Exo corrigé etude de fct
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اﻹﺗAOل و اﻹAqtJق
s:Ðﻌ dyأﻣﺠAوM
ﻣAدة :اﻟrﻳ‹AyRA
اﻟdوCة اﻷوﻟY
𝑒𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ
اﻟTns
𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 2
اﻟCdا2019 − 2020 :TyF
ﺗrmﻳﻦ ﻣOﺤﺢ
︂√ ﺑ Amﻳlﻲ :
ﻟktﻦ 𝑓 اﻟdاﻟ Tاﻟﻌdدﻳ Tﻟtmlﻐ ryاﻟﺤqyqﻲ 𝑥 اﻟmﻌrﻓT
𝑥
𝑥−1
𝑓 (𝑥) = −𝑥 +
ℎ
وﻟkyﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻓﻲ ﻣﻌlﻢ ﻣtﻌAﻣ dﻣ\nmﻢ.
(1ﺣdد ﻣﺠwmﻋ Tﺗﻌrﻳﻒ اﻟdاﻟ.𝐷𝑓 T
(2أﺣsﺐ ﻧAhﻳ Tاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻋ Ylاﻟymyﻦ ﻓﻲ اﻟ› 1 TWqnﻢ أول اﻟytnﺠT
ﻫ.AyFdn
∞. 𝑥→−
(3أﺣsﺐ اﻟAhnﻳytﻦ )𝑥( 𝑓 limو )𝑥( 𝑓 lim
∞𝑥→+
𝑢𝑜
𝑐
𝑚
𝑎𝑗
(4أد xCﻗAﺑ TylاAqtJق اﻟdاﻟ 𝑓 Tﻋ Ylاﻟ CAsyﻓﻲ اﻟ› 0 TWqnﻢ أول اﻟytnﺠT
ﻫ.AyFdn
(5أ -أﺣsﺐ )𝑥( 𝑓 ′ﻣ TqtKاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻟkﻞ 𝑥 ﻣﻦ . 𝐷𝑓 ′
(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′(𝑥) < 0
ب -ﺗﺤqﻖ ﻣﻦ أن :
—R -ﻊ ﺟdول ﺗﻐryا‹ اﻟdاﻟ.𝑓 T
(6أ -ﺑyﻦ أن ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻳbqﻞ ﻣCAqﺑ AﻣAﺋﻼ ﺑﺠwا +∞ Cو ∞−
ﻣﻌAدﻟtﻪ .𝑦 = −𝑥 + 1
ب -اﻧYKء ) 𝑓𝐶(( .ﻧﺄﺧ@ ))𝑓 (1, 6 ≈ 0
𝑓.
𝐴
𝑜𝑟
𝑃
واﻟlﻪ وﻟﻲ اﻟwtﻓyﻖ
2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyFاCdاﻟ
قAqtJل و اﻹAOاﻹﺗ
MوA أﻣﺠdyﻌs:Ð
‹AyRAﻳr اﻟ:دةAﻣ
Yة اﻷوﻟCوdاﻟ
Tnsاﻟ
𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒
حrtqﺢ ﻣyﺤOﺗ
: ﻲl ﻳAm ﺑTﻓrﻌmﻲ 𝑥 اﻟqyq اﻟﺤryﻐtml ﻟTدﻳd اﻟﻌTاﻟdﻦ 𝑓 اﻟktﻟ
√︂
𝑓 (𝑥) = −𝑥 +
𝑥
𝑥−1
.\ﻢnm ﻣdﻣAﻌtﻢ ﻣl 𝑓 ﻓﻲ ﻣﻌTاﻟd اﻟYnﺤnﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣkyوﻟ
. Tاﻟdﻳﻒ اﻟr ﺗﻌTﻋwmد ﻣﺠd( ﺣ1
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ R/
𝑥
≥ 0 𝑒𝑡 𝑥 − 1 ̸= 0}
𝑥−1
𝑥
:
0
−
0
𝑥−1
−
−
+
0
𝑥
+
+
0
−
+
𝑗𝑎
𝑥−1
+
ℎ
𝑥
+∞
1
𝑜𝑢
𝑐
−∞
ةCAJول إdﻦ ﺑﺠyﻌtsﻧ
𝑥−1
𝐷𝑓 =] − ∞; 0]∪]1; +∞[
𝑚
: ﻟﻲAtﻟAوﺑ
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +
𝑥→1+
𝑥→1+
𝑥
𝑥−1
𝑓.
𝐴
.AyFdn ﻫTﺠytn ›ﻢ أول اﻟ1 TWqnﻦ ﻓﻲ اﻟymy اﻟYl 𝑓 ﻋTاﻟd اﻟTﻳAhﺐ ﻧs( أﺣ2
√︂
= +∞
= +∞)
𝑥−1
lim 𝑓 (𝑥) = +∞ أنAmﺑ
𝑥→1+
: ﻲFdnﺗﺄوﻳﻞ ﻫ
.𝑥=1
. 𝑥→−∞
lim 𝑓 (𝑥) وlim 𝑓 (𝑥) ﻦytﻳAhnﺐ اﻟs( أﺣ3
𝑥→+∞
𝑥→1+
𝑃
𝑟𝑜
ﻪtدﻟAﻲ) ﻣﻌFأC( ديwmب ﻋCAqﻞ ﻣbqﻓﺈن ) 𝑓𝐶( ﻳ
√︂
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +
𝑥→−∞
𝑥−1
𝑥→−∞
√︂
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +
𝑥→+∞
√︃
𝑥
𝑥−1
𝑥→+∞
= lim −𝑥 +
1
1−
𝑥→−∞
√︃
𝑥
𝑥
(𝑐𝑎𝑟 lim
= lim −𝑥 +
1
1−
𝑥→+∞
1
𝑥
1
𝑥
= +∞
= −∞
.AyFdn ﻫTﺠytn ›ﻢ أول اﻟ0 TWqn ﻓﻲ اﻟCAsy اﻟYl 𝑓 ﻋTاﻟdق اﻟAqtJ اTylﺑA ﻗxC( أد4
lim
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (0)
𝑥→0−
𝑥−0
√︁
= lim −1 +
𝑥→0−
−𝑥 +
= lim
√︁
𝑥
𝑥−1
𝑥
√︂
= lim −1 −
−0
= lim
𝑥→0−
𝑥
𝑥−1
√
− 𝑥2
𝑥→0−
−𝑥 +
𝑥→0−
𝑥
𝑥2 (𝑥 − 1)
√︁
𝑥
𝑥−1
𝑥
𝑥→0−
= lim
𝑥→0−
√︃
= lim −1 −
√︁
1
𝑥2 − 𝑥
−𝑥
𝑥
+
𝑥
𝑥−1
𝑥
= −∞
) lim 𝑥2 − 𝑥 = 0+ (
√
𝑥→0−
) 𝑥 = − 𝑥2 < 𝑥 ﻓﺈن0 نAا ﻛÐ إ: T\(ﻣﻼﺣ
ديwm ﻋxAmﻒ ﻣOﻞ ﻧbq و ) 𝑓𝐶( ﻳ0 ﻓﻲCAsy اﻟYlق ﻋAqtJ ﻟﻺTlﺑA ﻗry 𝑓 ﻏTاﻟdﻟﻲ ﻓﺈن اﻟAtﻟAوﺑ
.Yl اﻷﻋwﺟﻪ ﻧﺤwﻣ
اﻹﺗAOل و اﻹAqtJق
s:Ðﻌ dyأﻣﺠAوM
ﻣAدة :اﻟrﻳ‹AyRA
اﻟdوCة اﻷوﻟY
اﻟTns
𝑒𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ
𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 2
اﻟCdا2019 − 2020 :TyF
(5أ -أﺣsﺐ )𝑥( 𝑓 ′ﻣ TqtKاﻟdاﻟT
ﻟkyﻦ 𝑥 ﻣﻦ ] − ∞; 0[∪]1; +∞[:
𝑓.
)︁′
−1
(𝑥−1)2
𝑥
𝑥−1
︁(
−1
︁√
︁√ 𝑓 (𝑥) = −1 +
︁√ = −1 +
= −1 +
.
𝑥
𝑥
𝑥
2 𝑥−1
2 𝑥−1
2(𝑥 − 1)2 . 𝑥−1
−1
وﺑAﻟAtﻟﻲ :
ب-
𝑥
𝑥−1
︁√
𝑓 ′ (𝑥) = −1 +
′
∀𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[ :
2(𝑥 − 1)2 .
(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′ (𝑥) < 0
ﺗﺤqﻖ ﻣﻦ أن :
−1
︁√
𝑓 ′ (𝑥) = −1 +
ﻟkﻞ 𝑥 ﻣﻦ [∞ ] − ∞; 0[∪]1; +ﻟdﻳ: An
𝑥
2(𝑥 − 1)2 . 𝑥−1
︂√
−1
𝑥
2
︁√
وﺑ Amأن −1 < 0ﻓﺈن :
2(𝑥 − 1) .إÐن < 0
>0
𝑥
𝑥−1
2(𝑥 − 1)2 .
𝑥−1
ℎ
<0
−1
𝑢𝑜
𝑐
𝑥
𝑥−1
︁√
𝑓 ′ (𝑥) = −1 +
2(𝑥 − 1)2 .
𝑓.
—R -ﻊ ﺟdول ﺗﻐryا‹ اﻟdاﻟT
(∀𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[) : 𝑓 (𝑥) < 0ﻓﺈن اﻟdاﻟ 𝑓 TﺗAnﻗ TyOﻗWﻌ AﻋYl
ﺑ Amأن :
اﻟmﺠAﻟyﻦ [ ] − ∞; 0و [∞. ]1; +
′
𝑎𝑗
∞+
𝑓.
𝐴
∞+
0
𝑚
∞+
1
∞−
𝑥
𝑉 𝑎𝑟.
𝑓 𝑒𝑑
𝑜𝑟
∞−
0
𝑃
(6أ -ﺑyﻦ أن ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻳbqﻞ ﻣCAqﺑ AﻣAﺋﻼ ﺑﺠwا +∞ Cو ∞ −ﻣﻌAدﻟtﻪ
∞. 𝑥→−
ﻣﻦ ﺧﻼل اﻷFﺌ TlاﻟAsﺑ Tqوﺟdﻧ Aأن ∞ lim 𝑓 (𝑥) = −و ∞lim 𝑓 (𝑥) = +
∞𝑥→+
ﻟﻺﺟAﺑ Tﻋﻦ ﻫ@ا
أو ﻧybﻦ أن :
.𝑦 = −𝑥 + 1
lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥 + 1) = 0
اﻟsﺆال ﻳkmﻦ أن ﻧybﻦ أن :
⎧
)𝑥( 𝑓 ⎨ lim
= −1
∞→𝑥
𝑥
⎩ lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥) = 1
∞→𝑥
∞→𝑥
ﺑﺠwا: +∞ C
−1
𝑥
𝑥−1
︂√
+ 𝑥 − 1 = lim
∞𝑥→+
𝑥
𝑥−1
︂√
lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥 + 1) = lim −𝑥 +
∞𝑥→+
∞𝑥→+
︃√
1
= lim
−1=1−1= 0
∞𝑥→+
1 − 𝑥1
إÐن ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻳbqﻞ ﻣCAqﺑ AﻣAﺋﻼ ﺑﺠwا +∞ CﻣﻌAدﻟtﻪ
⋆
.𝑦 = −𝑥 + 1
2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyFاCdاﻟ
قAqtJل و اﻹAOاﻹﺗ
MوA أﻣﺠdyﻌs:Ð
‹AyRAﻳr اﻟ:دةAﻣ
Yة اﻷوﻟCوdاﻟ
Tnsاﻟ
𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒
) TyﻧA“ اﻟTqﻳrWﻒ اﻟyZwح ﺗrtq (ﻧ: +∞ Cاwﺑﺠ
lim
𝑥→−∞
𝑥
= lim −1 −
𝑥→−∞
𝑥
𝑥(𝑥 − 1)
√︁
= lim −1 +
𝑥→−∞
√
− 𝑥2
= lim −1 −
𝑥
√︂
𝑥→−∞
𝑥2 (𝑥 − 1)
= −1
√︂
lim 𝑓 (𝑥)−(−1)𝑥 = lim −𝑥+
𝑥→−∞
.𝑦 = −𝑥 + 1
𝑥
𝑥−1
√︂
+𝑥 = lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑥−1
√︃
= lim
𝑥→−∞
1
1−
1
𝑥
= 1
ﻪtدﻟA ﻣﻌ−∞ Cاwﺋﻼ ﺑﺠA ﻣAﺑCAqﻞ ﻣbq 𝑓 ﻳTاﻟd اﻟYnﺤnﻟﻲ ﻣAtﻟAوﺑ
𝑚
𝑗𝑎
𝑜𝑢
𝑐
ℎ
)𝑓 (1, 6) ≈ 0) @ (ﻧﺄﺧ.(𝐶𝑓 ) ءYK أﻧ-ب
𝑓.
𝐴
𝑥→−∞
𝑥
𝑥−1
𝑟𝑜
⋆
= lim
𝑥→−∞
√︃
1
𝑥
𝑥−1
𝑃
⋆
𝑓 (𝑥)
−𝑥 +
√︁
ﻢkﺋAﻟﺢ دﻋA} ﻣﻦAﻧwsnﻻ ﺗ
s:Ðﻌ dyأﻣﺠAوM
ﻣAدة :اﻟrﻳ‹AyRA
اﻟdوCة اﻷوﻟY
𝑒𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ
اﻟTns
𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 2
اﻟCdا2019 − 2020 :TyF
ﺗrmﻳﻦ ﻣOﺤﺢ
︂√ ﺑ Amﻳlﻲ :
ﻟktﻦ 𝑓 اﻟdاﻟ Tاﻟﻌdدﻳ Tﻟtmlﻐ ryاﻟﺤqyqﻲ 𝑥 اﻟmﻌrﻓT
𝑥
𝑥−1
𝑓 (𝑥) = −𝑥 +
ℎ
وﻟkyﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻓﻲ ﻣﻌlﻢ ﻣtﻌAﻣ dﻣ\nmﻢ.
(1ﺣdد ﻣﺠwmﻋ Tﺗﻌrﻳﻒ اﻟdاﻟ.𝐷𝑓 T
(2أﺣsﺐ ﻧAhﻳ Tاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻋ Ylاﻟymyﻦ ﻓﻲ اﻟ› 1 TWqnﻢ أول اﻟytnﺠT
ﻫ.AyFdn
∞. 𝑥→−
(3أﺣsﺐ اﻟAhnﻳytﻦ )𝑥( 𝑓 limو )𝑥( 𝑓 lim
∞𝑥→+
𝑢𝑜
𝑐
𝑚
𝑎𝑗
(4أد xCﻗAﺑ TylاAqtJق اﻟdاﻟ 𝑓 Tﻋ Ylاﻟ CAsyﻓﻲ اﻟ› 0 TWqnﻢ أول اﻟytnﺠT
ﻫ.AyFdn
(5أ -أﺣsﺐ )𝑥( 𝑓 ′ﻣ TqtKاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻟkﻞ 𝑥 ﻣﻦ . 𝐷𝑓 ′
(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′(𝑥) < 0
ب -ﺗﺤqﻖ ﻣﻦ أن :
—R -ﻊ ﺟdول ﺗﻐryا‹ اﻟdاﻟ.𝑓 T
(6أ -ﺑyﻦ أن ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻳbqﻞ ﻣCAqﺑ AﻣAﺋﻼ ﺑﺠwا +∞ Cو ∞−
ﻣﻌAدﻟtﻪ .𝑦 = −𝑥 + 1
ب -اﻧYKء ) 𝑓𝐶(( .ﻧﺄﺧ@ ))𝑓 (1, 6 ≈ 0
𝑓.
𝐴
𝑜𝑟
𝑃
واﻟlﻪ وﻟﻲ اﻟwtﻓyﻖ
2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyFاCdاﻟ
قAqtJل و اﻹAOاﻹﺗ
MوA أﻣﺠdyﻌs:Ð
‹AyRAﻳr اﻟ:دةAﻣ
Yة اﻷوﻟCوdاﻟ
Tnsاﻟ
𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒
حrtqﺢ ﻣyﺤOﺗ
: ﻲl ﻳAm ﺑTﻓrﻌmﻲ 𝑥 اﻟqyq اﻟﺤryﻐtml ﻟTدﻳd اﻟﻌTاﻟdﻦ 𝑓 اﻟktﻟ
√︂
𝑓 (𝑥) = −𝑥 +
𝑥
𝑥−1
.\ﻢnm ﻣdﻣAﻌtﻢ ﻣl 𝑓 ﻓﻲ ﻣﻌTاﻟd اﻟYnﺤnﻦ ) 𝑓𝐶( ﻣkyوﻟ
. Tاﻟdﻳﻒ اﻟr ﺗﻌTﻋwmد ﻣﺠd( ﺣ1
𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ R/
𝑥
≥ 0 𝑒𝑡 𝑥 − 1 ̸= 0}
𝑥−1
𝑥
:
0
−
0
𝑥−1
−
−
+
0
𝑥
+
+
0
−
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𝑗𝑎
𝑥−1
+
ℎ
𝑥
+∞
1
𝑜𝑢
𝑐
−∞
ةCAJول إdﻦ ﺑﺠyﻌtsﻧ
𝑥−1
𝐷𝑓 =] − ∞; 0]∪]1; +∞[
𝑚
: ﻟﻲAtﻟAوﺑ
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +
𝑥→1+
𝑥→1+
𝑥
𝑥−1
𝑓.
𝐴
.AyFdn ﻫTﺠytn ›ﻢ أول اﻟ1 TWqnﻦ ﻓﻲ اﻟymy اﻟYl 𝑓 ﻋTاﻟd اﻟTﻳAhﺐ ﻧs( أﺣ2
√︂
= +∞
= +∞)
𝑥−1
lim 𝑓 (𝑥) = +∞ أنAmﺑ
𝑥→1+
: ﻲFdnﺗﺄوﻳﻞ ﻫ
.𝑥=1
. 𝑥→−∞
lim 𝑓 (𝑥) وlim 𝑓 (𝑥) ﻦytﻳAhnﺐ اﻟs( أﺣ3
𝑥→+∞
𝑥→1+
𝑃
𝑟𝑜
ﻪtدﻟAﻲ) ﻣﻌFأC( ديwmب ﻋCAqﻞ ﻣbqﻓﺈن ) 𝑓𝐶( ﻳ
√︂
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +
𝑥→−∞
𝑥−1
𝑥→−∞
√︂
lim 𝑓 (𝑥) = lim −𝑥 +
𝑥→+∞
√︃
𝑥
𝑥−1
𝑥→+∞
= lim −𝑥 +
1
1−
𝑥→−∞
√︃
𝑥
𝑥
(𝑐𝑎𝑟 lim
= lim −𝑥 +
1
1−
𝑥→+∞
1
𝑥
1
𝑥
= +∞
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.AyFdn ﻫTﺠytn ›ﻢ أول اﻟ0 TWqn ﻓﻲ اﻟCAsy اﻟYl 𝑓 ﻋTاﻟdق اﻟAqtJ اTylﺑA ﻗxC( أد4
lim
𝑓 (𝑥) − 𝑓 (0)
𝑥→0−
𝑥−0
√︁
= lim −1 +
𝑥→0−
−𝑥 +
= lim
√︁
𝑥
𝑥−1
𝑥
√︂
= lim −1 −
−0
= lim
𝑥→0−
𝑥
𝑥−1
√
− 𝑥2
𝑥→0−
−𝑥 +
𝑥→0−
𝑥
𝑥2 (𝑥 − 1)
√︁
𝑥
𝑥−1
𝑥
𝑥→0−
= lim
𝑥→0−
√︃
= lim −1 −
√︁
1
𝑥2 − 𝑥
−𝑥
𝑥
+
𝑥
𝑥−1
𝑥
= −∞
) lim 𝑥2 − 𝑥 = 0+ (
√
𝑥→0−
) 𝑥 = − 𝑥2 < 𝑥 ﻓﺈن0 نAا ﻛÐ إ: T\(ﻣﻼﺣ
ديwm ﻋxAmﻒ ﻣOﻞ ﻧbq و ) 𝑓𝐶( ﻳ0 ﻓﻲCAsy اﻟYlق ﻋAqtJ ﻟﻺTlﺑA ﻗry 𝑓 ﻏTاﻟdﻟﻲ ﻓﺈن اﻟAtﻟAوﺑ
.Yl اﻷﻋwﺟﻪ ﻧﺤwﻣ
اﻹﺗAOل و اﻹAqtJق
s:Ðﻌ dyأﻣﺠAوM
ﻣAدة :اﻟrﻳ‹AyRA
اﻟdوCة اﻷوﻟY
اﻟTns
𝑒𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ
𝑇 𝑉𝑆 𝑡𝑒 𝐶 𝑃 𝑐𝑎𝑏 2
اﻟCdا2019 − 2020 :TyF
(5أ -أﺣsﺐ )𝑥( 𝑓 ′ﻣ TqtKاﻟdاﻟT
ﻟkyﻦ 𝑥 ﻣﻦ ] − ∞; 0[∪]1; +∞[:
𝑓.
)︁′
−1
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𝑥
𝑥−1
︁(
−1
︁√
︁√ 𝑓 (𝑥) = −1 +
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𝑥
𝑥
𝑥
2 𝑥−1
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ب-
𝑥
𝑥−1
︁√
𝑓 ′ (𝑥) = −1 +
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∀𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[ :
2(𝑥 − 1)2 .
(∀𝑥 ∈ 𝐷𝑓 − {0}) 𝑓 ′ (𝑥) < 0
ﺗﺤqﻖ ﻣﻦ أن :
−1
︁√
𝑓 ′ (𝑥) = −1 +
ﻟkﻞ 𝑥 ﻣﻦ [∞ ] − ∞; 0[∪]1; +ﻟdﻳ: An
𝑥
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︂√
−1
𝑥
2
︁√
وﺑ Amأن −1 < 0ﻓﺈن :
2(𝑥 − 1) .إÐن < 0
>0
𝑥
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ℎ
<0
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𝑢𝑜
𝑐
𝑥
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𝑓 ′ (𝑥) = −1 +
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𝑓.
—R -ﻊ ﺟdول ﺗﻐryا‹ اﻟdاﻟT
(∀𝑥 ∈] − ∞; 0[∪]1; +∞[) : 𝑓 (𝑥) < 0ﻓﺈن اﻟdاﻟ 𝑓 TﺗAnﻗ TyOﻗWﻌ AﻋYl
ﺑ Amأن :
اﻟmﺠAﻟyﻦ [ ] − ∞; 0و [∞. ]1; +
′
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𝐴
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0
𝑚
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𝑥
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𝑓 𝑒𝑑
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∞. 𝑥→−
ﻣﻦ ﺧﻼل اﻷFﺌ TlاﻟAsﺑ Tqوﺟdﻧ Aأن ∞ lim 𝑓 (𝑥) = −و ∞lim 𝑓 (𝑥) = +
∞𝑥→+
ﻟﻺﺟAﺑ Tﻋﻦ ﻫ@ا
أو ﻧybﻦ أن :
.𝑦 = −𝑥 + 1
lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥 + 1) = 0
اﻟsﺆال ﻳkmﻦ أن ﻧybﻦ أن :
⎧
)𝑥( 𝑓 ⎨ lim
= −1
∞→𝑥
𝑥
⎩ lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥) = 1
∞→𝑥
∞→𝑥
ﺑﺠwا: +∞ C
−1
𝑥
𝑥−1
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+ 𝑥 − 1 = lim
∞𝑥→+
𝑥
𝑥−1
︂√
lim 𝑓 (𝑥) − (−𝑥 + 1) = lim −𝑥 +
∞𝑥→+
∞𝑥→+
︃√
1
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∞𝑥→+
1 − 𝑥1
إÐن ﻣnﺤ Ynاﻟdاﻟ 𝑓 Tﻳbqﻞ ﻣCAqﺑ AﻣAﺋﻼ ﺑﺠwا +∞ CﻣﻌAدﻟtﻪ
⋆
.𝑦 = −𝑥 + 1
2 𝑏𝑎𝑐 𝑃 𝐶 𝑒𝑡 𝑆𝑉 𝑇
2019 − 2020 :TyFاCdاﻟ
قAqtJل و اﻹAOاﻹﺗ
MوA أﻣﺠdyﻌs:Ð
‹AyRAﻳr اﻟ:دةAﻣ
Yة اﻷوﻟCوdاﻟ
Tnsاﻟ
𝑃 𝑎𝑔𝑒 𝑓 𝑎𝑐𝑒𝑏𝑜𝑜𝑘 : 𝑀 𝑎𝑡ℎ𝑠 𝜖𝑛 𝑝𝑜𝑐ℎ𝑒
) TyﻧA“ اﻟTqﻳrWﻒ اﻟyZwح ﺗrtq (ﻧ: +∞ Cاwﺑﺠ
lim
𝑥→−∞
𝑥
= lim −1 −
𝑥→−∞
𝑥
𝑥(𝑥 − 1)
√︁
= lim −1 +
𝑥→−∞
√
− 𝑥2
= lim −1 −
𝑥
√︂
𝑥→−∞
𝑥2 (𝑥 − 1)
= −1
√︂
lim 𝑓 (𝑥)−(−1)𝑥 = lim −𝑥+
𝑥→−∞
.𝑦 = −𝑥 + 1
𝑥
𝑥−1
√︂
+𝑥 = lim
𝑥→−∞
𝑥
𝑥−1
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= lim
𝑥→−∞
1
1−
1
𝑥
= 1
ﻪtدﻟA ﻣﻌ−∞ Cاwﺋﻼ ﺑﺠA ﻣAﺑCAqﻞ ﻣbq 𝑓 ﻳTاﻟd اﻟYnﺤnﻟﻲ ﻣAtﻟAوﺑ
𝑚
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𝑜𝑢
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)𝑓 (1, 6) ≈ 0) @ (ﻧﺄﺧ.(𝐶𝑓 ) ءYK أﻧ-ب
𝑓.
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𝑥
𝑥−1
𝑟𝑜
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𝑥
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−𝑥 +
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