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CRUTEL Kevin
FERIN--FOUCAL Sarah
LAURENT Hugo

Groupe MB
Promotion 2015

Projet de mécanique des fluides
Etude des écoulements compressibles

0

Introduction
De nombreux domaines, tels que l’aérospatial, l’aéronautique ou encore la balistique,
se doivent de maîtriser les phénomènes de compressibilité, comme par exemple le
franchissement du mur du son. Aussi complexes qu’ils en aient l’air, nous sommes parvenus
à modéliser ces phénomènes en salle de travaux pratiques. La théorie des écoulements
compressibles nous permet de comprendre les notions de jet supersonique ou encore
d’onde de choc… Cependant, les essais en souffleries supersoniques exigent un matériel
coûteux et encombrant. Nous avons eu, malgré tout, la possibilité d’amorcer une tuyère en
salle de TP. Ses dimensions limitant les applications, l’analogie Mach/Froude nous a permis
d’étudier les ondes de choc au moyen d’une cuve analogique.

Dans un premier temps, nous avons mis en évidence les similitudes entre les
équations régissant un écoulement de gaz et celles régissant un écoulement d’eau puis nous
avons illustré cette analogie par l’étude des ressauts droits et obliques. Ensuite, nous avons
reproduit les phénomènes observés dans une tuyère réelle en en construisant une adaptée à
notre cuve analogique. Tout au long de notre projet, nous avons discuté de la pertinence de
cette analogie.

1

INTRODUCTION
I.

THEORIE DES ECOULEMENTS COMPRESSIBLES
1. ECOULEMENT DES GAZ
2. PHENOMENE D ’ONDE DE CHOC
3. ANALOGIE HYDRAULIQUE

II.

DIEDRES : RESSAUTS HYDRAULIQUES OBLIQUES
1.
2.
3.
4.

III.

TUYERES A GAZ
1.
2.
3.
4.

IV.

DISPOSITIF EXPERIMENTAL
POLAIRE DE CHOC POUR UN GAZ HYDRAULIQUE
CONFRONTATION RESULTATS EXPERIMENTAUX /THEORIE
LIMITES DE L’ANALOGIE HYDRAULIQUE

PRESENTATION
ETUDE DE L’ECOULEMENT DANS UNE TUYERE
PROFILS DE PRESSION
ETUDE DU DEBIT

TUYERES HYDRAULIQUES
1. EXPERIENCE
2. RESULTATS ET ANALYSES

CONCLUSION

2

I.

Théorie des écoulements compressibles

1) Ecoulement des gaz
L’écoulement d’un gaz peut être caractérisé par différents régimes : Le régime
subsonique, le régime sonique, et le régime supersonique. Les phénomènes physiques
engendrés par ses différents régimes les rendent très distincts, d’une part par leur
modélisation, et d’une autre par les lois qui les régissent.
Pour différencier ces régimes, on définit un nombre adimensionnel, rapport de la
vitesse locale du fluide avec la célérité locale du son dans le milieu considéré. Ce nombre
est appelé nombre de Mach :

V
M
c
 M<1 : Régime subsonique. Dans ce cas, l’amont n’influence pas l’aval. En effet, la
perturbation se propage dans toutes les diréctions.
 M>1 : Régime supersonique. La zone perturbée se situe en aval de la perturbation,
elle est limitée dans l’espace par le « cône de Mach ». La source dépasse les
perturbations qu’elle émet.
 M=1 : Régime sonique. Il s’agit d’une limite commune aux descriptions précédentes.

Pour un nombre de Mach supérieur à 0.3, on parle de compressibilité des gaz : Les
variations de vitesse entraînent des variations de masse volumique non négligeables.
A l’inverse, pour un nombre de Mach inférieur à 0.3, on considère que la masse volumique
se conserve. On parle alors d’incompressibilité des gaz.

2) Phénomène d’onde de choc
Une onde de choc caractérise le passage d’un type d’écoulement à un autre.
L’onde de choc se situe dans une région relativement fine au travers de laquelle les
propriétés du fluide changent de façon brutale (discontinuité des caractéristiques du
fluide comme la pression, la température, la vitesse ou encore la masse volumique).
Ce phénomène ne peut se produire que dans les cas d’un écoulement supersonique.

3

Il existe deux types d’ondes de choc, les ondes de choc droites et les ondes de choc
obliques.
Hugoniot est le premier à mettre en évidence le phénomène d’onde de choc
droite par l’intermédiaire de l’étude des ondes de compressions.
A la suite de la mise en mouvement brutale d’un piston, Hugoniot a montré
l’apparition d’une focalisation. Ce regroupement d’ondes provoque des
discontinuités des grandeurs physiques du fluide. Sur les théories classiques
d’évolutions continues, ces discontinuités n’étaient pas prévues. Cette onde sépare le
gaz non affecté et celui mis en vitesse par le piston. Une interprétation physique
consiste à dire que le piston « écarte » l’air sur son chemin et la perturbation induite
par ce phénomène est une variation brutale de la pression, cette dernière étant plus
élevée en amont du front d’onde que dans la région non perturbée. La température
augmente en raison de la compression adiabatique derrière le front d’onde. La
vitesse du son derrière le saut de pression est plus élevée que dans la zone non
perturbée.
En clair, toute autre perturbation due à l’avance continue du piston dans le
tube se déplacera plus vite que le front d’onde. L’onde de compression adopte un
profil raide, devenant à l’échelle macroscopique une discontinuité des grandeurs
physiques.
L’onde de choc peut avoir dans certains cas la forme d’un plan incliné d’un
angle fixe par rapport à la direction du fluide à l’infini. On parle de choc oblique.
Ceux-ci correspondent plus généralement à un changement de direction de
l’écoulement.
Contrairement aux chocs droits, le régime d’écoulement en aval peut être de
deux natures suivant l’intensité des chocs. Si le choc est « faible », il est possible de
rester en régime supersonique. Si le choc est « fort », l’écoulement en aval est
subsonique.

3) Analogie hydraulique
Les équations gouvernant l’écoulement d’un gaz compressible présentent des
similitudes avec celles établies pour un écoulement quasi-bidimensionnel à surface
libre d’un film de liquide parfait. Nous allons donc exploiter cette méthode
analogique pour l’étude des phénomènes supersoniques (M>1). Des manipulations
simples utilisant une cuve analogique ainsi qu’un dispositif de visualisation nous ont
en effet permis d’étudier quelques phénomènes élémentaires tels que la déflexion
d’un écoulement par un dièdre, ainsi que l’écoulement dans une tuyère.

4

Les principales notations utilisées seront :
En aérodynamique compressible :
P : pression statique
ρ : masse volumique
T : température absolue
V : vecteur vitesse de composantes (u,v)
a : célérité de l’onde de propagation
Cp, Cv : chaleurs spécifiques molaires à pression et à volume constants
γ = Cp/Cv
H = Cp.T : enthalpie molaire
R : constante des gaz parfaits
r = R/Ma = 287.25 J/Kg/K, Ma étant la masse molaire de l’air
M : nombre de Mach
En hydraulique :
g : accélération de la pesanteur
h : hauteur locale du film d’eau
Fr : nombre de Froude
Les grandeurs génératrices i.e. correspondants à un point de vitesse nulle du
fluide seront accompagnées d’un indice ‘0’.
Nous pouvons maintenant étudier les similitudes existant entre l’écoulement
d’un gaz parfait compressible et celui d’un film liquide à surface libre.
Ecoulement d’un gaz parfait compressible :
On considère l’écoulement bidimensionnel permanent d’un gaz
calorifiquement parfait i.e. à Cv et Cp constants. Les frottements seront de plus
négligés et on considèrera l’écoulement isentropique. Soit les conditions génératrices
de l’écoulement : H0, P0, ρ 0, T0.
On a les relations suivantes :
 Conservation de la masse :

ρu  ρv 

0
x
y

 Conservation de l’énergie :

H

 Loi de Laplace :

 Vitesse du son :

V2
 H0
2

P0  ρ 0 
 
P  ρ 

γ

c  γrT

5

En combinant ces équations on obtient une relation liant le rapport des pressions
locale et génératrice au nombre de Mach :

Ecoulement d’un film liquide à surface libre :
On considère que l’écoulement est bidimensionnel.
On note h(x,y) la hauteur locale du film liquide.
On a les relations suivantes :
 Conservation de la masse : hu   hv   0
x
y
 Conservation de l’énergie : h 

v2
 h0
2g

 Vitesse de propagation des ondes dans un film liquidea: 

gh

En combinant ces équations on obtient la relation suivante :

6

Le nombre de Froude joue le même rôle que le nombre de Mach, à savoir distinguer
les différents types d’écoulements.
Pour établir l’analogie, on considère un gaz fictif de coefficient isentropique γ=2.
Tableau récapitulatif de l’analogie Mach-Froude :
Gaz compressible

Mach

Liquide à surface libre

M

V
c

Froude

Fr 

T
T0

h
h0


0

h
h0

P
P0

(

V
a

h
)
h0

2

Régime subsonique M < 1

Régime fluvial Fr < 1

Régime critique M = 1

Régime critique Fr = 1

Régime supersonique M > 1

Régime torrentiel Fr > 1

Onde de choc

Ressaut hydraulique

7

II. Dièdres : Ressauts hydrauliques obliques
1) Dispositif expérimental
Nous avons vu précédemment que l’écoulement d’un gaz compressible présentait une
grande similitude avec un écoulement quasi-bidimensionnel à surface libre d’un film de
liquide parfait. Pour exploiter cette analogie hydraulique, nous disposons en salle de Travaux
Pratiques d’un canal d’analogie hydraulique. Ce dispositif d’essai est un canal plan où l’eau
évolue en circuit fermé.

Schéma du dispositif expérimental
Ce dispositif comprend :
- Un système de pompage, en amont du dispositif, permettant d’alimenter en eau
le bac de tranquillisation qui permet d’éliminer, à l’aide d’un système d’alvéoles,
les fluctuations de l’eau provenant de la pompe.
- Un sas d’alimentation permettant de faire varier la hauteur d’eau génératrice,
que l’on note h0,
- Une vanne coulissante (guillotine) permettant de régler le débit et l’épaisseur du
film d’eau,
- Une pointe munie d’une vis micrométrique permettant de mesurer la hauteur
locale du film d’eau au centième de millimètre près.
- Un bac de récupération gradué permettant de mesurer le débit à l'aide d'un
chronomètre.

8

Bac de tranquillisation et guillotine

Disposition du dièdre sur le canal hydraulique

9

2) Polaire de choc pour un gaz hydraulique
Grâce à l’analogie hydraulique établie précédemment, nous pouvons maintenant étudier
les ressauts hydrauliques obliques, analogues aux chocs obliques en dynamique des gaz
compressibles. Considérons pour cela l’écoulement torrentiel (Fr>1) uniforme d’un film
liquide, dans un canal à surface libre et de largeur fixe. Un changement de direction de
l’écoulement, induit par un angle de dièdre, provoque une variation de hauteur h du film
liquide, h étant la différence des hauteurs en amont et en aval du ressaut. Des ondes de
gravité se développent à la surface de l’eau, aboutissant à la formation d’un ressaut
hydraulique oblique.
Le but de cette partie est alors d’établir une relation entre l’angle du dièdre θ et l’angle
de déviation du fluide au niveau du ressaut β.
On utilise pour cela le nombre de Froude en amont du ressaut, défini par la relation
suivante : 𝐹𝑟1 =

𝑈1
√𝑔.ℎ1

avec U1 la vitesse moyenne de l’écoulement et h1 l’épaisseur du film

d’eau en amont.
Pour déterminer cette relation théorique, on a besoin de modéliser le ressaut
hydraulique de la façon suivante :

Schéma du ressaut oblique
U1net U2nsont les vitesses normales de l’écoulement, respectivement en amont et en aval
du ressaut et U1t et U2t les vitesses tangentielles de l’écoulement.

10

La vue selon la normale au ressaut est alors la suivante :

U2n

U1n

h1

h2
Fp2

Fp1
Vue selon la normale au ressaut

On utilise désormais plusieurs relations pour aboutir à la polaire de choc. L'écoulement
étant supposé uniforme, on écrit les équations de conservation relatives au fluide :
Équation de conservation de la masse : h1.U1n = h2.U2n
Equation de conservation de la quantité de mouvement en projection sur la
direction normale au ressaut :
𝒉𝟏 ²
𝒉𝟐𝟐
𝑸
∑ 𝑭𝒏 = 𝑭𝒑𝟏 − 𝑭𝒑𝟐 = 𝝆𝒈
− 𝝆𝒈
= 𝝆 (𝑼𝟐𝒏 − 𝑼𝟏𝒏 )
𝟐
𝟐
𝑳

-



Fn représente l’ensemble des forces extérieures appliquées au fluide. On ne
considère que les forces de pression de répartition hydrostatique car le fluide est
considéré comme parfait donc les forces de frottements visqueux sont négligées.



𝒒=



𝝆 𝑳 (𝑼𝟐𝒏 − 𝑼𝟏𝒏 ) la quantité de mouvement



𝑭𝒑 = 𝝆𝒈

𝑸

𝑸
𝑳

avec L est la largeur du canal
𝒉²
𝟐

la force de pression par unité de largeur du canal en amont du ressaut,

indicé 1 et en aval indicé 2.
𝑔

On a alors 2 (𝒉𝟐𝟏 − 𝒉𝟐𝟐 ) = 𝒒(𝑼𝟐𝒏 − 𝑼𝟏𝒏 ).
En projection sur le plan tangent à l’onde de choc, la résultante des forces de
pression est nulle. On peut écrire une équation de conservation de la quantité de
mouvement tangentielle : dm.U1t=dm.U2t soit U1t=U2t. Donc la composante tangentielle de la
vitesse se conserve à la traversée d’un choc oblique.

11

A partir du schéma du ressaut oblique, on établit les relations géométriques entre les
vitesses normales et tangentielles en amont et en aval du ressaut :
𝑼𝟏𝒏 = 𝑼𝟏 . 𝐬𝐢𝐧(𝜷) 𝒆𝒕 𝑼𝟏𝒕 = 𝑼𝟏𝒏 / 𝐭𝐚𝐧(𝜷)
𝑼𝟐𝒏 = 𝑼𝟐 . 𝐬𝐢𝐧(𝜷 − 𝜽) 𝒆𝒕 𝑼𝟐𝒕 = 𝑼𝟐𝒏 . 𝐭𝐚𝐧(𝜷 − 𝜽)
𝒈

𝒉

𝟏

On obtient ainsi : 𝟐 (𝒉𝟐𝟏 − 𝒉𝟐𝟐 ) = 𝑼𝟐𝟏𝒏 . 𝒉𝟏 (𝒉𝟏 − 𝟏)soit 𝟐 (𝒉𝟏 + 𝒉𝟐 ) =

𝑼𝟐𝟏𝒏 .𝒉𝟏

𝟐

𝒈.𝒉𝟐

.

Finalement, en multipliant par 2h 2, on obtient une équation du second degré que l’on
résout en h2 : 𝒉𝟐𝟐 + 𝒉𝟏 𝒉𝟐 − 𝟐

𝑼𝟐𝟏𝒏 𝒉𝟏
𝒈

= 𝟎.

Cette équation possède deux solutions, on ne garde que la solution positive puisque l’on
traite des hauteurs :
𝒉𝟐 =

𝒉𝟏
𝟐

(√𝟏 + 𝟖𝑭𝒓𝟐𝟏𝒏 − 𝟏) avec 𝑭𝒓𝟏𝒏 =

Ainsi, on a

𝒉𝟐
𝒉𝟏

𝑼𝟏𝒏
√𝒈.𝒉𝟏

𝟏

= 𝟐 (√𝟏 + 𝟖𝑭𝒓𝟐𝟏𝒏 − 𝟏)

Or 𝑭𝒓𝟏𝒏 = 𝑭𝒓𝟏 . 𝐬𝐢𝐧(𝜷), donc on peut en déduire une expression de 𝐬𝐢𝐧(𝜷) :
𝟏

𝒉

𝒉 ²

𝟏

𝟏𝒉

𝒉

𝐬𝐢𝐧(𝜷) = √𝟖𝑭𝒓𝟐 (𝟒 𝒉𝟐 + 𝟒 𝒉𝟐 ²) = 𝑭𝒓 √𝟐 𝒉𝟐 (𝟏 + 𝒉𝟐 )
𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

𝟏

En utilisant l’équation de conservation de la masse ainsi que les relations
géométriques établies précédemment, on obtient :
𝒉𝟐 𝑼𝟏𝒏
𝐭𝐚𝐧(𝜷)
𝟏
=
=
= (√𝟏 + 𝟖𝑭𝒓𝟐𝟏𝒏 − 𝟏)
𝒉𝟏 𝑼𝟐𝒏 𝐭𝐚𝐧(𝜷 − 𝜽) 𝟐
A l’aide de relations sur les tangentes, on en déduit l’expression du demi-angle
du dièdre en fonction de l’angle de déviation et du nombre de Froude amont :

𝐭𝐚𝐧(𝜽) =

𝐭𝐚𝐧(𝜷) (√𝟏 + 𝟖𝑭𝒓𝟐𝟏 𝐬𝐢𝐧 ²(𝜷) − 𝟑)
𝟐𝐭𝐚𝐧²(𝜷) + √𝟏 + 𝟖𝑭𝒓𝟐𝟏 𝐬𝐢𝐧 ²(𝜷) − 𝟏

Notons que cette relation n’est valable que pour des angles de déviation positifs,
c’est-à-dire correspondant à un rétrécissement du canal. Elle nous permet de tracer
l’analogue de la polaire de choc pour un gaz hydraulique sur Matlab.

12

Polaire de choc pour un gaz hydraulique
On note que cette polaire est tracée pour des angles θ et β en radians. Les Froude
faibles correspondent aux angles θ petits et les Froude plus grands correspondent aux angles
θ plus importants.
Pour un Froude donné et pour un même angle de dièdre, deux angles de ressaut
possibles sont présents. Nous considèrerons ici les angles de déviations situés à gauche de la
polaire de choc et correspondants aux chocs faibles. Les chocs faibles constituent en effet
des solutions toujours stables. Comme l’écoulement reste supersonique en aval, l’influence
de l’aval du dièdre est inexistante.
Plus le nombre de Froude est grand (régime torrentiel uniquement en amont) et plus
les angles de ressaut sont proches.
Lorsque le nombre de Froude augmente, l’angle de ressaut diminue pour un même
angle de dièdre (cette remarque est vraie dans le cas de chocs faibles).
Pour un même angle θ donné, il existe deux angles β possibles. On distingue alors les
chocs forts et les chocs faibles. Les chocs faibles sont à gauche de la polaire de choc et
correspondent toujours à une solution stable.
3) Confrontation résultats expérimentaux/théorie
Nous avons créé dans le canal hydraulique un écoulement torrentiel, correspondant à un
nombre de Froude supérieur strictement à un et avons mesuré le débit en chronométrant le
temps mis par le bac pour se remplir. Nous avons ensuite positionné des dièdres d’angles
différents dans le canal hydraulique, de façon à ce que l’écoulement reste parallèle à la
bissectrice de l’angle du dièdre.
13

Ces dièdres vont donc perturber l’écoulement, c’est-à-dire qu’ils vont provoquer
l’apparition de ressauts hydrauliques obliques.
Une fois le régime permanent établi, nous pouvons mesurer grâce à une vis
micrométrique la hauteur d’eau en amont et l’angle du ressaut β à l’aide d’un rapporteur.
Pour chaque dièdre, trois séries de mesures ont été effectuées, chacune des séries
correspondant à un débit différent et donc à un nombre de Froude amont différent. Ces
différents débits sont créés à l’aide de la guillotine. On laisse passer une certaine hauteur
d’eau pour choisir le débit voulu.
L’objectif de ces mesures est alors de comparer nos résultats expérimentaux avec les
résultats théoriques évoqués précédemment et de déterminer les limites de nos expériences
ainsi que la justesse de nos résultats.
Pour chaque écoulement, on calcule dans un premier temps le débit, puis ayant mesuré
au préalable la section du bac hydraulique en amont, on en déduit la vitesse en amont du
ressaut. En utilisant la définition du nombre de Froude 𝑭𝒓𝟏 =

𝑽
√𝒈.𝒉𝟏

on calcule alors le

nombre de Froude amont.
Première série de mesure :
Hauteur d’eau en amont du dièdre : h1=1,94mm
Vitesse de l’écoulement amont: V=0,67m/s
Nombre de Froude amont : Fr=6,42
θ (°)
β mesuré (°)
β théorique (°)
Erreur relative
(%)

25
25
33

30
25
40

35
28
44

40
30
51

45
30
57

50
32
68

24,24

37,50

36,36

41,18

47,37

52,94

Comparaison points expérimentaux et théoriques pour Fr=6,42
14

Deuxième série de mesure :
Hauteur d’eau en amont du dièdre : h1=1,85mm
Vitesse de l’écoulement amont: V=0,77m/s
Nombre de Froude amont : Fr=5,7
θ (°)
β mesuré (°)
β théorique (°)
Erreur relative
(%)

25
25
34

30
26
40

26,47058824 35

35
29
45

40
30
52

45
32
60

50
33

35,55555556 42,30769231 46,66666667

Comparaison points expérimentaux et théoriques pour Fr=5,7

Troisième série de mesure :
Hauteur d’eau en amont du dièdre : h1=2,7mm
Vitesse de l’écoulement amont: V=0,46m/s
Nombre de Froude amont : Fr=2,8
θ (°)
25
30
35
β mesuré (°) 30
31
33

40
35

45
42

50
45

15

Comparaison points expérimentaux et théoriques pour Fr=2,8
Pour la dernière série de mesures, nous n'avons pas calculé l'erreur relative puisque
les valeurs expérimentales sont bien trop éloignées de la polaire de choc théorique. De plus,
cela n'aurait été possible que pour les deux premiers points expérimentaux.
Analyse des résultats :
Pour la première série de mesures, nous imposons une vitesse de 0,67 m/s, ce qui
correspond à un nombre de Froude de 6,42 (nous sommes bien en régime torrentiel). Puis
pour différents dièdres placés dans l’écoulement, nous mesurons l’angle de déflexion
correspondant au ressaut hydraulique. On superpose alors ces résultats avec la polaire de
choc pour un gaz hydraulique et correspondant à un Froude de 6,42.
On remarque alors que pour des petits angles de dièdres, la forme globale de la
courbe est respectée avec cependant une erreur non négligeable.
On réitère ensuite l’expérience pour deux autres débits i.e. pour deux autres
nombres de Froude : 5,7 et 2,8. Nous pouvons alors faire la même constatation que pour
l’expérience précédente, à savoir que les résultats expérimentaux pour des petits angles de
dièdres collent plus avec la théorie qu’avec des angles plus importants. Les autres points
ayant tendance à diverger.
Par ailleurs, nous pouvons faire la constatation que pour un Froude élevé les points
expérimentaux sont plus proches de la polaire de choc théorique tracé pour un gaz
hydraulique que pour des nombres de Froude faibles. En effet, pour un Froude de 2,8, il n’y a
pas vraiment de cohérence entre la théorie et la pratique. En effet, il existe de nombreuses
erreurs de mesures lors des expériences réalisées.
16

4) Limites de l'analogie hydraulique
Les différences constatées entre nos résultats expérimentaux et les résultats
théoriques établis précédemment peuvent s’expliquer en considérant d’une part les
imprécisions de mesures, et d’autre part les différentes hypothèses que nous avons
considérées.
Il nous a été difficile de mesurer les angles de ressaut, en particuliers pour le Froude
le plus bas, c’est-à-dire pour une vitesse d’écoulement faible. En effet, la difficulté consistait
à distinguer les ondes de gravité du ressaut oblique.
Les incertitudes portent également sur la mesure des différents débits. En effet, le
bac de récupération étant gradué tous les dix litres, il est évident que le chronomètre n’est
pas déclenché au bon moment. Cela influe donc sur la vitesse moyenne de l’écoulement et
donc sur le nombre de Froude correspondant.
Les effets de capillarité de l’eau se développant non seulement au contact du dièdre
mais aussi sur la pointe de la vis micrométrique et dus à la présence d’une tension
superficielle à la surface du fluide, ont également influencé nos mesures. Le ressaut
hydraulique ne pouvait pas être relevé précisément et au lieu d’avoir une « ligne »
délimitant le ressaut, il nous a fallu considérer un « cône » et donc effectuer des moyennes
d’angles afin d’obtenir l’angle de ressaut le plus réaliste.
Bien que la vis micrométrique soit très précise (centième de mm près), le film d’eau
dans le canal n’étant pas tout à fait horizontal (on a en effet des perturbations en surface),
les mesures des hauteurs en amont du ressaut comportaient une certaine erreur, erreur qui
s’est répercutée sur la valeur du nombre de Froude et donc sur nos courbes.
Les imprécisions de mesures ont également été la conséquence du phénomène de
couche limite qui se développe près de la paroi horizontale. L’eau n’étant pas un fluide
parfait, la paroi devient en effet source de vorticité. Or, nous n’avons pas tenu compte de la
viscosité lors de l’établissement des équations régissant l’écoulement du film liquide. Ceci a
alors pour conséquences une erreur non négligeable dans la mesure des hauteurs en amont
du ressaut.
Nous allons désormais étudier plus en détails cette notion de couche limite. Pour de
grands nombres de Reynolds, le fluide se comporte comme un fluide parfait, c’est-à-dire
qu’il présente une viscosité dynamique quasiment nulle. Cependant, près des parois, la
condition d’adhérence rend impossible l’utilisation de la solution d’Euler. En effet, la paroi
devient source de vorticité. Cette dernière diffuse dans une mince couche, appelée couche
limite. Nous la noterons : 𝛿.
La couche limite est définie comme étant la zone où l’écoulement passe d’une
vitesse nulle au contact de la paroi à cause de l’adhérence du fluide, à 99% de la vitesse loin
de cette paroi.
Si on suppose l’écoulement permanent, isovolume, bidimensionnel et de faible
courbure, alors près de la paroi l’écoulement dans la couche limite est régit par les équations
de Prandtl.
17

En notant (u,v) les composantes du champ de vitesse, l’équation de Navier Stokes projetée
dans la direction de l’écoulement ainsi que l’équation de continuité donnent :
𝝏𝒖
𝝏𝒖
𝟏 𝝏𝑷
𝝏²𝒖
+𝒗
=−
+𝝂
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝆 𝝏𝒙
𝝏𝒚²
𝝏𝑷
=𝟎
𝝏𝒚
𝝏𝒖 𝝏𝒗
+
=𝟎
{
𝝏𝒙 𝝏𝒚
𝒖

Avec en y=0, u=v=0 et quand y tend vers l’infini, u=𝑽∞ .
Il faut alors raccorder la solution à celle des équations d’Euler.
Prenons alors le cas d’une plaque plane qui se rapproche fortement de notre dispositif
expérimental.

Couche limite sur une plaque plane
Quand Re→∞, les équations de Navier Stockes deviennent les équations d’Euler
d’ordre inférieur. La condition V = 0 sur la plaque est trop forte. Il faut donc l’affaiblir et
résoudre le problème de perturbation singulière par la méthode des développements
raccordés.
Problème intérieur près de y = 0 et x > 0 :
Au voisinage de la paroi, il existe une couche limite dans laquelle les termes
visqueux deviennent non négligeables.
𝑦

Posons alors 𝜂 = 𝛿 (dilatation en y) où 𝛿=𝛿(𝑅𝑒)→0 quand Re tend vers l’infini.
On choisit de passer ici en grandeurs adimensionnelles, en posant :

18

^
𝑢
𝑣
𝑥
𝑃


𝑢 =
, 𝑣 =
, ξ= , 𝑃 =
𝑽∞
𝑽𝟎
𝐿0
𝑷∞


où V0 est la vitesse caractéristique transverse et L0une longueur caractéristique du
problème.
On obtient alors pour les deux équations du mouvement et l’équation de continuité :
𝑽𝟎


⁄𝑽
𝝏𝒖
𝑷∞ 𝝏𝑃∗ 𝟏 𝝏²𝑢∗ 𝟏 𝑳𝟎 ² 𝝏²𝒖∗
∞ ∗ 𝝏𝒖
𝒖∗
+
𝒗
=− 𝟐
+
+
𝛿⁄
𝝏ξ
𝝏𝜂
𝝆𝑽∞ 𝝏ξ
𝑹𝒆 𝝏ξ𝟐 𝑹𝒆 𝛿² 𝝏𝜂²
𝑳𝟎
𝑽
𝟎⁄
𝝏𝒗∗
𝑷∞ 𝝏𝑃∗ 𝟏 𝝏²𝑣 ∗ 𝟏 𝑳𝟎 ² 𝝏²𝒗∗
𝑽∞ ∗ 𝝏𝒗∗

𝒖
+
𝒗
=− 𝟐
+
+
𝛿⁄
𝝏ξ
𝝏𝜂
𝝆𝑽∞ 𝝏ξ
𝑹𝒆 𝝏ξ𝟐 𝑹𝒆 𝛿² 𝝏𝜂²
𝑳𝟎
𝑽𝟎
⁄𝑽 𝝏𝒗∗
𝝏𝒖∗

+
=𝟎
𝛿
𝝏ξ
⁄𝑳 𝝏𝜂
{
𝟎
Pour que notre problème ne dégénère pas, nous devons avoir :
𝑽𝟎
⁄𝑽

= 𝙾(𝟏)
𝛿⁄
𝑳𝟎
𝛿
𝟏
= 𝙾(
)
{ 𝑳𝟎
√𝑹𝒆
On nomme ce principe, le principe de « moindre dégénérescence ».
Les conditions à satisfaire près de la paroi sont alors : u = v = 0, en y = 0.
Nous avons de plus les conditions de raccordement à la surface de la couche limite :
Pext(x,y =0) = Pint(x,y =+∞).
u(x,y=+∞) →uext (x,y =0).
Dans le cadre de nos expériences sur les ressauts obliques, il nous est possible de
calculer l’épaisseur de la couche limite en amont du dièdre, ceci pour différentes vitesses.
𝛿
𝟎,𝟓
𝑽 .𝒙
D’après la loi de Blasius, on a 𝒙 =
avec 𝑹𝒆𝒙 le nombre de Reynolds local : 𝑹𝒆𝒙 = ∞𝝂
√𝑹𝒆𝒙

En considérant la viscosité dynamique de l’eau à 10-3Pa.s et la masse volumique à
1000kg/m3, on obtient l’évolution de l’épaisseur de la couche limite en fonction de l’abscisse
x:
On remarque alors qu’il est préférable d’effectuer nos mesures des hauteurs pour une
abscisse faible, c’est-à-dire au bord de la « plaque ».

19

On remarque alors qu’il est préférable d’effectuer nos mesures des hauteurs pour une
abscisse faible, c’est-à-dire au bord de la « plaque ».

20

III.

Les tuyères à gaz

1) Présentation
Une tuyère est composée de trois zones particulières : le convergent, le col et le
divergent.
Les tuyères propulsives (utilisées par exemple pour les fusées) sont placées à la sortie
du propulseur et permettent de transformer l’énergie des gaz de combustion en énergie
cinétique. La combustion des gaz se fait au niveau du convergent et l’évacuation de ces gaz
au niveau du divergent.

Moteur Vulcain qui équipe la fusée Ariane 5

2) Etude de l’écoulement dans une tuyère
Trois relations nous permettent de retrouver le théorème d’Hugoniot, théorème
fondamental dans l’étude des tuyères :
 La première relation utile est la conservation de la matière : ρvA=cte
(avec ρ la masse volumique du fluide s’écoulant dans la tuyère, v la vitesse du fluide et A la
section variable de la tuyère)
De cette équation vient : ln(ρ)+ln(v)+ln(A)=cte

On différentie ensuite, et on obtient :



ρ

+

dv
v

+

dA
A

=0

La seconde relation est l’équation du mouvement : vdv +

dP
ρ

=0
21

dP



Enfin il est intéressant d’utiliser le fait que : c = √ dρ

En combinant les deux dernières relations, on obtient :
vdv +

c²dρ
ρ



=0

ρ

=−

vdv


En injectant ce résultat dans la première équation, on a :
−vdv


+

dv
v

+

dA
A

dv

=0

v

v2

(1 − c2 ) +

dA
A

=0
v

Finalement en utilisant la définition du nombre de Mach (M = c) on obtient la
relation d’Hugoniot :

A l’aide de cette relation on peut alors déterminer si le fluide ralentit ou accélère
dans la tuyère. On distingue deux cas suivant le nombre de Mach :
dA

Dans le convergent ( A < 0)


M<1



M>1

dv
v
dv
v

> 0 : le fluide accélère
< 0: le fluide ralentit

dA

Dans le divergent ( A > 0)


M<1



M>1

dv
v
dv
v

< 0: le fluide ralentit
> 0 : le fluide accélère

On remarque qu’il est intéressant de pouvoir faire accélérer le fluide tout au long de
la tuyère (c'est-à-dire pour un nombre de Mach inférieur à 1 dans le convergent puis
supérieur à 1 dans le divergent). On dit alors que la tuyère est "amorcée".
Les tuyères permettant ce type d’écoulement sont les tuyères de Laval.

22

L’écoulement est d’abord subsonique dans le convergent (M<1) puis supersonique
dans le divergent (M>1) en passant par un nombre de Mach égal à 1 au col.

3) Profils de pression
Etude théorique
Les profils de pression représentent la pression normalisée (c'est-à-dire la pression
divisée par la pression génératrice P0) en fonction de la position dans la tuyère.
On observe différents profils :
 Si la pression de sortie est assez élevée, la tuyère n’est pas amorcée : la pression
diminue jusqu’au col et raugmente ensuite.
 Si la pression de sortie est, au contraire, suffisamment faible, la tuyère est amorcée :
la pression diminue tout au long de la tuyère (et le nombre de Mach est égal à 1 au
col).
 Si la pression de sortie est située entre ces deux cas, la tuyère est alors partiellement
amorcée : on observe une onde de choc. En effet, la pression va continuer à diminuer
au-delà du col (avec un nombre de Mach égal à 1 au col), puis augmenter
soudainement (en théorie on observe une discontinuité au niveau du choc).

Tuyère amorcée

Tuyère non amorcée

23

Dispositif expérimental
Pour réaliser les profils de pression de différentes tuyères, nous avons utilisé le
matériel se trouvant dans la salle de TP de mécanique des fluides décrit ci-dessous :

La pression d’entrée P0 (qui est la pression génératrice) est mesurée par le
manomètre de la chambre. Celle-ci est fixée tout au long des expériences (égale à 4,8 bars).
Le manomètre de la sonde permet la mesure de la pression tout au long de la tuyère,
la position de la sonde étant repérée par 21 positions espacées de 2,54mmm. Le manomètre
de la sonde permet en particulier la mesure de la pression de sortie. Le but de ces
expériences était de faire varier, pour une tuyère donnée, la pression de sortie, pour obtenir
différentes courbes.
La pression génératrice et la pression de sortie sont ajustées grâce aux vannes.

24

Résultats expérimentaux
Nous avons réalisé les profils de pression pour 4 tuyères : 3 tuyères divergentes (la
tuyère n°1 étant celle dont la section de sortie était la plus grande et la tuyère n°3 la plus
petite) et une tuyère de section constante. Les courbes correspondant à nos mesures sont
présentées ci-dessous. Pour chaque série de mesures, nous avons repéré à l’aide d’une
droite verticale, le col sonique (correspondant à une pression minimum lorsque la tuyère
n’est pas amorcée) afin de le comparer au col géométrique (c'est-à-dire le col réel) de la
tuyère étudiée.

Profil de pression pour la tuyère n°1
divergente
Pression normalisée

1,2
1
0,8

Px à Ps=4,5 bars

0,6

Px à Ps=3,5 bars

0,4

Px à Ps=2,5 bars

0,2

Px à Ps=2 bars

0
0

5

10

15

20

25

x (mm)

Nous constatons que pour la tuyère n°1, les courbes obtenues correspondent toutes
à une tuyère non amorcée. En effet, la pression diminue puis raugmente après le passage du
col. Nous ne pouvions pas diminuer davantage la pression de sortie pour observer
l’amorçage de la tuyère, car en la diminuant nous obtenions des pressions nulles à certains
endroits de la tuyère.
Nous avons également pu observer un décalage assez important entre les cols
soniques et le col géométrique : le col géométrique de la tuyère se trouve à 3mm alors que
pour la troisième expérience (celle réalisée à une pression de sortie de 2,5 bars) le col
sonique se trouve à 10mm. Cette différence s’explique principalement par le fait qu’en
théorie nous avons considéré le fluide parfait. Or en réalité la viscosité intervient, ce qui
donne lieu à des phénomènes liés à la couche limite.

25

Profil de pression pour la tuyère n°2
divergente
Pression normalisée

1,2
1

0,8

Px à Ps=4,5 bars

0,6

Px à Ps=3,5 bars

0,4

Px à Ps=2,5 bars

0,2

Px à Ps=2 bars
Px à Ps=1 bar

0
0

5

10

15

20

25

x (mm)

Pour la tuyère n°2 nous avons pu observer l’amorçage de la tuyère pour une pression
de sortie de 1 bar. En effet, la pression continue à décroitre après le col sonique (repéré à
4mm).
De plus, nous avons remarqué que le col sonique était beaucoup plus proche du col
géométrique pour cette tuyère que pour la première tuyère (le col géométrique étant situé à
3,5mm et le col sonique à 4mm).

Profil de pression pour la tuyère n°3
divergente
Pression normalisée

1,2
1
0,8

Px à Ps=4,5 bars

0,6

Px à Ps=3,5 bars

0,4

Px à Ps=2,5 bars

0,2

Px à Ps=2 bars

0

Px à Ps=1 bar
0

5

10

15

20

25

x (mm)

26

Pression normalisée P/P0

Profil de pression pour la tuyère à
section constante
1,2
1
0,8

Px à Ps=4,5 bars

0,6

Px à Ps=3,5 bars

0,4

Px à Ps=2,5 bars

0,2

Px à Ps=2 bars

0

Px à Ps=1 bar
0

5

10

15

20

25

x (mm)

4) Etude du débit
Pour comparer le débit massique réel au débit massique maximum théorique, nous
avons mesuré la hauteur du fluide dans le tube (nous permettant d’obtenir la différence de
pression entre l’entrée et la sortie) ainsi que la température. Nous verrons en effet qu’il est
nécessaire de connaître ces deux grandeurs afin de comparer le débit massique.
L’écoulement étant étudié en sortie du dispositif, il peut être considéré comme
incompressible (ce qui justifie l’utilisation des formules que nous verrons par la suite pour le
calcul du débit massique).

27



ṁ = K. E. Ac√2∆P. ρair

Avec :
K : le coefficient de débit du diaphragme (K=0,6)
E : le coefficient de vitesse d’approche (E=1/(1-m2)^0,5)
m est le rapport de l’aire de la section minimum à l’aire de la section amont
Ac : l’aire de la section au col (section minimum de la tuyère)
∆P est la pression différentielle de part et d’autre de la tuyère
On relève la hauteur d’eau h sur le manomètre à tube incliné afin d’obtenir la
pression différentielle à l’aide de la formule :∆𝑃 = 𝜌𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑒 𝑔ℎ. sin(𝛼)

On a alors tracé le débit massique en fonction de la pression de sortie pour les deux
premières tuyères (divergentes) :

m ̇= f (Ps) pour la tuyère n°1
Débit massique (m3/s)

0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
1,5

2,5

3,5

4,5

Pression de sortie Ps (bars)

28

Débit massique (m3/s)

m ̇= f (Ps) pour la tuyère n°2
0,02
0,018
0,016
0,014
0,012
0,01
0,008
0,006
0,004
0,002
0
0

1

2

3

4

5

6

Pression de sortie Ps (bars)



Débit maximum théorique :

ṁ = 0,404

P0.Ac
√T0

Pour la tuyère n°1 on obtient un débit maximum de 0.02 m3/s.
Pour la tuyère n°2 on obtient un débit maximum de 0.018 m3/s.

Débit = f (Ps) pour la tuyère n°1
Débit massique (m3/s)

0,025
0,02
0,015
0,01
0,005
0
1,5

2,5

3,5

4,5

Pression de sortie Ps (bars)

29

Débit massique (m3/s)

Débit = f (Ps) pour la tuyère n°2
0,02
0,018
0,016
0,014
0,012
0,01
0,008
0,006
0,004
0,002
0
0

1

2

3

4

5

6

Pression de sortie Ps (bars)

On observe que le débit maximum théorique est deux fois plus important que le
débit réel. Pour la section au col il aurait été plus précis de retrancher la section de la sonde.
Cependant il est peu probable que la différence entre les deux débits provienne de cette
approximation, car la section au col Ac intervient dans les deux formules.

30

IV. Tuyères hydrauliques
1) Expérience
L’objectif est d’évaluer l’écoulement d’un fluide dans une tuyère avec et sans
barrage, de mettre en évidence le ressaut hydraulique, de vérifier le profil des tuyères et
enfin de conclure quant à la validité de l’analogie.
Pour réaliser les expériences nous utilisons la même cuve que pour l’expérience que
pour les dièdres.
Mise en œuvre de l’expérience :
Une géométrie spécifique de tuyère délivre un nombre de Froude particulier en
sortie.
Le principe est de positionner l’axe de la tuyère parallèlement à la direction de
l’écoulement, tout en respectant la distance au col et la distance en sortie.
Nous avons placé un convergent en amont de la tuyère pour conserver le débit.
Le but de l’expérience était de tracer le profil des hauteurs dans la tuyère en fonction de
la position à l’intérieur de la tuyère. Nous avons placé une feuille de papier millimétré
sous la tuyère pour pouvoir relever précisément ces hauteurs.

Avant d’effectuer les mesures avec le réglet, on vérifie que la tuyère est amorcée :
Régime fluvial en amont de la tuyère (régime subsonique avec l’analogie) et en régime
torrentiel dans le divergent de la tuyère (régime supersonique). Pour se faire, on regarde
le comportement des ondes de surface quand on met le réglet dans l’eau. Pour le régime
torrentiel, il se forme un ressaut.

31

On constate que le passage d’un régime à un autre se fait avec une
augmentation/diminution de la hauteur d’eau (voir photo ci-dessous). Par analogie, cela
correspond à une diminution de la pression, donc on a une détente pour un gaz : la
tuyère est amorcée.
Le débit étant imposé, on déduit la vitesse locale via la section de passage à un
endroit donné.

2) Résultats et analyses
Première tuyère, Froude théorique 2,06.

h=f(x) pour la tuyère Froude 2,06 en sortie
1,2

Hauteur normalisée

1
0,8
Sans barrage

0,6

Barrage : 49 cm

0,4

Barrage : 67 cm
0,2
0
0

10

20

30

40

50

X(cm)

32

D’après l’allure générale des courbes, on voit que seul le cas sans barrage permet
d’avoir une tuyère amorcée. En effet, pour les cas avec barrage, la hauteur du film
diminue puis augmente après le passage du col.
On remarque un décalage assez important entre les cols soniques et géométrique
(plus important que pour les tuyères à gaz), cela s’explique par la viscosité de l’eau qui
n’est largement pas négligeable comparé à celle de l’air.

Fr

Nombre de Froude
1,8
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0

sans barrage
barrage: 49 cm
barrage : 67 cm

0

10

20

30

40

50

X(cm)

Pour le cas sans barrage, on remarque que le nombre de Froude local dépasse 1, ce
qui confirme que la tuyère est bien amorcée. Pour le cas du barrage situé à 49 cm, le
nombre de Froude ne dépasse pas 1, la tuyère n’est pas amorcée.
Enfin, pour le dernier cas (barrage situé à 67cm), la tuyère est partiellement amorcée.

Nombre de Froude
1,2
1

Froude

0,8

sans barrage

0,6

barrage : 33 cm
0,4

barrage : 36cm

0,2
0
0

10

20

30

40

X(cm)

33

h=f(x) pour la tuyère Froude 1,9
1,2

Hauteur normalisée

1
0,8
Sans barrage

0,6

Barrage : 33 cm

0,4

Barrage : 36 cm
0,2

0
0

5

10

15

20

25

30

35

40

X(cm)

34

Conclusion
Ce projet nous a permis d’avoir une première approche des écoulements
compressibles. En effet lors du choix du projet nous n’avions pas encore eu de cours sur les
écoulements compressibles, et depuis que nous étudions la mécanique des fluides, nous
avons toujours fait l’hypothèse des écoulements incompressibles.
Au travers ce projet nous avons vu l’importance de l’analogie entre les tuyères
hydrauliques et les tuyères à gaz. L’étude des tuyères hydrauliques semblait plus abordable,
en particulier au niveau du matériel.
Cependant, bien que les courbes avaient en général l’allure attendue, nous avons eu
quelques différences au niveau des résultats numériques. Nous avons par exemple trouvé
une différence significative entre les cols soniques et le col géométrique de la première
tuyère.
Pour pallier à ces écarts, l’utilisation de logiciels de mécanique des fluides pourraient
permettre une étude plus fiable et plus précise des tuyères.

35

Annexes
Tuyères à gaz
Tuyère 1 : gros divergent
Px à Ps = 3,5
Px à Ps = 2,5
Px à Ps = 2
Position Px à Ps = 4,5 bars bars
bars
bars
0
4,8
4,8
4,8
4,8
2
4,8
4,8
4,8
4,8
4
3,8
4,6
3,4
4,7
6
3,5
2
1,5
0,5
8
3,8
1,8
1,5
0,4
10
3,9
2
1
0,8
12
4,1
2,7
1,3
0,8
14
4,3
3
1,9
1,6
16
4,4
3,2
2,2
1,7
18
4,4
3,3
2,3
1,9
20
4,5
3,5
2,5
2

Normalisé
Px à Ps = 4,5
bars
1
1
0,791666667
0,729166667
0,791666667
0,8125
0,854166667
0,895833333
0,916666667
0,916666667
0,9375

Px à Ps = 3,5
bars
1
1
0,958333333
0,416666667
0,375
0,416666667
0,5625
0,625
0,666666667
0,6875
0,729166667

Px à Ps = 2,5
bars
1
1
0,708333333
0,3125
0,3125
0,208333333
0,270833333
0,395833333
0,458333333
0,479166667
0,520833333

Px à Ps = 2
bars
1
1
0,979166667
0,104166667
0,083333333
0,166666667
0,166666667
0,333333333
0,354166667
0,395833333
0,416666667

36

Tuyère 2 : moyen divergent
Position Px à Ps = 4,5 bars Px à Ps = 3,5 Px à Ps = 2,5
Px à Ps = 2 Px à Ps = 1
0
4,8
4,8
4,8
4,8
4,8
2
4,8
4,8
4,8
4,8
4,8
4
4,2
2,1
2,2
3,1
3
6
4,2
2,4
1,5
1,6
1,6
8
4,4
3
1,4
1,4
1,4
10
4,4
3,1
1,5
1,1
1,1
12
4,5
3,2
1,6
1,2
0,9
14
4,5
3,3
1,9
1,3
0,7
16
4,5
3,4
2,3
1,4
0,5
18
4,5
3,5
2,4
1,8
0,7
20
4,5
3,5
2,5
2
1

Normalisé
Px à Ps = 4,5
1
1
0,875
0,875
0,916666667
0,916666667
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375

Px à Ps = 3,5
1
1
0,4375
0,5
0,625
0,645833333
0,666666667
0,6875
0,708333333
0,729166667
0,729166667

Px à Ps = 2,5
1
1
0,458333333
0,3125
0,291666667
0,3125
0,333333333
0,395833333
0,479166667
0,5
0,520833333

Px à Ps = 2
1
1
0,645833333
0,333333333
0,291666667
0,229166667
0,25
0,270833333
0,291666667
0,375
0,416666667

Px à Ps = 1
1
1
0,625
0,33333333
0,29166667
0,22916667
0,1875
0,14583333
0,10416667
0,14583333
0,20833333

Tuyère 3 : petit divergent
Position Px à Ps = 4,5
Px à Ps = 3,5 Px à Ps = 2,5 Px à Ps = 2 Px à Ps = 1
0
4,8
4,8
4,8
4,8
4,8
2
4,8
4,8
4,8
4,8
4,8
4
4,5
3,9
3,1
3,3
3,2
6
4,5
3,9
3,1
2,9
2,8
8
4,5
3,9
3,3
3,1
3,1
10
4,5
3,9
3,2
3
3
12
4,5
3,8
3,1
2,9
2,8
14
4,5
3,7
2,9
2,6
2,5
16
4,5
3,5
2,8
2,4
2,2
18
4,5
3,5
2,5
2,2
2
20
4,5
3,5
2,5
2
1
37

Px à Ps = 4,5
1
1
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375

Px à Ps = 3,5
1
1
0,8125
0,8125
0,8125
0,8125
0,791666667
0,770833333
0,729166667
0,729166667
0,729166667

Px à Ps = 2,5
1
1
0,645833333
0,645833333
0,6875
0,666666667
0,645833333
0,604166667
0,583333333
0,520833333
0,520833333

Px à Ps = 2
1
1
0,6875
0,604166667
0,645833333
0,625
0,604166667
0,541666667
0,5
0,458333333
0,416666667

Px à Ps = 1
1
1
0,66666667
0,58333333
0,64583333
0,625
0,58333333
0,52083333
0,45833333
0,41666667
0,20833333

Tuyère 4 : section constante
Position Px à Ps = 4,5
Px à Ps = 3,5
Px à Ps = 2,5 Px à Ps = 2 Px à Ps = 1
0
4,8
4,8
4,8
4,8
4,8
2
4,8
4,8
4,8
4,8
4,8
4
4,8
4,8
4,8
4,8
4,1
6
4,5
3,3
2,4
2
1
8
4,5
3,3
2,4
2
1
10
4,5
3,5
2,5
2
1
12
4,5
3,5
2,5
2
1
14
4,5
3,5
2,5
2
1
16
4,5
3,5
2,5
2
1
18
4,5
3,5
2,5
2
1
20
4,5
3,5
2,5
2
1
Px à Ps = 4,5
1
1
1
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375
0,9375

Px à Ps = 3,5
1
1
1
0,6875
0,6875
0,729166667
0,729166667
0,729166667
0,729166667
0,729166667
0,729166667

Px à Ps = 2,5
1
1
1
0,5
0,5
0,520833333
0,520833333
0,520833333
0,520833333
0,520833333
0,520833333

Px à Ps = 2
1
1
1
0,416666667
0,416666667
0,416666667
0,416666667
0,416666667
0,416666667
0,416666667
0,416666667

Px à Ps = 1
1
1
0,85416667
0,20833333
0,20833333
0,20833333
0,20833333
0,20833333
0,20833333
0,20833333
0,20833333

38

Tuyères hydrauliques
Tuyère 10-17,5
Sans barrage
Graduations
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44

Froud théorique : 2,06 en sortie (36cm)

col géométrique : 3 cm

H

Débit
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037

Normalisé
15
14
13,5
13
12,5
11,5
10,5
10
8,5
8
7
6
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
5,5
6
6

1
0,933333333
0,9
0,866666667
0,833333333
0,766666667
0,7
0,666666667
0,566666667
0,533333333
0,466666667
0,4
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,366666667
0,4
0,4

Vitesse
0,14109347
0,15117158
0,15677053
0,16280016
0,16931217
0,18403497
0,20156211
0,21164021
0,24898848
0,26455026
0,30234316
0,35273369
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,38480038
0,35273369
0,35273369

Froud
0,36781276
0,40791684
0,43078744
0,45587802
0,48350243
0,54791971
0,62802905
0,67571519
0,86225415
0,94434069
1,15376304
1,4539076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,6566076
1,4539076
1,4539076

39

Barrage : 49 cm
Graduations H
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44

Normalisé
15
14
13,5
13
12
11
10
9,5
9
8,5
11
11
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13,5
14
14
14
14,5
14,5

1
0,933333333
0,9
0,866666667
0,8
0,733333333
0,666666667
0,633333333
0,6
0,566666667
0,733333333
0,733333333
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,866666667
0,9
0,933333333
0,933333333
0,933333333
0,966666667
0,966666667

H

Normalisé

15
14
13,5
13
12
11
10
9,5
9
7,5
6,5
7
9
8
12,5
12
12
12
12
12
12
12
12,5
12,5
12,5
13
13

1
0,933333333
0,9
0,866666667
0,8
0,733333333
0,666666667
0,633333333
0,6
0,5
0,433333333
0,466666667
0,6
0,533333333
0,833333333
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,8
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,866666667
0,866666667

H

Normalisé
15
15
14
13
12,5
12
10,5
9,5
9
7,5
7
6,5
6
7
7,5
7
10
10,5
12,5
12,5
12,5
12,5
12,5
12,5
12,5
12,5
12,5

1
1
0,933333333
0,866666667
0,833333333
0,8
0,7
0,633333333
0,6
0,5
0,466666667
0,433333333
0,4
0,466666667
0,5
0,466666667
0,666666667
0,7
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,833333333
0,833333333

40

Vitesse
0,14109347
0,15117158
0,15677053
0,16280016
0,17636684
0,19240019
0,21164021
0,22277917
0,23515579
0,24898848
0,19240019
0,19240019
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,16280016
0,15677053
0,15117158
0,15117158
0,15117158
0,14595877
0,14595877

Froud
0,36781276
0,3940851
0,42302487
0,45587802
0,50364837
0,56076432
0,65943051
0,72975701
0,79140706
0,91793964
0,73421285
0,76192868
0,67103428
0,62125702
0,6001913
0,62125702
0,51978092
0,50725424
0,46490619
0,46490619
0,46490619
0,44768744
0,4316986
0,4316986
0,4316986
0,41681244
0,41681244

Vitesse2
0,14109347
0,15117158
0,15677053
0,16280016
0,17636684
0,19240019
0,21164021
0,22277917
0,23515579
0,28218695
0,32560033
0,30234316
0,23515579
0,26455026
0,16931217
0,17636684
0,17636684
0,17636684
0,17636684
0,17636684
0,17636684
0,17636684
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16280016
0,16280016

Froud2
0,36781276
0,40791684
0,43078744
0,45587802
0,51403396
0,58569923
0,67571519
0,72975701
0,79140706
1,0403316
1,28941776
1,15376304
0,79140706
0,94434069
0,48350243
0,51403396
0,51403396
0,51403396
0,51403396
0,51403396
0,51403396
0,51403396
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,45587802
0,45587802

Vitesse3
0,14109347
0,14109347
0,15117158
0,16280016
0,16931217
0,17636684
0,20156211
0,22277917
0,23515579
0,28218695
0,30234316
0,32560033
0,35273369
0,30234316
0,28218695
0,30234316
0,21164021
0,20156211
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16931217
0,16931217

Froud3
0,36781276
0,36781276
0,40791684
0,45587802
0,48350243
0,51403396
0,62802905
0,72975701
0,79140706
1,0403316
1,15376304
1,28941776
1,4539076
1,15376304
1,0403316
1,15376304
0,67571519
0,62802905
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,48350243
0,48350243

41

Tuyère 6-9
Sans barrage
Graduations
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36

Froud théorique : 1,9 en sortie (28cm)

col géométrique : 3,5 cm

H

Débit
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037
0,00037037

Normalisée
19
19
18
17
15
14
12
11
10
8
8
8
8
8
8,5
9
9
9
9
9
8
8
7

1
1
0,947368421
0,894736842
0,789473684
0,736842105
0,631578947
0,578947368
0,526315789
0,421052632
0,421052632
0,421052632
0,421052632
0,421052632
0,447368421
0,473684211
0,473684211
0,473684211
0,473684211
0,473684211
0,421052632
0,421052632
0,368421053

Vitesse
0,11138959
0,11138959
0,1175779
0,12449424
0,14109347
0,15117158
0,17636684
0,19240019
0,21164021
0,26455026
0,26455026
0,26455026
0,26455026
0,26455026
0,24898848
0,23515579
0,23515579
0,23515579
0,23515579
0,23515579

Froud
0,25800807
0,25800807
0,27980465
0,30485288
0,36781276
0,40791684
0,51403396
0,58569923
0,67571519
0,94434069
0,94434069
0,94434069
0,94434069
0,94434069
0,86225415
0,79140706
0,79140706
0,79140706
0,79140706
0,79140706

42

Barrage : 33 cm
Graduations H
0
1
2
3
4
5
6
7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
Vitesse
0,10853344
0,11440011
0,1175779
0,12449424
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0,15677053
0,15117158
0,12826679
0,12826679
0,12449424
0,12093726
0,12093726
0,12093726
0,12093726
0,12093726
0,12093726
0,1175779
0,11440011

Normalisée
19,5
18,5
18
17
15,5
14
13,5
13,5
14
16,5
16,5
17
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
17,5
18
18,5
19

1
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0,923076923
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0,692307692
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0,846153846
0,871794872
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0,897435897
0,897435897
0,897435897
0,897435897
0,897435897
0,923076923
0,948717949
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Froud
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0,40791684
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0,31881428
0,30485288
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0,29188153
0,29188153
0,29188153
0,29188153
0,29188153
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Vitesse2
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0,13227513
0,13227513
0,13227513
0,13227513

H

Normalisée
19
18,5
17
16
15
13,5
12
10,5
10
9
13,5
13
13
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16
16
16
16
16
16
17

Froud2
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0,45587802
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0,33387485
0,33387485
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H

1
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0,10582011
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Normalisée

20
20
19
18
15,5
14
13,5
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10
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8
8
10
10
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16

1
1
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0,94434069
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0,33387485
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