Corr TD2 Ex4 Ex5 Ex 6 ELECTRICITE

UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
FACULTE DES SCIENCES BEN M’SIK
Département de physique

Année Universitaire 2019/20
TD du Module Physique 3
SMI, SMA
Electricité 1

Correction de la série N° 2
Exercice 4
1°- Choisissant un point M sur l’axe XX’ tel que OM=x.
X’

O

(-d)

(+d)

X

x


i

A(-q)

M

B(+q)

En appliquant le principe de superposition du potentiel électrique 𝑉(𝑀) = ∑𝑖=𝑛
𝑖=1 𝑉𝑖 (𝑀)
(−𝑞)
(+𝑞)
𝑉(𝑀) = 𝑉𝐴 (𝑀) + 𝑉𝐵 (𝑀) =
+
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 4𝜋𝜀0 |𝐵𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
4𝜋𝜀0 |𝐴𝑀
On a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 = 𝑥𝑖 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = (𝑥 + 𝑑)𝑖 ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝑀 = (𝑥 − 𝑑)𝑖 d’où
𝑞
−1
1
𝑉(𝑀) =
(
+
)
4𝜋𝜀0 |𝑥 + 𝑑| |𝑥 − 𝑑|
Maintenant, il faut étudier les différents cas suivant la position du point M sur l’axe XX’
𝑞
2𝑑
 x>d : |𝑥 + 𝑑| = 𝑥 + 𝑑 ; |𝑥 − 𝑑| = 𝑥 − 𝑑 ⟹ 𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 (𝑥 2 −𝑑2 )
0

 0<x<d : |𝑥 + 𝑑| = 𝑥 + 𝑑 ; |𝑥 − 𝑑| = −(𝑥 − 𝑑) = 𝑑 − 𝑥

⟹

 -d<x<0 : |𝑥 + 𝑑| = 𝑥 + 𝑑 ; |𝑥 − 𝑑| = −(𝑥 − 𝑑) = 𝑑 − 𝑥
 x<-d : |𝑥 + 𝑑| = −(𝑥 + 𝑑) ; |𝑥 − 𝑑| = −(𝑥 − 𝑑)

⟹

⟹

𝑞

−2𝑥

𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 (𝑥 2 −𝑑2 )
0

𝑞

−2𝑥

𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 (𝑥 2 −𝑑2 )
𝑞

−2𝑑

0

𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 (𝑥 2 −𝑑2 )
0

2°- L’allure de la courbe représentative de V(x) est donnée par
V(x)

-d

0
+d

Exercice 5
Choisissant un point M sur l’axe ZZ’ tel que OM=z.
Un point P sur la circonférence contient une quantité de
charge élémentaire
dq=λ.dl
où dl est un élément de longueur qu’on va exprimer en
fonction de R et φ (système de coordonnées cylindrique).
M. Maher

x

Z
M

X

0
φ

Y
R

P

Correction de la série N° 2 - 1/3

𝑑𝑙 = 𝑅. 𝑑𝜑
Cette charge élémentaire va créer un potentiel électrostatique élémentaire
1 𝑑𝑞
1 𝜆.𝑅.𝑑𝜑
1 𝜆.𝑅.𝑑𝜑
𝑑𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 𝑃𝑀 = 4𝜋𝜀 𝑃𝑀 = 4𝜋𝜀 √𝑅2 2
0

0

0

+𝑧

En exprimant PM en fonction de z et R
𝑃𝑀 = √𝑅 2 + 𝑧 2
Finalement le potentiel créé par tous les points de la circonférence est donné par
2𝜋 𝜆.𝑅.𝑑𝜑
2𝜋
1
1
𝜆.𝑅
𝜆.𝑅
𝑉(𝑀) = 4𝜋𝜀 ∫0 √𝑅2 2 = 4𝜋𝜀 √𝑅2 2 ∫0 𝑑𝜑 = √𝑅2 2
+𝑧

0

+𝑧

0

2𝜀0

+𝑧

Exercice 6
1°- La charge de l’espace entre les deux sphères est donnée par
𝑄 = ∭ 𝜌𝑑𝑣

Z
M

En utilisant les coordonnées sphériques
𝑑𝑣 = 𝑟 2 . sin 𝜃. 𝑑𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝜑
𝑅
𝜋
2𝜋
𝑄 = 𝜌 ∫𝑅 2 𝑟 2 𝑑𝑟 ∫0 sin 𝜃 𝑑𝜃 ∫0 𝑑𝜑
1
𝑟3

𝑄 = 𝜌[3]

𝑅2

𝐸⃗ (𝑀)

0

𝑒𝑟
⃗⃗⃗

Y

X

[− cos 𝜃]𝜋0 [𝜑]2𝜋
0

𝑅1
(𝑅23
3

4𝜋

ρ>0

𝑄=𝜌
− 𝑅13 )
C’est une charge positive

2°- En choisissant un point M de l’espace tel que OM=r, les charges entre les deux sphères
vont créer un champ électrostatique dont la résultante est portée par la droite OM et dont la
ligne de champ est dirigée vers l’infini suivant le vecteur ⃗⃗⃗
𝑒𝑟 (voir l’exercice 1 de la série
N°2).
𝐸⃗ (𝑀) = 𝐸⃗ (𝑟) = 𝐸(𝑟)𝑒⃗⃗⃗𝑟
En appliquant le théorème de Gauss
⃗⃗⃗⃗ = ∑ 𝑞𝑖𝑛𝑡
∅ = ∯ 𝐸⃗ (𝑀)𝑑𝑆
𝑆𝑔

𝜀0

on a vu précédemment que le flux du champ électrique à travers une surface fermée de Gauss
Sg sphérique de rayon r est donné par
∅ = 4𝜋𝑟 2 𝐸(𝑟)
Pour déterminer la charge à l’intérieur de cette surface Sg , il faut distinguer les différents cas
𝑄

1

 r>R2 : ∑ 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 ⟹ 4𝜋𝑟 2 𝐸(𝑟) = 𝜀 ⟹ 𝐸(𝑟) = 4𝜋𝜀
0

𝑄
0

𝑟2

𝜌 𝑅23 −𝑅13

= 3𝜀

0

4

𝑄′

3

𝜀0

′
 R1<r<R2 : ∑ 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 𝑄 = 𝜌 𝜋(𝑟 3 − 𝑅13 ) ⟹ 4𝜋𝑟 2 𝐸(𝑟) =

𝑟2

⟹ 𝐸(𝑟) =

𝜌 𝑟 3 −𝑅13
3𝜀0

𝑟2

⃗⃗⃗⃗ = 0 ⟹ E(r)=0
 r<R1 : ∑ 𝑞𝑖𝑛𝑡 = 0 ⟹ ∅ = ∯𝑆 𝐸⃗ (𝑀)𝑑𝑆
𝑔

3°- On va déduire le potentiel électrostatique à partir du champ électrique par la relation
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉(𝑀)
𝐸⃗ (𝑀) = −𝑔𝑟𝑎𝑑
M. Maher

Correction de la série N° 2 - 2/3

Puisque le champ ne dépend que de la variable r alors on a
𝑑𝑉(𝑟)
𝐸(𝑟) = − 𝑑𝑟 ⟹ −𝑑𝑉(𝑟) = 𝐸(𝑟)𝑑𝑟 ⟹ ∫ −𝑑𝑉(𝑟) = ∫ 𝐸(𝑟)𝑑𝑟
Connaissant le potentiel à l’infini 𝑉(∞) = 0 𝑉, on va l’utiliser pour déterminer le potentiel
V(M) en un point M de l’espace à l’extérieur de la sphère de rayon R2.
Par conséquent, il faut distinguer les différents cas
𝑉(∞)

∞ 𝑑𝑟

𝜌

 r>R2 : ∫𝑉(𝑟) −𝑑𝑉 = 3𝜀 (𝑅23 − 𝑅13 ) ∫𝑟
0

𝑟2

𝜌

1

1

⟹ 𝑉(𝑟) − 𝑉(∞) = 3𝜀 (𝑅23 − 𝑅13 ) (𝑟 − ∞)
0

𝜌 𝑅23 −𝑅13

⟹ 𝑉(𝑟) = 3𝜀

𝑟
0
𝜌 𝑅23 −𝑅13

et 𝑉(𝑅2 ) = 3𝜀
𝑉(𝑅 )

𝑅2

0

𝜌

𝑅

𝑅 𝑑𝑟

 R1<r<R2 : ∫𝑉(𝑟)2 −𝑑𝑉 = 3𝜀 ⌊∫𝑟 2 𝑟𝑑𝑟 − 𝑅13 ∫𝑟 2 𝑟 2 ⌋
0

𝜌

𝑅2

𝑟2

𝑅2

2
𝑅13

𝑅22

2
𝑅13

⟹ 𝑉(𝑟) − 𝑉(𝑅2 ) = 3𝜀 ( 22 −
0

𝜌

⟹ 𝑉(𝑟) = 𝑉(𝑅2 ) + 3𝜀 ( 22 + 𝑅 −
0

𝜌

et 𝑉(𝑅1 ) = 𝑉(𝑅2 ) + 3𝜀 ( 2 + 𝑅 −
0

2

𝑅3

𝑅13

2
𝑟2

𝑟
𝑅13

+ 𝑅1 −
−

2
3𝑅12
2

𝑟

)
)

)

𝑉(𝑅 )

 r<R1 : ∫𝑉(𝑟)1 −𝑑𝑉 = 0 ⟹V(r)=V(R1)

M. Maher

Correction de la série N° 2 - 3/3