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Cours Algèbre III Chapitre 1 et Chapitre 2 .pdf



Nom original: Cours Algèbre III Chapitre 1 et Chapitre 2.pdf

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1
R´eduction des endomorphismes

1.1 Position du probl`eme
Les endomorphismes qui sont des applications lin´eaires agissent sur un espace vectoriel E et prend ses valeurs
dans le mˆeme espace, peuvent eˆ tre compl´etement d´ecrit dans le cas de la dimension finie de l’espace E par des
matrices carr´ees, qu’on peut les d´efinir par rapport a` des bases de l’espace en question. En particulier si on a un
endomorphisme f d’un K - espace vectoriel de dimension finie et si B est une base de l’espace en question, on peut
montrer l’existence d’une matrice carr´ee dont la taille vaut la dimension de l’espace sur lequel l’endomorphisme
agit et de telle sorte que

MB f . x / D MB . f / MB . x / ;

tel que MB . f / est la matrice correspondante a` f dans la base B, MB . x / respectivement MB f . x / c’est la
matrice colonne form´ee par les composantes du vecteur x respectivement f . x / dans cette base.
Technique 1
1. On calcule les valeurs de f . ei / pour i D 1 n
2. On d´ecompose le vecteur f . ei / dans la base f e1 ; ; en g pour avoir l’´ecriture
f . ei / D a1i e1 C C ani en D

n
X

aki ek :

kD1

3. les composantes de f . ei / dans la base f e1 ; ; en g qui peuvent eˆ tre mise sous la forme d’un vecteur
colonne
0
1
a1i
B :: C
B : C
B
C
B aki C ;
B
C
B :: C
@ : A
ani
forme la i e´ me colonne de la matrice de f , ainsi
0

M. f /f ei g

a11
B a21
B
D B :
@ ::
an1

a12
a22
:: : :
:
:
an2

1
a1n
a2n C
C
:: C :
: A
ann

Exemple 1 Soit l’application lin´eaire de R3 d´efinie par
0

8 X 2 R3 W

1
x C 2y C z
A ;
x
y
f. X / D @
y C z

et soit B la base de R3 d´efinie par
B D

8
<
:

e1

0 1
0 1
0 19
1
1
0 =
D @ 1 A ; e2 D @ 0 A ; e3 D @ 1 A ;
;
0
1
1

M.Houbad, Introduction a` l’Alg`ebre Lin´eaire
D´epartement de Math´ematiques
c
Universit´
e de Tlemcen, http://www.univ-tlemcen.dz, 2016

1

1 R´eduction des endomorphismes

2

M.Houbad

et on veut d´eterminer la matrice associ´ee a` f dans la base B, alors le calcule fournit
8
<˛ C ˇ D 3
˛ C D0
f . e1 / D ˛ e1 C ˇ e2 C e3 H)
:
ˇ C D1
alors
˛ D 1;

ˇ D 2;

D

1;

ce qui donne que
f . e1 / D e1 C 2 e2

e3 ;

de la mˆeme mani`ere on obtient que
f . e2 / D e1 C e2 ;
et donc

f . e3 / D 3 e2

0
MB . f / D @

1
2
1

1
2
0

e3 ;

1
0
3A :
1

˚
Maintenant si on consid`ere une autre base ei0 du mˆeme espace, on peut d´efinir une autre matrice associ´ee au
mˆeme endomorphisme par rapport a` cette nouvelle, les deux matrices qui repr´esentent le mˆeme endomorphisme
dans deux bases diff´erentes sont li´ees entre eux par la relation
M. f /f e0 g D P
i

1

M. f /f ei g P ;

˚
tel que P est une matrice carr´ee inverssible appel´ee matrice de passage de la base f ei g a` la base ei0 .
Technique 2
1. On d´ecompose les vecteurs ei0 sur les e´ lements de la base f ei g pour avoir l’expression
ei0 D p1i e1 C C pni en D

n
X

pki ek :

kD1

2. les composantes de ei0 dans la base f e1 ; ; en g qui peuvent eˆ tre mise sous la forme d’un vecteur colonne
0
1
p1i
B :: C
B : C
B
C
B pki C ;
B
C
B :: C
@ : A
pni
forme la i e´ me colonne de la matrice de P ainsi
0
p11
B p21
B
P D B :
@ ::

p12
p22
::
:

pn1 pn2

1
p1n
p2n C
C
:
: : :: C
: : A
pnn

Ainsi vu la possibilit´e de tel changement, une r´eflection naturelle se pr´esente : comment on choisit les bases de
l’espace E de telle sorte que l’ecriture matricielle de l’endomorphisme soit la plus simple, dans le sens ou sa
matrice contient le plus possible de z´eros. Les matrices les plus adapt´ees aux calcul sont les matrices diagonales
ou triangulaires sup´erieures.
D´efinition 1 ( Diagonalisable ) ˚On dit
qu’un endomorphisme f ( respectivement une matrice carr´ee A ) est diagonalisable s’il existe une base ei0 de E ( respectivement une matrice inversibble P ) telle que M. f /f e0 g (
respectivement P

1

i

A P ) est diagonale.

1.2 Valeurs et vecteurs propres

Universit´e de Tlemcen

3

D´efinition 2 ( Triangularisable ) On
˚ dit qu’un endomorphisme f ( respectivement une matrice carr´ee A ) est
triangularisable s’il existe une base ei0 de E ( respectivement une matrice inversibble P ) telle que M. f /f e0 g
( respectivement P

1

i

A P ) est traingulaire sup´erieure.

Alors le but de ce premier chapitre est
— P OUR LES ENDOMORPHISMES . Il s’agit de
1. Caract´eriser les endomorphismes diagonalisables ou triangularisables.
2. D´eterminer l’existence des bases f ei g dans lesquelles la matrice M. f /f ei g est diagonale ou triangulaire sup´erieure.
— P OUR LES MATRICES . Il s’agit de
1. Caract´eriser les matrices A 2 M. K / qui sont diagonalisables ou triangularisables.
2. D´eterminer l’existence des matrices inversibles P pour lesquelles la matrice P
ou triangulaire sup´erieure.

1

A P est diagonale

Remarque 1.1. Si on a deux matrices carr´ees A et A0 v´erifiant pour cetaine matrice inversible P la relation
A0 D P

1

AP ;

cela est e´ quivalent a` dire que les deux matrices en question repr´esentent le mˆeme endomorphisme dans deux bases
diff´erentes, et on dit que ces deux matrices sont somblables.

1.2 Valeurs et vecteurs propres
D´efinition 3 ( Valeurs et vecteurs propres ) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E, on dit que
v 2 E est un vecteur propre de f si
v ¤ 0;

9 2 K W

f. v / D v :

(1.1)

Le scalaire est appel´e valeur propre de f correspond au vecteur propre v.
Remarque 1.2 ( Important ).
1. Les vecteurs propres sont non nuls.
2. Les valeurs propres peuvent eˆ tre nulles.
3. Si v est un vecteur propre de f correspond a` la valeur propre , alors pour tout 2 K non nul le vecteur v
est aussi un vecteur propre de f correspond a` la mˆeme valeur propre .
Th´eor`eme 1 ( Principale ) Soit f un endomorphisme de E un K - espace vectoriel de dimension finie. Alors f est
diagonalisable si et seulement si il existe une base de E form´ee par les vecteurs propres de f .
preuve du th´eor`eme 1.
H) On suppose que f est diagonalisable, alors par l’utilisation de la D´efinition 1 page 2 on a l’existence d’une
base f e1 ; ; en g de E telle que
0
1
a11 0 0
B 0 a22 0 C
B
C
M. f /f ei g D B : : :
(1.2)
: C ;
@ :: :: : : :: A
0

0 ann

alors on note par Xi les composantes du vecteur ei dans la base f e1 ; ; en g ce qui donne

4

1 R´eduction des endomorphismes
0 1
0
B :: C
B:C
B C
B0C
B C
C
i e´ me composante ;
Xi D M. ei /f ei g D B
B1C
B0C
B C
B :: C
@:A
0

M.Houbad

ce qui permet de conclure que
0

M f . ei /


f ei g

D M. f /f ei g M. ei /f ei g

ainsi

M f . ei /


f ei g

D ai i

0 1
0
B :: C
B:C
B C
B0C
B C
B1C
B C
B0C
B C
B :: C
@:A

0
a22
:: : :
:
:
0 0

a11
B 0
B
D B :
@ ::

0
0
::
:

1
C
C
C Xi
A

ann

i e´ me composante D ai i M. ei /f ei g ;

0
en conclusion
M f . ei /

8 i 2 f 1 ; ; n g W


f ei g

D ai i M. ei /f ei g ;

donc
8 i 2 f 1 ; ; n g W

f . ei / D ai i ei ;

alors ei est un vecteur propre qui correspond a` la valeur propre ai i ce qui donne que la base
f e1 ; ; en g
est form´e par les vecteurs propres de l’endomorphisme f .
(H On suppose qu’il existe une base f v1 ; ; vn g form´ee par les vecteurs propres de f ce qui permet d’´ecrire
8i 2 f 1 ; ; n g ;

9 i 2 K W

f . vi / D i vi :

Alors il est simple de conclure le fait que
0

M. f /f vi g

1
B 0
B
D B :
@ ::

0
2
::
:



::
:

0
0
::
:

1
C
C
C :
A

0 0 n
cette matrice n’est rien autre qu’ une matrice diagonale, en utilisant la D´efintion 1 page 2 on peut conclure que
l’endomorphisme f est diagonalisable.
2
Remarque 1.3 ( Important ). Sur la diagonale principale d’une matrice diagonale associ´ee a` un endomorphisme
f apparaissant les valeurs propres de ce dernier.
1.3 D´etermination des valeurs et des vecteurs propres
1.3.1 D´etermination des valeurs propres
D´efinition 4 ( Polynˆome caract´eriqtique ) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension
finie, on appelle polynˆome caract´eristique de f le polynˆome
Pf . / D det . f

Id / D det . A

tel que A est la matrice associ´ee a` f dans n’importe quelle base de E

I/;

Universit´e de Tlemcen

1.3 D´etermination des valeurs et des vecteurs propres

5

D´efinition 5 ( Multiplicit´e ) Soit P un polynˆome, alors si
0 /˛0 Q. / ;

P. / D .

Q. 0 / ¤ 0 ;

on dit que 0 est une racine de multiplict´e ˛0 du polynˆome P et on la note
˛0 D multi. 0 / :
Proposition 1 Les valeurs propres de f sont exactement les racines de son polynˆome caract´eristique.
preuve de la proposition 1.
H) Soit 0 une valeur propre de f donc
9v 2EI v ¤ 0 W

f . v / D 0 v H)

f


0 Id . v / D 0 ;

ce qui affirme qu’ on a
v 2 Ker . f

0 Id / ;

or vu que v ¤ 0 cela permet de conclure que
0 Id / ¤ f 0 g ;

Ker . f

alors l’endomorphisme f
0 Id n’est pas injectif donc il n’est pas bijectif donc n´ecessairement sa matrice
associ´ee n’est pas du rang maximal, autrement dit
0 Id / D 0 ;

det . f

cela est exactement le polynˆome caract´eristique e´ valu´e au point 0 , donc 0 est une racine du Pf .
(H Inversement soit 0 une racine de Pf autrement Pf . 0 / D 0, vu la D´efinition 4 page 4
0 Id / D 0 ;

det . f

0 Id n’est pas bijective, donc n’est pas injective ce qui permet d’´ecrire

0 Id / ¤ f 0 g H) 9 v 2 E ; v ¤ 0 W
f
0 Id . v / D 0 H) f . v / D 0 v ;

alors l’endomorphisme f
Ker . f

alors v est un vecteur propre de f et 0 c’est la valeur propre de f correspondant.

2

D´efinition 6 ( Spectre ) Soit f un endomorphisme d’une K - espace vectoriel E de dimension quelconque, alors
on appelle le spectre de f l’ensemble des valeurs 2 K tel que
Id ;

f
n’est pas injective, et il est not´e

Sp . f / :
Proposition 2 ( Importante ) Dans le cas de la dimension finie de l’espace, l’ensemble des valeurs propres de f
coincide avec le spectre de f .
Exemple 2 Soit l’endomorphisme f de R3 d´efinie par
0

1
x C y C z
y C z A ;
f. X / D @ x
x C y
z

sa matrice associ´ee dans la base canonique de R3 not´ee B
0
1
B D @ 1
1

2 M3 . R / d´efinie par
1
1 1
1 1A ;
1 1

1 R´eduction des endomorphismes

6

M.Houbad

On veut d´eterminer les valeurs propres de la matrice B alors on utilise la d´efintion du polyˆome caract´eristique on a
0
1
1

1
1
1
1

1 A ;
PB . / D det . B
I / D det @
1
1
1

le calcul de ce d´eterminant par rapport a` la premi´ere colonne permet d’avoir
Pf . / D .

1

/ Π. 1 C /2

1  C 2. 2 C / D . 2 C /2 . 1

/;

donc les valeurs propres de B sont
8
< 1 D 1 ;
:

2 D

2;

multi. 1 / D 1 ;
multi. 2 / D 2 :

1.3.2 D´etermination des vecteurs propres
Technique 3 La d´etermination des vecteurs propres se fait selon les e´ tapes suivantes
1. D´etermination de Pf polynˆome caract´eristique de f .
2. D´etermination des valeurs propres de f qui sont les racines de Pf .
3. Pour chaque valeur propre on r´esoud l’´equation
.A

I/V D 0;

dont V est l’inconnu et A est la matrice associ´ee a` f dans une base B de E.
Alors V est le vecteur composantes dans la base B du vecteur v le propre de f correpond a` la valeur propre .

Exemple 3 Soit la matrice B de M3 . R / d´efinie par
0
B D @

1
1
1

1
1
1

1
1
1A ;
1

dans l’exemple 2 on a trouver les valeurs propres de cette matrice a` savoir
8
< 1 D 1 ; multi. 1 / D 1 ;
:

2 D

2;

multi. 2 / D 2 :

on veut maintenant d´eterminer les vecteurs propres de la matrice B, il s’agit de r´esoudre le syst`eme
.B
dont v est l’inconnu, ce qui le mˆeme que
0
1

1
@
1
1
1
1

I/v D 0:

1

1
1


1

A v D 0;


0 1
x
v D @y A :
z

Pour la premi`ere valeur propre 1 D 1.
Le syst`eme (1.3) ce simplifie en
8
<
:

8
<

2x C y C z D 0;
x
2 y C z D 0 ; H)
:
x C y
2z D 0;

8
0 1
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x D y;
<v D y @1A ;
y quelconque ; H)
1
ˆ
ˆ
z D y;
ˆ
ˆ
:
y quelconque ;

(1.3)

Universit´e de Tlemcen

1.3 D´etermination des valeurs et des vecteurs propres

7

quitte a` prendre y D 1 on d´eduit que les vecteurs propres correspondant a` la valeur propre 1 D 1 sont tous
colin´eaire au vecteur v1 qui vaut
0 1
1
v1 D @ 1 A :
1
Pour la deuxi`eme valeur propre 2 D

2.

Le syst`eme (1.3) ce simplifie en
8
0
ˆ
8
8
ˆ
ˆ
ˆ
y
z;
<x C y C z D 0 ;
< x D
<v D y @
x C y C z D 0 ; H)
y quelconque ;
H)
:
:
ˆ
ˆ
x C y C z D 0;
z quelconque ;
ˆ
ˆ
:
y; z

1
0
1
1A C z @
0

1
1
0A ;
1

quelconques ;

alors on a deux degr´es de libert´e en y et z cela donne l’existence de deux vecteurs propres. Ainsi on prend y D 1
et z D 0 cela donne le premier vecteur propre v2 a` savoir
0
1
1
v2 D @ 1 A :
0
et pour y D 0 et z D 1 on a le second vecteur propre v3 a` savoir
1
0
1
v3 D @ 0 A ;
1
les autres vecteurs propres qui correspondant a` la valeur propre 2 sont une combinaison lin´eaire de v1 et v2 .
En conclusion on a le tableau rep´ecutulatif suivant

Vecteurs propres

Valeurs propres
1 D 1

v1

2 D

0 1
0
1
D @ 1 A v2 D @
1

1
1
1A;
0

2

0
v3 D @

1
1
0A
1

Exemple 4 D´eterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de l’endomorphisme de R2 Œ X  d´efinie par
f . P / D . X C 1 / P. 1 / C P :
Dans la base canonique de R2 Œ X  qui vaut
B D
on a

˚

1 ; X ; X2



;

0

1
110
MB . f / D @ 0 2 2 A ;
003

les valeurs propres sont
1 D 1 ;

2 D 2 ;

3 D 3 ;

et les vecteurs propres correspondant sont
1;

1 C X;

1 C 2 X C X2 ;

1 R´eduction des endomorphismes

8

M.Houbad

1.4 Diagonalisation
D´efinition 7 ( Polynˆome scind´e ) Soit P 2 KŒ X  un polynˆome, on dit qu’il est scind´e dans K si il est de degr´e
n et admet n racines dans K.
Exemple 5
— Le polynˆome x 2 C x C 1 est scind´e dans C mais pas dans R
— Le polynˆome x 2 est scind´e dans R et dans C il admet deux racines e´ gaux.
Remarque 1.4. Un polynˆome est scind´e si et seulement si il peut eˆ tre e´ crit sous la forme
P. x / D

s
Y

xk / ˛ k ;

.x

kD1

avec

s
X

˛k D degr´e de P ;

kD1

avec xk sont les racines de P et ˛k c’est la multiplicit´e de xk .
D´efinition 8 ( Sous espaces propres ) Soient f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E et 2 K une
valeur propre de f , on note par E le sous espace vectoriel de E d´efini par
E D f v 2 E W

f. v / D v g :

cet ensemble est appel´e sous espace propre corespondant a` la valeur propre , il est form´e par les vecteurs propres
associ´es a` cette valeur.
Proposition 3 Soient f une endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie et une valeur propre
de f de multiplicit´e ˛, alors
1 dim E ˛ :
preuve de la proposition 3. On raisonne par absurde, on suppose que 0 est une valeur propre de f de multiplicit´e
˛0
Multiplicit´e . 0 / D ˛0
(1.4)
et que la dimension du sous espace propre associ´e v´erifie l’in´egalit´e
dim E 0 > ˛0 ;

(1.5)

ainsi E 0 est au moins de dimension ˛0 C 1, alors on peut consid´erer
˚

B0 D v1 ; ; v˛0 C1
une base de E 0 donc une famille libre de E 0 , or E 0 E, donc B0 est une famille libre de E. On utilise le
th´eor`eme de la base incompl`ete cette famille elle peut eˆ tre compl´et´e pour devenir une base de E on la note
˚

B D v1 ; ; v˛0 C1 ; e˛0 C2 ; ; en :
Or vu que
8 i D 1 ˛0 C 1 W

vi 2 E 0 ;

en utilisant la D´efinition 8 page 8 on en d´eduit
8 i D 1 ˛0 C 1 W
cela e´ tant dit permet de conclure que

f . vi / D 0 vi ;

Universit´e de Tlemcen

1.4 Diagonalisation
0
0 0 0
B 0 0 0
B
B :: :: : : :: A
B : :
: :
B
0
0



0
M. f /B D B
B
B 0 0 0
B
B : : :
:
@ :: :: : : :: B

9
1
C
C
C
C
C
C ;
C
C
C
C
A

0 0 0

ƒ‚

˛0 C1 colonnes
alors
Pf . / D det M. f /B

I



D . 0

/ ˛0 C1 det . B

In

˛0

1

/;

tel que In ˛0 1 est la matrice unit´e de taille n ˛0 1. donc 0 est une racine du polynˆome caract´eristique de
multiplicit´e ˛0 C 1 ce qui contredit (1.4), donc n´ecessairement dim E 0 ˛0 .
2
Th´eor`eme 2 ( Caract´erisation ) Soient f une endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie n,
alors f est diagonalisable si et seulement si
1. Pf est scind´e dans K.
2. Pour toute valeur propre de f on a
dim E D mul. ˛ / :
Corollaire 1 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie n, si f admet n valeurs
propres distinctes ( de multiplicit´e une ) alors f est diagonalisable.
Technique 4 ( Matrice r´eduite - Matrice de passage ) Pour d´eterminer la matrice de passage et la matrice
r´eduite d’une endomorphisme on suit les e´ tapes suivantes.
1. On d´etermine les valeurs propres de l’endomorphisme f qu’on les notes i , les vecteurs propres qu’on les
notes vi , si
8 2 Sp. f / W dim E D mul. / ;
alors f est diagonalisable .
2. La matrice associ´ee a` f dans la base f vi g est diagonale de la forme
0
1
1 0 0
B 0 2 0 C
B
C
A0 D B : : :
: C ;
@ :: :: : : :: A
0 0 n
3. La matrice de passage correspondante est exprim`ee par
0

1

P D @ v1 v2 vn A
de telle sorte que l’ordre des valeurs propres dans la matrice A0 correspond a` l’ordre de leurs vecteurs
propres dans la matrice P , dans le sens ou si la valeur propre prend la i e´ me position sur la diagonale de
la matrice A0 leur vecteur propre prend la i e´ me position dans la matrice de passage P .
Exemple 6 Vu l’exemple 3 dans lequel l’´etude de l’endomorphisme f d´efinie par
0
1
x C y C z
y C z A ;
f. X / D @ x
x C y
z
a permet d’avoir le tableau

1 R´eduction des endomorphismes

10

M.Houbad

Vecteurs propres

Valeurs propres
1 D 1

v1

2 D

0 1
0
1
D @ 1 A v2 D @
1

2

1
1
1A;
0

0

1
1
0A
1

v3 D @

alors la matrice r´eduite et la matrice de passage sont
8
0
1
0
1 0 0
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ B 0 D @ 0 2 0 A D @ 0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 0 2
0
<

0
2
0

1
0
0A ;
2

1
0
0
ˆ
ˆ
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
@ v1 v2 v3 A D @ 0
P
D
ˆ
ˆ
:
0

0
2
0

1
0
0A ;
2

(1.6)

1.4.1 Applications de la diagonalisation
1.4.1.1 Calcul de la puissance d’une matrice [ Exercice en TD ]
On s’int´eresse a` calucler la puissance d’une matrice carr´ee A toute en supposant qu’ elle est diagonalisable, cela
e´ tant dit permet de conclure l’exitence d’une matrice A0 diagonale form´ee par les valeurs propres de A de la fomre
1
0
1 0 0
B 0 2 0 C
C
B
A0 D B : : :
: C ;
@ :: :: : : :: A
0 0 n
et une matrice inverssible P form´ee par les vecteurs propres de A tel que la construction de A0 et P se fait selon
la Technique 4 page 9, et ses ingr´ediants sont reli´ees par la relation
1

A0 D P
Cela permet avec l’utilisation du fait que P P

1

A P H) A D P A0 P
1

:

D I ; d’avoir

A k D P A0 k P

1

;

ainsi il est simple de montrer que
0

A0 k

1
B 0
B
D B :
@ ::

0
2
::
:



::
:

0
0
::
:

1k
C
C
C
A

1k
B 0
B
D B :
@ ::
0

0 0 n
d’o`u

1k
B 0
B
D P B :
@ ::
0

Ak

0
2k
:: : :
:
:
0 0

0
0
0
::
:

0
2k
::
:



::
:

0
0
::
:

1
C
C
C ;
A

(1.7)

0 nk

1
C
C
C P
A

1

;

nk

1.4.1.2 Syst`eme de suites r´ecurrentes [ Exercice en TD ]
On suppose qu’on a un syst`eme des suites r´ecurrentes dans lequel on cherche a` d´eterminer le terme g´en´eral en
fonction des premiers termes de chaque suite et de l’indice k, a` savoir

1.5 Trigonalisation

Universit´e de Tlemcen

11

8
ukC1 D a11 uk C a12 vk C C a1n zk ;
ˆ
ˆ
ˆ
< vkC1 D a21 uk C a22 vk C C a2n zk ;
::
ˆ
:
ˆ
ˆ
:
zkC1 D an1 uk C an2 vk C C ann zk ;

(1.8)

le syst`eme (1.8) peut eˆ tre met sous la forme matricielle suivante
XkC1 D A Xk

(1.9)

tel que
0

a11
B a21
B
A D B :
@ ::

a12
a22
::
:



::
:

1
a1n
a2n C
C
:: C ;
: A

1
uk
B vk C
B C
D B : C :
@ :: A
0

Xk

an1 an2 ann

zk

Ainsi
XkC1 D Ak X1 ;

(1.10)

Dans le cas o`u la matrice A est diagonalisable cela revient a` calculer la puissance d’une matrice qui se fait selon la
partie pr´ec´edente qui affirme que
1
0 k
1 0 0
B 0 k 0 C
2
C
B
1
;
(1.11)
Ak D P B : : :
: C P
@ :: :: : : :: A
0 0 nk
quitte a remplacer la valeur de (1.11) dans (1.10) on obtient le terme g´en´eral en fonction de l’indice k et du premier
terme X1 uniquement.

1.5 Trigonalisation
Dans le cas o`u un endomorphisme f ou une matrice A n’est pas diagonalisable ( par exemple s’il existe une valeur
propre tel que sa multiplicit´e est diff´erente de la dimension du sous espace propre associ´ee ), on va chercher
une autre forme simple diff`erente de la forme diagonale pour la matrice A. La forme en question est la forme
traingulaire sup´erieure a` savoir
0
1
a11 a12 a1n
B 0 a22 a2n C
B
C
B :: :: : : :: C :
@ : :
: : A
0

0 ann

La m´ethode qui ram`ene une matrice A a` la forme triangulaire sup´erieure s’appelle la triangularisation et elle est
donn´ee par la D´efintion 2 page 3.
Th´eor`eme 3 ( Conditions de la trigonalisation ) Une matrice carr´ee A 2 Mn . K / ( ou un endomorphisme f
d’un K - espace vectoriel E de dimension finie ) est trigonalisable si et seulement si sont polynˆome carcat´eristique
est scind´e dans K.
Remarque 1.5 ( Importante ).
— Sur la diagonale de la matrice r´eduite triangulaire sup´erieure d’une matrice A figure les valeurs propres de
A.
— La forme r´eduite triangulaire n’est pas unique.
Technique 5
Soit A une matrice carr´ee, pour d´eterminer la matrice r´eduite triangulaire et la matrice de passge correspondante
en suite les quatres e´ tapes suivante.
1. On d´etermine le polynˆome carcat´eristique, les valeurs propres et les sous espaces propres associ´ees ainsi
que leurs dimensions. Si
9 2 Sp. / W dim E ¤ mul. / ;
alors la matrice n’est pas diagonalisable mais trigonalisable.

1 R´eduction des endomorphismes

12

2. Dans ce cas, cette matrice dans une base f v1 ; v2 ; ; vn g s’´ecrit sous la forme
0
1
1 a12 a1n
B 0 2 a2n C
B
C
A0 D B : : :
: C :
@ :: :: : : :: A
0

M.Houbad

(1.12)

0 n

3. On r´esoud le syst`eme suivant
A v1 D 1 v1 ;
A v2 D a12 v1 C 2 v2 ;
::
:
A vn D a1n v1 C a2n v2 C C n vn :
dont les inconnus sont vk et les param´etres aij etc, avec la contrainte
1
0
det @ v1 v2 vn A ¤ 0 :
4. Une fois on d´etermine les coefficients aij , etc et les vecteurs vk , la matrice r´eduite triangulaire est donn´ee
par (1.12) et la matrice de passage vaut
1
0
P D @ v1 v2 vn A :

Exemple 7 Soit la matrice
0

4
0
5

A D @

1
2
0A ;
3

0
1
1

e´ tape 1 : D´etermination du polynˆome caract´eristique
Le calcul founit
PA . / D det . A

I/ D .1

/2 . 2 C / ;

PA est scind´e dans R donc A est soit trigonalisable soit diagonalisable et ces valeurs propres sont
1 D 1 de multiplicit´e deux ;

2 D

2

de multiplicit´e un :

e´ tape 2 : D´etermination des vecteurs propres
Il s’agit de r´esoudre le syst´eme dont l’inconu est v
.A

I/v D 0:

— Pour la premi`ere valeur propre 1 D 1 : On obtient
0
z @
v D
5

1
2
0A ;
5

avec z quelconque en prend alors z D 5 on d´eduit que
1
0
*
2 +
E 1 D Vect v1 D @ 0 A H) dim E 1 D 1 ¤ mul. 1 / D 2 ;
5
donc la matrice A est purement triangularisable ( elle ne peut eˆ tre diagonalis´ee ).

1.5 Trigonalisation

Universit´e de Tlemcen
— Pour la deuxi`eme valeur propre 2 D

13

2 : On obtient
0
v2 D z @

1
1
0A ;
1

avec z quelconque, on prend alors z D 1 ce qui donne
0
1
*
1 +
E 2 D Vect v2 D @ 0 A H) dim E 2 D 1 D mul. 2 / ;
1
e´ tape 3 : D´etermination de la forme r´eduite
On cherche a` r´eduire la matrice A en matrice triangulaire sup´erieure, autrement dit la matrice A va s’´ecrire dans
une base f e1 ; e2 ; e3 g sous la forme
0
1
1 a b
A0 D @ 0 1 c A ;
0 0 2
c’est a` dire les composantes des colonnes de la matrice A0 sont les composantes des images des vecteurs A ei dans
la base f e1 ; e2 ; e3 g, autrement dit
A e1 D e1 ;

(1.13)

A e2 D e2 C a e1 ;

(1.14)

A e3 D

(1.15)

2 e3 C c e2 C b e1 ;

la relation (1.13) affirme que le vecteur e1 est un vecteur propre de A qui correspond a` la valeur propre 1 D 1,
alors on prend
1
0
2
e1 D v1 D @ 0 A ;
5
dans la relation (1.14) on ne peut pas prendre a D 0 sinon le vecteur e2 sera un vecteur propre de A correspondant
a` la valeur propre 1 D 1, ce qui est absurde vu que cette valeur poss`ede un seul vecteur propre. Alors on prend
a D 1 ce qui permet d’avoir
.A
1 I / e2 D v1 ;
alors on peut prendre
e2

0 1
0
D @3A ;
1

dans la relation (1.15) on peut prendre e3 le vecteur propre de A qui correspond a` la valeur propre 2 D
qui donne
0
1
1
e3 D v3 D @ 0 A :
1
Finalement la matrice r´eduit et la matrice de passage sont
8
0
1
0
1 a b
1
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
A0 D @ 0 1 c A D @ 0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
0 0 2
0
<
1
0
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
P D @ e1 e2 e3 A D @
ˆ
ˆ
:

2
0
5

1
1
0

1
0
0A;
2

0
3
1

1
1
0A:
1

2, ce

1 R´eduction des endomorphismes

14

M.Houbad

1.5.1 Applications de la trigonalisation
1.5.1.1 Syst`eme d’´equations diff´erentielles [ Exercice en TD ]
Soit le syst`eme d’´equations diff´erentielles lin´eaires a` coefficients constants sans second membre autonˆome suivant
8 d
ˆ
x1 D a11 x1 C a12 x2
ˆ
ˆ
ˆ
dt
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
< d
x2 D a21 x1 C a22 x2
dt
ˆ
ˆ
::
ˆ
ˆ
ˆ
:
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
d
:
xn D an1 x1 C an2 x2
dt
ce syst`eme peut eˆ tre met sous une forme matrcielle
0
a11 a12
B
a
d
B 21 a22
X D AX ; A D B : : :
@ :: :: : :
dt

C C a1n xn ;
C C a2n xn ;

(1.16)

C C ann xn ;

1
a1n
a2n C
C
:: C ;
: A

0

1
x1
B x2 C
B C
X D B : C :
@ :: A

an1 an2 ann

(1.17)

xn

La r´esolution de ce syst`eme se fait selon la technique suivante
Proposition 4
1. On r´eduit la matrice A a` la forme diagonale ou triangulaire sup´erieure et on d´etermine la matrice r´eduite
A0 et la matrice de passgae correspondante P .
2. On r´esoud le syst`eme
d
Y D A0 Y :
dt
3. La solution du syst`eme (1.17) est
X D P Y :
preuve de la proposition 4. On a
A0 D P

1

A P ” A D P A0 P

1

;

ce qui donne que
d
d
X D AX ”
X D P A0 P 1 X
dt
dt
d
X D P A0 P 1 X

dt
d
” P 1
X D A0 P 1 X ;
dt
la matrice A est ind´ependante de t donc les vecteurs propres et par cons´equence les vecteurs propres sont
ind´ependante de t ce qui donne que P est uniforme en t alors
d
.P
dt
on pose Y D P

1

1

X / D A0 . P

1

X /;

X ce qui donne finalement
d
Y D A0 Y ;
dt

X D P Y :
2

1.5 Trigonalisation

Universit´e de Tlemcen

15

1.5.1.2 e´ quations diff´erentielles ordinaires [ Exercice en TD ]
On veut r´esoudre l’´equation suivante
f.2/ C 2 f.1/ C f D 0
ce qui donne le syst`eme
8 .2/
D
<f
:
ou encore

2 f.1/

f.1/ D

f ;

f.1/



.1/
f.2/
2 1
f
D
1 0
f
f.1/
„ ƒ‚ … „ ƒ‚ …
„ ƒ‚ …
A
X
d
X
dt
la r´eduction de la matrice A permet d’avoir




1 1
1 1
0
A D
; P D
;
0 1
1 0


on r´esoud le syt`eme


d
Y D A0 Y ;
dt

Y D

y1
y2


;

ce qui donne que


donc


Y D

y10 D
y1 C y2
H)
y20 D
y2

. c2 t C c1 / e
c2 e t

t



y1 D . c2 t C c1 / e
y2 D c2 e t ;




H) X D P Y H) X D

t

c1 ; c2 2 R

. c2 t C c1
c2 / e
. c2 t C c1 / e t

t


;

et finalement on prend la derni`ere composantes de X pour avoir la fonction f autrement dit
f. t / D

. c2 t C c1 / e

t

;

Proposition 5 Pour r´esoudre les e´ quations diff´erentielles ordinaire a` coefficients constantes sans seconde membre
de la forme
n
X
ak f . k / . t / D 0 ; a n ¤ 0 ;
kD0

qui peut eˆ tre toujours mise sous la forme
f

.n/

.t / D

nX1

bk f . k / . t / ;

8 k D 0 n

1 W

kD0

on suit les e´ tapes suivantes
1. On exprime l’ensemble des e´ quations suivante
f . n /. t / D
f

.n

1/

f

.n

2/

nX1

bk f . k / . t / ;

kD0
.n 1/

.t /Df
.t /Df
::
:

.n

2/

.t /;
.t /;

f . 1 /. t / D f . 1 /. t / ;

bk D

ak
;
an

1 R´eduction des endomorphismes

16

M.Houbad

2. Ce qui donne le syst`eme matriciel
d
X. t / D A X. t / :
dt
1
0 .n 1/
f
.t /
B f . n 2 /. t / C
C
B
C
B
::
X. t / D B
C ;
:
C
B
@ f . 1 /. t / A

avec

f. t /
3. On r´eduit la matrice A a` la forme diagonale ou triangulaire sup´erieure et on d´etermine la matrice r´eduite
A0 et la matrice de passgae correspondante P .
4. On r´esoud le syst`eme
0

d
Y D A0 Y ;
dt

1
y1
B C
Y D @ ::: A :
yn

5. La solution X est
X D P Y :
6. La fonction f est la derni`ere composante du vecteur X.
1.6 Polynˆome annulateur et minimale
1.6.1 Polynˆome annulateur
D´efinition 9 Soit E un K - espace vectoriel, KŒ X  l’ensemble des polynˆomes de degr´e quelconque a` coefficients
dans K et Q 2 KŒ X  exprim´e par
m
X
Q. X / D
ak X k :
kD0

Soit f un endomorphisme de E, on note
Q. f / D

m
X

ak f k ;

kD1

fk D f ı ı f ;
„ ƒ‚ …
k foix

f 0 D Id :

pour d´efinir l’´evaluation d’un polynˆome avec un endomorphisme.
Dans le cas d’une matrice carr´ee A on note
Q. A / D

m
X

ak Ak ;

A0 D I :

kD1

Remarque 1.6. Malgr´e que la compos´ee des endomorphismes n’est pas commutative,si on consid`ere deux polynˆomes Q et P et un endomorphisme f , alors
Q. f / ı P. f / D P. f / ı Q. f / :
D´efinition 10 ( Polynˆome annulateur ) Soit f un endomorphsime d’une K - espace vectoriel E et soit Q un polynˆome de KŒ X , on dit qu’il est annulateur de f si
Q. f / 0 :

1.6 Polynˆome annulateur et minimale

Universit´e de Tlemcen

17

Exemple 8 Soit l’endomorphisme de R3 d´efini par
0 1
0 1
x
z
f @y A D @x A ;
z
y
le polynˆome .x 3

1/ est annulateur de f car par calcul on a

1. M´ethode par les endomorphismes.
f 3. X / D f ı f 2

0 1
0 1
0 1
0 1
0 1
x
x
z
y
x

@y A D f 2 f @y A
D f 2 @x A D f @ z A D @y A D X ;
z
z
y
x
z

ainsi
f 3 Id H) f 3

Id 0 ;

alors on remplace l’application f par x et l’application Id par 1 on d´eduit que le polynˆome on obtient le r´esultat.
2. M´ethode par les matrices.
0

1
001
A D MC anoni que . f / D @ 1 0 0 A ;
010
le calcule fournit
A3 D I H) A3
donc le polynˆome x

3

I D 0;

1 est annulateur de A, et donc de f .

3. M´ethode astucieuse. R´epartition sur un cercle
Proposition 6 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E et Q un polynˆome annulateur de f . Alors les
valeurs propres de f figurent permet les racines de Q.
preuve de la proposition 6. On suppose que 0 est une valeur propre de f donc
9v 2 E; v ¤ 0 W

f . v / D 0 v ;

soit Q un polynˆome annulateur de f donc
n
X

Q. x / D

ak x k ;

Q. f / D 0 ;

kD1

alors

Q. f / D 0 ” 8 X 2 E W Q f . X / D 0 ” 8 X 2 E W

n
X

ak f k . X / D 0 ;

kD1

quitte a prendre X D v, a s’apersevoir que

f k . v / D k0 v ;

et a utilis´e le fait que le vecteur propre ni jamais nul on en d´eduit que
n
X
kD1

ak k0



v D 0 H)

n
X

ak k0 D 0 ;

kD1

ce qui exactement le polynˆome Q e´ valu´e en 0 . Ce qui revient a` dire que les valeurs propres de f sont des racines
de polynˆome annulateur.
2
Remarque 1.7 ( Importante ). La r´eciproque de la Proposition 6 est fausse dans le sens o`u si est une racine
d’un polynˆome annulateur de f ceci ne veut pas dire que forc´ement c’est une valeur propre de f .

1 R´eduction des endomorphismes

18

M.Houbad

D´efinition 11 ( Somme directe de plusieurs sous espaces vectoriels ) On dit que les sous espaces vectoriel E1 ; ; Ep
sont en somme directe si


k

8 k D 2 p W

1

C Ei

i D1

\ Ek D f 0 g :

Si E est de dimension finie, on dit qu’il est la somme directe des sous espaces vectoriels E1 ; Ep si
8 k D 2 p W



k

1

C Ei



i D1

\ Ek D f 0 g ;

p
X

dim E D

dim Ej :

j D1

Exemple 9 Montrer que R3 et la somme directe des sous espaces suivant
˚

D1 D X 2 R3 W x
y D 0; x C z D 0 ;
˚

D2 D X 2 R3 W x C y C z D 0 ; x
y C z D 0 ;
˚

D3 D X 2 R3 W 2 x C y C 3 z D 0 ; x
3y D 0 ;
Proposition 7 Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie, les sous espaces vectoriel E1 ; ; Ep de E et
pour tout i 2 Np la famille Bi une base de Ei . Alors E est la somme directe de ces sous espaces si et seulement si
p
[
Bi est une base de E.
i D1

Proposition 8 Dans C deux polynˆome sont premier entre eux si et seulement si ils n’ont aucune racine commune.
Proposition 9 ( Lemme de d´ecomposition des noyaux ) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E
et Q un de ces polynˆomes annulateurs tels que
8
p
Y
ˆ
ˆ
ˆ
Q. x / D
Qk . x / ;
<
kD1

ˆ
ˆ
ˆ
:

8 i; j 2 Np W i ¤ j W

Alors
E D

p
M

Qi et Qj premiers entre eux :

Ker Qk . f / :

kD1

1.6.2 Polynˆome annulateur - Diagonalisation
Th´eor`eme 4 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie. Alors f est diagonalisable
si et seulement si il exsite un polynˆome scind´e qui admet que des racines simples et qui annule f .
preuve du th´eor`eme 4.
H) On suppose que f est diagonalisable donc il existe une base de E form´ee par les vecteurs propres de f
on la note B D f vk gk D 1 n associ´ee aux valeurs propres f k gk D 1 p deux a deux distincts et chacune de
multiplicit´e ˛k , ce qui donne
8 v 2 B W 9 j 2 f k gk D 1 p W

f . v / D j v ;

ce qui peut eˆ tre mis sous la forme
8 v 2 B ; 9 j 2 f k gk D 1 p W
alors quitte a` composer a` gauche par tous les endomorphismes .f
8v 2 B W



p



k Id

f



kD1



ƒ‚
g



f


j Id . v / D 0 ;
k Id/ pour k 2 Np n j on trouve que

. v / D 0 H) 8 v 2 B W

g. v / D 0 ;

Universit´e de Tlemcen

1.6 Polynˆome annulateur et minimale

19

donc l’endomorphisme g s’annule sur les e´ lements de la base B donc il s’annule sur l’espace E en entier
8v 2 E W

g. v / D 0 H) 8 v 2 E W



p



k Id

f


.v/ D 0;

kD1

alors le polynˆome
p
Y

Q. x / D

.x

k / ;

kD1

est un polynˆome annulateur de f . Il est scind´e et admet que des racines simples.
(H On suppose qu’il existe un polynˆome annulateur de f scind´e et admet que des racines simples donc il est de
la forme
p
Y
Q. x / D
.x
xk / ;
kD1

les polynˆome
Qk . x / D x

xk

pour k D 1 p, sont premier entre eux, le Lemme de d´ecomposition des noyaux affirme que
E DD

p
M

Ker Qk D

kD1

p
M

Ker . f

xk Id / ;

kD1

si xk n’est pas une valeurs propre de f alors
Ker . f

xk Id / D f 0 g ;

ce qui donne
E D

M

Ker . f

Id / D

2 Sp f

M

E ;

2 Sp f

si on note par B une base de E on en conclut que la famille
[
B ;
2 Sp f

est une base de E, en conclusion cette base elle est form´ee par les vecteurs propres de f donc f est diagonalisable.
2
1.6.3 Polynˆome minimal
D´efinition 12 ( Polynˆome minimal ) Soit f un endomorphisme d’un K espace vectroiel E, on appelle un polynˆome minimal de f et on le note mf le polynˆome annulateur de f qui est
1. Normalis´e dans le sens ou le coefficient du monˆome du plus haut degr´e de ce polynˆome vaut un.
2. C’est le polynˆome de degr´e le plus petit parmi tous les polynˆomes annulateurs de f .
Exemple 10 Le polynˆome suivant n’est pas normalis´e
P . x / D 2 x3 C 3 x C 5 ;
par contre si on veut le normaliser il suffit de le diviser par le coefficient de son monˆome du plus haut degr´e, a`
savoir
5
3
x C
:
Q. x / D x 3 C
2
2
Proposition 10 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E et Q un polynˆome sur K. Alors Q est
annulateur de f si et seulement si est un multiple du polynˆome minimal de f .

20

1 R´eduction des endomorphismes

M.Houbad

preuve de la proposition 10.
H) On suppose que Q est un polynˆome annulateur de f donc vu la d´efintion de mf le polynˆome minimal de f
on conclut que le degr´e de Q et sup´erieur ou e´ gale au degr´e de mf , quitte a` faire la division euclidienne de Q par
mf on a
Q D P mf C R ; d0 R < d0 mf ;
(1.18)
quitte a composer a` droite par f et utiliser le fait que Q et mf sont des annulateurs de f on conclut que
R. f / D 0 ;

d0 R < d0 mf ;

si on suppose que R ¤ 0 cela revient a` dire que R est un annulateur de f , ce qui est absurde vu le fait que mf est
le polynˆome annulateur du plus bas degr´e. Donc n´ecessairement R 0 et donc vu (1.18) on conclut que Q est un
multiple de mf .
(H On suppose qu’un polynˆome Q est un multiple de mf ce qui donne l’existence d’un polynˆome P tel que
Q D P mf ;
quitte a` composer par l’endomorphisme f et quitte a` utiliser le fait que le polynˆome minimale mf est un annulateur
de f on en d´eduit que Q est aussi un annulateur de f .
2
Lemme 1 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E. Alors le polynˆome minimale de cet endomorphisme est unique.
preuve du lemme 1. On suppose qu’il existe un endomorphisme f qui admet deux polynˆomes minimaux m1 et
m2 , donc ils sont des annulateurs de cet endomorphisme. Vu la Proposition 10 on conclus que l’un est un multiple
de l’autre
9 P1 ; P2 2 KŒ X  W m1 D P1 m2 ; m2 D P2 m1 ;
ce qui permt d’´etablir que
P1 P2 / m1 D 0 ;

.1

le polynˆome minimal n’est jamais nul vu sa d´efinition, donc n´ecessairement
P1 P2 D 1 ;
vu que P1 et P2 sont deux polynˆomes donc n´ecessairement
P1 D c ;

P2 D

1
;
c

c 2 K ;

ce qui donne que
m2 D c m1 ;
vu que le polynˆome minimal est normalis´e et que m1 et m2 sont deux polynˆomes minimaux on en d´eduit que c D 1
ce qui donne m1 D m2 d’ou l’unicit´e du polynˆome minimal.
2
Th´eor`eme 5 ( Th´eor`eme Principal ) Soient E un K - espace vectoriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E. Alors f est diagonalisable si et seulement si son polynˆome minimal est scind´e dans K et n’admet que
des racines simples.
preuve du th´eor`eme 5.
H) On suppose que f est diagonalisable, donc son polynˆome caract´eristique est scind´e et il existe une base de
E form´ee par les vecteurs propres de f , on la note B D f vk gk D 1 n . Ainsi

8 v 2 B ; 9 2 Sp . f / W f . v / D v H) f
Id . v / D 0 ;

il est simple de conclure que n’importe qu’elle composition de f Id . v / par n’importe quel endomorphisme
donne zero, en particulier on conclut que


8v 2 B W
.f
Id / . v / D 0 ;

2 Sp . f /

Universit´e de Tlemcen

1.6 Polynˆome annulateur et minimale

21

tel que Sp . f / est l’ensemble des valeurs propres de f dans lequel chaque valeurs propres est compt´e une seul
fois en dehors de sa multiplicit´e, alors l’endomorphisme


.f

Id / ;

2 Sp . f /

s’annule sur les e´ lements de la base B donc il est identiquement nul, autrement dit le polynˆome
Y
Q. x / D
.x
/
2 Sp . f /

est un polynˆome annulateur de f . Ce polynˆome est un multiple de mf cela e´ tant dit revient a` conclure que ce
dernier divise Q, or vu que Q n’admet que des racines simples donc le polynˆome minimal n’admet lui aussi que
des racines simples.
(H On suppose que le polynˆome minimal est scind´e et n’admet que des racines simples, ce polynˆome en
particulier est annulateur de f , alors f est diagonalisable.
2
1.6.4 Recherche du polynˆome minimal
Th´eor`eme 6 ( Cayley - Hamilton) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie n.
Alors le polynˆome caract´eristique Pf de l’endomorphisme f est un polynˆome annulateur de f , autrement
Pf . f / 0 :
Corollaire 2 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie. Alors Le polynˆome caract´eristique de f est un multiple de son polynˆome minimal.
preuve du corollaire 2. En utilisant la Proposition 10 qui affirme que toute polynˆome annulateur est un multiple
du polynˆome minimale et le Th´eor`eme 6 qui affirme que le polynˆome caract´eristique est un polynˆome annulateur
alors on a le r´esulat du corrollaire.
2
Proposition 11 Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E. Alors les racines
du polynˆome minimal mf sont exactement les racines du polynˆome caract´eristique Pf mais avec de multiplicit´es
g´en´eralement diff´erentes.
Preuve. de la Proposition 11. Vu le Corrolaire 2 on en d´eduit que
9 Q 2 KŒ X  W

Pf D Q mf ;

donc si est une racine de mf alors c’est clair que c’est une racine de Pf donc
l’ensemble des racines de mf Sp . f / :
Inversement, vu que mf est un polynˆome annulateur de f et vu la Proposition 6 en conclut que
Sp. f / l’ensemble des racines de mf :
En conlsuion
Sp. f / D L’ensemble des racines de mf :
2
Exemple 11 Soit l’endomorphisme g de R3 d´efinit par
0 1
0
1
x
x C y C z
y C zA :
g @y A D @ x
x C y
z
z
On d´etermine le polynˆome caract´eristique, le calcul fournit que ce dernier vaut

1 R´eduction des endomorphismes

22

M.Houbad

1 / . C 2 /2 ;

.

ainsi vu le Proposition 11, on conclut qu’on a deux possibilit´es pour le polynˆome minimal
8
1 / . C 2 /2 ;
< Q1 . / D .
ou
mg . / D
:
Q2 . / D .
1/. C 2/;
on teste cette liste de polynˆomes sur g, on commence par celui du plus petit degr´e ainsi le premier qui s’annule en
le composant par g sera le polynˆome minimal. Dans notre cas pour faciliter la tˆache au lieu de calculer Qi . g / on
calcul Qi . A / tel que A est la matrice associ´ee a` g dans n’importe quelle base qui dans notre situation elle est
prise dans la base canonique de R3 . Alors
0
1
011
A D @1 0 1A ;
110
et le calcul fournit que
Q2 . A / D . A

I/.A C 2I/ D 0;

donc Q2 c’est le polynˆome minimal et donc
mg . / D .

1/ . C 2 / :

1.7 R´eduction en blocs
1.7.1 Sous espaces caract´eristiques
D´efinition 13 ( Sous espaces caract´eristiques) Soint E un K - espace vectoriel, f un endmorphisme de E et
une valeur propre de f de multiplicit´e ˛. Alors on appelle le sous espace caract´eristique associ´e a` la valeur propre
le sous espace vectoriel
N D Ker . f
Id /˛ ;
Proposition 12 ( Stabilit´e des sous espaces caract´eristiques ) Soint E un K - espace vectoriel, f un endmorphisme de E et une valeur propre de f de multiplicit´e ˛. Alors
1. Le sous espace propre qui correspond a` la valeur est un sous ensemble de N
E N :
2. Le sous espace caract´eristique N est stable par l’aplication f dans le sens o`u
f . N / N :
preuve de la proposition 12.
1. Soit x 2 E , ce qui donne que
f
quitte a` composer par . f
f


Id . x / D 0 ;

Id /˛ 1 on obtient que
˛
Id . x / D 0 H) x 2 Ker . f

Id /˛ D N :

2. Soit x 2 N donc
f

Id

˛

. x / D 0 H) f



f

Id

˛

qui peut eˆ tre mise sous la forme


f ı .f


Id /˛ . x / D 0 :

En utilisant la Remarque 1.6 on peut conclure que

.x/



D 0;

1.7 R´eduction en blocs

Universit´e de Tlemcen

Id /˛ D . f

f ı .f
ce qui permet d’avoir

.f

Id /˛ ı f



. x / D 0 H)

23
Id /˛ ı f ;



f

Id

˛

f. x /



D 0;

finalement on conclut que
f . x / 2 Ker . f

Id /˛ D N ;
2

Ce qui termine la preuve de la proposition.

Lemme 2 ( Somme des sous espaces caract´eristiques ) Soint E un K - espace vectoriel de dimension finie n et
f un endomorphisme de E admet un polynˆome caract´eristique scind´e de la forme
Pf . / D

p
Y

. k

/˛k ;

8 i; j 2 Np ; i ¤ j W

i ¤ j :

(1.19)

kD1

Alors

p
M

E D

N k :

kD1

preuve du lemme 2. En applique le Th´eor`eme Cayley - Hamilton, il s’agit du Th´eor`eme 6, alors on a Pf est un
polynˆome annulateur de f , vu qu’il s’´ecrit sous la forme (1.19) et vu que les polynˆomes
k / ˛ k ;

Qk D .

pour k D 1 p sont premier entre eux il suffit d’appliquer la Proposition 9 (Lemme de d´ecomposition des
noyaux).
2
1.7.2 Reduction en blocs triangulaires
Th´eor`eme 7 ( R´eduction en blocs triangulaires ) Soint E un K - espace vectoriel de dimension finie n, f un
endomorphisme de E admet un polynˆome caract´eristique scind´e de la forme
Pf . / D

p
Y

. k

/˛k ;

8 i; j 2 Np ; i ¤ j W

i ¤ j :

kD1

Alors il existe une base de E not´ee B de la forme
B D

p
[

Bk ;

kD1

ou Bk est une base de N k , telle que
0
1
?
B
:
B
::
B
B 0
1
B
B
B
B
B
B
B
M. f /B D B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

1

0

2

?
::

0

:
2

0



ƒ‚

de taille ˛1



C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C :
C
C
C
::
C
:
C
C
p
? C
C
C
::
:
A
0
p
ƒ‚

de taille ˛2



ƒ‚

de taille ˛P

1 R´eduction des endomorphismes

24

M.Houbad

Exemple 12 Soit la matrice A 2 M6 . R / qui admet une polynˆome caract´eristique de la forme
Pf . / D .

1 /2 .

2 /3 .

3/;

donc sa r´eduction en bloc est de la forme
0

1a
B 01
B
B
B
B
B
B
B
B
@

1

2b c
02d
00 2
3

C
C
C
C
C
C ;
C
C
C
A

ce qui donne que
A v1 D v1
A v2 D a v1 C v2 ;
A v3 D 2 v3 ;
A v4 D b v3 C 2 v4 ;
A v5 D c v3 C d v4 C 2 v5 ;
A v6 D 3 v6 :
la r´esolution est pareille que dans le cas de la trigonalisation.

1.8 D´ecomposition de Dunford
D´efinition 14 ( Nilpotence ) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E, on dit que f est nilpotente si
9p 2 N W

fp 0 ;

et le plus petit entier p pour lequel la propri´et´e pr´ec´edente est v´erifi´ee s’appelle indice de nilpotence. Parielle pour
les matrices, une matrice car´ee A est dite nilpotente si
9p 2 N W

Ap D 0 :

Proposition 13 Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension n, alors f est nilpotente si et
seulement si
fn 0 :
Pour les matrices, si A est une matrice de taille n alors elle est nilpotente si et seulement si
An D 0 :
Preuve. si f est nilpotente donc f p 0 pour certain p 2 N donc x p est un polynˆome annulateur et donc les
valeurs propre de f sont toutes nuls ce qui donne que le polynˆome caract´eristique vaut . x/n or il est annulateur
2
donc . f /n 0 et finalement f n 0.
Th´eor`eme 8 ( D´ecomposition de Dunford ) Soient E un K - espace vectroriel de dimension finie n et f un endomorphisme de E dont le polynˆome caract´eristique est scind´e. Alors f se d´ecompose d’une mani´ere unique sous la
forme
f D C N ;
avec D un endomorphisme diagonalisable et N un endomorphisme nilpotent tel que D et N commutent dans le
sens ou
D ı N N ı D:

1.9 R´eduction de Jordan

Universit´e de Tlemcen

25

1.9 R´eduction de Jordan
D´efinition 15 ( Bloc de Jordan ) On appelle un bloc de Jordan
une matrice carr´ee de taille n de la forme
1. Si n 2 alors
0
1
B ::
B
:
J. / D B
B
@
0

associ´e a` la valeur d’ordre n et on le note J

0
::

1

C
C
C ;
:: C
: 1A

:

2. si n D 1 alors
J. / D . / :
Lemme 3 Soit J D J . / un bloc de Jordan d’ordre n alors
PJ . x / D .

x /n ;

/n ;

mJ . x / D . x

dim E D 1 :

Th´eor`eme 9 ( Premier Th´eor`eme de Jordan ) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie n tel que
1. Le polynˆome caract´eristique de f est scind´e et f admet une seule valeur propre
Pf . X / D .

1/n . X

/n :

2. Le polynˆome minimal de f est de la forme
/ˇ :

mf . X / D . X

3. Le sous espace propre correspondant a` la valeur propre admet une dimension vaut
dim E D :
Alors dans ce cas, il existe une base B de E dans laquelle la matrice associ´ee a` f est de la forme
1
0

0

B J . /
1
B
B
B
B
B
B
B
B
Q
J WD B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

J2 . /
::

0

:

C
C
C
C
C
C
C
C
C
C ;
C
C
C
C
C
C
C
C
J . / A

o`u
— Les Jk . / sont les blocs de Jordan.
— L’ordre du plus grand bloc est ˇ.
— Le nombre des blocs est .
Exemple 13 Soit A une matrice de taille 4 qui admet un tel que
PA . / D .
donc

1 /4 ;

mA . / D .
1
11
B0 1
C
B
C :
@
1 A
1
0

1 /2 ;

dim E1 D 3 :

1 R´eduction des endomorphismes

26

M.Houbad

Th´eor`eme 10 ( Second Th´eor`eme de Jordan ) Soit f un endomorphisme d’un K - espace vectoriel E de dimension finie n tel que le plynˆome caract´eristique de f est scind´e et f admet p valeurs propres distinctes k pour
k D 1 p chacune de multiplicit´e ˛k
Pf . X / D .

p
Y

1/n

k /˛k :

.X

kD1

Alors il existe une base B de E telle que la matrice associ´ee a` f dans cette base est de la forme
1
0
B Q
B J1 . 1 /
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

0

JQ2 . 2 /
::

:

0



C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C ;
C
C
C
C
C
C
C
JQp . p / C
A

ƒ‚
… „
ƒ‚

de taille ˛1
de taille ˛2



ƒ‚

de taille ˛p

tel que les blocs JQ sont donner par le th´eor`eme 9.
Exemple 14 Soit A une matrice de taille 6 qui admet un tel que
PA . / D .

1 /4

2 /2 ;

donc

mA . / D .
0

11
B0 1
B
B
1
B
B
1
B
@
2
0

1 /2

2 /2 ;

dim E1 D 3 ;

1
C
C
C
C :
C
C
1A
2

1.10 Application de la d´ecomposition de Dunford
1.10.1 puissance d’une matrice
Lemme 4 ( Fomule de binˆome de Newton ) Soit A et B deux matrice carr´ee qui commutent alors
. A C B /p D

p
X

Cpk Ap

k

Bk :

kD0

Proposition 14 Soit A une matrice carr´ee de la forme
0
A1
B
B
A2
A D B
B
@

1

A3
A4

C
C
C
C
A

tel que Ai sont des matrice carr´ee positionn´ees sur la diagonale de la matrice A. Alors

dim E2 D 1 :

Universit´e de Tlemcen

1.10 Application de la d´ecomposition de Dunford
0
1
Ak1
B
C
B
C
k
A
B
C
2
C
Ak D B
B
C
B
C
Ak3
@
A
k
A4

27

Proposition 15 Soit A 2 Mn . K / avec un polynˆome caract´eristique scind´e et A admet une seul valeur propre.
Pour calculer Ak
1. On d´eterminer une d´ecomposition de Dunford de la matrice A de la forme
A D D C N ;
tele que D est une matrice diagonale form´ee par les valeurs propres de A et N est une matrice nilpotente
qui vaut A N .
2. On calcule Ak selon la formule du binˆome de Newton
Ak D

min. X
k;n 1/

Ckj Dk

j

Nj :

j D0

Exemple 15
un D 2 un

2

un

1

:

Proposition 16 ( Importante concernant la d´ecomposition de Dunford ) Soit A une matrice carr´ee a` polynˆome
caract´eristique scind´e.
1. Si A admet une seul valeur propre 0 la d´ecomposition de Dunford est de la forme
0
1
0
B
C
::
A D D C N ; N D A
D; D D @
A :
:
0
2. Si A admet au moins deux valeurs propres distincts alors la r´eduction de Dunford ce fait selon la m´ethode
suivante
a. On fait la r´eduction triangulaire ou la r´eduction par blocs ou la r´eduction de la matrice A et on
d´etermine la matrice r´eduite A0 et la matrice de passage P .
b. On d´ecompose la matrice r´eduite A0 sous la forme
A0 D D0 C N 0 ;
tel que D0 est une matrice diagonale form´ee par les valeurs propres de A et N 0 une matrice nilpotente
qui vaut
N 0 D A0
D0 :
c. Alors la d´ecomposition de Dunford de la matrice A vaut
0
0
P Nƒ‚
P …1 :
A D „
P Dƒ‚
P …1 C „
D D
D N

1.10.2 Exponentielle d’une matrice
D´efinition 16 On d´efini l’exponentielle d’une matrice carr´ee A par la formule
eA D

C
1
X
kD0

Proposition 17 Soit A 2 Mn . K /

Ak
;


1 R´eduction des endomorphismes

28

M.Houbad

1. Si A et B sont deux matrices qui commute alors
eA C B D eA eB :
2. Si A est nilpotente alors
eA D

nX1
kD0

Ak
:


3. Si A est diagonale alors
e a11 0
B 0 e a22
B
D B :
::
@ ::
:
0
0
0

eA



::
:

0
0
::
:

e ann

1
C
C
C :
A

4. Si les deux matrices A et A0 sont semblable, autrement dit
A D P A0 P

9 P 2 Mn . K / ; det P ¤ 0 W
alors

0

eA D P eA P

1

1

;

:

Proposition 18 La r´esolution du syst`eme
d
X D AX ;
dt
peut eˆ tre fait par la m´ethode suivante.
1. On d´eterminer les valeurs propres de A et on d´ecompose A selon la d´ecomposition de Dunford
A D D C N :
2. La solution X vaut
X D eA t C D eD t

nX1 N k

tk C :

kD0

Exemple 16
f.2/ C 2 f.1/ C f D 0 :

2
Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

2.1 Formes Bilin´eaires, cas g´en´erale
D´efinition 17 ( Forme Bilin´eaire ) Soit E un K - espace vectoriel, on appelle une forme bilin´eaire sur E toute
application
b W E E ! K ; . X ; Y / ! b. X ; Y / ;
telle que b est lin´eaire par rapport a` chaque variable, a` savoir
8 X1 ; X2 ; Y1 ; Y2 ; X; Y 2 E ; 8 ; 2 K W

b. X1 C X2 ; Y / D b. X1 ; Y / C b. X2 ; Y / ;
b. X ; Y1 C Y2 / D b. X ; Y1 / C b. X ; Y2 / :
Exemple 17 Soit E le R - espace vectoriel des fonctions continues sur un interval ferm´e born´e Œ a ; b 

E D C0 Œ a ; b  ; R :
On d´efinit l’application b sur E par
b

Z
8 f; g 2 E W

b. f ; g / D

f . t / g. t / dt :
a

De plus pour tout f , f1 , f2 , g, g1 et g2 e´ l´ements de E et pour tout et de r´eele le calcul fournit
b. f1 C f2 ; g / D b. f1 ; g / C b. f2 ; g / :
donc b est lin´eaire par rapport a` la premi`ere variable.
b. f ; g1 C g2 / D b. f ; g1 / C b. f ; g2 / :
donc b est lin´eaire par rapport a` la seconde variable.
D´efinition 18 ( Sym´etrie ) Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E, on dit que
1. La forme b est une forme sym´etrique si
8 X; Y 2 E W

b. X ; Y / D b. Y ; X / :

2. La forme b est une forme anti - sym´etrique si
8 X; Y 2 E W

b. X ; Y / D

b. Y ; X / :

Exemple 18 Vu la forme bilin´eaire donn´ee par l’Exemple 17 et vu le fait que
b

Z
8 f; g 2 E W

Z
f . t / g. t / dt D

a

b

g. t / f . t / dt H) 8 f ; g 2 E W

b. f ; g / D b. g ; f / ;

a

donc cette forme est bien une forme sym´etrique.
M.Houbad, Introduction a` l’Alg`ebre Lin´eaire
D´epartement de Math´ematiques
c
Universit´
e de Tlemcen, http://www.univ-tlemcen.dz, 2016

29

2 Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

30

M.Houbad

D´efinition 19 () Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E. Alors
1. Le noyau de b est donn´e par
N. b / D f Y 2 E = 8 X 2 E W

b. X ; Y / D 0 g :

2. La forme b est non d´eg´en´er´ee si
N. b / D f 0 g :
Exemple 19 On veut d´eterminer le noyau de la forme bilin´eaire b d´efinit sur E D C 1 . R ; R / par
8 f; g 2 E W

b. f ; g / D f . 1 / . 0 / g. 0 / :

Par d´efinition
N. b / D f g 2 E = 8 f 2 E W

b. f ; g / D 0 g ;

donc si g est un e´ l´ement du noyau de b v´erifiant
8f 2 E W

f . 1 / . 0 / g. 0 / D 0 H) g. 0 / D 0 ;

finalement
N. b / D f g 2 E W

g. 0 / D 0 g ;

on remarque que N . b / ¤ f0g, donc b est d´eg´en´er´ee.
D´efinition 20 ( Transpos´ee d’une forme bilin´eaire ) Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E,
on appelle la transpos´ee de b et on la note t b la forme bilin´eaire d´efinie par
t

8 X; Y 2 E W

b. X ; Y / D b. Y ; X / :

Exemple 20 Soit le R - espace vectoriel des fonctions de classe C 1 sur R qu’on le note
E D C 1. R ; R / ;
et soit l’application bili´eaire d´efinie sur E par
8 f; g 2 E W

b. f ; g / D f . 1 / . 0 / g. 0 / ;

alors la transpos´ee de b est d´efinie par
8 f; g 2 E W

t

b. f ; g / D g . 1 / . 0 / f . 0 / :

Lemme 5 Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E. Alors b est sym´etrique si et seulement si
8 X; Y 2 E W

t

b. X ; Y / D b. X ; Y / :

D´efinition 21 ( Definie positive, D´efinie n´egative ) Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E.
Alors
1. La forme b est positive si
8X 2 E W

b. X ; X / 0 :

8X 2 E W

b. X ; X / 0 :

2. La forme b est n´egative si
3. La forme b est d´efinie positive si
8X 2 E W

b. X ; X / 0 :

b. X ; X / D 0 ” X D 0 :

4. La forme b est d´efinie n´egative si
8X 2 E W

b. X ; X / 0 :

b. X ; X / D 0 ” X D 0 :

2.2 Formes bilin´eaires, cas de dimension finie

Universit´e de Tlemcen

31

2.2 Formes bilin´eaires, cas de dimension finie
D´efinition 22 ( Matrice associ´ee a` une forme bilin´eaire ) Soient E un K - espace vectoriel de dimension finie n,
b une forme bilin´eaire d´efinie sur E et
B D f e1 ; ; en g
une base de E. On appelle la matrice associ´ee a` b dans la base B de E et on la note MB . b / la matrice suivante
0
1
b. e1 ; e1 / b. e1 ; en /
B
C
::
::
MB . b / D @
A :
:
:
b. en ; e1 / b. en ; en /
Lemme 6 Soient E un K - espace vectoriel de dimension finie n, b une forme bilin´eaire d´efinie sur E et B une
base de E. Si x et y sont deux vecteurs de E et si on note
X D MB . x / ;

Y D MB . y / ;

alors
b. x ; y / D t X MB . b / Y :
Proposition 19 ( Formule de changement des bases ) Soient E un K - espace vectoriel de dimension finie n, b
une forme bilin´eaire sur E et B, B 0 deux base de E. Alors
MB0 . b / D t P MB . b / P ;

(2.1)

avec P c’est la matrice de passage de la base B a` la base B 0 .
preuve de la proposition 19. Soit x et y deux vecteurs de E alors on note
X D MB . x / ;

X 0 D MB0 . x / ;

Y D MB . y / ;

Y 0 D MB0 . y / ;

vu ces notations on conclut que
X D P X0 ;

Y D P Y0 :

D’une part on a
b. x ; y / D t X MB . b / Y D t . P X 0 / MB . b / . P Y 0 / ;
ce qui donne
b. x ; y / D t X 0

t

P MB . b / P



Y0 :

(2.2)

Et d’autre part
b. x ; y / D t X 0 MB0 . b / Y 0 :

(2.3)

Une comparaison entre (2.2) et (2.3), et en utilisant le fait que X et Y varient d’une mani`ere al´eatoire dans Kn ,
on conclut que
MB0 . b / D t P MB . b / P :
0

0

2

Ce qui termine la preuve.

D´efinition 23 ( Rang d’une matrice ) Soit A 2 Mn . K /, on appelle la rang de la matrice A la dimension de
l’image de A
rg A D dim f y 2 Kn = 9 x 2 Kn W y D A x g ;
ou encore
rg A D n

dim Ker A :

D´efinition 24 Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E de dimension finie. Alors le rang de la
forme b est le rang de la matrice associ´ee a` cette forme dans une base quelconque de E.
rg b D rg MB . b / :

(2.4)

2 Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

32

M.Houbad

Proposition 20 ( Noyau ) Le noyau de b est le noyau de la matrice qui repr´esente b dans une base quelconque de
E.
Proposition 21 Soit b une forme bilin´eaire sur un K - espace vectoriel E de dimension finie n. Alors b est non
d´eg´en´er´ee si et seulement si
rg . b / D n D dim E :
Th´eor`eme 11 ( Th´eor`eme du rang pour les formes bilin´eaires ) Soit E un K - espace vectoriel de dimension
finie et soit b une forme bilin´eaire sur E alors
dim E D rg b C dim N . b / :

(2.5)

2.3 Formes Quadratiques, Cas de dimension quelconque
D´efinition 25 ( Forme quadratique - Forme pˆolaire ) Soit E un K - espace vectoriel et soit Q une application
de E dans K. On dit que Q est une forme quadratique sur E s’ il existe une forme bilin´eaire sym´etrique S d´efinie
sur E telle que
8 X 2 E W Q. X / D S. X ; X / :
La forme bilin´eaire sym´etrique S s’appelle la forme pˆolaire associ´ee a` la forme quadratique Q.
Proposition 22 ( Expression et Unicit´e de la forme pˆolaire ) Soit E un K - espace vectoriel et Q une forme quadratique sur E. Alors il existe une unique forme bilin´eaire sym´etrique S d´efinie sur E telle que
Q. X / D S. X ; X / ;

8X 2 E W
de plus
8 X; Y 2 E W

S. X ; Y / D

1
Q. X C Y /
2

Q. X /


Q. Y / :

(2.6)

Exemple 21 Soit E D RŒ X  vu comme e´ tant un R - espace vectoriel et soit l’application Q d´efinie sur E par la
relation
Z
C1

8p 2 E W

Q. p / D

p. x /2 dx :

1

On veut montrer que Q est une forme quadratique sur E. Alors on construit l’application
Z C1

1
8 p; q 2 E W S. p ; q / D
Q. p C q /
Q. p /
Q. q / D
p.x/ q. x / dx ;
2
1
il suffit de v´erifier que S ainsi d´efinie est une forme bilin´eaire sym´etrique sur E pour pouvoir conclure que Q est
une forme quadratqiue sur E
D´efinition 26 Soit E un K - espace vectoriel et Q une forme quadratique sur E. Alors
1. On appelle le noyau de Q le noyau de la forme pˆolaire associ´ee a` Q
N . Q / D N. S / :
2. On dit que Q est non d´eg´en´er´ee si la forme pˆolaire associ´ee a` Q est non d´eg´en´er´ee.
3. On dit que Q est d´efinie positive si sa forme pˆolaire associ´ee est d´efinie positive.
Proposition 23 Soit E un K - espace vectoriel et Q une forme quadratqiue sur E alors
1. La forme Q est d´efinie positive si et seulement si
8
< 8X 2 E W
:

Q. X / 0 ;

Q. X / D 0 ” X D 0 :

Universit´e de Tlemcen
2. Si Q o`u

2.4 Forme Quadratique, Cas de dimension finie

33

Q est d´efinie positive alors Q est n´ec´essairement non d´eg´en´er´ee.

Remarque 2.1 ( Importante ). Le noyau N . Q / de la forme quadratique Q n’est pas l’ensemble des vecteur X
de E tel que Q. X / D 0, mais
N. Q / D f Y 2 E = 8 X 2 E W

S. X ; Y / D 0 g :

Remarque 2.2 ( Sym´etrisation d’une forme). Si b. x; y / est une forme bilin´eaire no sym´etrique alors la forme
Q. x / D b. x; x / ;
est une forme quadratique associ´ee a` la forme
S. x; y / D

1
Œ b. x; y / C b. y; x /  :
2

2.4 Forme Quadratique, Cas de dimension finie
D´efinition 27 ( Matrice d’une forme quadratique ) Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie n et soit
Q une forme quadratique sur E, on d´efinit la matrice associ´ee a` la forme quadratique Q comme e´ tant la matrice
associ´ee a` sa forme pˆolaire S.
D´efinition 28 ( Polynˆomes multivariables ) Soit Q une application de Kn a` valeur dans K
Q W Kn

! K;

. x1 ; ; xn /

! Q. x1 ; ; xn / :

on dit que Q est un polynˆome sur Kn si les applications suivantes
8 k D 1 n W

Qk W K

! K ; xk

! Qk . x / D Q. ; xk ; / ;

repr´esentant un polynˆome sur K. Autrement dit
Q. x1 ; ; xk ; ; xn / :
est un polynˆome multivariable s’il est un polynˆome par rapport a` chaque composante xk . Et on note
Q 2 K Œ X1 ; ; Xn  :
D´efinition 29 ( Polynˆome homog`ene ) Soit Q 2 K Œ X1 ; ; Xn , on dit qu’il est homog`ene de degr´e deux si
8 2 K ; 8 X 2 Kn W

Q. X / D 2 Q. X / :

Remarque 2.3 ( Utile ). Un polynˆome Q est homog`ene de degr´e deux si et seulement s’il s’´ecrit sous la forme
8X 2 K

n

W

Q. X / D

n
X

˛kl xk xl :

k;l D 1

avec ˛kl 2 K des coefficients fix´es.
Proposition 24 Soit E un K - espace vectoriel de dimension finie n, et Q une application d´efinie sur E a` valeurs
dans K. Alors Q est une forme quadratique sur E si et seulement si elle est un polynˆome homog`ene de degr´e deux.

2 Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

34

M.Houbad

2.5 Orthogonalit´e
D´efinition 30 ( Orthogonalit´e ) Soit b une forme bilin´eaire sym´etrique sur un K - espace vectoriel E, x, y deux
vecteurs de E et A un sous ensemble non vide de E. Alors
1. On dit que les deux vecteurs x et y sont orthogonaux si
b. x ; y / D 0 :
2. On appelle l’orthogonal de A et on le note A? le sous ensemble de E d´efinit par
A? D f y 2 E = 8 x 2 A W

b. x ; y / D 0 g :

Exemple 22 Soit E D R3 Œ X  vu comme e´ tant un R - espace vectoriel, et soit l’application bilin´eaire sym´etrique
b d´efinie sur E par
Z C1
8 P; Q 2 E W b. P ; Q / D
P. t / Q. t / dt ;
1

et soit F le sous ensemble de E d´efinit par
˚
F D Q 2 E W 8x 2 R;

Q. x / D ˛ x 2 C ˇ x ; ˛; ˇ 2 R



;

on veut d´eterminer l’orthogonal de F par rapport a` la forme b. Alors
Q 2 A? H) 8 P 2 A W

b. P ; Q / D 0 H) 8 ˛; ˇ 2 R W

b. ˛ X 2 C ˇ X ; Q / D 0 ;

on utilise la bilin´eairit´e de b, en particulier sa lin´eairit´e par rapport a` sa premi`ere variable on a
˛ b. X 2 ; Q / C ˇ b. X ; Q / D 0 H) b. X 2 ; Q / D 0 ;

8 ˛; ˇ 2 R W

b. X ; Q / D 0 ;

or Q 2 R3 Œ X  donc
9 a; b; c; d 2 R W

Q. X / D a X 3 C b X 2 C c X C d ;

ce qui donne
a b. X 2 ; X 3 / C b b. X 2 ; X 2 / C c b. X 2 ; X / C d b. X 2 ; 1 / D 0 ;
a b. X ; X 3 / C b b. X ; X 2 / C c b. X ; X / C d b. X ; 1 / D 0 ;
alors le calcul fournit
3b C 5d D 0;
donc

3a C 5c D 0;


3
3
X C b X2
; a; b 2 R ;
5
5


3
3
2
3
X; X
:
D Vect X
5
5

Q. X / D a X 3
ainsi
A?

Lemme 7 Soient E un K - espace vectoriel, b une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie sur E et F un sous espace
vectoriel de E de dimenssion finie. Alors le vecteur w 2 F? si et seulement si il est orthogonal a` une base de F.
Exemple 23 On consid`ere l’exemple 22 dans lequel on a` determin´e l’orthogonal de l’ensemble
˚

F D Q 2 E W 8 x 2 R ; Q. x / D ˛ x 2 C ˇ x ; ˛; ˇ 2 R ;
il est clair que cet ensemble est un sous espace vectoriel de E D R3 Œ X  et que la famille
˚

B D X2 ; X ;
est une base de F, ainsi l’orthogonale de F est d´efinit par
˚

F? D w 2 E W b. X 2 ; w / D b. X ; w / D 0 ;
et le calcule conduit au mˆeme r´esultat que dans l’exemple 22.

2.5 Orthogonalit´e

Universit´e de Tlemcen

35

Proposition 25 Soit E un K - espace vectoriel de dimension quelconque et soit b une forme bilin´eaire sym´etrique
d´efinie sur E, alors les assertions suivantes sont vraies.
1. 8 A E ; A ¤ ;, alors A? est un sous espace vectoriel de E
2. f 0 g? D E :
3. E? D N . b / :
4. 8 B E ; B ¤ ; W

N . b / B? :

Proposition 26 Soient E un K -espace vectoriel de dimension finie, b une forme bilin´eaire sym´etrique d´efinie sur
E et F un sous espace vectoriel de E. Alors

1. dim E D dim F C dim F?
dim F \ N . b / :
2. F? ? D F C N . b / :
D´efinition 31 ( Orthogonalit´e par rapport a` une forme quadratique ) On dit que deux vecteurs sont orthogononaux par rapport a` une forme quadratique Q, s’ils sont orthogonaux par rapport a` sa forme pˆolaire associ´ee
S.
D´efinition 32 ( Vecteur isotrope - Cˆone isotrope ) Soit E un K - espace vectoriel et Q une forme quadratique
sur E, on dit que v est un vecteur isotrope si
Q. v / D 0 :
L’ensemble des vecteurs isotropes de Q est appell´e le cˆone isotrope et est not´e
I. Q / D f X 2 E W

Q. X / D 0 g :

Remarque 2.4 ( Importante ). Dans le cas g´en´eral le cˆone isotrope n’est pas un sous espace vectoriel.
Lemme 8 Soit E un K - espace vectoriel et Q une forme quadratique sur E. Alors
N . Q / I. Q / :
preuve du lemme 8. Soit X un e´ l´ement de N . Q / donc
8Y 2 E W

S. X ; Y / D 0 H) S. X ; X / D 0 H) Q. X / D 0 H) X 2 I. Q / :

En conclusion
N . Q / I. Q / :
2
D´efinition 33 ( Sous espaces isotropes ) Soient E un K espace vectoriel, F un sous espace vectoriel de E et Q
une forme quadratique definie sur E. On dit que F est un sous espace isotrope de E si
F \ F? ¤ f 0 g :

(2.7)

Proposition 27 Soit E un K - espac vectoriel et Q une forme quadratique definie sur E. Alors E admet des sous
espaces isotropes par rapport a` Q si et seulement si
I. Q / ¤ f 0 g :
preuve de la proposition 27.
1. H) On suppose que E admet au moins un sous espace vectoriel isotrope F donc
F \ F? ¤ f 0 g ;
il existe donc un vecteur non nul qui appartient a` la fois a` F et F? on le note v, ce qui donne que
Q. v / D S. v ; v / D 0 H) v 2 I. Q / H) I. Q / ¤ f 0 g :

2 Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

36

M.Houbad

2. (H On suppose que I. Q / ¤ f 0 g donc il existe un vecteur v non nul tel que
S. v ; v / D Q. v / D 0 ;
alors soit le sous espace vectoriel de F engendr´e par le vecteur v il est clair que
v 2 F \ F? ;
donc F est un sous espace isotrope et donc E admet des sous espaces isotropes.
2
Proposition 28 Soient E un K - espace vectoriel de dimension finie, F un sous espace vectoriel de E et Q une
forme quadratique definie sur E. Alors
E D F ˚ F? ;
si et seulement si F est un sous espace vectoriel non - isotrope.
preuve de la proposition 28.
1. H) On suppose que
E D F ˚ F? ;
ce qui donne en particulier que
F \ F? D f 0 g ;
donc F st non - isotrope.
2. (H On suppose que F est non - isotrope donc
F \ F? D f 0 g ;

(2.8)

vu la Proposition 26 et le fait que le noyau d’une forme quadratique c’est le noyau de sa forme pˆolaire
asscoi´ee et que cette derni´ere c’est une forme bilin´eaire sym´etrique on en d´eduit que

dim E D dim F C dim F?
dim F \ N . Q / ;
de plus vu que le noyau est inclu dans n’importe quelle orthogonale et vu (2.8) on alors
dim E D dim F C dim F? ;

(2.9)

en combinant (2.8) et (2.9) on en d´eduit que
F D F ˚ F? :
2
2.6 Bases orthogonales
D´efinition 34 ( Base orthogonale ) Soient E un K - espace vectoriel de dimension finie n, b une forme bilin´eaire
sym´etrique et B une base de E avec
B D f e1 ; ; en g :
Alors
1. On dit que B est une base orthogonale de E si
8 k; l D 1 n ; k ¤ l W

b. ek ; el / D 0 :

2. On dit que B est normalis´ee si
8 k D 1 n W

b. ek ; ek / D 1 :

Universit´e de Tlemcen

2.7 R´eduction des formes quadratiques, M´ethode de Gauss

37

3. On dit que B est orthonorm´ee si elle est a` la fois orthogonale et normalis´ee
8
< 1 Si k D l ;
8 k; l D 1 n W b. ek ; el / D
:
0 Si k ¤ l :
Remarque 2.5 ( Utile ). Soit b une forme bilin´eaire sym´etrique et B une base de E, alors
1. MB . b / est diagonale si et seulement si B est orthogonale.
2. MB . b / admet que des 1 sur son diagonale si et seulement si B est normalis´ee.
3. MB . b / D I si et seulement si B est orthonorm´ee.

2.7 R´eduction des formes quadratiques, M´ethode de Gauss
Deux m´ethodes pour deux cas compl`etement distincts.
2.7.1 M´ethode de Gauss.
Cette m´ethode s’applique uniquement lorsque la forme quadratique admet dans son expression au moins un terme
carr´ee. Soit R3 vu comme e´ tant un R - espace vectoriel et Q une forme quadratique d´efinie sur R3 par
8 x 2 R3 W

Q. x / D x12 C 2 x22 C 5 x32 C 2 x1 x2

4 x2 x3 :

On consid`ere un terme carr´e quelconque par exemple x12 , on va utiliser la formule suivante
a2 C 2 a b D . a C b /2

b2 ;

1. On ordone suivant le param`etre x1
Q. x / D x12 C 2 x1 x2 C 2 x22 C 5 x32

ƒ‚

Termes en x1

4 x2 x3 :

2. On e´ crit les termes en x1 comme le d´ebut d’un carr´e
Q. x / D . x1 C x2 /2
x22 C 2 x22 C 5 x32
ƒ‚


Termes en x1

4 x2 x3 :

3. On obtient le carr´e d’une forme lin´eaire et des termes qui ne contiennt pas x1
Q. x / D . x1 C x2 /2 C x22 C 5 x32
4 x2 x3 :

ƒ‚

Terme ne contient pas x1
4. On refait le mˆeme travail sur les termes qui ne contiennent pas x1 par exemple sur le terme en x2
Q. x / D . x1 C x2 /2 C x22
4 x2 x3 C 5 x32 D . x1 C x2 /2 C . x2
2 x3 /
4 x32 C 5 x32

ƒ‚


ƒ‚

Terme en x2
Terme en x2
5. On continu l’op´eration jusqu’ a` la disparition de tous les termes rectangles
Q. x / D . x1 C x2 /2 C . x2

2 x3 / C x32 :

2 Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

38

M.Houbad

2.7.2 M´ethode des d´eriv´ees partielles.
Cette m´ethode s’applique lorsque la forme quadratqiue n’admet aucun terme carr´e dans son expression. Soit E D
R3 vu comme e´ tant un R - espace vectoriel et soit la forme quadratique Q d´efinie sur R3 par
8 x 2 R3 W

Q. x / D 5 x1 x2 C 6 x1 x3 C 3 x2 x3 :

1. On choisit un terme rectangle K xk xl avec K ¤ 0. Dans notre cas on prend
5 x1 x2 :
2. On calcule les d´eriv´ees partielles
@xk Q ;

@xl Q :

Dans notre cas on a
@x1 Q. x / D 5 x2 C 6 x3 ;

@x2 Q. x / D 5 x1 C 3 x3 :

3. On e´ crit Q sous la forme
8x 2 E W

Q. x / D

1
@x Q. x / @xl Q. x / C Terme Correctife :
K k

Dans notre cas on a
8x 2 E W

Q. x / D

1
. 5 x2 C 6 x3 / . 5 x1 C 3 x3 /
5

18 2
x :
5 3

4. On aura une e´ criture de la forme
8x 2 E W

Q. x / D

1
'1 . x / '2 . x / C Terme Correctife ;
K

avec
'1 @ k Q ;
alors on e´ crit
'1 '2

'2 @l Q ;

1
. '1 C '2 /2
4

1
. '1
4

'2 /2 ;

pour avoir la forme finale
8x 2 E W

Q. x / D

1
. '1 C '2 /2
4K

1
. '1
4K

'2 /2 C Terme Correctif :

Dans notre cas on aura
8x 2 E W

Q. x / D

1
. 5 x1 C 5 x2 C 9 x3 /2
20

1
. 5 x1
20

5 x2

3 x3 /

18 3
x :
5 3

2.7.3 Cas g´en´erale
Si dans le terme correctif on a un terme rectangle on refait les mˆemes e´ tapes au niveau de ce terme, si on a un
m´elange des termes carr´es et des termes rectangles on refait la m´ethode de Gauss au niveau de ce terme. Lorsqu’il
ne reste que des termes carr´e la proc´edure s’ach`eve.
2.8 Classification des formes quadratiques
Th´eor`eme 12 ( Sylvester ) Soit E un R - espace vectoriel de dimenssion finie n et Q une forme quadratique sur
E. Alors il existe une base f ei g de E telle que
x D

n
X
kD1

et

xk ek ;

Universit´e de Tlemcen

2.8 Classification des formes quadratiques
p
X

Q. x / D

r
X

xk2

kD1

39

xr2 :

(2.10)

kDpC1

C’est a` dire
0

1

1
::

B
B
B
B
B
B
B
B
B
Mei . Q / D B
B
B
B
B
B
B
B
B
@

:
1
1
::

:
1
0
::

:
0

C
C
C
C
C
C
C
C
C
C :
C
C
C
C
C
C
C
C
A

(2.11)

Tel que
r D rg . Q /
et p est un entier qui ne d´epend que de la forme de Q et non de la base.
Remarque 2.6. Pour d´eterminer la r´eduction de Sylvestre on applique la r´eduction de Gauss.
D´efinition 35 ( Signature d’une forme quadratique ) Soit E un R - espace vectoriel de dimenssion finie n et soit
Q une forme quadratique sur E telle que sa r´eduction de Sylvester est donn´ee par l’´equation (2.10). On appelle
signature de la forme Q et on la note sing. Q / le couple
sing . Q / D . p ; r

p/:

Ainssi il est simple de montrer le lemme suivant.
Lemme 9 Soit Q une forme quadratique sur un R - espace vectoriel E de dimenssion n. Alors on a les assertions
suivantes
1. Q est d´efinie positive si et seulement si
sing . Q / D . n ; 0 / :
2. Q est non d´eg´en´er´ee si et seulement si
sing . Q / D . p ; n

p/:

Th´eor`eme 13 Soit Q une forme quadratique sur un K - espace vectoriel E de dimension finie n et B une base de
E ce qui donne que
n
X
Q. x / D
aij xi xj
i j D1

tel que
0

1
x1
B x2 C
B C
X D B : C ;
@ :: A
xn
est le vecteur composantes du vecteur x dans la base B.
Lorsque on fait la r´eduction sous la forme de Sylvestre on obtient
Q. x / D

p
X
kD1

0

xk2

r
X
kDpC1

0

xk2 ;

40

2 Formes Bilin´eaires - Formes Quadratiques

M.Houbad

tel que xk0 sont une expression lin´eaire des xj ce qui donne que pour certain matrice A on a
1
x10
B x0 C
B 2C
X0 D B : C :
@ :: A
0

X0 D A X ;

xn0

Alors X 0 c’est les composantes su vecteurs x dans une nouvelle base de E on la note B 0 , P D A
de passage de B a` la base B 0 et B 0 est une base orthogonale.

1

est la matrice


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