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CRUTEL Kevin
FERIN--FOUCAL Sarah
LAURENT Hugo

2014

Projet de mécanique du solide
Etude des concentrations de contraintes

0

Sommaire
Introduction
I. Approche théorique
1. Mise en place du problème
2. Application au coin arrondi
3. Conditions aux limites
4. Détermination du coefficient de concentration des contraintes

II. Etude expérimentale
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

La photoélasticimétrie
Le dispositif expérimental
Etude en lumière polarisée rectilignement
La constante de Brewster
Les isoclines
Les isostatiques
Calcul des contraintes

III. Approche numérique
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Présentation du logiciel
Modélisation du problème
Visualisation des contraintes
Tracé des contraintes selon la largeur de la pièce
Coefficient de concentration de contraintes
Comparaison des différentes méthodes

Conclusion
1

Introduction
Les différentes structures présentes dans l’industrie présentent des trous,
des entailles et des congés. Ces différents aspects géométriques conduisent à des
affaiblissements de la structure en raison de surcontraintes locales, appelées
concentrations de contrainte. Il est donc bon d’éviter autant que possible le perçage
ou l’usinage de défauts, de particularités ou de parties fonctionnelles de ce type.
Toutefois, la présence de concentrateurs de contraintes est parfois
inévitable. Il est alors nécessaire de connaître le facteur de concentration de
contrainte associé à chaque géométrie afin de dimensionner les structures.
L’étude analytique de répartition de contraintes dans un objet soumis à des
efforts est complexe, en raison de ces particularités. Elle peut néanmoins être
approchée par la mise en place d’un modèle et d’hypothèses simplificatrices.
Il existe également une méthode expérimentale visuelle intéressante : la
photoélasticimétrie.
Enfin, les méthodes numériques – qui sont de plus en plus utilisées dans
l’industrie – permettent d’obtenir de très bons résultats pour des pièces
relativement simples.
A travers ces trois approches, nous avons étudiés les contraintes s’exerçant
sur une éprouvette en traction et présentant deux types de rétrécissement de
section : l’un à angle droit et l’autre en arc de cercle.

2

Objectif
Notre éprouvette présente deux restrictions de section : une brusque
(angles saillants) et une plus légère (angles arrondis) sous forme de congés.
L’objectif de ce projet est d’étudier les concentrations de contraintes dans
cette éprouvette lorsque celle-ci est soumise à un effort de traction et en particulier
au niveau des zones de singularité (les angles droits et arrondis)

Document 1 : Représentation géométrique de l’éprouvette

3

I. Approche théorique
1. Mise en place du problème
Le but de cette partie est de déterminer une expression
théorique de  xx et  yy .
Pour ce faire, on pose dans un premier temps des hypothèses
simplificatrices. D’une part on considère l’étude comme un problème
d’élasticité plane (dans le plans (x,y) comme indiqué sur la figure cicontre). Ce qui simplifie le tenseur des contraintes :

  xx  xy

    yx  yy
 0
0


0

0
0 

 xx   xx ( x, y )
avec 
 yy   yy ( x, y )
   ( x, y )
xy
 xy

D’autre part on néglige les forces volumiques devant la force
de traction appliquée à l’éprouvette. Cette hypothèse simplifie de
nombreuses équations, et en particulier les équations d’équilibre et
de Beltrami :

Document 2 :
Représentation de l’éprouvette

Equation d’équilibre : div ( )  0

Equation de Beltrami :  

  xx  xy

0

x
y
 
 yy
 xy 
0
 x
y

1
.grad.grad (Tr )  0
1 

On obtient ainsi à l’aide de ces équations la relation suivante :

(Tr )  ( xx   yy )  0

4


2


 xx
y 2


2
On introduit alors un fonction d’Airy (x1, x2) vérifiant :   yy  2
x


2
 xy  
x.y

Cette fonction vérifie donc ( ))  0 (en effet (Tr )  ( xx   yy )  0 )



2 fonctions complexes g et h tel que :  ( z )  Re z.g ( z )  h( z )

De plus, ( ))  0



2. Application au coin arrondi
Pour le coin droit on ne peut pas utiliser l’analyse complexe car il y a une
forte discontinuité (la fonction cherchée n’est donc pas holomorphe). On peut
cependant considérer qu’il s’agit du cas particulier de l’angle arrondi dans le cas où
le rayon tend vers 0.
On travaille dans cette partie en coordonnées cylindriques, on a donc le
tenseur des contraintes qui s’écrit :


 rr
    r

 0


 r
 
0

0 
0

0 

avec

2

1  1  

 rr 
r r r 2  2


2
   2

r


  1  
  r    . 
r  r  


On développe les fonctions g et h en série de Laurent. On pose alors :

g ( z )   an . z n
nZ

et

h( z )   bn .z n
nZ





(  ( z )  Re z.g ( z )  h( z ) )

z  r.ei.
avec

an  anr  i.ani

bn  bnr  i.bni

5

On remplace ensuite les fonctions g et h dans l’expression de χ et on obtient :

 (r , )   r n 2 .anr 1  r n .bnr . cos(n )  r n 2 .ani 1  r n .bni . sin(n ) 
nZ





 

2 r
r
n 2 r
n r
n2 r
n r
C’est-à-dire :  (r , )  r .a1  b0   r .an1  r .bn  r .an1  r .bn . cos(n )



n1

 



  r n 2 .ai n1  r n .bi n  r n 2 .ani 1  r n .bni . sin(n )





n1

On obtient ainsi les expressions de σrr, σθθ et σrθ :

 rr 2.a1r 2nn² .r n.ar n1nn1.r n2.brn 2nn² .r n.anr 1n1n.r n2.bnr .cosn 



n1



  2  n  n² .r  n .ai n1  nn  1.r  n2 .bi n   2  n  n² .r n .ani 1  nn  1.r n2 .bni . sin n 
n1

 2.a1r (2n.).(1n).r n.ar n1n.(n1).r n2.brn (n2).(n1).r n.anr 1n.(n1).r n2.bnr .cosn 



n1



  (2  n.).(1  n).r  n .ai n 1  n.(n  1).r  n2 .bi n  (n  2).(n  1).r n .ani 1  n.(n  1).r n 2 .bni . sin n 
n 1

 r n.(1n).r n.ar n1(n1).r n2.brn (n1).r n.anr 1(n1).r n2.bnr .sinn 
n1





  n. (1  n).r  n .ai n1  (n  1).r  n2 .bi n  (n  1).r n .ani 1  (n  1).r n2 .bni . cosn 
n1

On détermine ensuite les coefficients anr , ani , bnr et bni à l’aide des conditions aux limites.

6

3. Conditions aux limites


AB : frontière libre
En r=Ri et,  .(er )  0

 rr  0

 r  0


En C : continuité des contraintes
En r=Re et =0,

-


r

0
r  Re

En D : traction pure
En r=Re et =/2,  rr   0

    0
 0
 r
Document 3 : Définition du domaine
d’étude des contraintes autour de l’angle

4. Détermination du coefficient de concentration des contraintes
On s’est ensuite intéressé au coefficient de concentration des
contraintes Kt. Nous avons alors trouvé des abaques sur internet
concernant le coefficient de concentration des contraintes pour notre
étude.
Pour déterminer Kt, il est nécessaire de calculer les rapports r/d
et D/d (voir document 5) :

= 0,25

=2,4
Document 4 : Représentation
de l’éprouvette avec les côtes nécessaires
à la détermination de Kt

7

Document 5 : Détermination de Kt à l’aide de r/d et D/d

On trouve donc pour l’angle arrondi : Ktarrondi≈ 1,6
Pour l’angle droit on peut considérer qu’il s’agit du cas de l’angle arrondi pour lequel r tend
vers 0.
On trouve alors Ktdroit≈ 5

8

II. Etude expérimentale
1. La photoélasticimétrie
Pour déterminer expérimentalement la concentration des contraintes dans
l’éprouvette, nous avons utilisé la photoélasticimétrie.
Il existe plusieurs procédés de photoélasticimétrie. Dans cette étude, nous n’utiliserons que
la photoélasticimétrie par transmission. En effet, notre modèle est observé par transparence.
La photoélasticimétrie est une méthode expérimentale permettant de visualiser les
contraintes existant à l’intérieur d’un solide grâce à sa photoélasticité. Il s’agit d’une méthode
optique utilisant la biréfringence acquise par les matériaux soumis à des contraintes.
La photoélasticité étudie les effets sur la lumière des contraintes et déformations appliquées
à des corps élastiques.
La biréfringence est une propriété physique de matériau dans lequel la propagation de la
lumière s’effectue de manière anisotrope. Tout matériau possède un indice optique. Dans un tel
milieu, l’indice de réfraction n’est pas unique, mais dépend de la direction de polarisation de l’onde
lumineuse.
Notre éprouvette possède cette propriété lorsqu’elle est soumise à des efforts engendrant
des contraintes.

2. Le dispositif expérimental
Nous avons à notre disposition un système permettant de visualiser directement les
phénomènes de concentration de contraintes. Il suffit de placer l’éprouvette entre les deux
filtres polarisants. Il est constitué des éléments physiques suivants :





Source de lumière blanche
Polariseur P
Analyseur A

Le polariseur a pour fonction de fixer une direction polarisatrice à la lumière blanche
provenant de la source.
9

L’analyseur, quant à lui, détermine une nouvelle direction polarisatrice pour l’onde
lumineuse.

Document 2 : Schéma du dispositif expérimental

1
2

3
4
Document 6 : Photographie légendée du dispositif expérimental

Légende :
1 : Manivelle réglant la force de traction
2 : Afficheur numérique de la valeur de la force de traction
3 : Manivelle de modification de la direction de l’analyseur et de basculement en
vision isocline/isochromatique
4 : Manivelle de modification d’orientation du repère principal
10

Nous reviendrons sur les notions d’isocline, d’isochromatique et de repère principal
ultérieurement.

3. Etude en lumière polarisée rectilignement
On dit dans ce cas que le polariseur et l’analyseur sont « croisés ».
En effet, l’abscisse du polariseur est confondue avec celle de l’analyseur dans le plan,
et l’ordonnée du polariseur est opposée à l’abscisse de l’analyseur dans le plan, soit en
notant x l’abscisse et y l’ordonnée : x P  y A et y P   x A
On définit l’angle β, entre la direction xP du polariseur et la direction principale X.

Document 7 : Schéma optique du dispositif

Un polycopié de cours de l’ENSEM traitant de la photoélasticimétrie mis à notre
disposition donne les informations suivantes :
Expression de l’intensité lumineuse transmise :

Avec :

φ déphasage de l’onde après le passage dans l’éprouvette
a facteur constant
11

Cette expression est composée de deux sinus, elle peut donc s’annuler de deux manières :


β = 0 ou β =
Les axes de biréfringence sont alors parallèles aux directions du polariseur et de
l’analyseur. On définit ainsi la notion de frange isocline.
Pour connaître la direction du repère principal en tout point de l’objet, il suffit de
faire tourner solidairement le polariseur et l’analyseur.


peut s’exprimer de la manière suivante :
Avec :

e épaisseur de l’éprouvette

0 longueur d’onde de la lumière blanche dans le vide
n degré de biréfringence de l’éprouvette
n peut s’exprimer de la manière suivante :
Avec : C constante de Brewster
Finalement, la condition d’annulation du sinus revient à :
La notion de frange isochromatique est alors définit.
Ces deux notions apparaissent lorsque l’intensité lumineuse s’annule. Ces franges
sont donc noires pour une onde monochromatique. Cependant, notre source diffuse de la
lumière blanche, qui est une superposition d’ondes monochromatiques. Les différentes
ondes se superposent alors, créant ainsi sur l’éprouvette un réseau de franges colorées.
Ces deux types de franges sont faciles à différencier. D’une part, les isoclines sont
indépendantes de la valeur du chargement et bougent selon l’orientation du polariseur et de
l’analyseur (modification du repère). D’autre part, les isochromatiques dépendent de la
valeur du chargement, mais sont indépendantes de l’orientation du polariseur et de
l’analyseur.

4. La constante de Brewster
Comme expliqué dans le paragraphe n°4, la constante de Brewster apparait dans
l’expression de la variation de contraintes.

12

Pour la déterminer, nous avons utilisés notre éprouvette en traction, et nous sommes
placés au centre de celle-ci, de façon à éviter les « effets de bord ».
La surface latérale étant une surface libre, on a
On a donc
et étant des paramètres connus pour notre problème, il suffit de tracer
en
fonction de n pour en déduire la valeur de la pente, et ainsi extraire la valeur de C, la
constante de Brewster.
=
e = 0,01 m

La valeur de la contrainte étant soumise à des incertitudes, nous avons préféré
effectuer le tracé sur une feuille de papier millimétré afin de pouvoir minimiser et maximiser
la valeur de la constante par l’intermédiaire des rectangles d’incertitudes.
On obtient deux valeurs pour C.
Cmin =
Cmax =
On prendra pour la suite des calculs la valeur moyenne : C =

13

Document 8 : Graphique

14

5. Les isoclines
On trace le réseau d’isoclines en recopiant minutieusement ce qui apparait sur
l’éprouvette en traction pour un chargement donné, par la méthode décrite précédemment.
On obtient ainsi l’orientation du repère principal pour plusieurs points.

Document 9 : Photographie d’isoclines pour un repère orienté à 2°

15

En modifiant l’orientation du repère, on a ainsi pu tracer un réseau d’isoclines (entre
0° et 20°).

Document 10 : Tracé manuscrit du réseau d’isoclines

Il est inutile de tracé le réseau de part et d’autre de l’axe de symétrie de la pièce.
D’abord puisque celui-ci est censé être le même et parce que le dispositif ne donnait pas un
résultat aussi clair sur les deux autres côtés.
Ce tracé est très approximatif, d’une part parce qu’il s’agit d’un tracé manuscrit et
visuel, et d’autre part parce qu’il est difficile de discerner correctement la frange la plus
sombre pour chaque orientation du repère principal.

16

6. Les isostatiques
A partir du réseau d’isoclines, on peut tracer le réseau d’isostatiques. Ce sont les
courbes telles qu’en chacun de ses points, on trouve l’une des directions principales
tangente et l’autre normale. A l’aide d’une feuille de papier millimétré, on obtient le réseau
de courbes :

Document 11 : Tracé manuscrit du réseau d’isostatiques

17

En réalité, il n’y a pas un réseau de courbes isostatiques, mais deux. Ces réseaux se
coupent perpendiculairement en tout point d’intersection. De façon arbitraire, il convient de
nommer chacun des réseaux. On notera a le réseau horizontal et b le réseau vertical.
Les équations de Lamé-Maxwell s’expriment de la façon suivante :

Avec :

σ contrainte en un point donné
S abscisse curviligne entre un point donné et un autre, à travers le réseau
Ρ rayon de courbure des isostatiques au point donné

En discrétisant le long d’une isostatique, on a :

On peut ainsi déterminer la valeur des contraintes de proche en proche.
se détermine grâce aux isochromatiques, en relevant l’ordre et en appliquant
la relation.
Il ne manque que la valeur du premier point pour déterminer celles de toutes les
autres. On se place alors sur la surface libre, on connaît ainsi sa valeur.

18

7. Calcul des contraintes
L’éprouvette ne pouvant être soumise à des efforts supérieurs à 1000 N, et les
réseaux d’isochromatiques ne pouvant être visibles avant 100 N, le chargement est fixé à
600N.
En premier lieu, il faut connaître l’ordre de des franges en plusieurs points, le long
d’une isostatique. On place six points le long de chaque singularité. Ainsi, nous pouvons
utiliser la relation de Lamé Maxwell pour connaître l’ordre des franges en chaque point.

Document 12 : Photographie d’un réseau d’isochromatiques

19

Une fois que nous avons déterminé les ordres en chaque point, il faut mesurer les
rayons de courbures respectifs correspondant aux isostatiques perpendiculaires aux points.
La mesure se faisant à l’aide d’un compas et d’une règle, le résultat est assez approximatif.
Ainsi, en appliquant la relation, on obtient les profils de contraintes suivants :

σxx=f(x)
0,9
0,8
0,7

σyy en MPa

0,6
0,5
Angle droit

0,4

Angle arrondi

0,3
0,2
0,1
0
0

2

4

6

8

10

x en mm
Document 13 : Profils de contraintes suivant X

Tout d’abord, la contrainte est nulle au bord de l’éprouvette : c’est une surface libre.
Pour l’angle arrondi, celle-ci croît brusquement mais se stabilise rapidement vers le centre
de l’éprouvette.
Pour l’angle droit, la contrainte croît très brusquement vers l’angle, puis se stabilise vers le
centre de l’éprouvette.
On remarque que la contrainte est plus faible vers le centre de l’éprouvette pour l’angle
droit que pour l’angle arrondi. Cela peut s’expliquer par le fait que la contrainte est
maximale au voisinage de l’angle droit.
On a un changement de courbure des isostatiques à sa proximité.

20

σyy=f(x)
8
7

σyy en MPa

6
5
4

Angle droit
Angle arrondi

3
2
1
0
0

2

4

6

8

10

x en mm
Document 14 : Profils de contraintes selon Y

Dans les deux cas, la contrainte augmente dès que l’on s’approche des singularités.
On remarque néanmoins qu’elle est plus importante (environ 40%) pour l’angle droit.

Le coefficient de concentration des contraintes est définit par :
On a
On obtient donc :

= 2,33
= 1,62

On remarque que dans chacun des deux cas, la contrainte maximale induite par la
singularité est supérieure à la contrainte « au centre ».
Le cas le plus dangereux est celui de l’angle droit dont la contrainte maximale est plus
de deux fois supérieure à celle au centre.
Il sera préférable pour un industriel d’employer une structure avec des angles
arrondis plutôt que des angles saillants.
Remarque : Bien que ces coefficients expérimentaux expriment un ordre de grandeur
pertinent, il est intéressant de noter qu’ils sont très approximatifs. En effet, les erreurs dues
21

à notre interprétation optique, à nos tracés et à nos mesures sont nombreuses. On
s’attardera en particulier sur la valeur du coefficient de contrainte de l’angle droit qui est
minoré en raison des franges isochromatiques qui étaient très resserrées au voisinage des
angles droits et par conséquent très difficilement discernables par notre œil.

22

III. Approche numérique
Après avoir fait des études expérimentale et théorique nous allons désormais réaliser
la dernière approche de notre problème : l’étude numérique à l’aide du logiciel ABAQUS qui
utilise un code de calcul par éléments finis.

Il est intéressant d’étudier cette approche numérique car lorsqu’une pièce comporte
des discontinuités dans la matière, l’étude des concentrations de contraintes, à l’aide d’un
outil informatique permet de prévoir les risques de rupture de la pièce. Dans cette étude
numérique, nous allons utiliser le logiciel ABAQUS qui utilise un code de calcul d’éléments
finis pour calculer les contraintes dans une pièce soumises à des forces extérieures. On va
ainsi pouvoir mettre en œuvre une approche numérique de notre problème de traction
d’une éprouvette présentant deux restrictions de section différentes : brusque et continue.

1. Présentation du logiciel

Il s’agit d’un logiciel assez simple d’utilisation même si le fait qu’il possède de
nombreuses fonctionnalités complique considérablement la tâche quand on ne l’a jamais
utilisé auparavant. Il permet de réaliser des études de tous types très complexes et nous
n’utilisons dans ce problème qu’une toute petite partie de ses applications. L’interface se
présente de la manière suivante :

Document 15 : Présentation de l’interface d’ABAQUS

23

Le logiciel possède différents modules, présents sur la droite du document 15, qui
permettent de réaliser l’étude numérique voulue dans cette partie. On navigue ainsi dans le
menu défilant de ces modules pour effectuer le travail. On commence tout d’abord par
concevoir la géométrie de la pièce à l’aide du module « Part ». Et ensuite, en suivant les
différents onglets du menu déroulant on rentre les propriétés du matériau, le chargement,
les conditions aux limites et toutes les données que l’on possède dans notre problème.

2. Modélisation du problème

Dans cette étude, on cherche à visualiser la répartition des contraintes dans une
éprouvette de plexiglas soumise à un effort de traction donc on réalise un calcul statique. La
pièce modélisée sous ABAQUS selon les côtes réelles est la suivante :

Document 16 : Modélisation de notre éprouvette

Etant donné que la pièce possède un axe de symétrie selon AG, nous avons décidé de
ne représenter que la moitié de la pièce. Nous avons aussi choisi de réaliser une étude en
deux dimensions et non trois au vue de l’épaisseur faible de la pièce. On rappelle que pour
toute la suite de la modélisation, on considèrera l’axe Ox horizontal et Oy vertical.
Il a ensuite fallu rentrer les différentes conditions aux limites de notre problème :
- Effort de traction uniforme de 600 N sur AB et FG,
- Symétrie par rapport à AG,
- Autres bords de la pièce : libres.
24

On continue la modélisation en définissant les propriétés du matériau utilisé
(Plexiglas) : - Matériau isotrope,
- Module d’Young = 2900 MPa,
- Coefficient de Poisson = 0.3,
- Masse volumique = 1180 kg/m3.
Il faut ensuite passer à une partie importante de la modélisation du problème qui est
le maillage de la pièce. Le but est d’obtenir un maillage le plus précis possible dans les zones
plus sensibles aux sollicitations c’est-à-dire au niveau des restrictions de sections continue et
brusque de la pièce. Il faut ainsi « découper » la pièce en différentes régions de manière à
pouvoir réaliser le maillage le plus fin et précis possible dans les zones voulues. C’est ce que
nous avons réalisé sur la figure suivante :
Document 17 : Pièce avec les régions réalisées

Une fois cette étape réalisée, il convient de construire le maillage en appliquant des
nœuds de maillage régulier et évolutif afin d’obtenir un maillage structuré. Les nœuds de
maillage évolutif se situent sur les côtés près du trou afin d’obtenir un maillage plus précis à
cet endroit. Les nœuds de maillage choisis sont représentés sur la figure suivante :

25

Document 18 : Représentation des nœuds de maillage

Le maillage final obtenu est le suivant :

Document 19 : Maillage final obtenu

26

On obtient ainsi un maillage assez satisfaisant par rapport à l’effet recherché qui est
d’être le plus fin et le plus précis possible au niveau des angles. Cependant, il aurait été plus
judicieux d’avoir un maillage encore plus lâche loin des irrégularités, c’est-à-dire au centre
de l’éprouvette et au niveau de l’application des efforts. En effet, on peut voir que certaines
mailles deviennent triangulaires (au lieu de rester sous forme de quadrilatères) à cause de la
précision trop importante du maillage dans ces zones.

3. Visualisation des contraintes

Maintenant que le maillage est effectué, ABAQUS nous permet de visualiser les
contraintes en tout point de notre maillage.

Document 20 : Visualisation des contraintes σxx pour l’angle arrondi (à gauche) et le droit (à droite)

On se rend compte que les contraintes sont concentrées au niveau des irrégularités
et « étalées » dans les zones qui nous intéressent moins et que les contraintes au niveau de
l’angle droit sont plus importantes que celles au niveau de l’arrondi. On voit aussi que loin
des irrégularités (au niveau de la traction et au milieu), on n’a pas de contraintes donc on est
bien en traction uniforme.

27

4. Tracé des contraintes selon la largeur de la pièce

Nous allons désormais tracer la répartition des contraintes suivant la largeur de la
pièce. Nous avons décidé de relever les coordonnées des points suivant l’axe Ox passant par
la contrainte maximale, comme le précise le schéma qui suit :

Document 21 : Axes de mesure (en rouge) pour le tracé de σxx sur la largeur de la pièce

On obtient alors les graphes qui suivent pour σxx et σyy en fonction de la largeur de la
pièce :

σxx = f (x)
1,6

σxx (MPa)

1,4
1,2
1

σxx angle droit
σxx angle arrondi

0,8
0,6
0,4
0,2
0
0

2

4

6

8

10

12

x (mm)
Document 22 : Profils de contraintes selon x

28

σyy = f (x)
7

σyy (MPa)

6
5

σyy angle droit

4

σyy angle arrondi

3
2
1
0
0

2

4

6

8

10

12

x (mm)
Document 23 : Profils de contraintes selon y

On observe que la valeur de la contrainte maximale atteinte est encore une fois bien
plus importante au niveau de l’angle droit qu’au niveau de l’angle arrondi dans les deux cas :
σ(arrondi)< σ(droit)
On peut noter que pour la répartition des σyy l’allure des 2 courbes est sensiblement
la même suivant les 2 types d’irrégularités (sauf pour la contrainte maximale), ce qui laisse
penser que l’environnement des singularités réagissent relativement de la même manière
concernant leur σyy.

5. Coefficient de concentration de contraintes

De la même manière que dans l’approche expérimentale, on a kt =

avec σ max qui

représente la contrainte maximale dans la pièce et σ0 représente la contrainte dans la partie
utile.
On obtient ainsi, pour l’angle arrondi : kt =

= 1,25.

et pour l’angle droit, kt =

= 2,03.

29

Cela confirme bien ce que nous avons trouvé pour l’instant, à savoir que
kt(arrondi)<kt(droit)
On risque donc d’atteindre le domaine plastique et donc la rupture beaucoup plus
rapidement dans le cas de l’angle droit qu’au niveau d’un angle avec un fort rayon de
courbure. La contrainte est en effet plus concentrée au niveau de l’angle droit et elle est plus
répartie dans le cas de l’angle avec un fort rayon de courbure. Ainsi, dans l’industrie, on
évitera à tout prix de mettre des angles droits quelle que soit la nature de la structure.

6. Comparaison des différentes méthodes
Comparaison des σxx

σxx_expérimental=f(x)

1,4

Angle droit

0,6
0,4

Angle
arrondi

0,2
0

σxx (MPa)

σxx (Mpa)

1
0,8

σxx_numérique = f (x)

1,6
1,2
1

σxx angle
droit

0,8
0,6

σxx angle
arrondi

0,4
0,2

0

5

x (mm)

10

0
0

5

10

x (mm)

15

Document 24 : Profils de contraintes expérimentales et numériques selon x

On constate qu’en excluant le point appartenant au bord de la pièce, on obtient
sensiblement les mêmes courbes pour σxx. En effet pour l’approche expérimentale nous
avons considéré que σxx était nul au bord (car la frontière est libre), ce qui n’est pas le cas
dans l’étude numérique.

30

Comparaison des σyy

σyy_numérique = f (x)

7
6

Angle droit
Angle arrondi

σyy (MPa)

σyy (Mpa)

σyy_expérimental=f(x)
8
7
6
5
4
3
2
1
0

5

σyy angle
droit

4
3

σyy angle
arrondi

2
1
0

0

5

10

0

5

10

15

x (mm)

x (mm)

Document 25 : Profils de contraintes expérimental et numérique selon y

On constate cette fois que les courbes représentant σyy sont quasiment identiques
expérimentalement et numériquement (tant au niveau de l’allure des courbes qu’au niveau des valeurs
numériques).

Comparaison des coefficients de concentration de contraintes

Document 26 : Tableau récapitulatif des différents Kt

On constate que les 3 études permettent d’obtenir des résultats assez proches, mise à part le Kt
théorique pour l’angle droit. Cependant ce Kt théorique avait été obtenu en faisant l’approximation que
l’angle droit pouvait être considéré comme un cas particulier de l’angle arrondi : celui pour lequel le
rayon de l’angle tendait vers zéro. L’écart avec les deux autres Kt déterminés (expérimental et
numérique) provient donc certainement en partie de cette hypothèse.

31

Conclusion
Pour conclure, l’étude théorique des contraintes est assez complexe (nous avons vu
dans la première partie que les expressions obtenues pour les composantes du tenseur des
contraintes contiennent de nombreux termes). Cependant nous avons pu trouver des
abaques pour les coefficients de concentration de contraintes, qui permettent de
déterminer les Kt de façon assez précise (du moins pour les angles arrondis).
En ce qui concerne l’approche expérimentale, elle permet de visualiser rapidement
les zones de forte concentration de contraintes, mais les tracés des isoclines sont assez
approximatifs (bien que nous obtenions finalement des résultats cohérents avec les autres
études).
D’autre part l’analyse numérique est assez longue à mettre en œuvre initialement,
mais une fois le problème posé, les résultats obtenus sont assez intéressants.

32


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