EXAMEN 3 ANALYSE 3 SANS SOLUTION

EXAMEN 3 DE REVISION ANALYSE S3
EXERCICE 1 (CONCOURS NATIONAL 2018-2019
Dans l’espace R3 considérons
D1 = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2

1; z = 1

D2 = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2

4; z = 2

S = (x; y; z) 2 R3 : x2 + y 2

z2; 1

z

2

!
et soit V le champ vectoriel dé…ni par
!
V (x; y; z) = (y; x; 2z)
1) Représentez graphiquement = D1 [ D2 [ S
2) Calculez le volume de l’ensemble
!
!
3) Calculez la divergence de V : Est ce que V est le rotationnel d’un autre
champ de vecteurs?
!
4) En utilisant la formule d’Ostrogradski, calculez le ‡ux de V à travers
surface = @ ; entourant ;
5) On oriente D1 de sorte que son vecteur normal soit dirigé vers le bas.
!
Calculez le ‡ux de V à travers la surface de D1
6) On oriente D2 de sorte que son vecteur normal soit dirigé vers le haut.
!
Calculez le ‡ux de V à travers la surface de D2
!
7) Déduire le ‡ux de V à travers la surface de S
!
!
! !
8) Considérons le champ vectoriel W dé…ni par rot(W ) = 2 V . En
!
utilisant la formule de Stokes, Calculez la circulation de W le long du cercle
orienté @D2
EXERCICE 2
P Etudiez la nature (convergentes ou divergentes) des séries numériques
un suivantes
a)
X
X
un =
1 cos( )
n
b)
s
X
X
1
un =
cosh
1
n
1

c)
X

un =

X

n
n+1

n2

d) Etudiez suivant
les valeurs des constantes réelles a et b la nature de la
P
série numérique
un suivante:
X

un =

X

1

en

a

b
n

2

a 2 R; b 2 R