PDF EXAMEN REVISION 5 ANALYSE 3

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ANALYSE S3
EXAMEN DE REVISION 5
EXERCICE 1 (Concours National)
!

Soit V le champ de vecteurs
!

V : R 3 ! R3
dé…ni par:

!

V (x; y; z) = (2x;

y;

z)

!

!

!

!

1. Calculer la divergence de V :Est ce que V est la rotationnel d’un
champ de vecteurs R3 :
2. Calculer le rotationnel de V :Est ce que V est un champ de gradient, si oui, calculer son
potentiel.
3. Soit le cercle d’équations x2 + y 2 = 1; z = 2 orienté dans le sens
!

antihoraire par rapport au plan xOy. Quelle est la circulation de V le long
de ?
4. On note D le disque de bord et S la surface conique de sommet
O et de bord :
P
- Calculer le volume de
= D [ S:
!
P
- Calculer le ‡ux sortant de V à travers la suface fermée
:
5. On oriente D de telle sorte que son vecteur normal soit dirigé vers
!

le haut. Calculer le ‡ux de V à travers
D:
!
6. En déduire le ‡ux de V sortant à travers la suface S:
Exercice 2 (Concours National)
Calculer l’intégrale
ZZ
x2
I=
2 (x y) dxdy ou D = (x; y) 2 R2 : x 0; y 0 et
+ y2
4
D

1. En utilisant les coordonnées cartésiennes.
2. En utilisant les coordonnées polaires.

1 :

2
Exercice 3
Considérons les ensembles

; S; S + et S suivants:

=

(x; y; z) 2 R3 :

x2 y 2
+
+ z2
4
9

S=

(x; y; z) 2 R3 :

x2 y 2
+
+ z2 = 1
4
9

S+ =

(x; y; z) 2 R3 :

1

x2 y 2
+
+ z 2 = 1; z > 0
4
9

x2 y 2
+
+ z 2 = 1; z < 0
4
9
!
Considérons le champ vectoiel V : R3 ! R3 dé…ni par
!
V (x; y; z) = x2 ; y 2 ; z 2
S =

(x; y; z) 2 R3 :

1) Ecrire S + et S sous la forme
S + = f(x; y; z) : (x; y) 2 D; z = f (x; yg
S = f(x; y; z) : (x; y) 2 D; z = f (x; yg
2) En utlisant 1) Trouvez une paramétrisation de S + et de S
!
3) Calculez le ‡ux de V à travers la surface S + et à travers la surface
S : L’orientation de S + et S étant la normale sortante
!
4) En utilisant 3), calculez le ‡ux de V à travers la surface S
!
5) Calculez le ‡ux de V à travers la surface S en utilisant la formule de
Gauss Ostrogradski
Exercice 4
1) Etudiez la convergence absolue et la convergence de la série de terme
général un suivante:
1
un = ( 1)n arctg
n

1
n

2) Etudiez suivant les valeurs de a; la convergence absolue et la convergence de la série de terme général vn suivante:
vn = sin

n+

a
n