EXAMEN 2 ANALYSE S3 SANS SOLUTION

ANALYSE S3 EXAMEN DE REVISION 2
EXERCICE 1
Etudiez la nature des séries dont le terme général un est donné ci-dessous
(Aide: essayez de montrer que un est équivalente à une série de Riemann : n1 )
a)
b)
c)
d)

1
un = 1 cos
;
n
r
n
un = n
1
n+1
2

un = n 1 n
p
un = n2 a n (a > 0)

EXERCICE 2
Considérons l’intégrale double I suivante:
ZZ
1
I=
dxdy
1 + x2 + y 2
D

avec
D = (x; y) 2 R2 : x

x2 + y 2

1

1) Montrez que
D = D1 \ D2
avec
D1 = (x; y) 2 R2 : x2 + y 2
et
D2 =

(

(x; y) 2 R2 :

x

1
2

1

2

+ y2

)

1

2) Représentez géométriquement l’ensemble D
3) En utilisant les coordonnées polaires calculez l’intégrale
ZZ
1
I=
dxdy
(1 + x2 + y 2 )2
D

1

EXERCICE 3
Calculez le volume de l’ellipsoïde d’équation:
x2 +

1 2 3 2
y + z + xz
2
4

1

EXERCICE 4
!
Calculer le ‡ux du rotationnel du champ vectoriel V dé…ni par
!
V
: R 3 ! R3
!
(x; y; z) ! V (x; y; z) = x2 ; y 2 ; z 2
à travers le cône S + d’équation z 2 = x2 + y 2 ; z 2 [0; 3]

2