 𝑽 𝒖𝒕−𝟐 = 𝟐
𝟏

𝑫′ 𝒐ù 𝝆𝜟𝒚𝒕,𝜟𝒚𝒕−𝟏 = −

𝟏

𝟏
𝟐

4) 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟐 = 𝒂 + 𝒖𝒕 − 𝒖𝒕−𝟏 𝒂 + 𝒖𝒕−𝟐 − 𝒖𝒕−𝟑
= 𝒂𝟐 + 𝒂𝒖𝒕−𝟐 − 𝒂𝒖𝒕−𝟑 + 𝒂𝒖𝒕 + 𝒖𝒕 𝒖𝒕−𝟐 − 𝒖𝒕 𝒖𝒕−𝟑 − 𝒂𝒖𝒕−𝟏 − 𝒖𝒕−𝟏 𝒖𝒕−𝟐 + 𝒖𝒕−𝟏 𝒖𝒕−𝟑
𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟐

= 𝒂𝟐 + 𝒂 𝑬 𝒖𝒕−𝟐 − 𝒂 𝑬 𝒖𝒕−𝟑 + 𝒂 𝑬 𝒖𝒕 + 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟐 − 𝑬 𝒖𝒕 . 𝒖𝒕−𝟑 − 𝒂 𝑬 𝒖𝒕−𝟏
𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

𝟎

− 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 . 𝒖𝒕−𝟐 + 𝑬 𝒖𝒕−𝟏 . 𝒖𝒕−𝟑
𝟎

𝟎

𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟏 = 𝒂𝟐
𝑶𝒓 𝑬 𝜟𝒚𝒕 = 𝑬 𝜟𝒚𝒕−𝟐 = 𝒂 𝒆𝒕 𝑪𝒐𝒗 𝜟𝒚𝒕 , 𝜟𝒚𝒕−𝟐 = 𝑬 𝜟𝒚𝒕 . 𝜟𝒚𝒕−𝟐 − 𝑬 𝜟𝒚𝒕 𝑬 𝜟𝒚𝒕−𝟐
𝒂𝟐

𝒂

𝒂

𝑪𝒐𝒗 𝜟𝒚𝒕 , 𝜟𝒚𝒕−𝟐 = 𝟎 𝒆𝒕 𝝆𝜟𝒚𝒕 ,𝜟𝒚𝒕−𝟐 = 𝟎
5)
𝒚𝒕 = 𝒍𝒏 𝒙𝒕 = 𝒂𝒕 + 𝒖𝒕 ⟹ 𝒚𝒕 = 𝒍𝒏 𝒙𝒕 = 𝒂𝒕

i.
𝒖 𝒕 = 𝒚𝒕 − 𝒚𝒕

La méthode des moindres carrés ordinaires consiste à minimiser la somme des carrés des résidus :
𝑻

𝑻

𝒖𝟐𝒕

=𝜳 𝒂 ⟹𝜳 𝒂 =

𝒕=𝟏

𝑻

𝒚𝒕 − 𝒚𝒕

𝟐

𝒕=𝟏
𝑻

𝜳′ 𝒂 =

=

𝒚𝒕 − 𝒂𝒕

𝟐

𝒕=𝟏
𝑻

𝟐 𝒚𝒕 − 𝒂𝒕

′

𝒚𝒕 − 𝒂 𝒕 =

−𝒕

𝒕=𝟏

𝑻

−𝟐𝒕𝒚𝒕 + 𝟐𝒂𝒕𝟐

−𝟐𝒕 𝒚𝒕 − 𝒂𝒕 =
𝒕=𝟏

𝒕=𝟏

𝑻
′′

𝟐𝒕𝟐

𝜳 𝒂 =
𝒕=𝟏

𝒂 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒕𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝑺

𝜳′ 𝒂 = 𝟎
𝜳′′ 𝒂 > 0

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𝑻

−𝟐𝒕𝒚𝒕 + 𝟐𝒂𝒕𝟐 = 𝟎

𝟏

𝒕=𝟏
𝑻

𝑺 ⇔

𝟐𝒕𝟐 > 0

𝟐

𝒕=𝟏
𝑻

𝑻

𝟏 :

𝟐𝒕𝒚𝒕 − 𝟐𝒂𝒕

𝟐

𝑻

=𝟎⇔𝟐

𝒕=𝟏

𝒕=𝟏

𝒕=𝟏

𝑻

𝑻
𝟐

⇔𝒂

𝒕 =
𝒕=𝟏

⇔𝒂=

𝒕𝟐 = 𝟎

𝒕𝒚𝒕 − 𝟐𝒂

𝒕𝒚𝒕
𝒕=𝟏

𝑻
𝒕=𝟏 𝒕𝒚𝒕
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒕

𝑻

𝟐𝒕𝟐 > 0 é𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒

𝟐 :
𝒕=𝟏

𝑫’𝒐ù 𝒂 =

𝑻
𝒕=𝟏 𝒕𝒚𝒕
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒕

ii.
𝒂=

𝑻
𝒕=𝟏 𝒕 𝒍𝒏 𝒙𝒕
𝑻
𝟐
𝒕=𝟏 𝒕

6)
i.
𝒚𝒕 = 𝒍𝒏 𝒙𝒕 = 𝒖𝒕 ⇔ 𝒙𝒕 = 𝒆𝒖𝒕 ,

𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒖𝒕 ↝ 𝓝 𝟎, 𝟏

𝑵𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 𝑭𝑼 𝒛 = 𝑷 𝑼 < 𝑧 𝒆𝒕 𝑭𝑿 𝒛 = 𝑷 𝑿 < 𝑧
𝑳𝒆𝒔 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆 𝒓é𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒗. 𝒂 𝑼 𝒆𝒕 𝑿
𝑭𝑿 𝒛 = 𝑷 𝑿 < 𝑧 = 𝑷 𝒆𝑼 < 𝑧 𝒐𝒓 𝑳𝒏 𝒆𝒔𝒕 ↗ 𝒔𝒖𝒓 𝟎, +∞
𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑭𝑿 𝒛 = 𝑷 𝒍𝒏 𝒆𝑼 < 𝑙𝑛 𝒛

𝑫′ 𝒐ù 𝑭𝑿 𝒛 = 𝑭𝑼 𝒍𝒏 𝒛

=

𝟏
𝟐𝝅

⇔ 𝑭𝑿 𝒛 = 𝑷 𝑼 < 𝑙𝑛 𝒛
𝒍𝒏 𝒛

𝒖𝟐

𝒆− 𝟐 𝒅𝒖
−∞

ii.

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′

𝒇𝑿 𝒛 = 𝑭′𝑿 𝒛 = 𝒍𝒏 𝒛

𝑭′𝑼 𝒍𝒏 𝒛

=

𝟏
𝒇 𝒍𝒏 𝒛
𝒛 𝑼

𝑶ù 𝒇𝑿 𝒆𝒕 𝒇𝑼 𝑳𝒆𝒔 𝒇𝒐𝒏𝒄𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒕é 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒕é 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒗. 𝒂 𝑿 𝒆𝒕 𝑼
𝟏 𝟏 −
𝑷𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝒇𝑿 𝒛 =
𝒆
𝒛 𝟐𝝅

𝒍𝒏 𝒛
𝟐

𝟐

𝒐ù 𝒛 ∈ 𝜴𝑿 = 𝟎, +∞

iii.
𝑮𝑿 =

𝑻

𝑻

𝟏
𝑻

𝑻

𝒙𝒕 =

𝒙𝒕

𝒕=𝟏

𝟏
𝑻

𝑻

⇒ 𝒍𝒏 𝑮𝑿 = 𝒍𝒏

𝒙𝒕

𝒕=𝟏

𝒕=𝟏
𝑻

𝟏
= 𝒍𝒏
𝑻

⇒ 𝒍𝒏 𝑮𝑿

𝟏
=
𝑻

⇒ 𝒍𝒏 𝑮𝑿

𝟏
=
𝑻

⇒ 𝒍𝒏 𝑮𝑿

𝒙𝒕
𝒕=𝟏

𝑻

𝒍𝒏 𝒙𝒕
𝒕=𝟏
𝑻

𝒖𝒕
𝒕=𝟏

𝒅′𝒐ù 𝒍𝒏 𝑮𝑿 = 𝑼
iv.
𝑬 𝒍𝒏 𝑮𝑿

𝟏
=𝑬 𝑼 =𝑬
𝑻

𝑫′ 𝒐ù 𝑬 𝒍𝒏 𝑮𝑿

𝑻

𝒖𝒕
𝒕=𝟏

𝟏
= 𝑬
𝑻

𝑻

𝒖𝒕
𝒕=𝟏

𝟏
=
𝑻

𝑻

𝑬 𝒖𝒕
𝒕=𝟏

=𝟎

𝒍𝒏 𝑮𝑿 = 𝑼 ⇔ 𝑮𝑿 = 𝒆𝑼
𝒐𝒓 𝑴𝑼 𝜶 = 𝑬 𝒆𝜶𝑼 = 𝑬

𝒆𝑼

𝜶

= 𝑬 𝑮𝑿

𝜶

⇒ 𝑴𝑼 𝟏 = 𝑬 𝑮𝑿

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒐𝒏𝒔 𝒅’𝒂𝒃𝒐𝒓𝒅𝒔 𝑴𝑼 𝜶 :

𝑴𝑼 𝜶 = 𝑴𝟏

𝑻

𝒐𝒓 𝑴𝒖𝒕 𝜶 =

𝑻
𝒕=𝟏 𝒖𝒕

𝜶𝟐
𝒆𝟐

𝜶 =𝑴

𝑻
𝒕=𝟏 𝒖𝒕

𝟏
𝜶 =
𝑻

𝑻

𝑴 𝒖𝒕
𝒕=𝟏

𝒑𝒖𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒕 ↝ 𝓝 𝟎, 𝟏 ⇒ 𝑴𝒖𝒕

𝟏
𝜶
𝑻

𝟏
𝜶 = 𝒆
𝑻

𝟏 𝟐
𝜶
𝑻
𝟐

=

12
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𝜶𝟐
𝟐𝑻
𝒆 𝟐

𝟎

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𝑻

𝑴𝑼 𝜶 =

𝜶𝟐
𝒆𝟐𝑻𝟐

=

𝜶𝟐
𝒆𝟐𝑻𝟐

𝑻

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𝜶𝟐

𝟏

= 𝒆𝟐𝑻 ⇒ 𝑴𝑼 𝟏 = 𝒆𝟐𝑻

𝒕=𝟏
𝟏

𝑫′ 𝒐ù 𝑬 𝑮𝑿 = 𝒆𝟐𝑻

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