L1 SEG (MATH II)Série Corrigée N°1 Calcul Matriciel

BEN AHMED MOHSEN

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L1 SEG (MATH II)

Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Calcul Matriciel
Exercice 1 :
On donne la matrice

suivante :

.
tel que :

1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) Montrer que pour tout entier , il existe un réel

3) Vérifier que la suite
est géométrique et donner sa raison.
4) En déduire les expressions de
puis
en fonction de .

Exercice 2 :
On considère le système récurrent
;

1) Ecrire le système

sous la forme

Où
Et

est une matrice à préciser.
2) Ecrire sous la forme
où est la matrice unité d’ordre 3 et
3) Calculer
, , …,
;
4) En déduire
.
5) Utiliser les résultats précédents pour exprimer la solution générale

est une matrice à déterminer.

de

Exercice 3 :
Soit la matrice

1) Calculer

et vérifier que

Où est la matrice identité d’ordre 3.
2) En déduire que est inversible et calculer

Exercice 4 :
Soit
1) Vérifier que
2) Déterminer pour tout entier

, le reste de la division euclidienne de

1

par

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3) En déduire pour tout

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, une expression de

en fonction de

et , puis en fonction de

Exercice 5 :
On considère les matrices

et

1) Déterminer deux réels a et b tels que
2) En déduire que est inversible et donner
3) On pose
et
(2
)
a) Vérifier que
b) En déduire l’expression de

.

; exprimer
en fonction de et .

en fonction de

et

Exercice 6 :
On considère la matrice
1) Calculer ,
.
2) Soit la matrice fonction d’un réel

:

Calculer la matrice produit
; montrer qu’elle est de la même forme.
Que dire de
?
3) Vérifier que
et montrer que
4) En déduire que les puissances
de la matrice sont toutes de la forme
, avec

Exercice 7 :
Soit

la matrice identité et
on pose
a) Montrer que
b) Montrer que
c) Montrer que si

,

et

est inversible, alors

.

2

.

.

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L1 SEG (MATH II)

Série Corrigée N°1-CORRIGÉS
Calcul Matriciel
Corrigé 1 :
1)

Ainsi

D’où
2) On se propose de démontrer par récurrence sur l’entier

que

il existe une suite

de nombres réels tel que
Or

Ainsi, il suffit d’avoir

pour avoir

Supposons que
Et calculons

:

Or

par la suite :

Il suffit d’avoir une suite
récurrence suivante

pour enfin réaliser

On vient donc de démontrer que

; il existe une suite

3) Il s’agit donc d’une suite géométrique de premier terme
Il en découle le terme général de la suite
4) L’expression de
sera par la suite :

D’où l’expression de

en fonction de

définie par la relation de

:

Corrigé 2 :
1) L’écriture matricielle de

sous la forme

3

définie par :
et de raison

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Ou encore

nous suggère l’expression de

:

2)
Où
3)

Il en résulte que
4) puisque les matrices et

commutent, on peut appliquer la formule du binôme ; cela donne :

Rappelons que

Par la suite
D’où l’expression de

5) On démontre que

Or

donc supposons que

Calculons

:

avec

4

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Ce qui prouve que

Ou encore

D’où les termes généraux des suites

Corrigé 3 :
1)

Par la suite
Et
2)

Il en résulte que
Calculons
:

est inversible et

D’où

Corrigé 4 :
1)

Par la suite
Et
2)
Où
et
deux polynômes de degrés respectifs
et
Soit
or on sait que
admet deux racines 1 et 2
Remplaçons par 1 dans
on obtient
Puis par 2 dans
on obtient
Il en résulte le système suivant :

D’où le reste de la division euclidienne de
3)

ce qui donne

et

, et pour

par

:

et comme on a
5

est :

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Et
L’expression de

donc

sera par conséquent :

Corrigé 5 :
1)
Calculons

:

Par la suite

Ce qui donne

2)

Il en résulte que
Calculons
:

est inversible et

3)
a)
Or la relation
Par la suite

ou encore

indique que

on démontrera facilement par récurrence que

De la même manière on vérifie bien que
Or

et comme on a
6

toujours d’après

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Cela convient à dire que

ou encore

on démontrera facilement par récurrence que :

.
Et comme on a

donc

2
D’où l’expression de en fonction de
et :
.
b) Vérifions que les deux matrices

et

commutent :



Voir relation


On pourra par la suite appliquer la formule du binôme ; cela donne :

Or
Donc
D’autre part

, ainsi

puis remplaçons

et

par leurs expressions respectifs

On obtient :
D’où l’expression de

en fonction de

et :
.

Corrigé 6 :
1)

,
Et

2)
i.

Posons

ceci nous amène à conclure que

a la même forme de

:

ii.
3)
i.
ii.
Il suffit de remplacer

par

et

4) On vérifie bien que
pour réaliser
Maintenant supposons que
Calculons
:

par

Or On vient de vérifier que
pour enfin avoir
; Il convient de prendre

7

comme premier terme de la suite

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Enfin

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d’où l’existence d’une suite
et par son premier terme
où

définie par la relation de récurrence suivante :

Corrigé 7 :
a)
i.

puisque

Or

; (

par la suite

étant une matrice diagonale)

D’où
ii.

puisque

par la suite

D’où
iii.
Par la suite
D’où
b)

or

et comme on a

ce qui donne

[
D’où
c)

Or
en effet :

donne
D’où

ainsi

Et comme on a

ce qui

.

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