résumé continuité d'une fonct

‫‪Année scolaire :‬‬
‫‪2018-2019‬‬

‫‪Pr : chaouki karim‬‬
‫‪Niv : 2 bac svt pc‬‬

‫) ‪lim f ( x)  lim f ( x)  f ( x0 )  lim f ( x)  f ( x0‬‬
‫‪x  x0‬‬

‫❶ اتصال دالة في نقطة ‪:‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫مثال ‪ :‬لتكن ‪ E‬دالة الجزء الصحيح و ‪ k‬عدد صحيح نسبي ‪.‬‬

‫توجد ثالثة شروط التصال دالة عددية ‪ f‬في نقطة ‪ x0‬و هي ‪:‬‬
‫‪‬‬

‫الشرط ‪ f : 1‬معرفة على مجال مفتوح مركزه ‪ x0‬أي ‪D f‬‬
‫يحتوي على مجال مفتوح مركزه ‪. x0‬‬

‫‪‬‬

‫الشرط ‪ : 2‬النهاية )‪ lim f ( x‬موجودة و منتهية ‪.‬‬

‫‪‬‬

‫في حالة الحصول على شكل غير محدد نستعمل‬
‫التقنيات التالية (التعميل‪,‬الضرب في المرافق ‪,‬تغيير‬
‫المتغير ‪.).....‬‬
‫الشرط ‪. lim f ( x)  f ( x0 ) :3‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫الدالة ‪ E‬متصلة على اليمين في ‪ k‬و غير متصلة على اليسار في ‪k‬‬
‫ادن الدالة ‪ E‬غير متصلة في ‪. k‬نقول ان الدالة منقطعة في ‪. k‬‬
‫(ألن )‪.) lim E ( x)  lim E ( x‬‬
‫‪x k‬‬

‫‪x k‬‬

‫‪xk‬‬

‫‪x k‬‬

‫❸االتصال على مجال‬
‫تعاربف ‪:‬‬

‫‪ f‬متصلة على مجال ‪ f  a, b‬متصلة في كل‬

‫نقطة من ‪. a, b‬‬

‫‪ D f‬يحتوي على مجال مفتوح مركزه ‪. 2‬‬

‫‪ f‬متصلة على مجال ‪  a, b‬يكافىء أن ‪:‬‬

‫في الشكل األول منحنى الدالة يبقى متصال عند مروره‬
‫بالنقطة التي أفصولها ‪ 2‬و بالتالي‬
‫‪ lim f ( x)  f (2)  2‬إذن ‪ f‬متصلة في ‪. 2‬‬
‫‪x 2‬‬

‫بينما في الشكل الثاني منحنى الدالة متقطع عند مروره‬
‫بالنقطة التي أفصولها ‪ 2‬و بالتالي ‪ f‬غير متصلة في‬
‫‪.2.‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫‪ f‬متصلة على اليمين في ‪. a‬‬
‫‪ f‬متصلة على اليسار في ‪. b‬‬

‫خاصيات ‪:‬‬

‫❷ االتصال على اليمين – االتصال على اليسار في نقطة‬
‫تعاربف ‪:‬‬
‫‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال من نوع ‪  x0 , x0  r ‬حيث‬
‫)‪. (r  0‬‬

‫‪ f‬متصلة على اليمين في ‪lim f ( x)  f ( x0 )  x0‬‬

‫‪x  x0‬‬

‫‪ f‬دالة عددية معرفة على مجال من نوع ‪ x0  r, x0 ‬‬

‫‪‬‬

‫‪ f‬متصلة على مجال ‪.  a, b‬‬

‫حيث‬

‫‪.‬‬
‫كل دالة حدودبة متصلة على‬
‫كل دالة جدرية متصلة عتى مجال ضمن مجموعة‬
‫تعريفها ‪.‬‬
‫دالة الجيب ‪sin x‬‬
‫‪ x‬و دالة الجيب التمام‬
‫‪cos x‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ x‬متصلتان على‬
‫‪ x‬متصلة على كل مجال ضمن‬
‫دالة الظل ‪tan x‬‬
‫مجموعة نعريفها‬

‫الدالة ‪x‬‬

‫‪ x‬متصلة على‬

‫‪‬‬

‫‪.‬‬

‫)‪:. (r  0‬‬
‫‪ f‬متصلة على اليسار في‬

‫‪. lim f ( x)  f ( x0 )  x0‬‬
‫‪x  x0‬‬

‫تكون دالة ‪ f‬متصلة في نقطة ‪ x0‬ادا كانت متصلة على اليمين و‬
‫على اليسار في ‪ x0‬أي‬

‫‪Page 1‬‬

‫‪ ‬عمليات على الدوال المتصلة ‪:‬‬
‫خاصيات ‪:‬‬
‫لتكن ‪ f‬و ‪ g‬دالتين عدديتين متصلتين على مجال ‪ I‬و ‪k‬‬
‫عدد حقيقي ‪.‬‬

‫‪ka.chaouki@gmail.com‬‬

‫‪‬‬

‫الدوال ) ‪ ( f  g‬و ‪ f  g‬و ‪ kf‬متصلة على المجال ‪. I‬‬

‫‪‬‬

‫‪f 1‬‬
‫إدا كان ‪ g ( x)  0‬أيضا لكل ‪ x‬من ‪ I‬فإن الدالتين و‬
‫‪g g‬‬
‫متصلتين على المجال ‪. I‬‬
‫لتكن ‪ f‬متصلة على مجال ‪ I‬و ‪ g‬دالة معرفة على‬
‫مجال ‪ J‬بحيث ‪ f ( I )  J‬لدينا ‪:‬‬

‫‪gof‬‬
‫متصلة على‬

‫‪ f‬دالة متصلة على ‪ a, b‬‬

‫‪‬‬
‫‪‬‬

‫صورة قطعة بدالة متصلة هي أيضا قطعة‪.‬‬
‫صورة مجال من بدالة متصلة هو مجال من‬
‫استنتاج ‪:‬‬

‫‪ m‬قيمة الدنوية للدالة ‪f‬‬
‫متصلة على‬

‫‪f ( a, b)   m, M ‬‬

‫‪.‬‬
‫‪‬‬

‫‪ M‬قيمة الدنوية للدالة ‪f‬‬
‫‪ c  , f (c)   ( f (a)    f (b)) .‬‬

‫‪J‬‬
‫بحيث‬

‫مجال ‪I‬‬

‫‪f (I )  J‬‬

‫))‪c  , f (c)  k ( f (a)  k  f (b‬‬

‫متصلة على ‪I‬‬
‫مثال ‪:‬‬

‫‪2‬‬
‫نعتبر الدالة ‪ U‬المعرفة على ‪ 0, ‬بما يلي )‪ 1‬‬
‫‪x²‬‬
‫‪2‬‬
‫نضع ‪ f ( x)   1‬و ‪ g ( x)  sin x‬إذن )‪U ( x)  gof ( x‬‬
‫‪x²‬‬
‫لكل ‪ x‬من ‪. 0, ‬‬

‫(‪U ( x)  sin‬‬

‫مبرهنة القيم الوسيطية تعني مبيانيا أن المستقيم‬
‫‪ ( D) : y  k‬يقطع ‪ (C ) f‬في نقطة أو أكثر‬
‫أفصولها ينتمي الى ‪  a, b‬في المثال السابق‬
‫( ‪ c1‬و ‪ c2‬و ‪) c3‬‬

‫‪ f‬دالة جدرية متصلة ‪ 0, ‬و ‪ f (0, )  1, ‬و ‪g‬‬

‫متصلة على ‪1, ‬‬

‫ادن ‪ gof‬متصلة على المجال ‪ 0, ‬أي ‪ U‬متصلة على ‪. 0, ‬‬
‫❹ صورة مجال بدالة متصلة‬

‫إدا كان ‪ f (a)  f (b)  0‬فان ‪c   a, b : f (c)  0‬‬

‫إدا كانت ‪ f‬رتيبة قطعا‬
‫فان ‪ c‬يكون وحيدا و‬
‫لتأطيره نستعمل طريقة‬

‫التفرع الثنائي‬

‫‪Page 2‬‬

‫‪ka.chaouki@gmail.com‬‬

‫❺ الدالة العكسية‬

‫‪ f‬متصلة و رتيبة قطعاعلى مجال ‪I‬‬

‫‪ f‬تقابل من ‪ I‬الى ) ‪f ( I‬‬
‫المعادلة‬

‫‪f ( x)  0‬‬
‫‪‬‬

‫‪f‬‬

‫تقبل دالة عكسية من‬

‫) ‪ f ( I‬الى ‪. I‬‬
‫‪‬‬

‫‪ f 1‬متصلة و لها نفس منحى‬
‫تغيرات‬

‫‪‬‬

‫‪f‬‬

‫تقبل حال وحيدا في‬

‫‪ a, b ‬‬

‫‪.‬‬

‫) ‪ (C f‬و ) ‪ (C f 1‬متماثالن‬

‫بالنسبة للمستقيم ‪y  x‬‬

‫‪Page 3‬‬

‫‪ka.chaouki@gmail.com‬‬

ka.chaouki@gmail.com

Page 4