tmarin ma alhlol alnhaiat oalatsal

‫ و‬g (3375)  15 , x 0  3375 : ‫نعتبر‬
1
g ' (3375) 
675

‫اإلتصال و دراسة الدوال‬
1‫تمرين‬
‫احسب‬

lim 15x  7x  10  15x  1
3

3

3

3

x 

g (x )  g (3375)
x  3375
 g '(3375)
1
lim f (x ) 
x 3375
675
1
: ‫بما أن‬
f (3375) 
675
lim f (x )  f (3375) : ‫فإن‬

:‫الحل‬

lim f (x )  lim

x 3375

A  lim 15x  7x  10  15x  1

x 3375

3

3

3

2

x 

7x 2  9

 lim

2

x  3

15x 3  7x 2  10  3 15x 3  7x 2  10 3 15x 3  1  3 15x 3  1
 9
x 2 7  2 
 x 
 lim
2
2
x 

7 10 3
7 10 3
1 3
1 
2 3
x  15   3  15   3 15  3  15  3 

x x
x x
x
x 



x 3375

3375 ‫ متصلة في‬f : ‫إذن‬

3 3 15

f (x )  3x  2x  6
I  D f ‫حدد‬
‫ ) تقبل‬J ‫ ( يجب تحديد‬J ‫ نحو‬I ‫ المعرفة من‬f ‫ اثبت أن‬-‫أ‬
f 1 ‫ ثم حدد‬. f 1 ‫دالة عكسية‬
‫ تقبل حال وحيدا في‬f  x   10 : ‫ استنتج أن المعادلة‬-‫ب‬
I ‫المجال‬

2

2‫تمرين‬
: x0 ‫ متصلة في‬f ‫ ثم بين أن‬D f ‫حدد‬

x 0  3375

:3 ‫حل التمرين‬

I  D f  3, [ - ‫أ‬

3

x  15
f
(
x
)

x  3375

x  3375

f (3375)  1

675

:2 ‫الحل التمرين‬
Df 

]3; [ ‫ قابلة لإلشتقاق على‬D f ‫ متصلة على‬f

x ]3; [

 2

x  15
x 3375
x 3375 x  3375
1
 lim
2
x 3375 3
x  15 3 x  225
1
lim f (x ) 
x 3375
675
lim f (x )  lim

3;  ‫ تزايدية قطعا على‬f : ‫فإن‬

f

3, [   f 3 , lim f  x   : ‫إذن‬
f 3, [   9, [ : ‫و منه‬
x 

f 1 ‫ تقبل دالة عكسية‬f :

 2  ‫ و‬1

1
: ‫بما أن‬
675
lim f (x )  f (3375) : ‫فإن‬

x 3375

y  3;   ‫ و‬x  9;   ‫ليكن‬
f 1(x )  y  f (y )  x

3375 ‫ متصلة في‬f : ‫إذن‬

 3y  2y  6  x



 

3

f (3375) 

‫من‬

f 1 : ‫تحديد‬

 2y  6  x 2  9y 2  6xy



1 ‫طريقة‬

1
2x  6
f '(x )  0 : ‫بما أن‬

f '(x )  3 

x ]3; [

2

7

A

3‫تمرين‬

1

3

*



 9y 2  2y 3x  1  x 2  6  0
1

) ‫ ( العدد المشتق‬2 ‫طريقة‬
‫قاباة لإلشتقاق على‬
‫ متلة على‬g (x )  3 x : ‫نعتبر‬
1
g ' (x ) 
‫و‬
x  *
2
33 x


  4  3x  1  4  x  6   9

9y 2  2y 3x  1  x 2  6  0
2



  4 6x  53

y1 

f 1(x )  y1 : ‫ فإن‬f (3)  9 : ‫بما أن‬
:

lim f (x )  f 1 : ‫إذن‬

f 1 :

x 1

1 ‫ متصلة في‬f : ‫و منه‬
1 ‫ قابلة لالشتقاق في‬f : ‫ لنبين أن‬-‫ب‬

3x  1  6x  53
: ‫إذن‬
9
x  9;  

f 1(x ) 

9;    3;  
3x  1  6x  53
x

9

3;  ‫ متصلة و رتيبة قطعا على‬f ‫بما أن‬

13x 2  12  x
 12
f (x )  f (1)
x 1
lim
 lim
x 1
x 1
x 1
x 1

10  [9, [ ‫و‬

f

13x 2  12  13x  12 
x 1
(x  1)2
13x 2  12   13x  12 2

(x  1)2

 lim
x 1



13x 2  12  13x  12 




13x 2  12  x
f ( x ) 
x 1


f (1)  12



156x 2  312x  156
(x  1)2

13x 2  12  13x  12 
156  x  1



x 1

 lim

(x  1)2



13x 2  12  13x  12 



156

3, [   9, [ ‫و‬

4‫تمرين‬
 12

x 
;    1
 13


:4 ‫حل التمرين‬

13x  12  13x  12 
f (x )  f (1)
 lim
x 1
x 1
156

2
x 1

-‫ب‬

1 ‫ متصلة في‬f ‫ بين أن‬-‫أ‬
1 ‫ قابلة لالشتقاق في‬f ‫ بين أن‬-‫ب‬
f '(x ) ‫ احسب‬-‫ج‬

2

 lim

: ‫و منه‬

I ‫ تقبل حال وحيدا في المجال‬f  x   10 : ‫ المعادلة‬: ‫فإن‬

 lim

x 1

3x  1  6x  53
9

3x  1  6x  53
‫أو‬
9
y 2  3 ‫ و‬y 1  3 : ‫ نجد‬x  9 ‫بالنسبة ل‬

lim f (x )  12

 lim



y2 

13x 2  12  x
x 1
x 1
g (x )  g (1)
 lim
x 1
x 1
'
 g 1

x 1

2

: ‫ فإن‬x  9 : ‫بما أن‬

6x  53  0

lim f (x )  lim
x 1

 



 12

‫ قابلة لإلشتقاق على‬
;   ‫ متصلة على‬g
 13

 12

;  

 13

 12

13x
x  
;   : g '  x  
1
2
13
13
x

12


g ' 1  12 ‫ و‬g 1  0

2


13x  12  x
f ( x ) 
x 1


f (1)  12
2

 12

x 
;    1
 13


1 ‫ متصلة في‬f : ‫ لنبين أن‬- ‫أ‬

f (x )  f (1)
lim
 78
x 1
x 1
1 ‫ قابلة لالشتقاق في‬f : ‫إذن‬

 12

;   ‫ معرفة على‬g  x   13x 2  12  x : ‫نعتبر‬

 13


2

‫‪‬‬

‫و ‪f ' 1  78 :‬‬
‫‪ 12‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x ‬‬
‫‪;    1‬‬
‫‪ 13‬‬
‫‪‬‬

‫ج‪-‬‬

‫'‬

‫‪‬‬

‫‪13x 2  12  x‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 13x 2  12  x ‬‬
‫‪f ' (x )  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪13x‬‬
‫‪ 1  x  1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪13x 2  12 ‬‬
‫‪=‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x  1‬‬

‫‪13x 2  12  13x  12‬‬
‫‪13x 2  12‬‬

‫‪2‬‬

‫‪ x  1‬‬

‫‪f ' (x ) ‬‬

‫تمرين‪5‬‬
‫حلل هندسيا ما يلي ‪:‬‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫‪lim‬‬
‫أ‪0 -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫‪lim‬‬
‫ب‪  -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫‪lim‬‬
‫ج‪  -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫‪lim‬‬
‫د‪  -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬

‫حل اتمرين‪5‬‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫أ‪0 -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ C f‬يقبل نصف مماس أفقي يسار النقطة ذات األفصول ‪3‬‬
‫‪lim‬‬

‫‪ ‬‬

‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫ب‪  -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ C f‬يقبل نصف مماس عمودي يمين النقطة ذات األفصول ‪3‬‬
‫‪lim‬‬

‫‪ ‬‬

‫‪x 3‬‬

‫موجه نحو األسفل ‪.‬‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫‪lim‬‬
‫ج‪  -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ C f‬يقبل نصف مماس عمودي يمين النقطة ذات األفصول ‪3‬‬

‫‪ ‬‬

‫موجه نحو األعلى‬
‫)‪f (x )  f (3‬‬
‫‪lim‬‬
‫د‪  -‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪x 3‬‬
‫‪ C f‬يقبل نصف مماس عمودي يسار النقطة ذات األفصول ‪3‬‬

‫‪ ‬‬

‫موجه نحو األسفل ‪.‬‬

‫‪3‬‬