4M serie5.app cmplxes smaali Mondher

Complexes .5

Exercice 1

 
(
O
;
i , j ) , on
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé
considère le point M d'affixe zM=2+im (où m est un nombre réel) et le
carré MNPQ de centre O et tel que N soit l'image de M par la rotation de
centre O et d'angle de mesure
a/.


.
2

1 Déterminer, en fonction de m les affixes

z N , z P , zQ

des points

N, P Q.
2. Représenter le carré MNPQ dans le cas particulier où le point M
a pour affixe 2+3i.
b/. M étant le point d'affixe zM=2+i m , on note I le milieu du segment
[MN] et J le milieu du segment [NP] d'affixes respectives zI et zJ .
zM  zJ
Calculer le nombre complexe w 
zQ  z I
Donner l'interprétation géométrique du module et de l'argument
de w, et expliquer, par un raisonnement géométrique, le résultat obtenu.
c/. Soit A le point d'affixe 2.



1. Calculer l'affixe Z du vecteur AI . Calculer le module de Z,
puis, en distinguant les cas m<-2 et m>-2, déterminer un argument de Z.
2. En déduire l'ensemble  décrit par le point I quand M décrit la
droite D d'équation x=2. Représenter.

SMAALI.MONDHER.

www.alphamaths.12r.org

4M.

Exercice 2
 
Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormé  O, i , j  .
On considère dans P les points A, B et C d'affixes respectives z A  1  i 3 ,
z B  1  i et z C  (2  3 )  i
1.
a. Calculer le module et un argument du nombre complexe
W 

zC  z B
z A  zB

b. En déduire la nature du triangle ABC.
2.

a. Écrire le nombre complexe

zA
sous forme algébrique.
zB

b. Écrire les nombres zA et zB sous forme trigonométrique. En déduire la
forme trigonométrique de

zA
zB

c. À l'aide des deux questions précédentes donner les valeurs exactes de
 
 
cos  et sin  
 12 
 12 

SMAALI.MONDHER.

www.alphamaths.12r.org

4M.

Exercice 3
Partie A
Soit P le polynôme défini sur C par: P( z )  z  2 3z  4
1.
Résoudre dans C l'équation P(z) = 0.
2.
Écrire les solutions sous forme trigonométrique.
Partie B
Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct (unité 4 cm).
2

Soient A, B et C les points d'affixes respectives : a = 2i, b   3  i
et c   3  i .
1.
Placer les points A, B et C sur une figure.
ab
2.
Soit Z 
cb
a. Interpréter géométriquement le module et un argument de Z.
b. Écrire Z sous forme algébrique et sous forme trigonométrique.
c. En déduire la nature du triangle ABC ainsi qu'une mesure, en radians,
de l'angle ( BC , BA)
3.
Calculer l'aire du triangle ABC en centimètres carrés.

Exercice 4
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; i , j ) , l'unité est
le centimètre. Soit ABC un triangle direct dont le point O est le centre du
cercle circonscrit. On désigne par M le milieu de [BC]; N celui de [CA] et
P celui de [AB] . Les affixes respectives des points M, N et P sont notées
m, n, p.
a. Dans cette question m=-1-3i et n=2. Construire les triangles ABC
et MNP.
b. On considère la transformation f du plan dans lui-même qui à
chaque point d'affixe z=x+iy associe le point d'affixe z'=x'+iy' telle que
i



e4
z' 
(  z  m  n  p)
2
Quelle est la nature de f? Donnez ses éléments caractéristiques.
SMAALI.MONDHER.

www.alphamaths.12r.org

4M.

c. a, b, c désignent les affixes respectives des points A, B, C.




Montrez que M N  PA . En déduire que a=n+p-m.
Exprimez de manière analogue b et c en fonction de m, n et p.
d. On pose f (A) =A'; f(B)=B' ; f(C)=C'. On désigne par a', b' et c' les
affixes de A', B' et C'. Démontrez que :
a'=(1+i)m
b'=(1+i)n
c'=(1+i)p




En déduire que MA' et O M sont orthogonaux et que A' appartient à
(BC).
Montrez de même que B' appartient à (AC) et que C' appartient à (AB).
e. Montrez que les triangles MNP et A'B'C' sont directement
semblables (précisez le centre de la similitude directe transformant le
triangle MNP en A'B'C').
f. Construisez les points A', B' et C' sur la figure du a.

Exercice 5
Dans le plan complexe, on considère l’ensemble E des points M d’affixe z
tels que z  (1  i )  z  (1  i )
Déterminer et construire E.
Déterminer et construire l’ensemble F des points M tels que
2

2

2

2

[ z  (1  i )][ z  (1  i )]  8

Vérifier qu’il existe un point de E  F où les deux courbes ont même
tangente.

SMAALI.MONDHER.

www.alphamaths.12r.org

4M.