L1 SEG(PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES STAT I)Série Corrigée N°1 Distribution statistique à un seul caractère

BEN AHMED MOHSEN

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L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT )

Série Corrigée N°1-ÉNONCÉS
Distribution statistique à un seul caractère
Exercice 1 : (ISG-LA1.GESTION-SC2011)
E.Sanz, le propriétaire de la station-service de l’avenue du Gazomètre, distribue les carburants de la société Pol
Huant.
E.Sanz a réuni un ensemble brut de données à propos desquelles il souhaiterait votre avis et qu’il voudrait vous voir
traiter en partie.
Possédant certaines notions de Statistiques (mais il a oublié certains détails du cours), il a déjà organisé certaines
observations.
Tableau 1 : Résultats de l’enquête de satisfaction de la clientèle (semaine 3)
Etat de satisfaction du client
Nombre de clients ayant
répondu
Mitigé : le client pense que le service peut
15
S’améliorer et reviendra peut-être.
Enchanté du service : le client reviendra sûrement.
8
Non satisfaction absolue : le client ne reviendra pas.
Satisfait : le client reviendra.

3
25

1) Outre une représentation graphique le plus précise possible de l’état de satisfaction de la clientèle
au cours de la semaine 3, E.Sanz vous demande de calculer l’état de satisfaction modal, médian, moyen de sa
clientèle durant la semaine 3.
2) Le tableau 2 résume l’état brut des ventes individuelles de carburant.
E.Sanz reçoit une prime de la société Pol Huant si 20% de ses ventes individuelles au cours d’une semaine donnée
atteignent chacune au moins 31 litres de carburant. Après avoir transmis le relevé des ventes par courrier
électronique, il apprend que la prime ne lui a pas été accordée alors qu’un examen rapide du tableau lui avait donné
l’impression du contraire.
Il fait appel à vous pour affirmer son droit à obtenir la prime.
Tableau 2 : Distribution des ventes individuelles de carburant (semaine 3)
Ventes individuelles
Nombre de ventes
(litres)
individuelles
3
22
41
38
22
37.5 et plus

5

Quelle statistique allez-vous calculer ? Pourquoi ? Quelle est sa valeur ? Qui a raison : la société Pol Huant ou E.Sanz
et pourquoi ?

1

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Exercice 2 :
La série suivante représente le nombre de pièces non-conformes par jour, dans une entreprise :122-111-154-98-9367-134-167-123-142-132-151-127-119-137-130-127-135-187-165-161-151-143-148-132-127-99-132-139-100-136132-127-167-118-116-83-77.
1) Classer ces données dans des intervalles de même amplitude.
2) Tracer le diagramme différentiel et le diagramme intégral.
3) Calculer la médiane et déterminer la classe modale.
4) Calculer les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique, et quadratique.
5) Etudier l’asymétrie et la forme de cette série.
6) Calculer le coefficient de variation.

Exercice 3 :
Un groupe de 50 étudiants de la première année envisage la création éventuelle d’un «Tee-shirt University» pour
l’ensemble des 1700 étudiants de l’ISCAE.
A. Parmi les divers travaux à effectuer, un sous-groupe de 10 étudiants chargé d’avoir une idée sur les
différentes tailles à commander. Pour cela il décide de travailler sur un échantillon de 30 étudiants prélevés
au hasard et d’en mesurer le tour de poitrine pour en déduire les numéros de taille 1, 2,3 et 4 à
commander. Le tableau de correspondance et le suivant :
Taille
Tour de poitrine en
cm
1
2
3
4
1) Définir d’après le texte les termes «population», «échantillon statistique», «unité statistique» et «variable
statistique».
2) Indiquer la nature de la variable statistique.
B. La saisie des données statistiques a été effectuée. On a mesuré le tour de poitrine des 30 étudiants et les
résultats exprimés en cm sont les suivantes :
85-79-96-95-95-80-82-73-84-80-93-92-74-85-92
92-80-84-78-80-93-97-86-99-84-83-90-76-83-82
1) Ordonner ces données.
2) Etablir un tableau statistique des effectifs, des fréquences et des fréquences cumulées. Tracer la co urbe
représentative de la fonction de répartition.
3) Déterminer la médiane.

Exercice 4 :
Le laboratoire pharmaceutique " L" a enquêté 100 délégués médicaux sur le nombre de kilomètres qu’ils
effectuaient par jour pour représenter les produits " P ". Les résultats sont consignés dans le tableau suivant
où certaines données ont disparu.

2

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Trajets en
Km

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Nombre de délégués
médicaux
9
26
19
30

1)
2)
3)
4)

Retrouver les valeurs manquantes, sachant que le trajet moyen est de 51,6 Km.
Répondre à la même question sachant que le trajet médian est égal à 47,895 Km.
Construire l’histogramme et déterminer le mode.
Déterminer l’intervalle interquartile.

Exercice 5 :
Soit le tableau statistique suivant :
Modalités
Effectifs
6

17
14
11
3
Total
1)
2)
3)
4)

100

Déterminer les valeurs de
et
sachant que le 4ième décile est égal à 9,5
Déterminer
sachant que
13
Calculer les quartiles
Etudier l’asymétrie de cette distribution

Exercice 6 :
Le tableau suivant concerne la répartition de n entreprises selon le chiffre d’affaires en 1000D

3

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Chiffre d’affaire en
1000D

en
%
4
14
44
96
100

1) Sachant que
2) Déterminer le mode graphiquement et numériquement
3) La distribution est-elle symétrique ?

, calculer les effectifs des classes

Exercice 7 : (ISCAE-SP 2009)
Afin de mieux connaître sa clientèle, le gérant d’un centre d’animation procède à une enquête auprès d’un
échantillon de 100 individus. Il obtient la répartition selon l’âge suivante :
Âge
Effectifs
10

20
1) Calculer
et
sachant que 65% des clients ont moins de 30 ans.
2) Quelle est la proportion des clients qui ont moins de 12 ans.
3) Quelle est la proportion des clients qui ont entre 12 ans et 20 ans.

Exercice 8 : (ISG-SC 2011)
Le tableau suivant donne la répartition des employés d’une entreprise selon le salaire :
Salaire en D
Nombre
d’employés
40
34000
........

1150 et plus
Total

76

77900

19

20900

17

21600
........

1) Déterminer
et sachant que pour 41% des employés le salaire est inferieur à 987,5 D
On considère pour la suite
et

4

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2) Déterminer :
a) Le nombre (A) d’employés qui reçoivent au moins 950D
b) La valeur (B) tel que 85% des employés reçoivent un salaire inferieur à B
3) Tracer la courbe des fréquences cumulées croissantes et indiquer sur cette représentation la valeur B de la
question précédente
4) Tracer la courbe de concentration et interpréter

Exercice 9 : (ISG-SC 2010)
Le tableau suivant donne la répartition des établissements de l’enseignement supérieur en Tunisie selon le nombre
d’étudiants :
Nombre
d’étudiants
0,20
50
12500
0,20

150

112500

0,40

700

1225000

0,15

562,5

2109375

0.05

37 ,5

2812500

Les et les sont respectivement les fréquences relatives et les centres des classes.
1) Calculer
a) Le nombre moyen d’étudiants par établissement
b) La variance
c) La médiane
2) Sachant qu’il existe 40 établissements dont le nombre d’étudiants est inferieur à 500 :
a) Déterminer le nombre total d’établissements
b) Déduire le nombre d’établissement dont le nombre d’étudiants est supérieur à 5000
3) Déterminer la proportion des établissements dont le nombre d’étudiants :
a) Est inferieur à 1000 étudiants
b) Est inferieur ou égal à 2000 étudiants

Exercice 10: (ISG-SP 2009)
Lors d’une opération de recouvrement, l’entreprise ACT a commencé par reprendre ses 100 factures impayées. Les
données relatives à ces factures sont présentées par le tableau suivant :
Montant des factures
En 1000 D

Nombre de factures

26

65

24

180

a

………

b

………

40 et plus

10

505

Total

100

………

5

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1) Quel type de diagramme différentiel doit-on utiliser pour représenter ces données, justifier votre réponse.
2) Sachant que le sixième décile est égal à 30, déterminer les valeurs de a et b.
On considère pour la suite que
et
.
3) Représenter graphiquement les fréquences cumulées croissantes.
4) Calculer :
a) Le montant moyen d’une facture impayée
b) Les quartiles de cette distribution
5) Cette distribution est-elle symétrique ? Justifier votre réponse
6) Donner une approximation de la valeur globale des factures impayées
7) Calculer la médiale

Exercice 11: (ISG-SP 2008)
On a relevé les nombres de fissures contenues dans 20 plaques de cuivres, de 1 mètre de carré de surface chacune
lors d’un contrôle dans une usine de fabrication. Les résultats sont les suivantes :
40-42-32-38-40-48-30-38-36-40-34-40-38-40-42-44-36-42
1) Ranger ces résultats en classes d’amplitude 4 plaques, borne supérieure exclue.
2) Tracer l’histogramme de cette distribution.
3) Calculer la moyenne et l’écart-type de cette série.
4) Calculer les moments centrés d’ordre 1, d’ordre 2 et d’ordre 3.
Calculer l’indice de concentration de Gini et interpréter.

Exercice 12: (ISCAE-SC 2009)
La répartition des entreprises d’un secteur selon le chiffre d’affaire (en milliers de dinars (MD)) se présente comme
suit :
Chiffre d’affaire

Nombre d’entreprises
26
30
24
16
4

1) Représenter graphiquement la distribution par le diagramme qui convient.
2) Déterminer le mode de la variable chiffre d’affaire.
3) Calculer le chiffre d’affaire moyen et le chiffre d’affaire médian. Interpréter.
4) Calculer l’écart-type du chiffre d’affaire.
5) Déterminer la caractéristique de dispersion qui élimine 25% des entreprises ayant les chiffres d’affaire les plus
faibles et 25% des entreprises ayant les chiffres d’affaire les plus élevés.

6

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L1 SEG (PROBABILITÉS ET STATISTIQUES DESCRIPTIVES- STAT )

Série Corrigée N°1- CORRIGÉS
Distribution statistique à un seul caractère
Corrigé 1 : (ISG-LA1.GESTION-SC2011)
1)

• L’état de satisfaction modal sera : Satisfait : le client reviendra.
• Le caractère qualitatif ne peut être mesuré ni repéré par la suite on ne peut pas calculer ni la moyenne ni la
médiane.

2)

3

2,29%

2,29%

22

16,79%

19,08%

41

31,30%

50,38%

38

29,01%

79,39%

22

16,79%

96,18%

5

3,82%

100%

131

•

100%

: Le 8ème décile
‘’20% de ses ventes individuelles au cours d’une semaine donnée atteignent chacune au moins 31 litres
de carburant’’ se traduit comme suit :
ou encore :
Et c’est la valeur du caractère (Ventes individuelles en litres) telle que
7

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de l’effectif total ait une valeur inferieure à

et

au plus supérieure à



AN
Ce qui donne
D’où la justesse la décision de la société Pol Huant
On remarquera que

Corrigé 2 :
1) Rangeons les données par ordre croissant
67-77-83-93-98-99-100-111-116-118-119-122-123-127-127-127-127-130-132
132-132-132-134-135-136-137-139-142-143-148-151-151-154-161-165-167-167-187
Utilisons la règle empirique de Sturges pour déterminer le nombre de classes :
Il en résulte un nombre de classe égal à 13
D’autre part l’étendue
Par la suite l’amplitude de chaque classe sera :

8

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D’où la présentation des données sous forme d’un tableau statistique :

1

72

0,03

0,03

1,89

136,42

3,65.10-4

2

82

0,05

0,08

4,32

353,89

6,42. 10-4

1

92

0,03

0,11

2,42

222,74

2,86. 10-4

3 102

0,08

0,18

8,05

821,37

2 112

0,05

0,24

5,89

4 122

0,11

0,34

132

0,32

4 142

-5317,25

312015,97

-6071,53

295562,05

0,12

-1522,92

58906,37

7,74. 10-4

0,37

-1862,41

53413,89

660,21

4,70. 10-4

0,25

-343,07

6408,46

12,84

1566,74

8,63. 10-4

0,51

-68,84

597,52

0,66

41,68

5502,32

2,39. 10-3

1,54

0,73

0,96

0,11

0,76

14,95

2122,53

7,41. 10-4

0,52

152,69

1728,47

4 152

0,11

0,87

16,00

2432,00

6,93. 10-4

0,53

1020,09

21748,29

2 162

0,05

0,92

8,53

1381,26

3,25. 10-4

0,27

1617,01

50644,63

2 172

0,05

0,97

9,05

1557,05

3,06. 10-4

0,27

3713,02

153422,00

0 182

0,00

0,97

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

0,00

1 192

0,03

1,00

5,05

970,11

1,37. 10-4

0,14

6067,68

372070,29

130,68

17726,63

7,99. 10-3

4,85

-2614,79

1326518,92

12

38

1,00

9

0,11

0,23

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2) Diagramme différentiel / Diagramme intégral

3)

 Médiane :



4)
 Moyenne Arithmétique :

 Moyenne Géométrique :

10

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Ou encore :

 Moyenne Harmonique :

 Moyenne Quadratique :

La relation suivante sera toujours vérifiée :
5) Etude de l’asymétrie :
Calculons le coefficient de dissymétrie
Avec

Rappelons que l’écart-type

Où

Par la suite
Ce qui donne :

En effet distribution étalée vers la droite ou dissymétrique à droite donc une queue de distribution étalée vers la
gauche.

Etude de l’aplatissement :
Calculons le coefficient de Fisher

Avec

11

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Par la suite

Par conséquent la distribution est plus affilée que la distribution normale. Elle est dite leptocurtique.
6) Calculons le coefficient de variation

Corrigé 3 :
A.
1) Population : l’ensemble des 1700 étudiants de l’ISCAE
Échantillon statistique : l’échantillon de 30 étudiants prélevés
Unité statistique : un étudiant
Variable statistique : taille (resp. Tour de poitrine)
2) Variable statistique :
B.
1)
73-74-76-78-79-80-80-80-80-82-82-83-83-84-84
84-85-85-86-90-92-92-92-93-93-95-95-96-97-99
2)


Variable statistique quantitative discrète : Taille

1

5

0,167

0,167

2

14

0,467

0,633

3

8

0,267

0,900

4

3

0,100

1

30

1

Diagramme en marche d’escalier
1
0,9

0,633

1.67
0

1

2

3

4

12

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

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Variable statistique quantitative continue : Tour de poitrine

∑

5

0,167

0,167

14

0,467

0,633

8

0,267

0,900

3

0,100

1,000

30

1

3)

Corrigé 4 :

10

15

9

135

9

20

30

26

780

35

20
∑

19

54

30

84

90

1
100

13

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1)

Et comme on a :

Ainsi on trouve :

Et comme on a :

D’où

par suite

2) Pour
Et comme on a
On retrouve

3)

où

l’amplitude de référence

10

15

9

0,09

0,09

0,09

20

30

26

0,26

0,35

0,13

10

45

19

0,19

0,54

0,19

30

65

30

0,3

0,84

0,1

20

90

16

0,16

1

0,08

100

1

∑



Où

,

étant l’excédent d’effectif de la classe modale par rapport à l’effectif de la classe

inférieure la plus proche.

14

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Et

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,

sera l’excédent d’effectif de la classe modale par rapport à l’effectif de la classe

supérieure la plus proche.
En effet

4)

Où

71

Et
Il en résulte que

Corrigé 5 :
1)

Puisque on a :

Ainsi

4

6

6

4
4

Total

55
17

72

14

86

8

11

97

12

3

100

100

Par la suite

15

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2)

4

2

6

12

6

4

6

25

150

31

4

10

24

240

55

17

72

14

86

8

26

11

286

97

12

36

3

108

100

Total

100
On a

Par la suite :
D’où

Total

4

2

6

12

6

24

-7986

4

6

25

150

31

900

-8575

4

10

24

240

55

2400

-648

4

14

17

238

72

3332

17

6

19

14

266

86

5054

3024

8

26

11

286

97

7436

24167

12

36

3

108

100

3888

36501

100

1300

23034

46500

3)


D’où

16

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

D’où


D’où
7) Etude de l’asymétrie :
Calculons le coefficient de dissymétrie
Avec

Ainsi
D’autre part

Ainsi

et

D’où la valeur du coefficient de dissymétrie
En effet nous avons une distribution étalée vers la gauche ou dissymétrique à gauche donc une queue de distribution
étalée vers la droite.

Corrigé 6 :
1)

où

∑

l’amplitude de référence

2

6

0,04

6

0,04

-119439,36

0,04

4

9

0,10

15

0,14

-280322,1

0,05

2

12

0,30

45

0,44

-788421,6

0,3

2

14

0,52

78

0,96

-1308037,12

0,52

4

17

0,04

6

1

-94105,48

0,02

1

150

-2590325,66

17

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On a respectivement
 Déterminons les fréquences relatives
Or
D’où
On a

Rappelons que

Par la suite on pourra calculer facilement les effectifs suivant la relation suivante
Ce qui donne

;

;

Et

2)

Graphiquement

Analytiquement
 Classe modale :


avec

et

18

;

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3) Etude de l’asymétrie :
Calculons le coefficient de dissymétrie :
Avec
et

D’où
Une distribution étalée vers la droite ou dissymétrique à droite donc une queue de distribution étalée vers la
gauche.

Corrigé 7 : (ISCAE-SP 2009)
1)
On a

5

12,5

5

17,5

20

30

10

45

∑

2

10

10

80
2

20

100

100

On rappelle que la densité d’effectif
On définit l’effectif relatif

relative à l’intervalle

d’une classe

par

Ainsi avoir 65% des clients qui ont moins de 30 ans se traduira par :

Rappelons que pour

on a

Ainsi
Ce qui donne
Il en résulte que :
D’où

et

19

est donnée par

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Adresse électronique : omega.center.cp@gmail.com

2)
Où

la densité de fréquence relative à l’intervalle

:

Par la suite

3)

D’où

Corrigé 8 : (ISG-SC 2011)
1)
100

40

0,4

50

76

1,52

100

19

0,19

100

17
∑
Par suite

Or

D’où

et

20

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2)
100

850

100

950

50

1025

100

1100

40

et

0,2

0,17

0,2

0,17

45600

0,24

0,228

0,44

0,398

76

77900

0,38

0,39

0,82

0,788

19

20900

0,095

0,105

0,915

0,892

17

21600

0,085

0,108

1

1

200

200000

1

1

48

∑
 Calculons

34000

:
Par la suite

Et

3)
a)

D’où
b)

Donc

n'est autre que le

percentile

En effet
D’où

4)

5)
La valeur globale relative est définie par :
Et la valeur globale cumulée croissante
La courbe de concentration ou de Lorentz est l’ensemble des points
qui se trouve toujours sous la
première bissectrice
Interprétation :
La courbe de concentration se rapproche de la diagonale ce qui signifie que la répartition des salaires est égalitaire
avec évidemment une concentration trop faible.
21

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Corrigé 9 : (ISG-SC 2010)
1)
500

250

0,2

50

12500

0,2

500

500

750

0,2

150

112500

0,4

500

1500

1750

0,4

700

1225000

0,8

1000

2500

3750

0,15

562,5

2109375

0,95

375

5000

7500

0,05

37,5

2812500

1

125

1500

6271875

∑

1

2500

a)

b)

c)

2)
a)

or

ce qui donne

par la suite

b)
3)
a)

22

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b)

Corrigé 10 : (ISG-SP 2009)
1) La distribution des montants de factures est quantitative continue donc le diagramme différentiel approprié sera
l’histogramme des fréquences (ou d’eff ectifs)
2)
5

2,5

26

65

26

5

7,5

24

180

50

10

505

100

20

20

10

35

∑

100
Avec
D’où

D’autre part
Il en résulte que

3)

∑
D’abord

5

2,5

26

65

26

0,26

0,26

1,625

-1006,17218

0,036

0,036

5

7,5

24

180

50

0,24

0,50

13,5

-294,01032

0,099

0,135

20

20

10

20

60

0,10

0,60

4

0,5832

0,011

0,146

10

35

30

1050

90

0,30

0,90

367,5

1422,4896

0,577

0,723

21

50,5

10

505

100

0,10

1

255,025

3369,8267

0,277

1,000

100

1820

641,65

3492,717

1,000

1

d’autre part

ce qui donne

23

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4)
a)
b)

d’où le montant moyen d’une facture impayée




5) Calculons le coefficient de dissymétrie :

or

Et
D’où
et la distribution est étalée vers la gauche ou dissymétrique à gauche donc une queue de
distribution étalée vers la droite.
6) La valeur globale des factures impayées est estimée par

7)

Corrigé 11 : (ISG-SP 2008)
1)
Méthode des
triangles

∑

32

2

0,1

3,2

102,4

-43,8976

64

0,081

0,1

0,081

0,0020

36

4

0,2

7,2

259,2

-9,3312

144

0,182

0,3

0,263

0,0179

40

9 0,45

18

720

0,0288

360

0,455

0,75

0,717

0,0231

44

4

0,2

8,8

387,2

17,0368

176

0,222

0,95

0,939

0,0110

48

1 0,05

2,4

115,2

29,6352

48

0,061

1

1

39,6

1584

-6,528

792

1

20

1

2)
24

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




4) Méthode des triangles

Interprétation : concentration faible et une répartition égalitaire des fissures

Corrigé 12 : (ISCAE-SC 2009)
1)

où

l’amplitude de référence

12,5

15

26

0,26

3,25

40,625

0,26

0,17

25

10

30

0,30

7,5

187,5

0,56

0,30

35

10

24

0,24

8,4

294

0,8

0,24

45

10

16

0,16

7,2

324

0,96

0,16

75

50

4

0,04

3

225

1

0,008

1

29,35

1071,125

∑

100

2)



Classe modale :
avec

et

25

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3)


les entreprises possèdent en moyenne un chiffre d’affaire de l’ordre de 29,35MD


Au plus 50% des entreprises possèdent un chiffres d’affaire qui ne dépasse pas les 28MD
On remarque que
4)
5)

donc la distribution est dissymétrique à gauche

sera la caractéristique de dispersion qui élimine 25% des entreprises ayant les chiffres
d’affaire les plus faibles et 25% des entreprises ayant les chiffres d’affaire les plus élevés.



D’où
il contient au moins 50% des observations centrales de la distribution ; en éliminant
25% des entreprises ayant les chiffres d’affaire les plus faibles et 25% des entreprises ayant les chiffres d’affaire les
plus élevés cette caractéristique de dispersion permet aussi d'éliminer l’influence des valeurs extrêmes.

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