la trigonometrie dans le triangle rectangle

Chapitre 10
La trigonométrie dans le triangle
rectangle

DÉFINITION

La trigonométrie dans le triangle rectangle

Troisième
Mathématiques

On considère un triangle ABC rectangle en A :

Le côté [AC] est appelé côté adjacent à l'angle ˆ
ACB.
Le côté [AB] est appelé côté opposé à l'angle ˆ
ACB.

Le côté [BC] est appelé l'hypoténuse du triangle ABC .

I

Cosinus, sinus et tangente d'un angle aigu
A

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Cosinus

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Chapitre 10
La trigonométrie dans le triangle
rectangle
DÉFINITION

Troisième
Mathématiques

Cosinus

Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est égal à :
cos (α) =

côté adjacent
hypoténuse

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
cos (ˆ
ABC ) =

AB
6
3
=
=
BC 10 5
ˆ = AC = 8 = 4
cos (ACB
) BC 10 5
REMARQUE

PROPRIÉTÉ

Le cosinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur
d'un des cotés du triangle.
Le cosinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Le cosinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.

B

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Sinus

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Cours

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Chapitre 10
La trigonométrie dans le triangle
rectangle
DÉFINITION

Troisième
Mathématiques

Sinus

Dans un triangle rectangle, le sinus d'un angle aigu est égal à :
sin (α) =

côté opposé
hypoténuse

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
sin (ˆ
ABC ) =

AC
8
4
=
=
BC 10 5
ˆ = AB = 6 = 3
sin (ACB
) BC 10 5
REMARQUE

PROPRIÉTÉ

Le sinus d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une longueur
d'un des cotés du triangle.
Le sinus d'un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
Le sinus d'un angle aigu n'a pas d'unité.

C

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Tangente

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Chapitre 10
La trigonométrie dans le triangle
rectangle
DÉFINITION

Troisième
Mathématiques

Tangente

Dans un triangle rectangle, la tangente d'un angle aigu est égale à :
tan (α) =

côté opposé
côté adjacent

Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
tan (ˆ
ABC ) =

AC 8 4
= =
AB 6 3
ˆ = AB = 6 = 3
tan (ACB
) AC 8 4
REMARQUE

PROPRIÉTÉ

La tangente d'un angle aigu dans un triangle rectangle peut permettre de calculer une
longueur d'un des cotés du triangle.
La tangente d'un angle aigu est toujours supérieure à 0, mais pas nécessairement inférieure
à 1 comme le sinus et le cosinus.
La tangente d'un angle aigu n'a pas d'unité.

D
ASTUCE

Déterminer la mesure en degrés d'un angle
Connaissant le cosinus, le sinus, ou la tangente d'un angle aigu, on peut retrouver la valeur de
cet angle à l'aide des fonctions cos− 1, sin− 1 et tan− 1 de la calculatrice.

PIÈGE

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Veiller à ce que la calculatrice soit réglée en degrés.

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Chapitre 10
La trigonométrie dans le triangle
rectangle

II
PROPRIÉTÉ

Troisième
Mathématiques

Relations trigonométriques
Pour tout angle aigu α, on a :

2
(cos (α))
+ ( sin (α)) = 1
2

3
4

On considère un angle α tel que cos (α) = . On peut alors écrire :
cos2 (α) + sin2 (α) = 1

Soit :
sin2 (α) = 1 − cos2 (α)
sin2 (α) = 1 −

REMARQUE

3
9
7
=1−
=
( 4)
16 16
2

Pour simplifier les notations, on peut noter cos2 (α) à la place de (cos (α))2 , et sin2 (α) à la place de
( sin (α)) .
2

PROPRIÉTÉ

Pour tout angle aigu α non droit :
tan (α) =

sin (α)
cos (α)

On considère un angle α tel que :
√3
2
1 ⎯⎯
sin (α) =
2
cos (α) =

On a :
1
√3
1
2
1
tan (α) = 2 = ×
=
=
2
3
√
3
√
3
√3
⎯⎯
2
⎯⎯
⎯⎯
⎯⎯

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