LIVRE COURS SCIENCES INDUSTRIELLES 1ERE ANNEE ouakidi2010 .pdf



Nom original: LIVRE COURS SCIENCES INDUSTRIELLES 1ERE ANNEE-ouakidi2010.pdfTitre: Microsoft Word - LIVRE-COURS 1ERE ANNEE-ouakidi2010.docAuteur: FADI

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Sciences industrielles - cours

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Lahoucine OUAKIDI
Professeur Agrégé de Mécanique

CPGE REDA SLAOUI AGADIR

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AVANT PROPOS

Aux demandes incessantes des élèves, je décide finalement de réaliser ce document qui peut
être considéré comme un livre englobant la totalité du programme de première année MPSI et
PCSI.
Mais un cours n’est jamais, lui seul, suffisant. La S.I. étant une matière qui fait le lien entre la
théorie et la réalité industrielle, beaucoup de notions resteront abstraites et nécessitent
l’intervention incontournable du professeur.
Aussi dois-je insister sur le fait qu’un cours ne peut être évalué qu’en faisant un maximum
d’exercices et de problèmes

L’objectif des sciences industrielles est de pouvoir appliquer les connaissances
mathématiques et les principes de la physique dans la réalité industrielle.
Le travail d’un ingénieur étant de faire l’analyse et l’étude d’un projet industriel en vue de sa
conception – réalisation ou sa modification, la S.I. propose les grands principes sur lesquels
repose ce travail en utilisant les outils scientifiques acquis par les élèves depuis le
baccalauréat.
Je signale aussi que ces cours portent les traces d’une coordination intense avec mes collègues
enseignants la S.I aux CPGE.

N.B.
Toutes les suggestions seront les bienvenues, d’autant que des erreurs d’inattention peuvent
être remarquées de part et d’autre, et je serai ravi qu’on me le signale afin que ce travail soit
complet et plus précis.

ouakidila@yahoo.fr

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SOMMAIRE
Programme de 1ere année MPSI- PCSI……………………........................……..
Etude des systèmes…………………………………………………………...……..
Structure fonctionnelle d’un système automatisé………………………..……..
Frontières P.C-P.O……………………………………………………….……..
Chaîne d’information et chaîne d’énergie……………………………….……..
Les capteurs……………………………………………………………...……..
Les actionneurs…………………………………………………………..……..
Les prés actionneurs……………………………………………………..……..
Symboles hydropneumatiques…………………………………………...……...
Analyse fonctionnelle………………………………………………………...……..
Identification des fonctions………………………………........................……..
Diagramme FAST………………………………………………………..……..
Diagramme SADT……………………………………………………….……..
Dessin technique……………………………………………………………..……..
Modélisation géométrique des liaisons……………………………………..……..
Nature des contacts entre solides………………………………………...……..
Graphe des liaisons……………………………………………………………..
Schéma cinématique……………………………………………………..……..
Symboles normalisés des liaisons.. ……………………………………...……..
Calcul vectoriel - rappels mathématiques………………………………….……..
Bases orthonormées……………………………………………………...……..
Produit scalaire…………………………………………………………..……..
Produit vectoriel………………………………………………………………..
Produit mixte…………………………………………………………….……..
Double produit vectoriel………………………………………………………..
Division vectorielle……………………………………………………………..
Coordonnées cartésiennes………………………………………………..……..
Coordonnées cylindriques……………………………………………….……..
Coordonnées sphériques…………………………………........................……..
Drivée temporelle d’un vecteur par rapport à une base………………….……..
Vecteur rotation d’une base par rapport à une autre base………………..……..
Dérivée composée d’un vecteur par rapport à une base…........................……..
Les torseurs…………………………………………………………………..……...
Définition………………………………………………………………...……..
Opérations sur les torseurs……………………………….........................……..
Equiprojectivité d’un champ de torseur………………………………….……..
Axe centrale d’un torseur………………………………………………...……..
Torseurs particuliers- glisseur et couple-………………………………...……..
Cinématique - notions de base………………………………........................……..
Définitions – position, vitesse, accélération……………………………..……..
Solide indéformable……………………………………………………...……..
Paramétrage des solides, repère associé…………………........................……..
Angles d’Euler…………………………………………………………...……..
Mouvement de translation linéaire et circulaire…………........................……..
Mouvement de rotation………………………………………………….……..
Torseur cinématique……………………………………………………..……..
Champ des vecteurs accélération………………………………………..……..
Composition des mouvements…………………………………………..……..
Torseurs cinématiques des liaisons normalisées………………………..……..
Cinématique du contact -RSG-……………………………………………..……..
Roulement et pivotement………………………………………………...……..
Les engrenages…………………………………………………………...……..

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Poulies et courroies - Roues et chaînes…………………………………..……..
Réducteur épicycloïdal ………………………………………………….……..
Loi de vitesse………………………………………………………………………..
Cinématique graphique plane……………………………………………………..
Définition d’un mouvement plan………………………………………..……..
Centre instantané de rotation-la base et la roulante……………………...……..
Théorème des trois plans………………………………………………...……..
Triangle des vitesses……………………………………………………..……..
Equiprojectivité…………………………………………………………..……..
Modélisation des actions mécaniques……………………………………………..
Notions de force, moment et couple……………………………………..……..
Torseur d’une action mécanique –définition…………………………….……..
A.M. définie par une densité surfacique………………………………………..
Les lois de Coulomb……………………………………………………..……..
Modélisation du contact surfacique…… …… …………………………. …….
Modélisation du contact ponctuel……………………………………….. …….
Torseur statique des liaisons normalisées………………………………..……..
Cas particulier des problèmes plan……………………………………………..
Statique des solides et des systèmes………………………………………………..
P.F.S (T.R.S et T.M.S)………………………………………………….. ……..
Principe des actions mutuelles…………………………………………...……..
Résolution analytique d’un problème de statique spatial………………..……..
Résolution analytique d’un problème de statique plane………………………..
Résolution graphique d’un problème de statique plane………………….……..
Condition de maintien de contact………………………………………..……..
Théorie des mécanismes……………………………………………………..……..
Chaînes de solides………………………………………………………..……..
Degré de mobilité………………………………………………………..……..
Degré d’hyperstatisme- formule de mobilité…………………………….……..
Rendre un système isostatique…………………………………………...……..
Liaison équivalente (L. en série et en parallèles)……………………….. ……..
Tableau des torseurs statiques et cinématiques des liaisons……………..……..
Numération et codage……………………………………………………………….
Systèmes de numération………………………………………………………..
Conversion entre systèmes de numération……………………………………..
Codes binaires………………………………………………………………….
Logique combinatoire……………………………………………………………….
Tableau de Karnaugh…………………………………………………………..
Afficheur sept segments………………………………………………………..
Logique séquentielle………………………………………………………………...
Bascules RS…………………………………………………………………….
Bascules JK…………………………………………………………………….
Les registres…………………………………………………………………….
Les compteurs………………………………………………………………….
Les codeurs optiques………………………………………………………………...
Le Grafcet……………………………………………………………………………
Etape……………………………………………………………………………
Transition………………………………………………………………………
Règles de Grafcet………………………………………………………………
Structures de base………………………………………………………………
Structures particulières…………………………………………………………

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PROGRAMME DES SCIENCES INDUSTRIELLES
EN 1ERE ANNEE DES CPGE
FILIERE : MPSI (2008-2009)
1- Etude des systèmes.
1.1. Présentation générale des systèmes
-matière d’œuvre.
-valeur ajoutée.
-fonction.
-performance.
1.2. Classification selon :
-le domaine d’application
-la nature de la matière d’œuvre
-La nature des flux.
-les critères technico-économiques.
1.3. Chaînes fonctionnelles.
-partie commande –partie opérative
-Relation entre P.O. et P.C.
-Relation entre P.O. et opérateur.
-distinction des chaînes d’information et d’énergie.
-identification et description des constituants : actionneurs, pré actionneurs, capteurs.
1.4. Les modèles de descriptions fonctionnelles et structurelles,Cahier des charges fonctionnel
(outils FAST et SADT
2- Communication technique : dessin technique.
3- Mécanique :
A- Modélisation géométrique des liaisons.
A.1.contact entre solides :
Géométrie générale des contacts entre deux solides, degré de liberté (mobilité)
A.2.liaisons entre solides :
-définition.
-liaisons normalisées entre solides.
-caractéristiques géométriques, degrés de liberté, symboles normalisés.
A.3.modelisation cinématique des systèmes mécaniques.
-modélisation des liaisons.
-graphe des liaisons,
-schéma cinématique spatial et plan
.
B- Cinématique du solide indéformable.
B.1.rappels et compléments de calcul vectoriel et torseurs.
B.2.definition d’un solide indéformable.
-référentiel espace temps. Repère attaché à un référentiel. Équivalence entre
référentiel et solide indéformable.
B.3.parametrage :
-angles d’Euler ;
-trajectoire d’un point par rapport à un référentiel.
B.4. Dérivée temporelle d’un vecteur par rapport à un référentiel.
Relation entre les dérivées temporelles d’un vecteur par rapport à deux référentiels
distincts.
Vecteur vitesse de rotation de deux référentiels en mouvement l’un par rapport à l’autre.
B.5.Champs des vecteurs vitesse et des vecteurs accélération pour un solide; torseur
distributeur des vitesses; équiprojectivité du champ des vecteurs vitesse.
Axe instantané de rotation.
Torseurs cinématiques des liaisons normalisées, repères d’expressions privilégiées.
Composition des mouvements.
B.6. Mouvements particuliers : translation, rotation et mouvement plan sur plan :
centre instantané de rotation, théorème des trois plans glissants.
Résolution graphique de problèmes plans.
B.7. Cinématique du contact ponctuel entre deux solides :
- roulement, pivotement,
- Vitesse de glissement ;
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- condition cinématique de maintien du contact.
B.8. Exemples d’application étude cinématique des mécanismes de transmission et de
transformation de mouvement,….
.

C- Statique des solides.
C.1.Modélisation locale des actions mécaniques :
- Actions à distance et de contact ;
- Lois de Coulomb relatives au glissement, au roulement et au pivotement ;
C.2.Modélisation globale des actions mécaniques : torseur associé.
C.3. Action mécanique transmissible par une liaison sans frottement.
Cas des liaisons normalisées et de la modélisation plane.
C.4. Principe fondamental de la statique
- Théorèmes généraux.
- Équilibre d'un solide, d'un ensemble de solides.
- Théorème des actions réciproques.
C.5. Applications :
- Modèles avec ou sans frottement ;
- Méthodes de résolution graphique de problèmes plans.
.
D- Chaînes des solides.
D.1.Structure d’un mécanisme :
- Graphe des liaisons ;
- Associations de liaisons en série et en parallèle ;
- liaisons équivalentes.
D.2. Définitions : (Cas des liaisons en parallèles et en séries) :
- degré de mobilité ;
- degré d’hyperstatisme.
D.3. Cas des chaînes fermées (simple et complexe) :
- Mise en équation : Analyse géométrique, cinématique et des actions mécaniques.
- Détermination du degré de mobilité et du degré d’hyperstatisme
(Formule de mobilité);
D.4. Proposition de constructions isostatiques d’une chaîne de solides hyperstatiques.
4- Automatique :
A- Systèmes combinatoires :
A.1. Codage de l'information :
Binaire naturel, binaire réfléchi, code p parmi n …
A.2. Algèbre de Boole :
- Propriétés fondamentales ;
- Théorème de De Morgan ;
A.3. Opérateurs logiques fondamentaux ;
Exemples de réalisations technologiques ;
A.4. Spécification d'une fonction booléenne ; table de vérité, tableau de Karnaugh
et chronogramme ;
A.5. Techniques de simplification élémentaires :
Méthode algébrique et méthode de Karnaugh ;
A.6. Représentation des fonctions logiques :
logigrammes et schémas à contacts.
B- Systèmes séquentiel :
B.1. Définitions :
- système séquentiel ;
- fonction mémoire (Bascule RS, JK, D) ;
B.2. Applications.
C- Système séquentiel : modèle GRAFCET :
C.1.éléments de base : étape, liaison, transition …
C.2.règles d'évolution ;.
C.3. structures de base ;
C.4. Action continue ;
C.5. Action mémorisée ;
C.6. Représentation multi graphe, synchronisation;
C.7. Structure de la représentation : macro-étape.

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ETUDE DES SYSTEMES
1- INTRODUCTION :
L’homme a toujours cherché pour son confort et parfois pour des raisons économiques, à
remplacer des taches ou des opérations qu’il faisait manuellement ou intellectuellement
par des taches qui seront traitées par des machines (ou processus ) .
Un système automatisé est un système pour lequel, tout ou partie du savoir-faire est
confié à une machine.
Un système est un ensemble d'éléments, en interaction dynamique, organisés en fonction
d'un but.
Par exemple : le système nerveux, le système scolaire, un système automatisé,...
Le dernier exemple est un système physique créé par les hommes dans un but précis :
c'est un système technologique. Les systèmes technologiques sont en relation avec leur
environnement.
2- SYSTEME AUTOMATISE:

La raison d’existence d’un système est seulement la réalisation d’une fonction
principale qui est l’obtention de la valeur ajoutée qui répond .cette fonction principale
répond à un besoin.
La fonction d’un système est généralement donnée dans un tableau indiquant ses
critères d’appréciation. Si un critère est une grandeur mesurable on l’appelle
performance.
Exemple : la fonction principale d’un monte-charge est : soulever une charge, le critère
d’appréciation de cette fonction est par exemple : masse de la charge 500kg
2-1- Nature de la matière d’oeuvre:
On peut classer les systèmes selon la matière d’œuvre qui peut être de plusieurs types :
- Physique : exemple : machine à laver (entrée=linge sale)
- Energétique : exemple : moteur électrique (entrée = énergie électrique)
- Informationnelle : exemple : ordinateur
2-2- Domaine d’application:
On peut aussi classer les systèmes selon leur domaine
- Mécanique : système mécanique, constitué de pièces et organes mécaniques,
(roulements, vis, vilebrequin,..) exemple : serrure
- Electronique : constituée de composants et électroniques ou électriques (diodes,
circuits intégrés, résistances …) ; exemple : récepteur radio
- Electro- mécanique : exemple : magnétophone
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- Hydraulique : exemple :
pompe hydraulique
- Informatique : exemple :
ordinateur
- Etc.….
Remarque : Un système peut être de plusieurs technologies à la fois
3- STRUCTURE FONCTIONNELLE D’UN SYSTEME AUTOMATISE :
D’une façon générale, on peut représenter la structure fonctionnelle d’un système
automatisé comme un ensemble de deux parties liées par des informations de part et
d’autre :
MATIERE
D’ŒUVRE
ENTRANTE

FRONTIERES AVEC LE
MILIEU EXTERIEUR

CONSIGNE

PARIE
COMMANDE

VISUALISATIONS
MESSAGES

ORDRES
COMPTES RENDUS

PARIE
OPERATIVE

ENERGIES
DECHETS

VISUALISATIONS
MESSAGES

MATIERE
D’ŒUVRE +
VALEUR
AJOUTEE

FIGURE 1 : structure fonctionnelle d’un système automatisé
Consigne: information qui circule de l’utilisateur vers la partie commande
Un système automatisé comprend :
Une partie opérative (PO) qui regroupe l'ensemble des opérateurs technologiques qui
assurent et contrôlent la production des effets utiles, pour lesquels le système
automatisé a été conçue ;
Un système automatisé est constitué d'une ou plusieurs chaînes fonctionnelles.
Une chaîne fonctionnelle est l'ensemble des constituants organisés en vue de
l'obtention d'une tâche opérative, c'est-à-dire d'une tâche qui agit directement sur la
matière d'œuvre.
Exemples : Prendre un objet, déplacer une charge, chauffer une pièce, réguler une
température, ...
4- PARTIE OPERATIVE (partie commandée) :P.O
C’est l’ensemble des dispositifs et éléments matériels (organes), et mécanismes
permettant d’apporter la valeur ajoutée sous des ordres de la partie commande (si le
système est automatisé). Pour des systèmes ayants les parties commande et opérative
qui étaient fabriquées séparément, on peut obtenir la valeur ajoutée manuellement par
la partie opérative uniquement.
La partie opérative P.O met en œuvre un ensemble de processus physiques qui
permettent la transformation du produit, ces processus nécessitent obligatoirement un
apport d’énergie.
5- PARTIE COMMANDE : P.C.
La partie commande reproduit le savoir faire des concepteurs, pour obtenir la
succession des actions à faire sur la matière d’œuvre (exemple : tourner, avancer la
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table, prendre pièce, percer….) afin d’assurer la valeur ajoutée. Pour ceci la PC émet
des ordres vers la PO et en reçoit des comptes rendus sous forme d’informations
(exemple : pièce percée, table en position haute, pièce prise…..)
Par ailleurs, la PC est en interaction avec son milieu extérieur par des liaisons
informationnelles ; notamment avec l’opérateur tout au long de son cycle de vie
(première mise en œuvre, exploitation, maintenance..), elle est aussi en
communication avec la P.O. et même avec d’autres PC si elles existent.
6- FRONTIERES P.C-P.O.
Les échanges d’informations entre PO et PC sont de deux types :
- Emission d’ordres ou de signaux de commande vers les pré-actionneurs ou
directement vers les actionneurs de la PO ;
- Réception des comptes rendus par la PC, par l’intermédiaire d’organes de saisie de
l’information, ceux-ci sont appelés : capteurs.

7- CHAINE D’INFORMATION ET CHAINE D’ENERGIE
La chaîne d’énergie, est constituée des fonctions génériques : alimenter, distribuer,
convertir, transmettre qui contribuent à la réalisation d’une action.
Afin d’aborder l’analyse, l’exploitation et la conception de systèmes de traitement de
l’information d’une grande diversité, la démarche proposée en SI s’appuie sur la notion
générique de chaîne d’information, éventuellement associée à une chaîne d’énergie pour
constituer une chaîne d’action .
La chaîne d’information permet :
• D’acquérir des informations ;
○ Sur l’état d’un produit ou de l’un de ses éléments (en particulier de la chaîne d’énergie),
○ Issues d’interfaces homme/machine ou élaborées par d’autres chaînes d’information,
○ Sur un processus géré par d’autres systèmes (consultation de bases de données, partage de ressources,…)

• De traiter ces informations ;
• De communiquer les informations générées par le système de traitement pour réaliser
l’assignation des ordres destinés à la chaîne d’énergie ou (et) pour élaborer des messages
destinés aux interfaces homme/machine (ou à d’autres chaînes d’information).

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8- LES CAPTEURS :
8-1- Définition :
Les capteurs peuvent détecter des positions, des pressions, des températures, des vitesses, des
accélérations, des niveaux, des présences, des états…
On peut caractériser les capteurs selon deux critères:
- en fonction de la grandeur mesurée; on parle alors de capteur de position, de
température, de vitesse, de force, de pression, etc.;
- en fonction du caractère de l'information délivrée; on parle alors de capteurs
logiques appelés aussi capteurs tout ou rien (TOR), de capteurs analogiques ou
numériques.
On peut aussi classer les capteurs en deux catégories, les capteurs à contact qui
nécessitent un contact direct avec l'objet à détecter et les capteurs de proximité.
8-2- Les capteurs les plus connus :
Capteur potentiomètrique :
Ce capteur délivre une tension proportionnelle au déplacement (celui-ci peut être
linéaire ou angulaire)
b-Les capteurs de vitesse angulaire : tachymètre.
Certaines machines automatiques, telles que les machines à commande numérique,
exigent une mesure précise de la vitesse. La mesure de la vitesse linéaire peut se
ramener aussi à celle de la mesure de la vitesse angulaire.
Un tachymètre (ou génératrice tachymétrique) est un appareil qui mesure la vitesse de
rotation (en sortie délivre une tension proportionnelle a cette vitesse)
c-Capteur optique
Un capteur photoélectrique est un capteur de proximité. Il se compose d'un émetteur
de lumière associé à un récepteur. La détection d'un objet se fait par coupure ou
variation d'un faisceau lumineux. Le signal est amplifié pour être exploité par la partie
commande.

Détecteur
photoélectrique
d-Codeurs rotatifs
Les codeurs rotatifs sont des capteurs de position (angulaire ou linéaire). Le disque
du codeur ,composé de plusieurs zones transparentes , est solidaire de l'arbre tournant
du système à contrôler,un émetteur - récepteur optique fixe ,compte le nombre de
passage des zones et le récepteur optique relié à un compteur donnent la position du
disque.
Il existe deux types de codeurs rotatifs, les codeurs incrémentaux et les codeurs
absolus.

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Codeur incrémental
Utilisé aussi dans les souris

d’ordinateurs

e- capteur de fin de course
Ce sont des capteurs de position à contact. Ils peuvent être équipés d'un galet, d'une
tige souple, d'une bille. L'information donnée par ce type de capteur est de type tout ou
rien (TOR) et peut être électrique ou pneumatique.

Capteurs à levier et à tige souple

Capteur fin de course et à galet
f-Les thermocouples :

C’est un capteur de température (thermomètre) qui délivre une tension proportionnelle
à la température mesurée.
9 - LES ACTIONNEURS :
Les actionneurs sont des organes de la chaîne d’énergie, les plus connus sont les moteurs et
les vérins.
9.1. Les moteurs : exercent des actions rotatives (couples)
- Electriques : à courant continu, à courant alternatif ….
- Hydrauliques :à pistons axiaux , à pistons radiaux , à engrenage, à palette…
- Pneumatiques :…………..
- Thermiques : à explosion…
9.2. Les vérins : exercent des actions linéaires (forces)
Les plus utilisés sont vérins hydrauliques et les vérins pneumatiques. Leur
représentation est normalisée.

10 -ES PREACTIONNEURS :
Les prés actionneurs sont des organes qui commandent généralement les actionneurs,

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ils fonctionnent avec de faibles énergies, contrairement aux actionneurs, il peuvent
être ;à commande manuelle , électrique , mécanique ou pneumatique..

10.1. Les relais (ou contacteurs) pour moteurs électriques :
A l’aide d’une bobine le relais
permet la fermeture ou
l’ouverture du circuit de
puissance.
Le relais lui même est alimenté
par une faible puissance (circuit
de commande)

10.2. Les distributeurs pneumatiques et hydrauliques :
Les pré actionneurs commandant les actionneurs hydrauliques ou pneumatiques sont
souvent appelés : distributeurs.
Orifice vers le vérin

Pilotage à droite

Pilotage à gauche

(Commande du distributeur)

Orifice d’échappement

Orifice d’entrée « pression »

Exemple de distributeur 3/2 (utilisé pour les vérins simple effet)

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ANALYSE FONCTIONNELLE
1 -INTRODUCTION :
- l’analyse fonctionnelle consiste à recenser, caractériser, ordonner, hiérarchiser et
valoriser les fonctions d’un produit.
- -Le but de la conception (fabrication, création) d’un nouveau produit ou du
changement d’un produit existant, est seulement d’obtenir la fonction qu’il réalise
(besoin).
- si par exemple on pourrait transporter un passager sans véhicule ni autre moyen, alors
on se passerait de ces produits.
- un produit n’est donc qu’un moyen (ou une solution) pour réaliser l’essentiel qui est la
fonction principale ou le besoin.
- toutes les pièces ou constituants d’un système sont des solutions technologiques
servant à réaliser les fonctions techniques.
2 -IDENTIFICATION DES FONCTIONS :
2-1-Enoncé du besoin (bête à cornes) :
On exprime le besoin en relisant le diagramme suivant et en répondant aux 3 questions
suivantes
Sur quoi agit-il ?
A qui rends-il service ?

Produit étudié

Dans quel but?

2-2-Diagramme des inter acteurs :

Composante en relation
avec le produit

- La recherche des fonctions de service d’un
système se fait en traçant le diagramme des
interacteurs (appelé aussi graphe
d’associations ou pieuvre).
- Dans ce diagramme on trouve tous les
composants physiques, humains,
économiques…..en relation avec le produit.
- Il y’a autant de graphe pieuvre que de
séquences d’utilisation du produit.

Produit
étudié

2-3-Fonctions de service :
- Une fonction de service se traduit par une relation entre le produit et une ou plusieurs
composantes du milieu environnant.
- Elle doit être formulée par un verbe à l’infinitif suivi d’un complément.

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2-4-Exemple : Récepteur radio
Diagramme des interacteurs (les fonctions à réaliser)

Fonctions de service :
FS1 : Recevoir les ondes

Oreilles de
l’utilisateur

Ondes
Électromagnétiques

FS2

Electromagnétiques
Récepteur
Radio

FS1

FS2 : Transformer les ondes
électromagnétiques en ondes audibles

FS3 :S’adapter à l’énergie électrique
du secteur

Energie électrique
du secteur

FS3

2-5-Classification des fonctions de service :
Selon l’objet de l’analyse fonctionnelle on peut classer les fonctions de service soit par nature,
soit par importance ;
Classification par nature
Classification par importance (analyse
(analyse externe)
interne)
- fonction d’usage
- fonction principale
- fonction d’estime
- fonction complémentaire
Exemple1 : paire de lunette
Fonctions de service :
FU1 :corriger la vue de
l’utilisateur
FE1 : plaire à l’utilisateur

Utilisateur

Vision

FU1
Paire de
lunettes

Sens esthétique

FE1
Exemple2 : Récepteur radio précédant
FP1 : FS2
FC1 : FS1
FC2 : FS3
REMARQUE :
Toutes les fonctions autres que les fonctions principales sont des fonctions complémentaires
(parfois appelées des fonctions contraintes)
2-6- Critères d’appréciations des fonctions :
Les fonctions sont généralement données dans un tableau avec leurs critères d’appréciations
et leurs niveaux d’exigences…..
Si le niveau d’appréciation est une grandeur mesurable il est parfois nommé : performance.
Exemple :
Fonction
Critère d’appréciation Niveau d’exigence flexibilité
Recevoir onde
Fréquence de l’onde
Entre 88MHz et ± 5MHz
électromagnétique
108MHz
Adapter énergie
Tensions d’entrée et de Ue=220 v
0
électrique
sortie
Us= 12 v

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2-7- Contraintes :
Les contraintes sont des limitations à la liberté du concepteur- réalisateur du produit.
- sécurité.
- Respect de l’environnement.
- Délai pour l’étude.
- Interchangeabilité
- Respect des normes et du règlement des lois.
- Marché (coût du produit).
Exemple : règles de sécurités pour matériels de réception radio.
2-8- Fonctions techniques :
- Une fonction technique est une action interne entre les constituants du produit nécessaire
pour réaliser une fonction de service.
- Une fonction technique est réalisée par une solution technologique.
- Une fonction technique est généralement comprise seulement par le concepteur.
- Une fonction principale (FP) lie aux moins deux des composantes extérieures avec le
produit.
3 – DIAGRAMME FAST :
(fonction Analysis System Technic – technique d’analyse fonctionnelle et systématique )

Pour une solution technologique donnée ce diagramme permet de représenter de façon
systématique un enchaînement hiérarchisé des fonctions techniques.
A partir d’une fonction donnée, il s’établit en répondant aux questions : Pourquoi ? Quand ?
Quand ?
Comment ?
(Simultanément avec )

FONCTION
TECHNIQUE

Pourquoi ?

Comment ?

Quand ?
(Simultanément avec )

Ce diagramme a la forme suivante :
FONCTION
DE SERVICE

FP1 :

NIVEAU 1

NIVEAU 2

FT 1 :

FT 1.1 :

NIVEAU 3

etc
FT 1.3.1 :

FT 1.3.1.1 :

FT 1.3.1.2 :
FT 2 :

FT 3 :

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SOLUTION
TECHNOLOGIQUE

etc

FT 1.2 :

FT 1.3 :

NIVEAU 4

etc

S-1311
S-1312

etc

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4 – APPLICATION : « Lecteur VCD »
4.1. Enoncé du besoin :(bête à cornes)
…CD- TV

Telespectateur

Lecteur
VCD

Permette à l’utilisateur de voir un
film vcd

4.2. Diagramme des interacteurs :(pieuvre)
CD
FS3

FS1 (FP)

TV

VCD
Energie
électrique

FS2

FS4

Utilisateur

FS1 : Permette à l’utilisateur de voir un film vcd
FS2 :
FS3 : recevoir le CD
FS4 : permettre le réglage.
4.3. Diagramme FAST : de la fonction FS1
FS1 : Permette à
l’utilisateur de
voir un film vcd

. . . . . . .
. . . . . . .

FS11 : entraîner
le cd en rotation

FS12 : lire le CD

FS112 : décoder

le signal
FS112 : envoyer

la vidéo
FS112 : .. . . .

. . . . . .

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Carte électronique
+ laser
. . . . . .
. . . . . . .
Sortie audio
+ cable

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4 – METHODE SADT(diagramme ou actigramme SADT) :
(Structured Analysis For Design and Technic )

- Cette méthode, qui entre dans le domaine de l’analyse de la valeur, on traite sur les
fonctions du système, qui est considéré comme un ensemble de fonctions et non un ensemble
de pièces.
- On procède par analyses successives descendantes, c'est-à-dire en allant du plus générale
vers le plus détaillé en fonction des besoins.
4-1- REPRESENTATION GRAPHIQUE :
-

La représentation graphique s’effectue à partir de boites modélisant des fonctions.
Chaque coté de la boite a une signification particulière.
Chaque diagramme de niveau inférieur est issu d’une boite du niveau supérieur et il en
conserve toutes les relations.
Pour chaque boite on précise en fonction de l’objectif de communication, le point de
vue qui a conduit à son élaboration (point de vue concepteur, point de vue utilisateur,
point de vue maintenance, etc.

NIVEAU A-0 : Il définit,par une boite, la frontière du système
avec les éléments du milieu environnant
lire : A moins zéro.
NIVEAU A0 : il représente en diverse boites, les
fonctions principales du système pour
satisfaire la fonction énoncée dans la
boite A-0 . Ces boites sont reliées entre elles
par des lignes fléchées qui indiquent le flux
de la matière d’œuvre et des contraintes.
NIVEAU A1, A2, A3 : chaque boite de premier niveau
A1
peut se décomposer en diverses boites
représentant les sous fonctions principales
qui doivent satisfaire la fonction principale
énoncée dans cette boite.
A-0
NIVEAU A11, A12, ….., A21, A22, ….., on continue
jusqu’au niveau souhaité.

A-0
Analyse de la boite A-0

A2
A3

A11
A21

A12

A22

A13
A2

A1

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4-2- CAS GENERALE D’UNE BOITE AVEC SES RELATIONS :
Contrainte
d’alimentation
en énergie

Contrainte de
configuration

W

C

Entrées
Matière d’œuvre :

Contrainte
de réglage

Contrainte
d’exploitation

R

FAIRE SUR LA
MATIERE D’ŒUVRE
(Fonction globale)

-Produit,
-Energie,
-Information,

E

Sorties annexes :
-Informations.
-Pertes…
Sorties.
Matière d’œuvre
Plus valeur ajoutée.

Eléments qui
réalisent la fonction

Moyens techniques.
Moyens humains.

4-3- PRINCIPALES REGLES D’ ELABORATION :
- Les flèches qui entrent dans une boite montrent de quoi la boite a besoin pour
effectuer les exigences spécifiées en sortie.
- Les données d’entrée sont modifiées en données de sortie par la fonction exprimée
dans la boite.
- Les contraintes (W, C, R, E) régissent les consignes données aux modifications
(transformations, déplacement, stockage…)
- Le dessous de la boite est utilisé pour montrer l’élément qui réalise l’activité, c’est-àdire le « comment » ou le « qui » de celle-ci (objet, mécanisme, individu, service…).
- Chaque flèche, entrant ou sortant d’une boite d’un niveau donné, doit se retrouver sur
le diagramme du niveau inférieur.
- Pour faciliter la compréhension, ne pas dépasser six boites par diagramme.
5 –EXEMPLE1 :Machine a faire le café (SADT)
L’exemple concerne un élément du cahier des charges pour l’étude d’un type de machine à
faire le café.
Objectif de communication :
Etablir une analyse fonctionnelle descendante permettant de définir ce que l’on demande au
système automatisé à concevoir. On précisera notamment :
- le flux de la matière d’œuvre.
- le flux de l’énergie.
- Le flux de l’information

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5-1- NIVEAU A-0:
Consigne de
température
De l’eau

Energie
électrique
W

Consigne
de dosage
(eau et café)

C

Eau froide.

Ordres de
L’opérateur
(marche –arrêt)

R

E

Information d’état
(marche – arrêt )

FAIRE DU CAFE
CHAUD

Café chaud

A-0

Machine à
Faire le café.

5-2- NIVEAU A0:
W

R

C

E

Ordre
Marche-arrêt

Consigne de
dosage de l’eau
Energie
électrique

Doser
L’eau

……………..
……………

Réglage
filtrage
débit eau

Consigne de
température
de l’eau

A1
Doseur

Dose d’eau
froide

Consigne de
dosage de
café

………………
………………
……….
A3
Résistance
électrique

Doser le
café

…………….
…………..

Information
Marche-arrêt

A2

Dose d’eau
chaude

Elaborer
le café

………
………

A4
Presse

doseur

5-3- NIVEAU A4:

………..

A0

R
Réglage du
debit

…………
…………

Réguler
Le débit

Eau chaude à
debit régulée

Réglage de
la filtration

Régulateu

Presser
La poudre

…………
…………

Café chaud

A4

Levier
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LE DESSIN TECHNIQUE INDUSTRIEL
DEFINITION :
Le dessin technique est le moyen d’expression indispensable et universel de toute
communication technique performante.
Il exige :
• des connaissances générales et techniques ;
• une connaissance approfondie des normes ;
• une culture technologique.
Il contient toutes les informations nécessaires pour définir un produit, en vue de sa réalisation.
NORME : c’est un document ou feuille réalisé par un ensemble de spécialistes d’un certain
domaine. La norme indique des règles à appliquer, des dimensions du papier à dessin par
exemple, la représentation des vis ...etc.
Exemple de norme : norme française : NFE 04 –506 , norme internationale : ISO 128 (
international system organisation)

EXEMPLE DE DESSIN TECHNIQUE : BORNE REGLABLE
La borne réglable (voir document en fin de ce cous) est un système technique qui sert à
caler des pièces en forme d’équerre afin d’éviter leurs flexion.
Sur le format A4 est donné le dessin d’ensemble de la borne réglable en
- vue face (coupée)
Perceuse
- vue de dessus
- vue de gauche
- vue de droite
- Perspective isométrique qui donne une
vue globale du système entier.
Sur un autre format A4 est donné « L’éclaté »
de la butée réglable.
Pièce à caler
Butée réglable

TYPES DE DESSIN :
Le dessin en éclaté (voir borne réglable)
Le dessin en perspective (voir borne réglable)
Le dessin de définition :
Il représente une pièce et la définit complètement (formes, dimensions). Il comporte toutes les
indications nécessaires et utiles pour la fabrication de la pièce.
Le dessin d’ensemble : voir exemple.(dessin d’ensemble de la borgne réglable)
Il indique comment les pièces sont assemblées et disposées les unes par rapport aux autres, et
représente le mécanisme dans son ensemble.
LES ÉLÉMENTS DU DESSIN TECHNIQUE
La nomenclature : voir exemple.(dessin d’ensemble de la borgne reglable)
C’est la liste complète des éléments qui constituent un ensemble ou un mécanisme
(désignation nombre, matière, repère, etc…)
R ep .

N b re

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D é s ig n a tio n

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M a tié r e

O b s e r v a tio n s

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Le cartouche d’inscriptions: voir exemple
Format :A4
Ech. 1 :1

« Titre du dessin »

Dessiné par :

CPGE

MARRAKECH

26/09/2008

Papiers à dessin :
Le dessinateur dessine sur du papier à dessin qui a des dimensions normalisées.
On trouve du papier en format A4 , A3, A2 , A1 et A0 ( A4 est la moitié de A3 , celui-ci est
la moitié de A2 et ainsi de suite..)
A4
A3
A2
A1
A0
Format
Dimensions
210X297 297x420
420x594
594x840
840x1188
en " mm"
Le cadre : voir exemple
Il délimite la surface de travail sur le support.
La mise en page :
L’agencement des différentes informations sur le dessin est appelé mise en page. C’est la
gestion de l’espace sur le papier à dessin.
Les vues :
Une vue représente une pièce ou un mécanisme, tel
que l’observateur peut le voir, sous un angle bien
précis.
Les normes imposent la disposition des vues les unes
par rapport aux autres sur le document.
Cette disposition est appelée « projection
orthogonale » (exemple ci-contre).
L’échelle :
L’échelle est indiquée dans le cartouche.
Exemples : "Ech 1 : 2" (les dimensions réelles sont
divisée par 2 si par exemple la pièce est grande par
rapport au format du papier)
" Ech 3 :1" (les dimensions réelles sont
multipliées par 3 pour avoir un grand dessin sur le
papier)

Vue
de
dessous
Vue
de
droite

Vue
de
face

Vue
de
gauche

Vue
de
dessus

MÉTHODE DE PROJECTION :
Deux normes peuvent être utilisées pour la représentation des projections des vues :
Norme
Européenne
Américaine
(À utiliser)
Symbole de la méthode

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La méthode consiste à imaginer la pièce à dessiner au milieu d’un parallélépipède, On projette
tous les points de
la pièce, sur les six faces du parallélépipède.
Pour obtenir les vues (en nombre de 6) il suffit de développer le parallélépipède.
Prenons l’exemple de la pièce suivante :

Plan de dessus

Plan de gauche

Plan frontal

Plan de droite
Plan de dessous

L’exemple montre la projection sur le plan de face,
Après projection sur les six plans, on développe le parallélépipède et on obtient alors les 6
vues de la pièce, et on les positionne ainsi :

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-25-

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vue de dessous
vue de face

a
vue de gauche

a
vue de droite

a
vue de dessus

vue d’arrière

Remarques importantes :
- Il faut toujours respecter la correspondance entre les différentes vues.
Voir exemple précèdent : la correspondance entre les vues oblige à ce que la hauteur des
vues de droite et de gauche est la même que celle de la vue de face et d’arrière
Aussi l’épaisseur de la vue de droite et de gauche est égale à la hauteur de la vue de dessous et
de dessus.
- La vue de face est la vue principale, elle est choisie en générale de telle façon à ce
qu’elle porte le maximum d’informations.
- Toutes les vues sont positionnées par rapport à la vue de face.
- En général trois vues sont suffisantes pour définir complètement une pièce.
- les traits utilisés en dessin sont :
Trait continu fort
Trait interrompu

Arrêtes et contours cachés

Trait continu fin

Filetage, hachures…..

Trait mixte fin
(fictif)
Trait mixte à deux
tirets (fictif)

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Arrêtes et contours apparents

Axes de révolution, indication de
symétrie.

Pièces voisines, éléments
intermédiaires

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Vues particulières :
Parfois les vues décrites précédemment sont insuffisantes pour définir complètement la pièce
ou le système, d’autres types de vues sont utilisés dans ce cas.
,

Vue partielle

:
Pièces symétriques

LES COUPES :
Une coupe a l’avantage de montrer quelques éléments cachés d’une pièce ou d’un
mécanisme. Elle permet d’améliorer la lisibilité des dessins.
Une coupe se fait en désignant un plan de coupe par un trait interrompu qui se termine
par deux tirets forts repères par deux lettres majuscules identiques.
Le nom de la vue (on l’appelle coupe) obtenue sera désignée par ces lettres.
Méthode :
On va étudier la méthode d’exécution d’une coupe en parallèle avec un exemple :
Soit la pièce suivante :
Les trois vues normales de cette pièce sont

A
On désire montrer ce qu’il y a l’intérieur de la pièce.
Plus précisément on désire avoir une coupe à la
place (par exemple) de la vue de droite.
- On désigne le plan de coupe par deux lettres A
On le fait sur l’une des vues (par exemple ; la vue de face)

A
- On imagine alors qu’on a coupé la pièce tout entière à l’endroit indiqué par le plan de coupe
la direction d’observation étant indiquée par les deux flèches, on imagine qu’on enlève la
partie située entre l’observateur et le plan de coupe et on projette ce qui reste comme une
vue normale.
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-27-

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-

On hachure les endroits touchés par le plan de coupe (scie), et on écrit le nom de la
coupe. Les hachures sont des traits fins parallèles et inclinés.

-

Les hachures diffèrent selon le type du matériau de la pièce,

-

Dans un dessin d’ensemble en coupe, les hachures de chaque deux pièces différentes
et de même matériau sont distingués par l’inclinaison des hachures, ou par la distance
entre les traits des hachures.
Voila alors le dessin de la pièce si on remplace la vue de droite par une coupe A-A et
la vue de dessus par une section B-B :
A
A-A

-

B

B

A
B-B

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Types de hachures :

Acier, fonte,
tout métal inconnu

Cuivre et ses
alliages

Aluminium et
ses alliages

Matière plastique
Caoutchouc

REMARQUE :
Dans un dessin d’ensemble, les pièces pleines tel que les cylindres pleins, les vis, ….etc.
ne sont jamais coupés suivant leurs longueurs.
Si le plan de coupe passe sur une vis (par exemple) elle sera représentée sur la coupe en
vue extérieure.(exemple : borne réglable ; la vis de manœuvre et la butée)
Exemple : cylindre plein dans un trou.
A -A
A

A

A -A

REPRÉSENTATION DU FILETAGE :

Vis en représentation réelle

Tête de la vis
(ici , tête hexagonale)

Filetage
(Représenté par ¼ de cercle dans la vue
de droite)
Vis en représentation conventionnelle
(normalisée) (un trait continu fin)

Vue de gauche

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vue de face

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Ecrou
(De forme hexagonale)

Taraudage = filetage intérieur
Vue de face

vue de gauche

Montage vis et écrou
Montage vis et écrou (complètement insérée)

Montage vis et écrou (à moitié insérée)

vis

écrou

REPRESENTATION EN PERSPECTIVE D’UNE PIECE :
Une perspective est une vue suivant une direction inclinée.
Une perspective permet de montrer l’aspect 3 dimensions d’une pièce ou d’un système.
Il existe plusieurs types de perspectives (perspective cavalière, isométrique, dimétrique,
trimétrique )
Exemple : perspective cavalière d’une pièce en équerre à partir de ses 3 vues

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VUE ECLATÉE DE LA BORNE REGLABLE

BUTEE

CORPS

CALE
PENTEE

PLAQUETTE
D’ARRET

SEMELLE

VIS DE FIXATION
DE COTE

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VIS DE
MANOEUVRE

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VIS DE
FIXATION BAS

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PERSPECTIVE DE LA
BORNE REGLABLE

Perspective isométrique de la borne réglable
Perspective isométrique de la borne
réglable (corps 1 enlevé)

Éclaté de la borne réglable

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8
6
5
7
1

4
3

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2

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VOCABULAIRE TECHNIQUE DE QUELQUES
FORMES DE PIECES MECANIQUES

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MEDELISATION GEOMETRIQUE
DES LIAISONS
Objectif : être capable de modéliser les mouvements possibles dans un système pour en simplifier la
représentation et l’étude.

Hypothèses
- Les solides sont supposés indéformables.
' Contre-exemples : Ressorts, joints d’étanchéité.
- Les formes sont supposées géométriquement parfaites.
) Exemple : Une pièce cylindrique est supposée sans défauts, parfaitement et
mathématiquement cylindrique.

Liaison mécanique
On dit que deux pièces sont en liaison si elles sont en contact par l’intermédiaire de
surface(s),de ligne(s) ou de point(s).
Nature des contacts
œ Contact ponctuel : La zone de contact est réduite à un point.

œ Contact linéique : La zone de contact est réduite à une ligne (pas forcément droite).

œ Contact surfacique : La zone de contact est une surface (plan, cylindre, sphère…).

Degrés de liberté d’un solide
Une translation quelconque peut être définie à l’aide de trois translations élémentaires.
y
) Tx : Translation le long de l’axe x
Ty
) Ty : Translation le long de l’axe y
Tz
z

) Tz : Translation le long de l’axe z

x

Tx
Une rotation quelconque peut être définie à l’aide de trois rotations élémentaires.

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y

) Rx : Rotation autour de l’axe x
Ry

) Ry : Rotation autour de l’axe y

Rz
z

) Rz : Rotation autour de l’axe z

x

Rx
Il existe donc 6 mouvements élémentaires permettant de définir n’importe quelle combinaison
de translation et de rotation.
Les mouvements autorisés par une liaison sont appelées : degrés de liberté et dépendent de la
nature et du nombre de surfaces en contact.

Représentation normalisée des liaisons
Les normes prévoient 11 liaisons mécaniques, à partir desquelles il est théoriquement possible
de décrire tous les mouvements possibles (degrés de liberté) d’un système mécanique .voir
tableau des liaisons.

Graphe de liaison ou graphe de structure
Une classe d’équivalence cinématique (C.E.C.) est un regroupement de pièces n’ayant aucun
mouvement les unes par rapport aux autres.
Le graphe des liaisons (ou graphe de structure) permet de visualiser l’ensemble des contacts
existants dans un mécanisme entre les différentes C.E.C.
Pour tracer le graphe des liaisons d’un mécanisme , il faut d’abord recenser toutes les classes
d’equivalences (blocs) , chacune sera representée par un cercle entourant le numero du bloc,
les liaisons reliant ces blocs sont representées par des traits.
Exemple : BUTEE REGLABLE

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Schéma cinématique
Le schéma cinématique modélise les contacts et les mouvements possibles dans le système
étudié.
Il contient, sous forme de symboles, toutes les liaisons définies dans le graphe de structure et
respecte (autant que possible) l’architecture du mécanisme :
, Orientation des axes des liaisons dans l’espace ;
, Coïncidence de centres ou de points ;
, Alignement éventuel des certains axes de liaisons (on parle de co-axialité).
Methode
-
Conseil : L’utilisation de couleurs facilite l’écriture et la lecture des schémas cinématiques.
-Identifier les groupes de pièces ne pouvant pas avoir de mouvement relatif entre elles
(=classes d’équivalence cinématique).
- Si ce n’est déjà fait, imposer un repère (O,x,y,z) et annoter les contacts existants (graphe de
structure).
- Modéliser les liaisons, à l’aide des 11 liaisons normalisées.
- Placer les symboles des liaisons normalisées en respectant les contraintes géométriques
(orientation, alignement, etc…).
- Habiller le schéma (repères, pièces,…).
Exemple de schéma cinématique :BUTEE REGLABLE

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Tableau des liaisons normalisées :

Hélice (filetage)
à droite

Hélice (filetage)
à gauche

Pour l’ancien symbole, le sens du filetage
est indiqué par le trait diagonal

ou

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REMARQUE : le cours des liaisons est d’une importance décisive pour les sciences
industrielles, il doit être bien assimilé, en particulier il faut connaître chaque symbole
des liaisons ainsi que les caractéristiques de ces liaisons et surtout reconnaître les deux
pièces dans chaque symbole.

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CALCUL VECTORIEL-RAPPELS MATHEMATIQUES
1. BASE- REPERE D’UN ESPACE-REFERENTIEL.
1.1. Base:
Une base est constituée par trois vecteurs matérialisant trois directions.
Une base peut prendre n’importe quelle position dans l’espace tout en restant toujours la
même, a condition que l’orientation (rotation) de chacun de ses trois vecteurs ne change pas.
Base orthonormée et directe :
r r r
r r r
On dit que la base ( x , y, z ) constituée des trois vecteurs x , y et z est :
r
r
r
- Normée : si x = y = z = 1 .
r r
r r
r r
- Orthogonale : si x ⊥ y et x ⊥ z et y ⊥ z .
r r r
r r r
r r r
- Directe : si x ∧ y = z ou y ∧ z = x ou z ∧ x = y .(voir produit vectoriel)
r r r
r r r
On remarque que si la base ( x , y, z ) est directe, alors la base ( x , z , y ) n’est pas directe.
L’ordre d’écriture des vecteurs de la base est important, et la base ne change pas en gardant
r r r
r r r
r r r
cet ordre, ainsi on a ( x , y, z ) = ( y , z , x ) = ( z , x , y ) .
Dans le cours de mécanique on utilisera des bases orthonormées et directes.
r
z
r
x

Ces deux bases sont égales, même si leurs positions dans l’espace sont différentes
car les vecteurs de la première base sont parallèles à ceux de la deuxième.

r
y

r
z

Cette base est
Différente des
deux autres

r
z1

r
y

r
x

r
y1

r
x1

1.2. Repère:
Un repère est constitué d’une base et d’un point. Ce point est appelé l’origine du repère.
Contrairement à une base, un repère n’a qu’une seule position dans l’espace à cause de son
point (origine) qui ne peut avoir qu’une seule position dans un espace.
Avec une seule base on peut former une infinité de repères, en changeant à chaque fois son
origine.
Avec un seul point on peut former une infinité de repères en lui associant des bases à
orientations différentes.
Deux repères différents même s’ils ont la
même base, car leurs origines sont différentes.

r
z
r A
x
Repère

r
y

r
z

( A, xr, yr, zr )

Deux repères différents qui
ont la même origine.

(C , xr, yr, zr ) et (C , xr1 , yr1 , zr1 )

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r
z

r
z1
r
x

r B
x

r
y

Repère

(B, xr, yr, zr )

r
y1
r
y

C
r
x1

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1.3.Référentiel : c’est un repère spatial lié à une origine des temps (ou des dates).
On appelle la date « t » ou l’instant « t » le temps écoulé depuis l’origine des temps ( t=0)
Le déplacement dans ce référentiel est en fonction du temps c'est-à-dire ; quand on se déplace,
le temps s’écoule.
En mécanique classique le repère temporel est fixe (on commence à t=0).
2. PRODUIT SCALAIRE
DE DEUX VECTEURS.
r
r
Soient deux vecteurs A et B formant un angle α entre eux.
r
r r
r
Le produit scalaire des deux vecteurs A et B est un scalaire (ou un réel) noté A . B tel que :

r
A

r r
r r
r r
A.B = A . B . cos α = A . B . cos( 2π − α )
r
r
A : Norme du vecteur A

α

r
B

r
r
Si les deux vecteurs A et B sont définis par leurs coordonnées dans un repère
⎛X ⎞
⎛X ⎞
r⎜ A ⎟
r⎜ B ⎟
r r r
orthonormé directe R(O, x , y, z ) comme A⎜ YA ⎟ et B⎜ YB ⎟ alors
⎜Z ⎟
⎜Z ⎟
⎝ A ⎠R
⎝ B ⎠R
⎛X ⎞ ⎛X ⎞
r r ⎜ A⎟ ⎜ B⎟
A.B = ⎜ YA ⎟ .⎜ YB ⎟ = X A . X B + YA .YB + Z A .Z B
On a
⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟
⎝ A ⎠R ⎝ B ⎠R
r
r r
r
ƒ Si les deux vecteurs A et B sont perpendiculaires alors A.B = 0 .
r r r r
ƒ le produit scalaire est commutatif : A.B = B. A
r
r r r
r2
ƒ A. A = A 2 = A = le carré de la norme de A .
r
rr
r
ƒ Le produit scalaire d’un vecteur A et d’un vecteur unitaire x (par exemple) : A.x
r
r
représente la projection de ce vecteur A sur la direction de x .
r
A
r
rr
x
A.x = h
h
ƒ

3. PRODUIT VECTORIEL DE DEUX VECTEURS :
3.1.Definition :
r
r
Soient deux vecteurs A et B formant un angle α entre eux.
r
r r
r
Le produit vectoriel des deux vecteurs A et B est un vecteur noté A ∧ B tel que :
r
r r
r
• sa norme A ∧ B = A . B . sin α .
r
r
• Sa direction est perpendiculaire à A et perpendiculaire B (ou perpendiculaire au plan
r r
( A.B ) ).
r
r r
Direction de A ∧ B

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B

α

r
A

-42-

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Son sens est donné par la règle du tire-bouchon (ou du bonhomme d’Ampère),
r
B

r r
Sens de A ∧ B

α

r
A

r r
Sens de B ∧ A

3.2.Proprietes :








r r
r r
A ∧ B = −B ∧ A .
r
r r r
r
Si A et B sont parallèles alors A ∧ B = 0 .
r r
r r
r r r r r
r
Pour trois vecteurs A , B et C : ( A + B) ∧ C = A ∧ C + B ∧ C
r r
r r r r
r r
r r
Pour trois vecteurs A , B et C : A ∧ ( B + C ) = A ∧ B + A ∧ C
r
r
Si les deux vecteurs A et B sont définis par leurs coordonnées dans un repère
⎛X ⎞
⎛X ⎞
r⎜ A ⎟
r⎜ B ⎟
r r r
orthonormé directe R(O, x , y, z ) comme A⎜ YA ⎟ et B⎜ YB ⎟ alors
⎜Z ⎟
⎜Z ⎟
⎝ A ⎠R
⎝ B ⎠R
⎛X ⎞ ⎛X ⎞
⎛ YA .Z B − YB .Z A ⎞
r r ⎜ A⎟ ⎜ B⎟


A ∧ B = ⎜ YA ⎟ ∧ ⎜ YB ⎟ = ⎜ X B .Z A − X A .Z B ⎟
⎜Z ⎟ ⎜Z ⎟


⎝ A ⎠ R ⎝ B ⎠ R ⎝ X A .YB − X B .YA ⎠ R

On a



r r r r r r
r r r
r r r
Si (x , y, z ) est une base orthonormée directe alors : x ∧ y = z et y ∧ z = x et z ∧ x = y

4. PRODUIT MIXTE DE TROIS VECTEURS :
r r r
r r
r
Le produit mixte de trois vecteurs A , B et C est le scalaire A.( B ∧ C ) , il est noté parfois
r r r
( A , B , C ).
• Le produit mixte ne change pas avec la permutation circulaire :

r r r
r r r
r r r
A.( B ∧ C ) = B.(C ∧ A) = C.( A ∧ B)




Le produit mixte change de signe si on permute deux de ses vecteurs.
Le produit mixte s’annule si deux de ses vecteurs sont identiques.

5. DOUBLE PRODUIT VECTORIEL :
U ∧ V ∧ W Est le double produit vectoriel des trois vecteurs U , V et W .

(

)

(

On peut montrer que: U ∧ V ∧ W

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) = (U .W ).V − (U .V ).W

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6. DIVISION VECTORIELLE :
Problème :
Soient deux vecteurs . A et B donnés.

Existe-t-il un vecteur X tel que . A ∧ X = B ?
Solution :
r
r
• Si A = 0 et B = 0 ⇒ il existe une infinité de solutions ( X quelconque)
r
r
• Si A = 0 et B ≠ 0 ⇒ pas de solution
r
r
• Si A ≠ 0 et B = 0 ⇒ X = λ. A avec λ ∈ ℜ
r
r
• Si A ≠ 0 et B ≠ 0
r
- A et B doivent être orthogonaux : en effet A.B = A.( A. X ) = 0
- si X 0 est solution alors X 0 + k . A est aussi solution (k ∈ ℜ)
en effet si X 0 est solution alors A ∧ ( X 0 + k . A) = A ∧ X 0 = B
-

il suffit donc de chercher une solution X 0 orthogonale à A
( solutionpa rticuliere )
2

- on a A ∧ ( A ∧ X 0 ) = A ∧ B ⇒ ( A. X 0 ). A − A . X 0 = A ∧ B et comme
X 0 est orthogonale à A , une solution particuliére est X 0 = −

A∧ B
A

la solution générale s’écrit alors X = −

A∧ B
A

2

2

,

+ λ . A et λ ∈ ℜ

7. COORDONNEES CARTESIENNES :
r r r
L’espace étant affecté d’un repère orthonormé direct R(O, x , y, z ) .
La position d’un point M est donnée par
r ses coordonnées cartésiennes : x , y , et z

r
r
r
OM = x.x + y. y + z.z

z

x : abscisse.
y : ordonnée.
Z : la cote.

z

dV = dx.dy.dz

r
dS z = dx.dy ( normale à z )
dS y = dx.dz

M
y

O

dS x = dxy.dz
r
y

x
r
x

8. COORDONNEES CYLINDRIQUES: ( r , θ et z )
On peut repérer le point M précédent par ses coordonnées cylindriques r , θ et z .
Si z = constante, ces coordonnées sont parfois appelées : coordonnées polaires.

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r
z

r
r
OM = r.n + z.z

z

r : rayon polaire
θ : angle polaire
z : Cote
r
r
r
n = cos θ .x + sin θ . y
r
r
r
OM = r. cos θ .x + r. sin θ . y + z.z
D’où :

x = r. cos θ

dV = r.dr.dθ .dz
dS base = r.dr.dθ

M

dS Latérale = r.dθ .dz
V = π .R 2 .h
S base = π .R 2
S laterale = 2π .R.h

, y = r. sin θ , z = z

O

x

θ

r
x

y
r
n

r

r
y

Les coordonnées cylindriques sont utilisées lorsqu’on a une géométrie cylindrique ou
circulaire (cylindre, portion de cylindre, disque, cercle, portion de cercle…..)
9. COORDONNEES SPHERIQUES ( r, θ et ψ )
Les trois paramètres de position du point A dans ce cas sont notés r, θ et ψ qu’on appelle les
coordonnées sphériques.

r
OM = r.u

Les coordonnées sphériques sont utilisées lorsqu’on a une géométrie sphérique (sphère,
portion de sphère, sphère creuse…..)
r
r
r
dV = r 2 . sin θ .dr.dθ .dψ
r
u = cosψ .z + sin ψ .n
z
r
r
r
dS Latérale = R 2 . sin θ .dθ .dψ
n = cos θ .x + sin θ . y
r
r
r
r
4
r
VSphère = .π .R 3
u = sin ψ . cos θ .x + sin ψ . sin θ . y + cosψ .z
z
u

x = r.sinψ . cosθ
D’où

y = r.sinψ .sin θ
z = r. cosψ

M

ψ
r
O
x

θ

r
x

S Laterale

y

3
= 4.π .R 2

r
y

r
n

Exemples d’utilisation :
rayon terrestre.
⎧r :
⎪π

⎨ − ψ : latitude
⎪2
longitude
⎪⎩θ :

-

Position d’un bateau par rapport à la terre :

-

Position d’un objectif par rapport à un radar de poursuite :

⎧r : dis tan ce.
⎪π

⎨ −ψ : site
⎪2
⎪⎩θ : azimute

10. DERIVEE TEMPORELLE D’UN VECTEUR / A UNE BASE :

Un vecteur variable est un vecteur qui a : un module variable ou une direction variable ou
les deux variables .ce qui n’était pas le cas pour un scalaire. (…..).

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r
Soit A un vecteur quelconque, variable, exprimé dans une base orthonormée directe
r r r
r r r
b = ( x , y, z ) , soit R = (O, x , y, z ) = (O, b)
r
r
r
r
avec x = x(t ) , y = y (t ) et z = z (t ) des variables et
On pose A = x.x + y. y + z.z
r r r
x , y et z : les vecteurs unitaires de la base b.
r r r
r r r
Considérons une autre base orthonormée directe b0 = r( x0 , y 0 , z 0 ) . R0 = (O0 , x0 , y0 , z 0 ) = (O0 , b0 )
r
z
A
r
y
r
z0
r O
x
r
y0
r O0
x0
r
r r r
La dérivée temporelle du vecteur A par rapport à la base b0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) est notée :

r
⎛ dA ⎞
⎜ ⎟
⎜ dt ⎟
⎝ ⎠ b0

on peut mettre

r
⎛ dA ⎞

R0 au lieu de mettre sa base b0 : ⎜⎜

dt
⎝ ⎠ R0

Attention : l’indication de la base ou du repère, par rapport auquel on dérive, est obligatoire.
r
r
r
r
On a A = x.x + y. y + z.z d’où
r
r
r
r
⎛ dA ⎞
dx r dy r dz r
dx ⎞
dy ⎞
dz ⎞



⎜ ⎟ = .x + . y + .z + x.⎜ ⎟ + y.⎜ ⎟ + z.⎜ ⎟
⎜ dt ⎟
dt
dt
dt
⎝ dt ⎠ b
⎝ dt ⎠ b
⎝ dt ⎠ b
⎝ ⎠b
r
r
r
r
⎛ dA ⎞
r
r
r
dx ⎞
dy ⎞
dz ⎞



⎜ ⎟ = x&.x + y& . y + z&.z + x.⎜ ⎟ + y.⎜ ⎟ + z.⎜ ⎟
⎜ dt ⎟
⎝ dt ⎠b0
⎝ dt ⎠b0
⎝ dt ⎠b0
⎝ ⎠b0
r r r
Reste à savoir comment déterminer les dérivées des vecteurs unitaires x , y et z par rapport à
r r r
la base b0 = ( x0 , y0 , z 0 ) .
r
r
r
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dz ⎞
=
?
=
?
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ =?
⎝ dt ⎠ b0
⎝ dt ⎠ b0
⎝ dt ⎠ b0
r r r
La méthode qui saute à l’esprit est de décomposer ces vecteurs unitaires x , y et z dans la base
b0 puis de dériver ensuite les composantes de ses vecteurs. Mais cette méthode risque d’être
très lourde du fait que la décomposition d’un vecteur donne parfois des expressions très
longues.
La méthode qu’on utilisera fait intervenir le vecteur rotation d’une base par rapport à une
autre base…..voir le paragraphe (11) suivant.
Remarque :
r
r
r
r
⎛ dA ⎞
r
r
r
r
r
r
⎛ dz ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dx ⎞
⎜ ⎟ = x&.x + y& . y + z&.z
car ⎜ ⎟ = 0 et ⎜ ⎟ = 0 et ⎜ ⎟ = 0 (vecteurs fixes dans b)
⎜ dt ⎟
⎝ dt ⎠ b
⎝ dt ⎠ b
⎝ dt ⎠ b
⎝ ⎠b
0

0

0

0

11. VECTEUR ROTATION D’UNE BASE PAR RAPPORT A UNE AUTRE BASE :
11.1.Definition :
Avant tout, il faut savoir que : si deux bases ont leurs vecteurs unitaires parallèles
successivement alors elles sont égales.
r r r
r r r
Soit b0 ( x0 , y 0 , z 0 ) une base et soit b1 ( x1 , y1 , z1 ) une autre base différente de la précédente. Les
deux bases sont quelconques.
r r r
r r r
Pour passer de b0 ( x0 , y 0 , z 0 ) à b1 ( x1 , y1 , z1 ) il faut faire des rotations.
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Le vecteur rotation (appelé aussi taux de rotation ou vecteur vitesse de rotation) d’une base
r r r
r r r
b1 ( x1 , y1 , z1 ) par rapport à une base b0 ( x0 , y0 , z 0 ) est le vecteur noté Ω(b1 / b0 ) tel que :
r
r
⎛ d x1 ⎞

⎟ = Ω (b1 / b0 ) ∧ x1
⎝ dt ⎠ b0

et

r
r
⎛ d y1 ⎞

⎟ = Ω (b1 / b0 ) ∧ y1
⎝ dt ⎠ b0

r
r
⎛ d z1 ⎞
⎟ = Ω (b1 / b0 ) ∧ z1

⎝ dt ⎠ b0

et

Ce vecteur est instantané, (il dépend du temps).
Il est porté par l’axe de rotation de b1 / b0 (voir application).
11.2.Application :
r
r r r
Un repère R1 (O, x1 , y1 , z1 ) est obtenu par rotation d’angle θ autour de l’axe (O, x0 ) par rapport
r r r
au repère R0 (O, x0 , y0 , z 0 ) .
r r r
Calculer, en utilisant la définition, le vecteur rotation de R1 (O, x1 , y1 , z1 ) par rapport à
r r r
R0 (O, x0 , y 0 , z 0 ) soit Ω( R1 / R0 ) .
r
z1

r

θ z0

r
z1

r
y1

θ

r r
x0 = x1

r
z0

θ

r
y1

r r
x0 = x1

r
y0

θ

r
y0

Figure plane

Figure spatiale

Solution :
la recherche de Ω( R1 / R0 ) revient à la recherche du vecteur qui verifie :
r
r
r
r
r
r
⎛ d z1 ⎞
⎛ d y1 ⎞
⎛ d x1 ⎞
(
R
/
R
)
x
et
(
R
/
R
)
y
et
=


=


⎟ = Ω( R1 / R0 ) ∧ z1





1
0
1
1
0
1
dt
dt
dt
⎠ R0
⎠ R0

⎠ R0


or on a :
r
r
⎛ d x1 ⎞

⎟ = 0 car
⎝ dt ⎠ R0

r
r r
x0 = x1 ( x0 est un vecteur fixe dans b0 )

r

r •
r
⎛ d y1 ⎞
⇒⎜
⎟ = −θ sin θ . y0 + θ . cosθ .z 0
⎝ dt ⎠ R0
r

r
r
r
r
r •
⎛ d z1 ⎞
et z1 = cos θ .z0 − sin θ . y0
⇒ ⎜
⎟ = − θ sin θ .z0 − θ . cos θ . y0
⎝ dt ⎠ R0
r
r
r
Posons Ω( R1 / R0 ) = a.x0 + b. y 0 + c.z 0
r
r
r
et y1 = cosθ . y0 + sin θ .z 0

D’où :

r
r
r
r
r
r
r
Ω( R1 / R0 ) ∧ x1 = ( a.x0 + b. y 0 + c.z 0 ) ∧ x1 = −b.z 0 + c. y 0
r
r
⎛ d x1 ⎞
=⎜
d ' ou b = c = 0 ( par identification )
⎟ =0
⎝ dt ⎠ R0

Et

r
r
r
r
r
r
r
r
r
Ω( R1 / R0 ) ∧ y1 = (a.x0 + b. y 0 + c.z 0 ) ∧ y1 = a.z1 + b. sin θ .x0 − c. cosθ .x0 = a.z1
r
r
= − a. sin θ . y0 + a. cosθ .z 0

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-47-

car (b = c = 0)

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r

r •
r
⎛ d y1 ⎞
=⎜
⎟ = − θ sin θ . y0 + θ . cos θ .z0 d ' ou
⎝ dt ⎠ R0



a = θ . ( par identification)

Et aussi
r
r
r
r
r
r
r
r
Ω( R1 / R0 ) ∧ z1 = (a.x0 + b. y0 + c.z 0 ) ∧ z1 = −a. y1 + b. cosθ .x0 + c.sin θ .x0
r
r
= − a. cosθ . y0 − a sin θ .z 0 (car b = c = 0)
r


r
r •
⎛ d z1 ⎞
=⎜
⎟ = −θ sin θ .z 0 − θ . cosθ . y0 d ' ou a = θ (identification)
⎝ dt ⎠ R0
Finalement

• r
• r
Ω( R1 / R0 ) = θ .x0 = θ .x1

r
r
Avec θ : le paramètre de la rotation de b1 / b0 et x0 ou x1 : la direction de rotation de b1 / b0
11.3.Cas général :
On ne déterminera plus le vecteur rotation en utilisant à chaque fois la définition.
L’exemple traité ci haut concerne un cas particulier d’une seule rotation entre deux bases.
Dans le cas générale : si une base b j est obtenue par n rotation par rapport à la base bi autour,

r
successivement, des directions z k de paramètres θ k alors : Ω(b j / bi ) =

n



r

∑ θ k .z k
k =1

11.4.Derivée temporelle d’un vecteur unitaire par rapport à une base :
• La dérivée temporelle d’un vecteur unitaire par rapport à une base ne doit pas poser grand
problème en S.I.
• On utilise pour ce fait le vecteur rotation, et on doit éviter de décomposer à chaque fois
des vecteurs unitaires dans des bases différentes sauf si nécessaire.
• Le traçage des figures planes de toutes les rotations est primordial pour éviter des erreurs
et aussi pour être rapide.
• Les produits vectoriels et produits scalaires doivent se faire directement à partir des
figures planes.
• Un vecteur unitaire et sa dérivée temporelle par rapport à un repère sont perpendiculaires.
• On peut déduire directement les drivées temporelles des vecteurs représentés dans une
figure plane si elle contient aussi la base par rapport à laquelle on dérive.
Exemple :
r r r
r
Un repère R1 = (O1 , x1 , y1 , z1 ) = (O1 , b1 ) est obtenu par rotation d’axe (O0 , z 0 ) de paramètre α
r r r
r r
par rapport au repère R0 = (O0 , x0 , y0 , z 0 ) = (O0 , b0 ) avec z 0 = z1
r
r r r
Et le repère R2 = (O2 , x2 , y 2 , z 2 ) = (O2 , b2 ) est obtenu par rotation d’axe (O1 , x1 ) de paramètre
r r r
r r
β par rapport au repère R1 = (O1 , x1 , y1 , z1 ) = (O1 , b1 ) avec x1 = x2 .

- 1- Donner directement Ω( R1 / R0 ) , Ω( R2 / R1 ) et Ω( R2 / R0 ) .
- 2- Tracer les figures planes des rotations.
r
r
r
r
r
⎛ dx ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dz ⎞
⎛ dy ⎞
⎛ dy ⎞
- 3- Calculer ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 1 ⎟ , ⎜ 2 ⎟ , ⎜ 2 ⎟ et ⎜ 2 ⎟ .
⎝ dt ⎠ R0 ⎝ dt ⎠ R0 ⎝ dt ⎠ R1 ⎝ dt ⎠ R1
⎝ dt ⎠ R0
Réponse :

r

1- Ω( R1 / R0 ) = α& .z 0
2- figures planes :

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r
r
r
et Ω( R2 / R1 ) = β& .x1 et Ω( R2 / R0 ) = α& .z0 + β& .x1

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r
y1

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r
y0

r
z2

α

r
x1

α

r r
z0 = z1
Figure plane « 1 » de

r
x0

r
z1

β

r
y2

β

r r
x1 = x2

α

Figure plane « 2 » de

r
y1

β

3-

r
r
r
r r
⎛ dx1 ⎞

⎟ = Ω( R1 / R0 ) ∧ x1 = α& .z 0 ∧ x1 = α& . y1
⎝ dt ⎠ R0
r
r
r
r r
⎛ dy1 ⎞
⎟ = Ω( R1 / R0 ) ∧ y1 = α& .z 0 ∧ y1 = −α& .x1

⎝ dt ⎠ R0

r
r r
r
r
⎛ dz 2 ⎞

⎟ = Ω( R2 / R1 ) ∧ z 2 = β& .x1 ∧ z 2 = − β& . y 2
⎝ dt ⎠ R1
r
r
r r
r
⎛ dy 2 ⎞

⎟ = Ω( R2 / R1 ) ∧ y 2 = β& .x1 ∧ y 2 = β& .z 2
⎝ dt ⎠ R1
r
r
r
r
r r
r
r
r r
r
⎛ dy 2 ⎞
⎟ = Ω( R2 / R0 ) ∧ y 2 = (α& .z 0 + β& .x1 ) ∧ y 2 = α& .z 0 ∧ y 2 + β& .x1 ∧ y 2 = − cos β .x1 + β& .z 2

⎝ dt ⎠ R0

Astuce très utile :

r
r
Pour calculer la dérivée de x1 ou de y1 par rapport à la
base b0, il suffit de poser égale à : la dérivée temporelle du
paramètre ( α& ) portée par le vecteur unitaire
perpendiculaire en tournant de + 90° dans le sens de α .
Exemples :

Soit la figure suivante :
r
y1

r
y0

α

r
x1

α

r
z0

r
x0

r
r
r
r
r
⎛ dx1 ⎞
⎛ dy ⎞
= α& . y1 et ⎜ 1 ⎟ = α& .(− x1 ) = −α& .x1


⎝ dt ⎠ R0
⎝ dt ⎠ R0

12. PROPRIETES:




r r
r
r
⎛ dA ⎞ ⎛ dB ⎞
⎛ d ( A + B) ⎞
⎟ = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ .
Dérivée de la somme de vecteurs : ⎜⎜
⎜ ⎟ ⎜ ⎟

dt
⎠ b ⎝ dt ⎠ b ⎝ dt ⎠ b

r r
r
r
r ⎛ dB ⎞
d ( A.B) r ⎛ dA ⎞
= B .⎜⎜ ⎟⎟ + A.⎜⎜ ⎟⎟
Dérivée du produit scalaire :
dt
⎝ dt ⎠ b
⎝ dt ⎠ b
r

r

r

r

r
r


⎛ ⎞
Dérivée du produit vectoriel : ⎜ d ( A ∧ B) ⎟ = A ∧ ⎛⎜ dB ⎞⎟ + ⎜ dA ⎟ ∧ B
⎜ dt ⎟ ⎜ dt ⎟


dt
⎝ ⎠b ⎝ ⎠b

⎠b
13. DERIVEE COMPOSEE D’UN VECTEUR PAR RAPPORT A DEUX REPERES :
Considérons deux bases quelconques b0 et b1
r
r
r
z1
Soit A un vecteur, quelconque, variable dans les deux bases.
A
r
On peut montrer la formule fondamentale suivante :
y1
r
r
r
z0
r O
r
⎛ dA ⎞
⎛ dA ⎞
x
1
r
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + Ω(b1 / b0 ) ∧ A
y0
⎜ dt ⎟
⎜ dt ⎟
r O0
⎝ ⎠b0 ⎝ ⎠b1
x0



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