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Nom original: Trajectoire planete.pdf
Auteur: Mathieu Gallo

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Equation de trajectoire d’une planète

Sommaire :

I)…………………………………………………Analyse de la situation ;
1) Coordonnée cylindrique
2) Effet gravitationnelle

2……………. Mise en place de l’équation différentielle sur u ;
1) Changement de variable (formule de binet)
2) Mise en place de l’équation différentielle :

3…………………………. Résolution de l’équation différentielle ;
1) solution a 𝑢′′ + 𝑢 = 0
2) Solution particulière

4…………………………….Détermination des constantes A et B ;
1) Condition initiale
2) Double système d’équation sur A et B
5……………………………..……………………….. Schémas et analyse ;

p. 1

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

I)

Analyse de la situation :

1) Coordonnée cylindrique :
a) Vecteur unitaire mobile [O ; 𝑒⃗⃗⃗𝑟 ;⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑 ; ⃗⃗⃗
𝑒𝑧 ]
Pendant tout l’exercice nous noterons les dérivées par rapport au temps :

𝑑𝑓

= 𝑓̇

𝑑𝑡

𝑑𝑓

Et les dérivé par rapport à 𝜑 : 𝑑𝜑 = 𝑓′ .

Pendant toute la démonstration nous allons nous placer dans le
plan [𝑒⃗⃗⃗𝑟 ; O ; ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑 ]. Il n’y aura donc aucun mouvement selon 𝑒𝑧 .
On peut donc représenté la situation comme ceci :
: Angle 𝝋
: Distance OM, noté : 𝒓
: Axe de référence
pour la mesure de 𝝋

M
𝑒𝜑
⃗⃗⃗⃗

𝑒𝑟
⃗⃗⃗
𝝋

O

Attention : Les vecteurs unitaires sont mobiles, leurs dérivées par
rapport au temps sont :
⃗⃗⃗⃗𝑟
𝑑𝑒
𝑑𝑡

= 𝜑̇ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑

&

⃗⃗⃗⃗⃗𝜑
𝑑𝑒
𝑑𝑡

= −𝜑̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟

b) Vecteur position et ses dérivées par rapport au temps :
Vecteur position :

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀
𝑒𝑟

Vecteur vitesse :

𝑣 = 𝑟𝜑̇ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑 + 𝑟̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟

Vecteur accélération :

2
𝑎 = 𝑟̇ 𝜑̇⃗⃗⃗⃗⃗
) + 𝑟̈ ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑 + 𝑟 (𝜑̈ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑 − 𝜑̇ ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟 +𝑟̇ 𝜑̇⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑
𝑒

p. 2

Equation de trajectoire d’une planète

𝑟

Mathieu Gallo

𝑎 = (𝑟̈ − 𝑟𝜑̇ 2 )⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟 + (2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈ )
En coordonnées sphérique dans le plan [𝑒⃗⃗⃗𝑟 ; O ; ⃗⃗⃗⃗
𝑒𝜑 ] les vecteurs,
position, vitesse et accélération seront noté :
𝑟
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = (0)
0

𝑟̇
𝑣 = (𝑟𝜑̇ )
0

𝑟̈ − 𝑟𝜑̇ 2
𝑎 = (2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈ )
0

2) Effet gravitationnelle :

a) Seconde loi de Newton :
∑𝐹 = 𝑚 × 𝑎
b) Force de gravitation :
𝐹

1→2=(−

𝐺𝑚1 𝑚2
)
𝑟2
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟

c) Situation :
Dans notre cas nous cherchons la force appliquer par une
étoile de masse 𝑀, sur une planète de masse 𝑚
Donc
∑ 𝐹 = 𝑚 × 𝑎 = (−
𝑎 = (−

𝐺𝑀𝑚
)
𝑟 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟

𝐺𝑀
)
𝑟 2 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑒𝑟

En égalisant avec les résultats obtenus pour les coordonnées
cylindriques on obtient :

p. 3

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

𝐺𝑀
𝑟̈ − 𝑟𝜑̇ 2
− 2
𝑎 = ( 𝑟 ) = (2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈ )
0
0
0
Donc :


𝐺𝑀
𝑟2

= 𝑟̈ − 𝑟𝜑̇ 2

0 = 2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈

&
𝐺𝑀
− 2 = 𝑟̈ − 𝑟𝜑̇ 2
𝑟
𝑟̈ = 𝑟𝜑̇ 2 −

𝐺𝑀
𝑟2

Si on regarde bien la deuxième équation : 0 = 2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈
On remarque que, 2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈ peut aussi s’écrire :
Car :

𝑑𝑟 2 𝜑̇
𝑑𝑡

1

1

𝑟

𝑟

𝑑𝑟 2 𝜑̇
𝑑𝑡

×

1
𝑟

× = (2𝑟̇ 𝑟𝜑̇ + 𝑟 2 𝜑̈ ) × = 2𝑟̇ 𝜑̇ + 𝑟𝜑̈ = 0
1

Vu que ≠ 0,
𝑟

alors

𝑑𝑟 2 𝜑̇
𝑑𝑡

=0

Donc 𝑟 2 𝜑̇ = 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝐶
Remarque : Cette constante C, parait abstraite, mais il s’avère
qu’elle va nous permettre de remplacer les 𝜑̇ par

𝐶
𝑟2

.

Donc :
𝑟̈ = 𝑟𝜑̇ 2 −

𝐺𝑀
𝐶² 𝐺𝑀
=
𝑟
− 2
𝑟2
𝑟4
𝑟

𝑟̈ =

p. 4

𝐶² 𝐺𝑀
− 2
𝑟3
𝑟

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

On obtient donc une équation différentielle sur r, mais a priori
assez compliquer à résoudre ! C’est pour ça que l’on va contourner
le problème grâce à un changement de variable. (Méthode de
Binet)

II)

Mise en place de l’équation différentielle sur u
1) Changement de variable (formule de Binet) :
On pose 𝑟 =

1
𝑢

, donc 𝑢 =

1
𝑟

𝑟̈ = 𝐶 2 𝑢3 − 𝐺𝑀𝑢2

2) Mise en place de l’équation différentielle :
1
𝑑𝑢 𝑑 (𝑟 ) 𝑑𝑡
−𝑟̇
𝑟̇
=
= 2 =−
𝑑𝜑
𝑑𝑡 𝑑𝜑 𝑟 𝜑̇
𝐶
On va dériver à nouveau cette expression et appliqué la formule
des dérivée de fonction composé :
𝑑2 𝑢 𝑑(𝑟̇ ⁄𝐶 ) 𝑑 (𝑟̇ ⁄𝐶 ) 𝑑𝑡
𝑟̈ 1
=
=
=

𝑑2 𝜑
𝑑𝜑
𝑑𝑡 𝑑𝜑
𝐶 𝜑̇
𝑑2 𝑢
𝑟̈ 𝑟²
=

𝑑2 𝜑
𝐶²
Hors 𝑟̈ = 𝐶 2 𝑢3 − 𝐺𝑀𝑢2
(𝐶 2 𝑢3 − 𝐺𝑀𝑢2 )
𝑑2 𝑢
=−
𝑑2 𝜑
𝑢2 𝐶 2

p. 5

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

𝑑2 𝑢
𝐺𝑀
=
−𝑢
+
𝑑2 𝜑
𝐶2
Voilà une équation différentielle sur u que l’on sait résoudre.
On notera : 𝑢′′ = −𝑢 +

III)

𝐺𝑀
𝐶2

Résolution de l’équation différentielle :

Forme :
On note que l’équation est sous la forme : 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 𝑘
Avec 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑒𝑡 𝑘 des constantes et y une fonction.
𝑎 =1 ; 𝑏 =0 ; 𝑐 =1; 𝑘 =

𝐺𝑀
𝐶2

3) solution a 𝒖′′ + 𝒖 = 𝟎
Pour sa il faut résoudre l’équation caractéristique de cette
fonction qui est : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 .
Pour résoudre cette équation polynôme d’ordre 2 (Voir cour sur
les fonctions polynômes) on calcule le discriminant ∆ :
∆= 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = −4
Le ∆< 0 donc il existe 2 solution complexe (Voir cours sur
nombre complexe) à cette équation caractéristique. Le cour nous
dis que c’est deux solution sont :
𝑥1 =

−𝑏 − 𝑖√|∆|
= 𝑛 − 𝑖𝜔1
2𝑎

𝑒𝑡

𝑥2 =

−𝑏 + 𝑖√|∆|
= 𝑛 + 𝑖𝜔2
2𝑎

Avec 𝑛 𝑒𝑡 𝜔 des réel

p. 6

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

𝑥1 = −

𝑖 √4
= −𝑖
2

𝑒𝑡

𝑥2 =

𝑖√4
=𝑖
2

Donc 𝑛 = 0 ; |𝜔| = 1
Le cour nous dis que l’équation différentielle est donc sous la
forme :
𝑓(𝑥 ) = 𝑒 𝑛𝑥 (𝐴 cos(𝜔𝑥 ) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥 )) + 𝑆𝑝
Avec :
 A et B des constante
 𝑆𝑝 la solution particulière à cette équation.
On notera donc : 𝑢(𝜑) = 𝑒 0 (𝐴 cos(𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜑)) + 𝑆𝑝
𝑢(𝜑) = 𝐴 cos(𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜑) + 𝑆𝑝
4) Solution particulière :
La solution particulière, parait a priori évidente :
𝑢′′ = −𝑢 +
Si 𝑢 =

𝐺𝑀
𝐶2

, alors 𝑢′′ = 0 . (Car

Donc : 0 = −

𝐺𝑀
𝐶2

+

conclue que 𝑆𝑝 =

𝐺𝑀

𝐶2
𝐺𝑀
𝐶2

𝐺𝑀
𝐶2

𝐺𝑀
𝐶2

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

, cette solution est donc valide on en

.

Et donc l’équation différentielle a pour forme :
𝑢(𝜑) =

1
𝐺𝑀
= 𝐴 cos(𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜑) + 2
𝑟(𝜑)
𝐶

𝑟 (𝜑 ) =

1
𝐴 cos(𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜑) +

𝐺𝑀
𝐶2

Il ne nous reste plus qu’as définir les 2 constante A et B qui
dépendent des conditions initiale
p. 7

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

IV)

Détermination des constantes A et B :

Pré calcul :
′(

𝑟 𝜑) =

−𝐴𝑠𝑖𝑛 (𝜑) + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜑)
𝐺𝑀 2
(𝐴 cos(𝜑) + 𝐵𝑠𝑖𝑛(𝜑) + 2 )
𝐶

1) Condition initiale :
On pose :
𝑟(0) = 𝑟0
Avec 𝑟0 = 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒.
Il faut bien voir que 𝑟′ n’est pas la vitesse du corps mais la dérivé
de sa position par rapport a 𝜑.
𝑟 ′ (𝜑) =

𝑑𝑟 𝑑𝑡
𝑟̇
=
𝑑𝑡 𝑑𝜑 𝜑̇

Sois la vitesse radiale diviser par la vitesse angulaire.
𝑟 ′ (0) =

𝑉𝑟0
𝜔0

Avec 𝑉𝑟0 = Vitesse radiale initiale et 𝜔0 = vitesse angulaire initiale

2) Double système d’équation sur A et B

 𝑟(0) = 𝑟0 =
𝐴=

p. 8

1
𝐺𝑀

𝐴 cos(0)+ 2
𝐶

1 𝐺𝑀

𝑟0 𝐶 2

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

 𝑟 ′ (0) =
𝐵=

𝑉𝑟0
𝜔0

𝐵

=

𝐺𝑀 2

(𝐴+ 2 )
𝐶

1 𝑉𝑟0 𝑉𝑟0
=
𝑟0 2 𝜔0
𝐶

Remarque : Dans le cadre de l’orbite d’une planète, la vitesse
radiale (𝑉𝑟0 ) est totalement négligeable devant la constante
(𝑟²𝜑̇ ).
Donc on notera 𝐵~0
On obtient donc :
𝑟(𝜑) =

1
1 𝐺𝑀
𝐺𝑀
( − 2 ) cos(𝜑) + 2
𝑟0 𝐶
𝐶
𝐶²

𝑟(𝜑) =
(

V)

𝐶 2 − 𝐺𝑀𝑟0
) cos(𝜑) + 𝐺𝑀
𝑟0

Schémas et analyse

Attention, si :
𝐶 2 − 𝐺𝑀𝑟0
|
| > 𝐺𝑀
𝑟0
Alors l’équation devient physiquement fausse. (Asymptotes +
valeurs négatives)
J’ai choisi les valeurs initiales suivantes :
𝑟0
1,7 × 1011 𝑚

𝜔0
1,4 × 10−7 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

𝐶 = 𝑟02 × 𝜔0
4,046 × 1015 𝑚2 𝑟𝑎𝑑. 𝑠 −1

M
2 × 1030 𝑘𝑔
p. 9

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu Gallo

En remplaçant les conditions initiales par leurs valeurs on
obtient :
1,637 × 1031
𝑟(𝜑) =
(−3.711 × 1019 × cos(𝜑)) + 1.334 × 1020
Voilà le tableau de valeur de cette équation sur [0; 2𝜋] :
𝜑 (rad)
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
1,10
1,20
1,30
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
2,50
2,60
2,70
2,80
2,90
3,00

p. 10
Gallo

r (m)
1,70E+11
1,70E+11
1,69E+11
1,67E+11
1,65E+11
1,62E+11
1,59E+11
1,56E+11
1,52E+11
1,48E+11
1,44E+11
1,40E+11
1,36E+11
1,33E+11
1,29E+11
1,25E+11
1,22E+11
1,18E+11
1,15E+11
1,13E+11
1,10E+11
1,08E+11
1,05E+11
1,04E+11
1,02E+11
1,00E+11
9,91E+10
9,81E+10
9,72E+10
9,66E+10
9,62E+10

𝜑 (rad)
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,10
4,20
4,30
4,40
4,50
4,60
4,70
4,80
4,90
5,00
5,10
5,20
5,30
5,40
5,50
5,60
5,70
5,80
5,90
6,00
6,10
6,20

r (m)
9,60E+10
9,60E+10
9,63E+10
9,67E+10
9,74E+10
9,82E+10
9,93E+10
1,01E+11
1,02E+11
1,04E+11
1,06E+11
1,08E+11
1,10E+11
1,13E+11
1,16E+11
1,19E+11
1,22E+11
1,26E+11
1,29E+11
1,33E+11
1,37E+11
1,41E+11
1,45E+11
1,49E+11
1,53E+11
1,56E+11
1,60E+11
1,63E+11
1,65E+11
1,67E+11
1,69E+11
1,70E+11

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu

Si on trace sa la fonction 𝑟(𝜑) on obtient la courbe si dessous :

𝑟(𝜑)
1,80E+11
1,60E+11
1,40E+11
1,20E+11
1,00E+11
8,00E+10
6,00E+10
4,00E+10
2,00E+10

0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
2,60
2,80
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,20
4,40
4,60
4,80
5,00
5,20
5,40
5,60
5,80
6,00
6,20

0,00E+00

Représenté sur un schéma :
1,80E+11
1,60E+11
1,40E+11
1,20E+11
1,00E+11
8,00E+10
6,00E+10
4,00E+10
2,00E+10
0,00E+00

𝐴𝐸 + 11 = 𝐴 × 1011
: Axe de
référence pour la
mesure de 𝜑
: Trajectoire

p. 11
Gallo

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu

Compléments sur l’excentricité :
L’équation d’une conique (Voir cours sur les coniques) est donné
par :

𝑘
𝑒𝑐𝑜𝑠(𝜑)+1

Avec 𝑒 l’excentricité de la conique.
Si on réécrit notre équation de trajectoire sous cette forme la :
𝐶 2 /𝐺𝑀

𝑟(𝜑) =
((

𝐶2
− 1) cos(𝜑) + 1)
𝑟0 𝐺𝑀

Avec 𝑘 = 𝐶 2 /𝐺𝑀
Et 𝑒 =

𝐶2
𝑟0 𝐺𝑀

−1

Hors d’après le cours sur les conique :
 Si 𝑒 = 0

(𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐶² = 𝑟0 𝐺𝑀)

Alors le mouvement est circulaire
 Si 𝑒 ≤ 0

(𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐶² ≤ 𝑟0 𝐺𝑀)

Alors le mouvement est elliptique.
Notre équation résous parfaitement c’est systèmes, mais dans les
cas suivant :
 Si 𝑒 > 1

(𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐶² > 2𝑟0 𝐺𝑀)

Alors le mouvement est hyperbolique
 Si 𝑒 = 1

(𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐶² = 2𝑟0 𝐺𝑀)

Alors le mouvement est parabolique
Notre équation devient physiquement fausse, (asymptotes +
valeur négative)ceci est due au faite que le corps qui trace une
hyperbole autour de la force centrale, fini par s’en aller en ligne

p. 12
Gallo

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu

droite, donc 𝑟 tend vers +∞ pour une valeur donné de 𝜑, sa
devient tout de suite assez compliqué !
Il faut tous simplement bien posé le problème et on voit que
𝑟(𝜑) n’est pas adapté pour décrire ce genre de mouvement
(hyperbolique, parabolique). Il faudrait plutôt chercher la
fonction 𝑟(𝑡) pour ça.
D’autre exemple :
2E+09
200000000
150000000
100000000

p. 13
Gallo

1,5E+09
1E+09

50000000

500000000

0

0

200000000

200000

150000000

150000

100000000

100000

50000000

50000

0

0

Equation de trajectoire d’une planète

Mathieu


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