le cercle et ses tangentes V4

Le cercle et ses tangentes
a) calcul des tangentes : IT = IT’
= O I sin( 2θ ) = O I cos( α
)
= R tan( 2θ ) = R cotan( α
)
2
2
HI
HI
TH
TH
=
=
=
α)
θ)
cos( α
)
sin(
sin( 2θ )
cos(
2
2
2

=

= HI² + TH² = OI² - OT²

= IM × IM’ =

HI × OI

b) calcul du rayon : R
θ ) = O I sin( α ) = O I cos( θ )
= IT tan( α
)
=
IT
cotan(
2
2
2
2
=

TH
TH
OH
OH
=
=
=
α)
θ)
cos( α
)
cos(
sin( 2θ )
sin(
2
2
2

= TH² + OH² =

OI² - IT² =

OH × OI = C² + F
8F 2

c) calcul de la corde : TT’ = C
θ ) = 2 IT sin( α ) = 2 IT cos( θ )
= 2R cos( α
)
=
2R
sin(
2
2
2
2

θ ) = 2 HI tan( α ) = 2 HI cotan( θ )
= 2 OH cotan( α
)
=
2
OH
tan(
2
2
2
2
=2

IT² - HI²

=2

OT² - OH² = 2

OH × HI

e) calcul de la flèche : OM-OH = HM = F
= R ( 1- cos( 2θ ) ) = R (1- sin( α
))=R2

R² - C²/4

=2

2×R×F - F²

f ) longueur de l’arc TMT’ =

π Rθ
180°

g) aire du secteur circulaire OTMT’ =

π R²θ

h) aire du segment circulaire TMT’ =

π R²θ

i) aire de la pointe ITMT’ = IT×R -

j) angle θ = 2 arcsin(

360°

360°

360°

C
)
2R

I

α

α α
2

α =60° θ =120°
50
86.603
100
75
43.301
50
50
150
25
86.603
25
104.720
2617.994
1535.462
1712.133

R² sin( θ )
2

π R²θ

Dans cet exemple (unité mm) :
R
IT
OI
HI
TH
OT
IM
IM'
OH
C
F
lg arc TMT'
aire OTMT'
aire TMT'
aire ITMT'

-

2

M

T

θ/2

θ/2

H

R

θ/2

θ/2

θ

O

M’

R

T’