Cardinal quantitatif en 2007 (Titre original Mes cardinaux.)

Mes cardinaux.

1 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

Pensez à lire la Charte avant de poster !

[ Le forum | Le serveur d'exercices | Apprendre Latex en ligne | Le livre d'or | Le formulaire | Collaborateurs | Mathématiciens | Visiteurs | Sommaire ]

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
144 personne(s) sur le
site en ce moment

Bienvenu(e)! Identification Créer un nouveau profil Localiser les utilisateurs Nouveaux messages non lus
» Sauter vers le forum ... Forums > Topologie > Discussion
Recherche avancée

Inscription
Désinscription

Mes cardinaux.

Actuellement 16057
abonnés
Qu'est-ce que c'est ?

Envoyé par Utilisateur anonyme
Utilisateur anonyme
Mes cardinaux.
il y a dix années

Titre initial : Ma nouvelle version de mes cardinaux du 11 novembre 2007,
avec retraits des textes inutiles,
avec ajouts de pages d'explication,
avec une proposition générale démontrée
et la correction de quelques coquilles mathématiques.
E. Cartan

Mode d'emploi

Elle doit normalement etre plus compréhensible.
Il est tout à fait possible que des erreurs m'aient encore échappé,
dans ce ca n'hésitez pas à me les signaler
Cf. pièce jointe

Théorème de
Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques

Taper le mot à
rechercher

A partir de la version du 02 septembre 2007 de mes cardinaux et de la version brouillonne et inachevée
de la proposition générale du 12 septembre 2007 :
J'ai en une journée réalisé cette version :

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger

Adresse Mail:

[attachment 11409
cardinauxnonstandardspournombresdepartiesborneesdeRnpourlemomentversiondu11novembre2007.pdf]
Tout cela pour dire que ça n'a pas entravé mon travail pour mon mémoire.
A vrai dire pour mon mémoire je dois faire une synthèse sur un sujet demandé à partir d'un livre et d'un
document,
et elle doit respecter un certain quota de pages.
Donc j'ai fait une sélection des théorèmes et sections qui me paraissent être les plus fondamentaux et les
plus pertinents pour mon mémoire, et éliminer le reste, afin de respecter le quotas de pages.
Malheureusement je pense que ma sélection n'est pas assez drastique,
cependant j'ai la possibilité de ne pas démontrer certains théorèmes ou des parties d'entre eux.
J'attends l'approbation ou non de mon prof pour mes choix.
[[b]Prière de s'en tenir à des commentaires exclusivement d'ordre mathématiques ou rédactionnels.[/b]
Merci. Bruno]

Faites connaître LesMathematiques.net à un
ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum
Nous contacter

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page

Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - cardinaux (non standards) pour nombres de parties bornees de R^n, pour le moment
(version du 11 novembre 2007).pdf (200.2 KB)
boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

une page au hasard page 7 :"il faut donc dans un second temps les subdiviser en leurs composantes
connexes qui par définition sont simplement connex", il est bien connu que tout connexe est simplement
connexe ...
Mas Oyama
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 67

Autre exemple frappant :
"Dans la remarque 1.5 j'explique l'hypothèse 1.7 (...) L'hypothese 1.7 va dans le sens de la remarque 1.5.

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

2 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

J'aurai besoin de tels intérieurs et de tels adherences par la suite.
On sait qu'il en existe, mais il y en a qui sont autrement d'où la necessite
de se limiter à cette hypothese.
Désormais toute la suite verifie l'hypothese 1.7."
Outre l'intro qui est franchement énorme dans le genre serpent qui se mord la queue..
Alors on se demande quelle est donc cette mystérieuse hypothèse 1.7 qui permet de régler le problème
des "adhérences et intérieurs qui sont autrement", et franchement on est pas déçu :
"Hypothese 1.7 (jeu d'ouverts (resp.de fermés purs ,de dimension n)
[En suspend : (Remarque : J'ai parlè de tels ouverts ou fermes dans la décomposition d'une partie de en
termes moins techniques dans l'introduction de ce chapitre)]
Soient
inclu dans
:
a un sens.
inclu dans

avec

inclu dans

tels que l'intérieur de
dans
est une variété sans bord, de dimension i (ouvert pur, de
dimension i)
et tels que la fermeture de
dans
est une variété de bord sa frontiere, de dimension i (fermé pur, de
dimension i)
sauf si
est une variété sans bord, "fermée" sur elle meme (comme les
cercles, les sphères, la frontiere d'une patate et des parties plus quelconques
du même acabi) cf.postulat 1.14 pour la définition formelle d'un tel ensemble.
On verra plus tard qu'une telle partie est décomposable en une variete sans
bord, et une variété avec bord, de bord sa frontiere dans le postulat 1.14)
Remarque : Dans toute la suite on se placera dans le cadre de
l'hypothese 1.7"
Alors bon on est intrigué par ces ensembles "fermés sur eux-même" et ne pouvant nous contenter de la
définition approximative a partir de patates et autres "ensembles quelconques du même acabi" on décide
d'aller voir ce fameux postulat 1.14 qui semble nous en dire un peu plus... et là je vous passe les détails
et vous encourage à aller directement voir sur le pdf car ca vaut son pesant de cacahuètes, en gros une
page de cas particuliers et discussions en tout genres...
Bref si avec ces quelques exemples que l'on te donne tu ne te rends pas compte du peu de solidité de
ton argumentaire....
t-mouss
PB
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 1 731

Page 7, définition-postulat 1.1. : que sont les a_i ?

AD
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Administrateur
Membre depuis : il y a onze années
Messages: 4 630

Bonjour
Pour éviter tout débordement qui pourrait se produire, tout message non mathématique, ou pas
directement relié à la discussion, ou provocateur ou polémique sera caché sans avertissement.
Alain
boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

alors posé autrement OÙ est la définition d'un cardinal dans ce papier ?
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Déjà il y a les prémisses classiques de définition d'un cardinal au début,
après si on veut avoir la définition complète de mon cardinal :
il faut lire toutes les pages.

boun Écrivait:
------------------------------------------------------> alors posé autrement OÙ est la définition d'un
> cardinal dans ce papier ?

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

3 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

PB

Membre depuis : il y a onze années

Citation

Guillaume F
si on veut avoir la définition complète de mon cardinal :
il faut lire toutes les pages
Dommage, je crois que je n'aurai jamais la définition complète :D
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Remarque mon postulat 1.14 s'arrete à la remarque sans numéro qui suit incluse.
Ce qui peut éventuellement perturber, ce sont les phrases que j'y ai mis,
et que je n'avais pas besoin de mettre puisqu'elles montrent que le postulat 1.14 vérifie l'hypothèse 1.7,
or nous avons dit dès le départ depuis l'hypothèse 1.7 que tout vérifiait l'hypothèse 1.7 :
ce n'est pas la peine de se laisser perturber par de telles phrases qui ne font qu'insister doublement sur
un point.
Mais je tiendrais compte de la remarque pour la future version

Mas Oyama Écrivait:
------------------------------------------------------> Autre exemple frappant :
>
> "Dans la remarque 1.5 j'explique l'hypothèse 1.7
> (...) L'hypothese 1.7 va dans le sens de la
> remarque 1.5.
> J'aurai besoin de tels intérieurs et de tels
> adherences par la suite.
> On sait qu'il en existe, mais il y en a qui sont
> autrement d'où la necessite
> de se limiter à cette hypothese.
> Désormais toute la suite verifie l'hypothese
> 1.7."
>
> Outre l'intro qui est franchement énorme dans le
> genre serpent qui se mord la queue..
>
> Alors on se demande quelle est donc cette
> mystérieuse hypothèse 1.7 qui permet de régler le
> problème des "adhérences et intérieurs qui sont
> autrement", et franchement on est pas déçu :
>
> "Hypothese 1.7 (jeu d'ouverts (resp.de fermés
> purs ,de dimension n)
>
> Soient
inclu dans
:
>
>

a un sens.
inclu dans

> avec
inclu dans
> tels que l'intérieur de
dans
est une
> variété sans bord, de dimension i (ouvert pur, de
> dimension i)
> et tels que la fermeture de
dans
est
> une variété de bord sa frontiere, de dimension i
> (fermé pur, de dimension i)
> sauf si
est une variété sans bord,
> "fermée" sur elle meme (comme les
> cercles, les sphères, la frontiere d'une patate
> et des parties plus quelconques
> du même acabi) cf.postulat 1.14 pour la
> définition formelle d'un tel ensemble.
> On verra plus tard qu'une telle partie est
> décomposable en une variete sans
> bord, et une variété avec bord, de bord sa
> frontiere dans le postulat 1.14)
> Remarque : Dans toute la suite on se placera dans
> le cadre de
> l'hypothese 1.7"
>
> Alors bon on est intrigué par ces ensembles

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

4 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

> "fermés sur eux-même" et ne pouvant nous contenter
> de la définition approximative a partir de patates
> et autres "ensembles quelconques du même acabi" on
> décide d'aller voir ce fameux postulat 1.14 qui
> semble nous en dire un peu plus... et là je vous
> passe les détails et vous encourage à aller
> directement voir sur le pdf car ca vaut son pesant
> de cacahuètes, en gros une page de cas
> particuliers et discussions en tout genres...
>
> Bref si avec ces quelques exemples que l'on te
> donne tu ne te rends pas compte du peu de solidité
> de ton argumentaire....
>
> t-mouss
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Ou il suffit de lire normalement les quelques pages d'explications, tout en ayant un oeil sur le reste.
PB Écrivait:
------------------------------------------------------> si on veut avoir la définition complète de mon
> cardinal :
> il faut lire toutes les pages
>
> Dommage, je crois que je n'aurai jamais la
> définition complète :D

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

j'ai essayé de lire ... mais en gros "tu brasses du vent", quant à ma remarque ci-dessus, un connexe est-il
forcément simplement connexe ?
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Ce sont des coefficient réels que je n'expliciterai pas (trop compliqué à expliciter),
pour plus d'information lire le message où j'ai mis ma précédente version sur le lien suivant, je trouve que
sur ce lien les intervenants ont été sérieux,
mais compliquent beaucoup trop mes propos, mes objectifs initiaux étant beaucoup plus simples.
[www.les-mathematiques.net]
PB Écrivait:
------------------------------------------------------> Page 7, définition-postulat 1.1. : que sont les
> a_i ?

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Je pense que ce n'est pas bien grave dans le cas où j'aurai fait une confusion,
dans ce cas au lieu de considérer des parties simplement connexes, on considéra des parties connexes,
et ça fera l'affaire.
J'en tiendrai compte dans ma future version.
boun Écrivait:
------------------------------------------------------> j'ai essayé de lire ... mais en gros "tu brasses
> du vent", quant à ma remarque ci-dessus, un
> connexe est-il forcément simplement connexe ?

Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

5 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

il y a dix années

remarque 1.7 : "soit une patate compacte de dimension
quelle est la définition d'un patate ?
Utilisateur anonyme

(formée de matière continue)".

Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Une patate est une partie bornée, sans trou, mais ici ça nous importe peu.
Une patate compacte est une partie fermé pur, bornée.
boun Écrivait:
------------------------------------------------------> remarque 1.7 : "soit une patate compacte de
> dimension (formée de matière continue)".
> quelle est la définition d'un patate ?

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

donc par exemple en dimension ,

est une patate ...

Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Comme tu le vois Boun la première difficulté est lorsqu'on se trouve devant une patate bornée sans trou
ou non, à la fois ouverte et fermée,
et je peux compliquer le tout en créant une partie bornée de dimension n faits de telles patates de
dimensions entière quelconques inférieures ou égales à n.

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

et d'ailleurs, qu'est ce qu'un trou ?
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Non, il faut bien sur que ma patate bornée, soit connexe aussi,
parcontre ton dernier ensemble est un ensemble infini de patates faites de singletons,
or j'ai dit que je ne prenais que des parties bornées avec un nombre finis disjoints de points de
c'est important car j'ai des problèmes avec les ensembles infinis dénombrables bornés.
boun Écrivait:
------------------------------------------------------> donc par exemple en dimension ,

,

est une patate ...

boun
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

"j'ai dit que je ne prenais que des parties bornées avec un nombre finis disjoints de points de
tu ne considères que les ensemble fini ...
boun

", donc

Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

ensembles finis sans trou, donc tu ne considères que les singletons ?
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Non boun tu peux avoir une patate de dimension 3 avec un nombre fini de points satellitaires, le tout
formant une partie bornée.
boun Écrivait:
------------------------------------------------------> "j'ai dit que je ne prenais que des parties
> bornées avec un nombre finis disjoints de points
> de
", donc tu ne considères que les ensemble
> fini ...

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

6 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

Re: Nouvelle version du 11/11/2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

C'est pour tout un tas de petits détails comme ça que je ne suis pas compris :
Continuez à me les signaler.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Nouvelle version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

[Je renonce à éditer mon post en LaTeX, il a l'air trop long pour les capacités du forum. Je joins donc un
pdf. Désolé]
[attachment 7703 GF.pdf]
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Je maintiens que si on déforme une partie connexe compacte de dimension n, en une autre partie
connexe compacte de dimension n, elles ont le meme volume donc le meme cardinal,
mais qu'il n'en va pas de meme pour les cardinaux des intérieurs de ces patates,
puisque les volumes de leurs frontières ne sont pas les memes.
Nous ne devons donc pas traiter de la meme notion.
A moins que vous ayez (Michel Coste) montré en utilisant une de mes notions la proposition 1.4, qu'il y
avait contradiction avec la proposition 1.15,
là ça serait plus sérieux.

Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Nouvelle version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

J'ai posé 7 règles, et j'en ai déduit (rigoureusement, je pense) que le "cardinal" du cube écrasé est plus
grand que celui du cube. Alors
- ou bien tu me dis laquelle des 7 règles ne te convient pas,
- ou bien tu me montres l'erreur dans mon raisonnement.
Cordialement,
MC

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été
effectuée par Michel Coste.
Utilisateur anonyme
Re: Nouvelle version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

A Michel Coste
Mais je comprends votre approche classique : passer des bornes entières au bornes rationnelles, puis
comme les réels sont limites de rationnels, passer aux bornes réelles.
Mais dans cette démarche, il doit y avoir quelquechose qui cloche
J'ai eu une autre approche dans ma proposition 1.4,
je vais tester ses résultats pour voir si j'aboutis aux votre ou à un cas similaire, ou si j'aboutis bien à la
proposition 1.15 avec sa remarque 1.17.

Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Nouvelle version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Citation

Guillaume F
Peut-etre la propriété de continuité

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

7 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

Mais tu remarqueras qu'elle n'est pas utilisée dans ma démonstration du fait que le cardianl du cube
écrasé est plus grand que celui du cube, comme tous les segments (côté du cube, côtés du
parallélépipède) sont de longueur rationnelle.
[Guillaume : si tu modifies tes posts en fonction de mes réponses, le dialogue devient incompréhensible
pour une tierce personne et c'est à la limite de la mauvaise foi ! Je précise donc que ce post était une
réponse à la version du post précédent où tu disais que tu n'acceptais peut-être pas la règle de
continuité. Dans ta modification, tu n'as pas répondu à mon argument qui est que je n'utilise pas la règle
de continuité pour l'histoire du cube écrasé. Donc je répète ma demande : mis à part la règle de
continuité, laquelle des six autres règles n'acceptes-tu pas ? Et si tu les acceptes, où aurais-je fait une
erreur ?]

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été
effectuée par Michel Coste.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Lorqu'on tranforme une boule de pate à modeler compacte,
en une patate compacte,
elles ont nécessairement le meme cardinal, intuitivement ça va de soi.
Cf. Lavoisier : Rien ne se perd, rien ne se crée ,tout se transforme.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
egoroff
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Guillaume,
Je ne vois pas ce que vient faire Lavoisier là-dedans, on sait depuis longtemps que voir les objets réels
comme des parties de R^n n est pas une modélisation parfaite, qui conduit à des "paradoxes". La
question n est pas là : Michel Coste rentre gentiment dans ton jeu et te montre que quelle que soit la
définition de cardinal utilisée, s il vérifie les règles qu il a donné alors il n est pas invariant par
déformation. Il n y a rien d autre a dire : si ton cardinal est invariant par déformation alors il viole
nécéssairement l une des règles de M.C.
Plutôt que de te réfugier dans la mauvaise foi en invoquant Lavoisier tu ferais mieux d accepter le
dialogue avec M.C, ça pourrait t apporter beaucoup plus.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Guillaume, tu fais de la métaphysique, pas des mathématiques, et tu n'as pas répondu à ma demande:
- Y a-t-il une des 6 règles hors la règle de continuité que tu n'acceptes pas ?
- Si tu les acceptes comme propriété de ton "cardinal", où serait l'erreur dans mon raisonnement ?
MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

A mon avis on ne peut passer d'un entier à un rationnel,
comme on peut passer d'un intervalle aux bornes entières à un intervalle aux bornes rationnelles, comme
vous le faites.
Ca doit etre un peu plus subtile comme dans ma proposition 1.4.
Mais votre raisonnement s'applique sur des formules de types nJ + 1,
et là il n'est plus question de raisonner sur les bornes de l'intervalle,
on raisonne sur nJ + 1 comme si il s'agissait d'un nombre,
on passe de n à q un rationnel et ça a l'air de marcher,
mais je trouverai bien la faille dans votre raisonnement ou les inadéquations de nos notions.
Pour ce qui est de la proposition 1.15 et la remarque 1.17, je crois que la règle de Lavoisier s'applique en
considérant au départ une boule de pate à modeler de matière continue compacte.

Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Ah, là je peux répondre.

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

8 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

Je prends en compte que tu acceptes ce que je dis sur les segments entiers, à savoir
, si est entier.
Prends maintenant un segment de longueur rationnelle
, et soit
son "cardinal". Si j'en mets deux
bout à bout, avec un point extrémité en commun, j'obtiens comme "cardinal"
. D'accord ?
Je continue jusqu'à en mettre
En mettant bout à bout

Par conséquent

bout à bout. J'obtiens comme cardinal

segments de longueur
. D'accord ?

. D'accord ?

, j'obtiens un segment de longueur . Donc

. D'accord ?

MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Ce sont bien des intervalles du type

ou

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Non, ce sont des segments [a,b] dont je parle ici.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

D'après ma proposition 1.4, ta façon de procéder marche pour

mais pas sur

.

En particulier sur
cardinal(segment de longueur )
egoroff
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Quelle est la différence entre la proposition démontrée par Michel Coste et la proposition 1/4 de
Guillaume F ?
La première est démontrée, le seconde... bof :(
Conclusion : on ne peut appliquer la proposition 1.4 pour invalider celle de M.C.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Comment ça bof pour ma proposition 1.4 ?

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
egoroff
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Et bien bof signifie que je ne suis pas convaincu qu'elle soit proprement démontrée, alors que je n'ai rien
à redire à celle de M.C.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Bah moi, je vais refaire la fin des calculs de MC sur le cube et sur le cube applati, en tenant compte de
mon résultat, et on verra.

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Guillaume :
Tu n'as pas répondu aux "D'accord ?" de mon message de 19:31:29. Donc je suppose que tu n'as rien à

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

9 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

redire à mon raisonnement.
Tu remarqueras que tout ce que j'ai mis comme prémisse à ce raisonnement c'est
" segment de longueur
, si est entier", où (notations de mon pdf plus haut dans ce fil)
.
Tu invoques ta proposition 1.4. Je regarde celle-ci et en essayant de deviner ce que sont les , ,
de l'énoncé, j'interprète ta formule 1.3 comme ça, pour
et un entier:

et

soit exactement la prémisse de mon raisonnement.
Alors ?
Bon, je vais m'arrêter ici pour ce soir. Je reviendrai demain, et je promets une suite des aventures du
"cardinal", où l'on reparlera de la couche de peinture sur les polyèdres convexes compacts.
Cordialement,
MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Attention pour ma proposition 1.4 (nouvelle version du 11 novembre 2007)
j'ai distingué 3 cas à vrai dire 2:
1)
2)
Vous, vous avez repris le cas 1) entier et ce résultat constitue les prémisses de votre généralisation.
Ca peut se discuter, mais que pensez vous alors de mon 2), il n'est pas tombé du ciel.
A propos de votre couche de peinture, vous pouvez aussi la faire sur une boule de pate à modeler
compacte, c'est plus visible et plus concret.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC où est la faille dans ma démonstration dans ma proposition 1.4 où

?

MC j'ai refait les calculs avec mon résultat dans
,
et le cardinal du cube
ne coincide pas avec le cardinal du paralélépipède rectangle
,
de meme j'ai refait vos calculs avec votre résultat, je n'ai pas obtenu le meme résultat que vous, mais
qu'importe le cardinal du cube ne coincide pas avec le cardinal du paralélépipède rectangle.
Parcontre j'étais persuadé sur le point que le résultat (postulat 1.15) n'était pas valable pour les intérieurs
de compacts mais pas pour les compacts.
Je croyais qu'en déformant un compact, les morceaux de bord qui disparaissaient ou apparaissaient,
allaient dans ou ressortaient de l'intérieur,
comme dans les phénomènes de subduction lors de la techtonique des plaques.
Pourtant si on prend un cube et un paralélépipède rectangle de meme volume, compacts,
ils ont meme quantité de matière continue de densité uniforme, que moi j'assimilerai à leur cardinal.
Vous allez m'obliger à refaire ma théorie ou je l'espère seulement en partie,
il faut que je découvre la ou les failles de ma théorie,
puisque ce postulat 1.15 doit etre obligatoirement vrai.
Je crois avoir une clé : la notion de quantité de matière continue de densité uniforme pour les compacts.
Remarque : Vous pouvez reprendre ma théorie et vous passez de mon postulat 1.15,
mais ça ne donnera pas les résultats que j'escomptais.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Bonjour Guillaume,
Guillaume F:"MC où est la faille dans ma démonstration dans ma proposition 1.4 où

?"

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

10 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

Ta proposition 1.4 est contradictoire. En voici la démonstration. Si j'ai bien compris, dans le premier point
de ton 1.4 tu montres, si est entier (1.2) :
.
Jusque-là, pas de problème.
Applique cette formule pour
, où est entier:
.
Applique là aussi pour

toujours entier et
.

:

En rapprochant les deux dernières formules, tu as bien, pour
.
Or tu écris, au bas de la page 15 :
.

réel et

rationnel:

Tu as donc montré 1=0. Vérifie ton calcul !
Toujours à propos de 1.4 :
- Tu ne fais pas la relation dans l'énoncé entre , , et .
- Dans ta démonstration, tu fais la confusion entre rationnel et décimal (avec développment décimal
limité).
Guillaume F : "j'ai refait vos calculs avec votre résultat, je n'ai pas obtenu le meme résultat que vous"
Difficile de faire une erreur en développant
(pour le cube unité) ou

(pour le parallélépipède rectangle

).

Je reviendrai un peu plus tard pour la couche de peinture.
MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC n'oubliez pas d'afficher mieux votre texte
,de réfléchir à ma matière continue de densité uniforme pour les compacts,
et de tenir compte de toute ma page précédente notamment pour les phénomènes de subduction entre le
bord et l'intérieur d'un compact lorsqu'on le déforme.

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

1) Je parle de mathématiques, pas de tectonique des plaques.
2) Ca ne te trouble pas, d'avoir démontré 0=1 ?
MC
Mobark
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Attendez juste une pette remarque, j'ai parcouru en travers le sujet et j'ai cru lire que le cardinal serait un
inviariant par déformation? (avec ne référence à lavoisier).
c'est moi ou un disque c'est homotope à un point? ca a le meme cardinal ? ca peut aller tres loin la
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC comment avez-vous fait pour passer de le troisième ligne de calcul à la quatrième ?
Bien sur ça me gène que

.

Mais ce n'est pas ce qui me gène le plus, ce qui me gène le plus c'est l'invalidation du postulat 1.15.
Et ma matière continue de densité uniforme pour les compacts n'est pas une inepsie si je veux parler du
cardinal que je veux obtenir,
de meme les phénomènes de subduction entre le bord et l'intérieur d'un compact connexe, lorsqu'on le
transforme en un autre compact connexe de meme volume,
devrait jouer sur vos couches de peintures.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Il ne s'agit pas de n'importe quelle déformations, mais des déformations qui laissent le volume constant.
Mobark Écrivait:
------------------------------------------------------> Attendez juste une pette remarque, j'ai parcouru

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

11 sur 11

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,407834...

> en travers le sujet et j'ai cru lire que le
> cardinal serait un inviariant par déformation?
> (avec ne référence à lavoisier).
>
> c'est moi ou un disque c'est homotope à un point?
> ca a le meme cardinal ? ca peut aller tres loin la

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
egoroff
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

"Le cardinal est invariant par les transformations qui laissent le volume constant" : ça ne se mord pas un
peu la queue ?
J'aime bien cette histoire de subduction (je suis fan de tecktonik) mais ce que je ne comprends pas c'est :
si les bords en excès peuvent simplement "rentrer" à l'intérieur du compact, ç'est qu'il y avait une mince
fente dans celui-co pour les accueillir non ? Ou alors le compact est "mou" comme un chamallow ?
Plus sérieusement, la subduction ça marche dans un sens, lorsque la surface du bord diminue, mais
dans l'autre sens, lorsqu'on applique une transformation qui augmente la surface extérieure, ou est-ce
que le compact va chercher ses réserves de bord ? Par exemple lorsque le cube de dimensions
est déformé en un parallèlépipède
de dimensions
, on est bien à volume constant et on
passe d'une surface à une surface
qui est arbitrairement grande...
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.
Cliquer ici pour vous connecter
Liste des forums - Statistiques du forum
Total
Discussions: 128 170, Messages: 1 226 961, Utilisateurs: 20 913.
Notre dernier utilisateur inscrit Sheshe123.

Ce forum
Discussions: 2 716, Messages: 32 007.

AlgèbreAnalyseArithmétiqueCombinatoire et GraphesConcours et ExamensFondements et
LogiqueGéométrieHistoire des MathématiquesLaTeXLes-mathématiquesLivres, articles, revues,
(...)Mathématiques et InformatiqueMathématiques et SociétéPédagogie, enseignement,
orientationProbabilités, théorie de la mesureShtamStatistiquesTopologieVie du Forum et de ses membres
This forum is powered by Phorum.

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

1 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Pensez à lire la Charte avant de poster !

[ Le forum | Le serveur d'exercices | Apprendre Latex en ligne | Le livre d'or | Le formulaire | Collaborateurs | Mathématiciens | Visiteurs | Sommaire ]

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
145 personne(s) sur le
site en ce moment

Bienvenu(e)! Identification Créer un nouveau profil Localiser les utilisateurs Nouveaux messages non lus
» Sauter vers le forum ... Forums > Topologie > Discussion > Page 2
Recherche avancée

Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Mes cardinaux.

Actuellement 16057
abonnés
Qu'est-ce que c'est ?

Envoyé par Utilisateur anonyme
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Et les volcans alors ça créent des iles, et du bord.
Et puis quand tu recolles deux bouts dont l'un est ouvert pur, l'autre un fermé pur d'un compact connexe : du
bord devient de l'intérieur.

E. Cartan

Le cardinal est invariant pour tous les compacts connexes ayant le meme volume (enfin c'est ce que je veux
que mon cardinal vérifie et pour l'instant j'ai des problèmes).
Au fait, plus t'étales la pate, plus la pate devient fine et plus sa surface augmente, et elle peut augmenter ainsi
indéfiniment.

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger

Théorème de
Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques

Taper le mot à
rechercher

Mode d'emploi

Le bord est un infiniment petit par rapport à l'intérieur de dimension supérieur
,donc le bord peut puiser toutes les réserves qu'il veut dans l'intérieur.

Edité 8 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

GF : "MC comment avez-vous fait pour passer de le troisième ligne de calcul à la quatrième ?"
(2e ligne) et
(3e ligne) entraînent
(4e ligne).

Faites connaître LesMathematiques.net à un
ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum
Nous contacter

Avant de poster, prends trois minutes pour réfléchir!
MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC n'oubliez pas de tenir aussi compte des autres messages qui vous sont adressés plus haut.
Au fait dans ma proposition 1.4, pourquoi le cas

, marche-t-il ?

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page

Je sais pourquoi, parceque dans ce cas, on peut s'offrir un développement décimal illimité.
qui est rationnel offre un développement décimal illimité,
et moi j'ai la confusion entre nombre rationnel et nombre qui a un développement décimal limité.
Est-ce celà qui m'a induit en erreur dans mes calculs pour le cas 2).
Mis à part ça MC comprenez-vous la proposition relative à ma décomposition de certaines parties bornées ?
Mas Oyama
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 67

Plus ca va plus on entre dans un dialogue de sourds, obligeant MC a répéter 50 fois les même choses...
A chaque question soulevant un problème dans les dires de GF, ce dernier se défile en employant des termes
techniques {peu/pas} définis et se réfère à des propositions {vaguement/bof-ment} démontrées...
Dommage il y aurait sans doutes quelques trucs intéressants à développer sur de "nouveaux" cardinaux mais
pour cela il faudrait d'abord consolider des bases propres et seulement après se lancer dans des constructions
techniques.
Guillaume tant que tu t'obstineras à batir une foultitude de concepts plus ou moins techniques et complexes
plutot que de construire des bases saines et solides à ta théorie, tu n'obtiendras pas grand chose de solide.

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

2 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Je pense qu'il serait tant de tout reposer à plat et de reprendre les choses depuis le début, notament en
t'appuyant sur les remarques de MC.
Cordialement
T-Mouss
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC a pour l'instant démontré que le 2) de la proposition 1.4 était faux,
mais il a su montré 1.4 dans le cas général,
et que la proposition 1.4 était incompatible avec le postulat 1.15,
et c'est là que le bas blesse.
Ce postulat 1.15 est très important à mes yeux (Cf.plus haut) : alors qu'il soit violé par une de mes proposition
est problématique.
Oui, il me faut recourir pour l'instant à d'autres notions vagues peut-etre :
telle que la quantité de matière continue de densité uniforme pour les compacts en guise de cardinal : ça
changera la donne à condition que je change aussi la proposition 1.4.

Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Bonsoir,
J'interromps un peu mon dialogue quelque peu exclusif avec GF pour avancer dans la saga du "cardinal".
Résumé de l'épisode précédent (pour l'épisode complet, voir le fichier GF.pdf attaché) : J'ai posé 7 règles sur le
"cardinal"
d'une partie de
, qui figurent plus ou moins dans
le texte de GF (sauf la 6e). Les parties dont on prend le cardinal ne sont pas
toutes les parties; essentiellement, jusqu'ici, je n'ai considéré que des
polyèdres convexes compacts (ou polytopes).
1)

.

2)

.

3)
4)Si
5)
6)
7)

.
et

sont superposables,

.

.
a une propriété de continuité qui permet d'avoir

.

.

Armé de ces règles, on a pu calculer la valeur de comme polynôme
en
pour quelques exemples. En
particulier pour un polygone convexe compact
du plan,
où
est l'aire et le périmètre. Pour un
parallépipède rectangle
, on obtient
valeur de
.

comme

J'avais promis de parler de couche de peinture sur les polytopes dans cet
épisode. Je laisse la parole à Marcel Berger à qui j'ai emprunté la peinture.
Un court extrait de son livre "Géométrie" est dans le fichier attaché Berger1.pdf.
Dans ce texte, est la mesure de Lebesgue,
désigne la somme des mesures des faces de
de la boule unité de dimension .

et

désigne le volume

J'attire votre attention sur le théorème
12.3.6 (formule de Steiner-Minkowski). Il parle du volume obtenu en passant une
couche de peinture d'épaisseur sur le polytope dans
. Il dit que ce volume est un polynôme
dont les coefficients ne dépendent que de
Il est naturel de normaliser ces coefficients par les volumes
des
boules unités de dimension , et on pose

.

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

3 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Rappelons que
,
,
,
. En
particulier, en dimension 2, on trouve à partir de ce qui est dit dans Berger
que
est 1,
est le demi-périmètre du polygone
convexe compact et
son aire. Si
est un parallélépipède rectangle
, le calcul des
coefficients de la formule de Steiner-Minkovski donne
bien
,
,
,
, à comparer avec les
coefficients du "cardinal". Fort de ces exemples (et aussi pour d'autres
raisons) on peut affirmer :
\textbf{Théorème.} \textit{Pour tout polytope

de dimension , on a

où les
coefficients
s'obtiennent à partir de la formule de Steiner-Minkowski
par

.}

A suivre.
MC
[attachment 7706 GF.pdf]
[attachment 7707 Berger1.pdf]
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

1) Très bien, ça m'a l'air d'etre des maths appetissantes.
2) Mais j'aimerais bien plus d'explications,le document de Berger est relativement compliqué,
mais il m'a semblé que vous ayez dit qu'il y avait des similitudes avec les polynomes de mes cardinaux et les
polynomes du livre de Berger.
3) Je vais regarder la définition d'un polytope dans le dictionnaire.
4) Et si

et que le bord du polyèdre est coloré ?

5) Remarque : On peut considérer une patate ou un polyèdre comme une succession de couches colorées
d'épaisseurs non nulles.
6) N'y a-t-il pas moyen de parer à ou remplacer ma proposition 1.4 pour que le postulat 1.15 et sa remarque
1.17 deviennent vrais ?
Je ne suis pas certain que dans votre message précédent vous ayez réglé définitivement ce problème par
l'affirmative ou par la négative.
Mais ma proposition 1.4 est tellement élémentaire et tellement intuitive, qu'on ferait peut-etre une erreur de la
remplacer.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Citation

GF
comprenez-vous la proposition relative à ma décomposition de certaines parties bornées ?
Réponse : non. Mais il y a moyen d'étendre le "cardinal" à des classes d'ensembles pas trop méchants,
admettant une décomposition finie en variétés différentiables avec de bonnes propriétés d'adjacence
(techniquement, on parle de stratifications). Je pourrais en parler un peu si la saga du "cardinal" continue.
Citation

GF
N'y a-t-il pas moyen de parer à ma proposition 1.4 pour que le postulat 1.15 et sa remarque 1.17
deviennent vrais ?
A mon avis, s'il y a une chose à sauver dans ton texte c'est bien la proposition 1.4.
Cordialement,
MC
christophe c
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 37 061

De MC à GF:

Typesetting math: 79%

Citation

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

4 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Ta proposition 1.4 est contradictoire
Ce ne serait pas grave, de toute façon, ça voudrait juste dire que les axiomes de GF impliquent tout...
Si j'en crois le pdf de MC (je n'ai pas vriament essayé de lire celui de GF), GF pose des axiomes qui
demandent à une certaine application (disons "carrdd") d'associer à chaque partie ("régulière") de la réunion
des
un élément d'un ensemble qui ne serait pas l'ensemble des nombres, mais un ensemble plus général
qui pourrait ressembler à celui des polynômes, et de la faire en suivant certains axiomes...
Plusieurs conseils à GF:
1) Réjouis-toi qu'un "sage" du forum ait la patience et la passion de lire et reprendre tes réflexions. Je t'offre un
témoignage que je te jure sincère: j'ai lu son pdf, mais j'ai presque immédiatement renoncé à lire le tien. Non,
par préjugé de notoriété, mais simplement que son pdf est "clair".
2) Profite aussi de ses raisonnements: une preuve que quelque chose implique le faux, (une contradiciton)
c'est une preuve!! (ou bien il y a une erreur, ou bien, c'est irrémadiable et c'est ENCOURAGEANT: en effet, au
pire des cas, tu n'auras qu'à éliminer un de tes axiomes) Inutile donc de "tergiverser", ce n'est pas péjoratif si un
de tes axiomes est de trop (au contraire, c'est une bonne nouvelle, ça veut dire que tes AUTRES axiomes, à
eux seuls, impliquent la négation de celui-là: réjouis-toi, car ce faisant, ta théorie se manifeste comme
mathématique).
3) dans ce genre de théorie, tu peux aussi raisonner en définissant des classes d'équivalence (ça t'évitera toute
contradiction): plutôt que de dire "carrdd" transforme ceci en cela, tu définis tous les segments aussi longs
comme équivalents, tous les rectangles isométriques comme équivalents, tu définis aussi les rectangles, les
parallépipèdes, etc, comme des produits, les réunions disjointes comme des sommes, et tu définis qui est plus
grand que qui, etc... Ainsi, chaque preuve que MC te donnera que ceci>cela ou que ceci=cela se transformera
automatiquement en preuve de quelque chose de "beau" en termes de classes". Il y a un précédent que tu
connais surement: les flêches (=bipoints) et les vecteurs (classes d'équivalence).
4) Peut-être qu'après tu obtiendrais effectivement un théorème du genre: cette structure est isomorphe à cette
autre structure (une jolie structure avec des polyomes formels, etc)...
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Voici ma décomposition d'une certaine partie bornée de

.

Je dis certaine car les parties bornées considérées dans ma décomposition,
sont celles qui sont des partitions finies de variétés sans bord (y compris de points).
C'est donc une grosse restriction.
MC avec ce schéma comprenez-vous désormais ma décomposition de certaines parties bornées de

?

Mis à part ça MC comprenez-vous mon postulat 1.14 et sa remarque ?
[attachment 7712 MadcompositiondunecertainepartiebornedeR2.jpg]
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Mon postulat 1.15 et sa remarque 1.17 étaient pourtant indispensables pour passer du cardinal d'une partie
compacte quelconque à celui d'un hypercube compact,
dommage qu'ils soit invalidés par ma proposition 1.4,
je vais devoir comme dit MC me contenter de parties pas trop méchantes,
je me suis déjà imposé pas mal de restrictions, alors s'imposer en plus les restrictions de MC,
est pour moi problématique,
j'ai du etre trop réveur.

Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Cristophe Chalons, il faut aussi tenir compte de tous les aspects topologiques :
par exemple en considérant des parties bornées de

:

1) ouvert pur (ou intérieur d'un compact), 2) à la fois ouvert et fermé (ce qui en dit long), 3) fermé pur (ou
compact), 4) connexité
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Bonjour Guillaume,

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

5 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Tu sais, ça fait déjà pas mal de temps que les géomètres s'intéressent à des collections de parties de
qui
ont un comportement topologique bien gentil. Il y en a qui appellent ça "tame topology" ou topologie modérée
(de l'utilité des modérateurs!).
Ca peut se présenter comme ça : pour chaque entier naturel , on s'intéresse à une collection
de sousensembles de
et on demande que ces collections vérifient quelques règles. Dabord, des règles qui
garantissent que les collections ne sont pas trop "pauvres" et qu'on peut faire à l'intérieur des collections un
certain nombre d'opérations ensemblistes :
1)
contient tous les sous-ensembles algébriques de
(ceux qu'on peut définir par des équations
polynomiales).
2) Si et sont dans
, alors
,
et
y sont aussi.
3) Si
et
, alors
.
4) Si
, et si
est la projection qui efface la dernière coordonnée, alors l'image
est dans
Jusqu'à présent, on pourrait prendre pour
toutes les parties de
, ce qui fait trop. Pour modérer, on
impose juste une condition sur les parties de la droite qu'on va autoriser:
5) Les éléments de
points.

sont exactement les parties de

qui sont des unions finies d'intervalles ouverts et de

On montre que les collections qui vérifient ces cinq conditions ont de très bonnes propriétés topologiques. Bien
sûr un élément de
n'est pas forcément une réunion disjointe d'un nombre fini de points, intervalles ouverts,
rectangles ouverts, parallélépipèdes ouverts etc., mais presque : tout ensemble de
a une partition en un
nombre fini de morceaux, toujours dans
pouvant varier entre et ).

, et qui sont chacun difféomorphe à un pavé ouvert

(avec

On sait par ailleurs qu'il y a des collections vérifiant les cinq conditions et qui sont suffisamment riches (de gros
mots : les semi-algébriques, les sous-analytiques, etc.). On peut y faire de la géométrie très intéressante.
Pour les ensembles dans de telles collections on peut définir de manière unique un "cardinal" vérifiant les sept
conditions de l'épisode 1 de la saga des "cardinaux". Ca a déjà été fait.
Bientôt sur ce fil, l'épisode 3 : des polyèdres aux patates.
Cordialement,
MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Mais alors qu'ai-je fait et que vais-je faire qui soit novateur ?

Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

N'oublie pas qu'il y a une chose que tu dois faire dans cette année universitaire : ton mémoire de Master 2. Et
comme visiblement ça ne te suffit pas comme activité intellectuelle, tu peux à côté apprendre d'autres sujets qui
t'intéressent. Il y a plein de jolies mathématiques (pour ne rester que dans les mathématiques). Ne sois pas
obnubilé par l'idée de faire ton Grand'Oeuvre. Savoir que les questions qu'on se pose font sens et ont déjà été
considérées par des mathématiciens, c'est plutôt rassurant, non?
MC
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC, vos sous-algébriques, vos sous-analytiques, votre présentation de vos travaux,
dépassent de loin mon niveau actuel.
Il me faut d'abord commencer par des ouvrages ou des document pdf de base, plus simples à comprendre.
Et puis en L3 et en M1, je n'ai jamais été bon en algèbre des groupes, des anneaux et des corps.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Continuez à ajouter des messages pendant que je ne suis pas là :
En effet ma soeur risque de me prendre l'ordinateur pendant toute la soirée,
dommage c'est vers ces heures là qu'il y a le plus d'intervenants sur les- mathématiques.net
et je ne pourrai pas intéragir avec eux,
et faire avancer encore d'avantage ce fil.

Typesetting math: 79%Mais bon j'ai déjà de bonnes interventions de Michel Coste.

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

6 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

A MC
Pourquoi avec de la pate à modeler,
on arrive à créer toutes sortes de compacts de meme volume,
donc qui ont la meme quantité de matière continue (dans la réalité discrète) de densité uniforme,
mais qui n'ont pas le meme cardinal ?
Je sais vous allez essayer de me répondre avec les couches de peinture,
et par le fait qu'il faut différencier le concret, des maths abstraites.

Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Bonsoir
3e épisode de la saga des "cardinaux" : des polyèdres aux patates.
Résumé des épisodes précédents : Les formules pour le "cardinal" calculées pour quelques polyèdres
convexes compacts, à partir des règles sur , montrent une analogie frappante avec la formule de SteinerMinkovski qui donne le volume d'un polyèdre convexe compact en dimension sur lequel on a ajouté une
couche de peinture d'épaisseur par

où
est le volume de

,

sa surface et

le volume de la boule unité de dimension .

On "voit" en suivant cette analogie que pour tout polyèdre convexe compact

de dimension , le cardinal est

où les
coefficients
s'obtiennent en normalisant les coefficients de la formule de Steiner-Minkowski par les volumes
boules unité de dimension :

des

Dans ce court épisode, nous allons voir comment passer des polyèdres convexes compacts aux "patates"
(=compacts) connexes. Ceci nous permettra de préciser la règle de continuité pour le "cardinal" .
Encore une fois nous faisons appel à M. Berger, qui introduit dans son livre "Géométrie", en 9.11, la distance de
Hausdorff entre deux parties compactes et de
. Cette distance est le max des distances de tous les
à et de tous les
à . Il montre en 12.9 comment approcher des compacts convexes
quelconques par des polyèdres compacts convexes, et il montre (théorème 12.10.6) que la formule de SteinerMinkovski passe bien à la limite, donnant une formule de Steiner-Minkovski pour les patates convexes.
Précisons la condition de continuité (règle 6 imposée au cardinal ) : les coefficients du cardinal sont continus
pour la topologie de Hausdorff SUR LA CLASSE DES CONVEXES COMPACTS. On a alors un cardinal pour
toute patate convexe , avec une formule

où :

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

7 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Prenons un exemple. Il est facile de calculer la formule de Steiner-Minkovski pour une boule de rayon : on
développe comme polynôme en le volume de la boule de rayon
. Et hop, voici le cardinal de la boule
(de dimension 3) de rayon :

On voit le volume, la moitié de la surface, mais que représente le coefficient de
interprétation au prochain épisode.

? Vous en aurez une

A suivre.
MC
en pièces jointes : les épisodes précédents dans leur intégralité, et une copie de la partie évoquée du livre de
Berger.
[attachment 7716 GF.pdf]
[attachment 7717 Berger2.pdf]
[modification : correction de coquilles dans la formule du cardinal)
Utilisateur anonyme
Re: version 11Nov2007 de mes cardinaux.
il y a dix années

MC n'oubliez pas de répondre à mes intérogations plus haut :
car là vous etes plutot parti avec quelquechose de similaire à ma proposition 1.4, plutot que de mon postulat
1.15.
Je veux obtenir l'unicité du cardinal pour les compacts de meme volume
c'est à dire en quelque sorte faits de la meme quantité de matière continue (discrète dans la réalité) de densité
uniforme.
et révoquer la proposition 1.4, tout en trouvant une autre proposition toute aussi intuitive.

Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.

Administrateur
Membre depuis : il y a onze années
Messages: 4 630

AD
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Bonsoir
Rappel : [www.les-mathematiques.net]
Alain
Michel Coste
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Bonjour Guillaume,
Tu dis vouloir avoir le même cardinal pour les compacts de même volume. Alors je suis prêt à parier ma
chemise que tu ne trouveras pas autre chose que la mesure de Lebesgue dans
, ce qui n'était pas ton
objectif initial.
Je ne peux pas démontrer cette affirmation, mais je peux tout de même montrer un dilemne auquel tu vas
devoir faire face.
Tu n'as pas jusqu'à présent fait d'objection à la règle d'additivité

Tu n'as pas non plus fait d'objection au fait que deux ensembles superposables doivent avoir même cardinal.
Faisons alors la manip suivante : prends un cube unité , coupe-le en deux prismes et
égaux de bases
deux triangles rectangles obtenus en coupant une face par la diagonale. Tu vois ?
Maintenant recolle les deux prismes et
le long d'une face correspondant à une face du cube d'origine, de
façon à avoir un prisme de base un triangle rectangle deux fois plus grand (tu recolles les deux triangles
rectangles de base le long de côtés de l'angle droit, de façon à avoir un triangle rectangle deux fois plus grand).
Tu vois toujours?
Maintenant utilisons la règle d'additivité et celle d'égalité des cardinaux d'ensembles superposables.
Pour le cube , on a

Typesetting math: 79%Pour le prisme

, on a

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

8 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

é
Puique tu y tiens, comme

et

sont deux compacts de même volume, on a

, et donc

é
De là, tu peux déduire toujours avec les mêmes deux règles que

et ton cardinal ne sait plus faire la différence entre un rectangle et un de ses côtés. Es-tu prêt à payer ce prix ?
Ou vas-tu rejeter la règle d'additivité ? Ou alors vas-tu dire que deux ensembles superposables n'ont pas
forcément même cardinal ?
Dans mes interventions sur ce fil, je tire effectivement les choses dans un sens précis, vers des mathématiques
que je connais un peu, que je trouve jolies et parlantes, et que je voudrais raconter de façon "épisodique". Tu
peux estimer que je dénature tes intentions et que j'abuse de ton fil. Si c'est le cas dis-le-moi, et alors je
continuerai éventuellement mes élucubrations sur un autre fil, s'il y a des participants intéressés.
Cordialement,
MC
Gaspard
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

A Michel Coste: merci de vos interventions très intéressantes sur ce fil. Je voudrais suggérer, suite à votre
dernière phrase, que si des spécialistes comme vous ont le temps de lancer de petits fils de vulgarisation
intéractifs sur telle ou telle notion (genre de blog mathématique en français en somme) il y a aura bien sûr des
participants intéressés, ne serait-ce que moi (et si ça ne convient aux modérateurs on peut toujours se rabattre
sur \lien{[wordpress.com]} qui supporte aussi
).
[Gaspard : Cela convient aux modérateurs tant qu'on y parle de mathématiques. AD]
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

MC, en effet il y a un dilemme mathématique :
Je suis persuadé que les parties compactes de matière continue de densité uniforme, obéissent au postulat
1.15,
mais violent les règles mathématiques en vigueur,
par exemple lorsqu'on les sectionne en 2 parties selon un plan,
on obtient 2 parties compactes fait de la meme matière,
donc elles violent la règle d'additivité.
Lorqu'on recolle 2 compacts faits de cette matière sur une certaine surface commune,
le cardinal de la partie ainsi composée ne prend en compte que de la surface commune (pas de son double
exemplaire initial) absorbée dans l'intérieur.
Donc le cardinal ainsi construit, n'est pas une mesure de Lebesgues,
puisqu'il ne néglige pas les surfaces qui sont autour de la surface commune, et ne néglige pas une des
surfaces communes d'un des compacts.

Edité 11 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Les compacts de meme volume, n'ont pas tous des frontières de meme volume,
c'est peut-etre ça qui explique la différence de cardinalité entre eux.
Mais avec les phénomènes de subduction entre le bord et l'intérieur, peut-etre pas.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Koski
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Bonjour,
"Donc le cardinal ainsi construit, n'est pas une mesure de Lebesgue"
Ah bon, il y a plusieurs mesures de Lebesgue ???
Koski

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

9 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été
effectuée par AD.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Citation

Guillaume F
Lorqu'on recolle 2 compacts faits de cette matière sur une certaine surface commune,
le cardinal de la partie ainsi composée ne prend en compte que de la surface commune (pas de
son double exemplaire initial) absorbée dans l'intérieur.
Donc le cardinal ainsi construit, n'est pas une mesure de Lebesgues,
puisqu'il ne néglige pas les surfaces qui sont autour de la surface commune, et ne néglige pas
une des surfaces communes d'un des compacts.
Guillaume, as-tu bien réalisé que quand on recolle deux polyèdres compacts A et B en identifiant une face F de
A à une face G de B superposable à F, la règle d'additivité dit précisément que le "cardinal" du recollement est
égal au "cardinal" de A plus le "cardinal" de B MOINS LE "CARDINAL" DE F ? On enlève bien un des
exemplaires de la face de recollement.
MC
Michel Coste

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Dans ce message, un bonus au 3e épisode de la saga des cardinaux, où l'on passait des polyèdres convexes
compacts aux convexes compacts quelconques.
Le lecteur (la lectrice) ne s'est sans doute pas rendu compte qu'on a frôlé la catastrophe dans ce passage. Pour
s'en convaincre, prenons un exemple. Nous voulons calculer le "cardinal" d'un disque de rayon 1. Une manière
de faire serait de remplir le disque en utilisant les carreaux d'un pavage de plus en plus fin, comme indiqué sur
le dessin suivant.
[attachment 7719 Approx1.jpg]
On voit facilement par récurrence en utilisant la règle d'additivité que le "cardinal" d'une telle réunion de
carreaux est toujours donné par
é

è

et à la limite on obtient

En effet vu que le bord d'une réunion de carreaux est formé de segments parallèles aux axes, son demipérimètre est toujours la somme de sa hauteur et de sa largeur.
Une autre manière de faire est d'approcher le cercle par des polygones convexes avec des côtés de plus en
plus petits, comme sur le dessin suivant.
[attachment 7720 Approx2.jpg]
Ici la limite pour le "cardinal" est

ce qui est différent de la limite pour la première approximation. Pourtant, les deux approximations convergent
bien vers le disque unité pour la distance de Hausdorff. Le problème est rigoureusement le même pour le
cardinal et pour la formule de Steiner-Minkovski. On voit pourquoi il était crucial de ne travailler qu'avec des
polyèdres CONVEXES compacts; heureusement, avec ceux-ci, on trouve toujours la même limite quelle que
soit la manière dont on approxime (voir Berger).
L'exemple des deux manières de remplir le disque donnant des limites différentes montre aussi qu'il serait
imprudent de manier des sommes infinies de "cardinaux".
A suivre pour l'épisode 4. Peut-être ce soir, peut-être demain.
MC

Philippe Malot
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Administrateur
Membre depuis : il y a onze années
Messages: 5 528

Ce qui est bien avec Michel, c'est que l'on comprend tout de suite !
Je me demande combien d'épisodes il va y avoir... :)
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

MC en mathématiques on ne peut pas recoller des compacts, puisque ce sont des fermés purs,il ne peut y avoir

Typesetting math: 79%complémentarité entre certaines sections de leurs bords

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

10 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

parcontre on peut recoller une section ouvert pur d'une certaine forme géométrique, avec une section fermé pur
de forme complémentaire de l'autre,
on aurait pu aussi faire plus compliqué en considérant des sections complémentaires l'une de l'autre à la fois
ouvertes et fermées.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
egoroff
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

En effet. C'est justement ce que Michel explique, il enlève une face à l'un des polyèdres pour que le recollement
soit possible. Sois plus attentif à ce qu'il écrit !
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Je sais, mais il n' a pas le droit de l'enlever cette face ou de la faire disparaitre comme par magie.

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
egoroff
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Hum hum tu es bien placé pour dire ce qu'on a le droit ou non de faire...
Il n'y a pas de magie ni d'arnaque, Michel Coste utilise simplement la formule d'addition. Si
la portion de bord qu'on veut enlever on a bien
.

est le compact et

C'est plutôt à toi d'arrêter de faire de la pâte à modeler (ça ne marche pas rès bien sur ce forum) de te mettre à
faire des maths. Christophe et moi te l'avons déjà dit, ce dialogue avec MC est une occasion en or si tu
acceptes d'oublier des idées préconçues (il ne s'agit pas de renier ton travail hein).
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

D'accord, il faut qu'il comptabilise et qu'il garde et mette de coté ce qu'il enlève, dans son calcul du cardinal.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
egoroff
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Bien d'accord avec toi. Justement, c'est ce qu'il fait (tu peux relire pour vérifier).
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Désolé, j'ai revu mes calculs, j'efface cette horreur.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Bruno, pendant que tu as mis ton message,
j'étais entrain de corriger le mien à plusieurs reprises,
ce qui fait que ton message n'a plus lieu d'etre.
J'ai meme supprimé mon message.

Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Morbak
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Je crois qu'on peut saluer la compréhension de MC et sa patiente... encore une fois Guillaume si tu veux araitre
crédible, il faut que tu poste un peu plus sporadiquement, ne te contentant que de répondre très précisément
aux questions qu'on te pose.
Poster comme ca toutes les 5 minutes et éditer apres car tu as fait des erreurs, non seulement ca ne va pas
dans ton sens, mais en plus ca rend le topic completement illisible par tout le monde.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

MC que pensez vous des phénomènes de subduction entre le bord et l'intérieur lorqu'on déforme un compact :

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

11 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

tout en sachant que "le bord" est un infiniment petit par rapport à "l'intérieur" ?
J'ai l'impression que la partie du bord qui rentre dans l'intérieur est négligée :
ce qui fait que deux compacts de meme volume ont rarement pas le meme cardinal.
Est-ce un bien un tel phénomène qui explique ça ou je me fais des idées et que malgré celà tout est
comptabilisé.
Pour que ça montre que c'est comptabilisé il faut qu'il existe des parties
classe des parties compactes de dimension telles que

compactes de dimension
.

dans la

Non ce raisonnement ne tient pas.
Je pense plutot qu'on ne pourra montrer ce type de formule que pour les parties sans bord,
n'empeche la partie du bord qui rentre dans l'intérieur ne doit pas etre négligée,
mais pris en compte dans le calcul du cardinal.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Guillaume : je n'en pense rien tant que ça reste aussi vague et non mathématisé.
Morbak : si je continue à intervenir sur ce fil, c'est bien aussi parce que j'y trouve un plaisir égoïste à raconter
des mathématiques qui me plaisent.
Et je continue illico avec le
4e épisode de la saga des cardinaux : à la recherche du coefficient mystérieux (1e partie)

Pour un ensemble convexe compact
la formule du "cardinal"

de

,

contient des coefficients bien identifiés:
représente
?

est le volume de

,

est la moitié de sa surface. Mais que

J'assène la réponse :
est proportionnel au diamètre moyen de . D'abord, qu'est-ce que ça veut dire? Si
on fixe une direction de droite, on peut serrer notre compact connexe entre deux plans perpendiculaires à
cette direction; la distance entre les deux plans est alors le diamètre de dans cette direction. Ensuite, on
prend la moyenne pour toutes les directions. On prend cette moyenne en intégrant sur la sphère unité et en
divisant par la surface de la sphère (à une direction correspondent sur la sphère deux vecteurs unitaires
opposés).
Admettons la réponse, et cherchons le coefficient de proportionnalité. On peut le trouver en prenant pour
boule unité dans
, pour laquelle on connaît le cardinal

Ici le diamètre dans toutes les directions est , et donc le diamètre moyen est . Conclusion : pour
compact dans
,
est deux fois le diamètre moyen de .

la

convexe

Faisons une petite vérification pour un segment de longueur 1. Il faut calculer la moyenne de la longueur de sa
projection sur une droite dirigée par un vecteur unitaire parcourant la sphère. Ca fait

Comme le cardinal du segment de longueur
moyen dans
.

est

, on a bien encore que

est deux fois le diamètre

Si on connaît le cardinal, on en déduit le diamètre moyen. Par exemple, pour un parallélépipède rectangle
, on a vu que
, et donc le diamètre moyen est
. Autre exemple : on
peut calculer le cardinal d'un cylindre de rayon et de hauteur en faisant le produit du cardinal d'un disque de
rayon avec le cardinal d'un segment de longueur ; ça donne

et donc le diamètre moyen est

.

Ca a l'air trop beau pour être vrai. Pourtant je vous promets pour bientôt une justification, sous l'autorité d'un
grand maître.
Come d'hab : les épisodes précédents en pdf :
[attachment 7732 GF.pdf]

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

12 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Ritchie

Membre depuis : il y a onze années

Citation

Michel Coste
si je continue à intervenir sur ce fil, c'est bien aussi parce que j'y trouve un plaisir égoïste à
raconter des mathématiques qui me plaisent.
Pas si égoïste, car je le suis avec attention et intérêt également, même si je connais un peu les mathématiques
derrière tout ça.
Et je ne pense pas être le seul à suivre ce fil!
Ritchie

Philippe Malot
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Administrateur
Membre depuis : il y a onze années
Messages: 5 528

Ah ! J'adore ces fins d'épisodes où on est impatient de connaître la suite.
Un peu comme ces séries américaines, mais en mieux !
Ce qui est bien, c'est que ça m'a fait relire mes livres de MB.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

13 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

A propos des phénomènes de subduction entre le bord d'épaisseur nulle et l'intérieur d'un compact, expliquant
peut-être le fait que 2 compacts de même volume aient le même cardinal.
[attachment 7751 GF2.jpg]

Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.

GF2.jpg

Michel Coste

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Guillaume : Je verrai plus tard ce que tu écris.
Je vous ai promis l'intervention d'un grand maître pour justifier mes dires du dernier message. Le voici, Jean
Dieudonné himself, pages 175 et suivantes du tome 3 des ses "Eléments d'Analyse".(pdf attaché)
Attention, il va falloir s'accrocher. Dieudonné, il ne rigole pas!
Il utilise des notations qui ne sont pas celles de Berger. C'est la vie! Ici
désigne la mesure de Lebesgue en
dimension ,
est le volume de la boule unité de dimension ,
donne la mesure usuelle sur la sphère
unité
dans
. On se rappelle que la "surface" de la sphère unité, soit
, vaut
. Par
exemple pour
,
et le périmètre du cercle unité est
et la surface de la sphère
, etc. (et pour
?).

. Pour

le volume de la boule unité

Typesetting math: 79%est

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

14 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

La partie qui nous intéresse est formée des exercices 3 à 9. Je les commente un peu.
Les exercices 3 et 4 établissent la formule de Cauchy donnant la surface
d'un corps convexe
compact de
. C'est la formule (2) page 175. Elle dit que la surface de est égale à la moyenne des
des projections orthogonales de sur des hyperplans, multipliée par
. Cette formule de Cauchy se
trouve aussi chez Berger (c'est le 12.10.2). Berger explique (pour
) l'application aux courbes de largeur
(ou diamètre) constante, comme le triangle de Reuleaux: le périmètre d'une telle courbe est toujours fois la
largeur, comme pour le cercle.
Avec l'exercice 5, on rentre dans le vif du sujet. J. Dieudonné définit pour un corps convexe compact dans
des quantités
. La première,
, est simplement la mesure de Lebesgue. Les autres
sont définis par récurrence, et quand on pousse cette récurrence jusqu'à descendre à
, on
s'aperçoit que
vaut
fois la moyenne des mesures
des projections orthogonales de
sur un sous-espace de dimension
.
Ces
sont continus pour la topologie de Hausdorff, et vérifient la propriété d'additivité (tiens, tiens)

Le 6 ne fait qu'expliciter cette histoire de moyenne pour
:
, c'est
fois le diamètre
moyen (ou largeur moyenne) de . Tiens, tiens; ça commence à ressembler au coefficient
pour la
formule de Steiner-Minkovski en dimension
.
La formule de Steiner-Minkovski, on est justement en plein dedans avec l'exercice 7. Il faut voir ici que
n'est autre que le
de Berger, le corps C sur lequel on a passé une couche de peinture d'épaisseur r.
Ainsi la formule
\lambda_n(V_r(C))=\sum_{j=0}^n {n \choose j} \,W_{j,n}(C)\,r^j
nous dit que les W_{j,n} sont les coefficients de la formule de Steiner Minkovski dans \mathbb{R}^n avec
normalisation donnée par les coefficients binomiaux. Pour les coefficients du "cardinal", on avait normalisé avec
les volumes des boules unités. Le rapport entre les coefficients \mathfrak{c}_j(C) du "cardinal" et les W_{n,i}
s'établit donc comme suit :
\mathfrak{c}_j(C)= \frac{1}{V_{n-j}}\, {n \choose j}\,W_{n,n-j}(C)\;,
pour tout corps convexe compact dans \mathbb{R}^n.
Dans la phrase précédente, "corps" indique que l'intérieur est non vide. L'exercice 8 permet de passer à tous
les ensembles convexes non vides. La formule de comparaison entre W_{i,n} et W_{i-1,n-1} pour un ensemble
de dimension <n est nettement plus sympathique avec les coefficients du cardinal: c'est simplement
\mathfrak{c}_{n-i}=\mathfrak{c}_{n-i} !
Et dans l'exercice 9, la formule horrible avec les W devient aussi beaucoup plus sympathique vue du côté
"cardinal". Prenez un crayon et du papier, et vous trouvez
\mathfrak{c}_{p+q-i}(A \times B) = \sum_{j=0}^i \mathfrak{c}_{p-j}(A)\, \mathfrak{c}_{q-i+j}(B)\;,
qui exprime simplement la multiplicativité du cardinal!
Si ça colle aussi bien, c'est vraiment que ça doit être du sérieux, cette histoire de "cardinal" ! C'est pas
Dieudonné qui irait raconter des choses farfelues.
Pourtant, un doute nous assaille. Tout ce chateau de sable, on l'a bati sur l'identification entre la "cardinal" et la
formule de Steiner-Minkovski et cette identification nous avait juste été suggérée par quelques exemples.
D'accord, grâce à Dieudonné on sait maintenant que le "cardinal" construit à partir de la formule de Steiner
Minkovski vérifie les 7 règles qu'on demandait au "cardinal". Mais est-ce que c'est le seul ?
Allez, je ne vous fait pas languir plus longtemps. Le fait qu'il n'y a qu'un seul "cardinal" vérifiant les règles
découle d'un résultat relativement récent (début des années 1950), démontré par Hugo Hadwiger (vous pouvez
trouver son théorème sur le Wikipedia en anglais, en cherchant Hadwiger's theorem):
Fixons n. On appelle valuation une fonction v sur l'ensemble des parties compactes convexes de \mathbb{R}^n
à valeurs dans \mathbb{R} vérifiant la relation d'additivité v(A\cup B)=v(A)+v(B)-v(A\cap B) (quand A\cup B est
convexe). Alors les valuations prenant la même valeur pour des ensembles superposables et continues pour la
topologie de Hausdorff forment un espace vectoriel de base W_{0,n},W_{1,n},\ldots,W_{n,n}.
Il faut encore un peu travailler à partir du théorème de Hadwiger, mais essentiellement la messe est dite.
D'accord. Mais il y en a un peu ras-le-bol des convexes compacts. Si on passait à autre chose ? Je sais pas
moi, une sphère (creuse), ou un tore ?
A suivre.
MC
[attachment 7750 Dieuquarto.pdf]
Michel Coste
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Guillaume :
Pas lumineux, ton crobard et les écritures autour. Qu'est ce que tu montres ou veux montrer ?
Je te propose un autre crobard, pratiquement le même que le tien. Il y a toujours 2 compacts de même aire :
[attachment 7753 pourGF.jpg]

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

15 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

et maintenant je fais le compte
A gauche: 2 pavés ouverts 1*2, 3 intervalles ouverts de 2, 4 intervalles ouverts de 1, 6 points
A droite: 2 pavés ouverts 1*2, 3 intervalles ouverts de 2, 5 intervalles ouverts de 1, 7 points
Même cardinal ?
Je ne peux pas faire plus terre-à-terre.
Bonsoir,
MC

christophe c
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 37 061

Citation

...démontré par Hugo Hadwiger
Est-ce le même "Hadwiger" que l'auteur de l'une des plus belles conjectures*** jamais faite (bien plus générale
et impressionnante que celle de Riemann)?

*** la conjecture de Hadwiger dit, quelque soit n: dans tout graphe dont le nombre chromatique est n on peut
faire n pays qui se touchent 2 à 2. Un pays est un ensemble connexe de sommets. 2 pays se touchent quand
ils contiennent 2 sommets qui sont liés par une arête.
Elle a l'air de rien comme ça: mais presque tous les problèmes peuvent se ramener à des questions de graphes
à colorier (qui est NP-complet soit dit en passant). La Conjecture de Hadwiger donne une condition suffisante
très générale de coloriabilité: "pas pouvoir faire tant de pays qui se touchent tous"
Dans les variétés topologoqies, il y a généralement un avantage: un graphe "dessinable" dans une variété est
(évidemment) tel que le graphe de pays qu'on y choisit est lui aussi "dessinable" dans la variété.
Exemple: la CHad entraine le théorème des 4 couleurs car on ne peut pas dessiner 5 pays qui se touchent 2 à
2 dans le plan. Etc....

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été
effectuée par christophe chalons.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

16 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

Oui Christophe, c'est bien le même.
Le voici en 1958 (collection de photos du Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach)
[attachment 7755 Hadwiger.jpg]
A la votre!
Cordialement,
MC

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été
effectuée par Michel Coste.

Michel Coste
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Bon, c'est bien calme maintenant sur ce fil. Je poursuis tout de même avec la saga du "cardinal".
5e épisode : Ras-le bol des convexes (1e partie)
Résumé des épisodes précédents: On a vu que les règles imposées pour le "cardinal" \mathfrak{C} le
caractérisent de manière unique pour les ensembles convexes compacts: si C est convexe compact dans
\mathbb{R}^n, alors \mathfrak{C}(C) = \sum_{i=0}^n \mathfrak{c}_i(C)\, \mathfrak{I}^i, où (formule de SteinerMinkovski) le volume de C augmenté d'une couche de peinture d'épaisseur r est
\sum_{i=0}^n \frac{1}{\beta(n-i)} \mathfrak{c}_i(C) r^{n-i} (rappelons que \beta(j) est le volume de la boule unité
en dimension j).
Pour s'échapper des convexes compacts, on peut déjà faire des unions finies de convexes, et calculer le
"cardinal" en utilisant l'additivité. Par exemple, pour le bord du carré unité formé de quatre segments de
longueur 1 avec les quatres sommets paratagés par deux segments, on trouve comme "cardinal"
4(\mathfrak{I}+1)-4= 4\mathfrak{I} Puis, si on colle ensemble k bords de carrés, on va trouver (3k+1)\mathfrak{I}
+1-k. Ici le coefficient constant est négatif, et vous reconnaîtrez la caractéristique d'Euler du graphe dessiné
(vous savez, nombre de sommets - nombres d'arêtes).
[attachment 7765 carres1.jpg]
Bon, c'est trop facile. Essayons plutôt avec un tore solide engendré par un disque de rayon R tournant autour
d'un axe, avec a la distance du centre de disque à l'axe (a > R). Alors on peut refaire le coup de la couche de
peinture d'épaisseur r pour calculer le "cardinal" du tore. Avec cette couche de peinture, il faut calculer le
volume du tore engendré cette fois par le disque de rayon R+r, et c'est facile avec la formule de Guldin : 2\pi\,a
\times \pi(R+r)^2, soit 2\pi^2\,a\,R^2 + 4\pi^2\,a\,R\,r + 2\pi^2 \, a\,r^2, et donc voici le "cardinal" du tore
2\pi^2\,a\,R^2\, \mathfrak{I}^3 + 2\pi^2\,a\,R\,\mathfrak{I}^2 + 2\,a\,\mathfrak{I}\;.
Bon, le coefficient de \mathfrak{I}^3 est le volume, celui de \mathfrak{I}^2 la moitié de la surface (encore
Guldin), le terme constant est la caractéristique d'Euler, nulle pour le tore. Le coefficient de \mathfrak{I} ?

Toujours armé de notre pot de peinture, attaquons-nous au "cardinal" de la sphère de rayon R dans
\mathbb{R}^3. Une fois qu'on a bien passé une couche d'épaisseur r des deux côtés (intérieur et extérieur), le
volume obtenu est la différence de volume entre une boule de rayon R+r et une boule de rayon R-r, soit \frac{4}
{3}\,\pi (6R^2\,r +2\,r^3), d'où le "cardinal" de la sphère
4\pi R^2\mathfrak{I}^2 + 2\;.
L'aire de la sphère en coefficient de \mathfrak{I}^2, sa caractéristique d'Euler en terme constant. Rien de
surprenant. Visiblement, le coefficient de \mathfrak{I} n'aurait plus à voir avec une largeur moyenne.
Et si on essayait le coup de la couche de peinture d'épaisseur r sur nos bords de carrés recollés ?
[attachment 7766 carres2.jpg]
La surface qu'on trouve ici est celle du rectangle (1+2r)\times (k+2r), moins k fois celle d'un carré de côté 1-2r,

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

17 sur 17

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=2

ce qui fait (6k+2)r + 4(1-k)r^2. Pour le cardinal : (3k+1)\,\mathfrak{I} + \frac{4}{\pi}\,(1-k). Aïe aïe aïe, la cata! Ce
n'est pas ce qu'on avait trouvé par additivité. Le terme constant n'est même plus entier. Est-ce que tout est
fichu? On peut jeter à la poubelle nos calculs pour le tore et la sphère?
A suivre...
MC
Michel Coste

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Ah j'oubliais! Les épisodes précédents compactés.
MC
[attachment 7767 GF.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - GF.pdf (170.4 KB)
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

MC a raison pour les compacts faits de matière continue de densité uniforme :
Si 2 compacts faits de cette matière ont le meme volume,
mais que le volume du bord de l'un est plus grand que celui de l'autre :
celui qui a le volume du bord le plus grand a aussi le cardinal le plus grand et mon postulat 1.15 et sa remarque
1.17 sont contredits.
Parcontre une variante toute simple du postulat 1.15 avec des parties faites de la meme quantité de matière
finie de matière discrète de densité uniforme donc ayant le meme volume (celle qu'on rencontre le plus souvent
dans la réalité),
avec des phénomènes de subduction entre le bord et l'intérieur,
il n'en va pas de meme:
2 parties faites de la meme quantité finie de matière discrète de densité uniforme : donc de meme volume,
auront toujours le meme cardinal, c'est évident.
Dommage car dans ma théorie j'en reste bloqué à exprimer le cardinal d'une partie bornée partitionnable en un
nombre fini de variétés sans bord et de points,
en fonction des cardinaux de parties compactes (ou variétés avec bord de bord leur frontière) et de points sans
pouvoir aller plus loin, càd les exprimer comme polynome du cardinal d'un intervalle compact ou non.
C'est MC qui donne la solution.
Quant à moi je vais devoir me trouver une nouvelle théorie personnelle.

Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été
effectuée par Guillaume du HAVRE.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.
Cliquer ici pour vous connecter
Liste des forums - Statistiques du forum
Total
Discussions: 128 170, Messages: 1 226 961, Utilisateurs: 20 913.
Notre dernier utilisateur inscrit Sheshe123.

Ce forum
Discussions: 2 716, Messages: 32 007.

AlgèbreAnalyseArithmétiqueCombinatoire et GraphesConcours et ExamensFondements et
LogiqueGéométrieHistoire des MathématiquesLaTeXLes-mathématiquesLivres, articles, revues,
(...)Mathématiques et InformatiqueMathématiques et SociétéPédagogie, enseignement, orientationProbabilités,
théorie de la mesureShtamStatistiquesTopologieVie du Forum et de ses membres
This forum is powered by Phorum.

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

Typesetting math: 79%

01/06/2018 à 11:21

Mes cardinaux.

1 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Pensez à lire la Charte avant de poster !

[ Le forum | Le serveur d'exercices | Apprendre Latex en ligne | Le livre d'or | Le formulaire | Collaborateurs | Mathématiciens | Visiteurs | Sommaire ]

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
145 personne(s) sur le
site en ce moment

Bienvenu(e)! Identification Créer un nouveau profil Localiser les utilisateurs Nouveaux messages non lus
» Sauter vers le forum ... Forums > Topologie > Discussion > Page 3

Adresse Mail:

Recherche avancée

Inscription
Désinscription

Mes cardinaux.
Envoyé par Utilisateur anonyme
Michel Coste
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Actuellement 16057
abonnés
Qu'est-ce que c'est ?

Bonsoir Guillaume,
En tout cas j'espère t'avoir convaincu que la théorie des "cardinaux" que tu essayais de mettre en place a des résonances mathématiques
profondes.

E. Cartan

A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger

Aussi, qu'il ne faut pas se laisser guider par des idées préconçues, mais essayer de tirer avec rigueur et précision toutes les conséquences de ce
qu'on pose comme hypothèse. Pour ce qui est de la clarté et de la rigueur, tu as encore beaucoup de progrès à faire. J'en reviens à un conseil que
je t'avais déjà donné : écris ton mémoire de M2 de la manière la plus claire et la plus convaincante possible, fais-en un travail dont tu puisses être
fier.

Autre point, pour l'ensemble des lecteurs : la fin de mon dernier envoi est à corriger. Le dessin est le suivant :
[attachment 7774 carres3.jpg]
et dans le calcul qui suit il faut prendre l'aire du rectangle arrondi. Mais même avec cette correction, on ne trouve toujours pas le même résultat que
celui qu'on obtient par additivité.
A bientôt,

Théorème de
Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques

MC

Taper le mot à
rechercher

Mode d'emploi

Faites connaître LesMathematiques.net à un
ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum
Nous contacter

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page

Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Ceci est une réponse à MC suite à son précédent message.
La plupart des sujets de recherche partent d'un domaine déjà connu et déjà établis,
on dit à l'avance aux thésards ce qu'ils doivent trouver à priori dans les grandes lignes avec de bonnes probabilités (Cf. sujets de thèses),
et certains problèmes non résolus sont déjà formulés.
alors qu'à priori mon sujet sur les cardinaux ne l'était pas sans votre documentation que je ne connaissais pas,
je partais à la grande vadrouille.
Ca aurait était plus facile pour moi de faire une thèse dans un domaine connu, qui soit dans mes ressorts.
Pour mon mémoire, je dois faire une synthèse limitée en nombres de pages sur le sujet "solutions de viscosité et programmation dynamique"
à partir d'un livre et d'un document,
illustré de théorèmes dont la démonstration sera bien détaillée,
en définissant ce que sont les solutions de viscosité et la programmation dynammique,
en établissant bien les liens entre les deux,
et en ne considérant que ce qui a attrait au sujet.
Pour l'instant je commence à faire ma 2 ème sélection (ma plus grande) des théorèmes et sections qui me paraissent les plus fondamentaux et les
plus pertinents, j'ai sélectionné 71 pages sur 167, sans le chapitre d'introduction de 8 pages qu'il est facile de résumer en une page,
mais le nombre de pages du mémoire à atteindre reste problématique (police plus grosse que celle du livre peut-etre ou textes plus espacés).
Pour mon mémoire je sais avoir de la clareté et de la rigueur, mais quand je suis cadré par un sujet dans un domaine connu,
de meme pour une thèse,
pas quand je parts que de mes propres intuitions, là c'est plus difficile pour formaliser mes concepts,
alors que les concepts et les outils meme s'il faut en trouver par soit meme lors d'une thèse,
sont donnés par le domaine connu de cette thèse.

Edité 5 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

Bonjour,
Je veux dans ce message mettre un point final (en ce qui me concerne) à la saga du "cardinal". On a vu jusqu'à présent que la notion de "cardinal"
fonctionne très bien pour les ensembles convexes compacts (les règles posées au début le déterminent entièrement) et que ce "cardinal" peut se
calculer au moyen de la technique de la couche de peinture (autrement dit, la formule de Steiner-Minkovski).
La dernière fois, nous avons vu que la technique de la couche de peinture passée sur une grille
[attachment 7803 carres2.jpg]

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

2 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

aboutissait à une contradiction avec la règle d'additivité. Faut-il pour autant jeter le bébé avec l'eau du bain?
Heureusement non. Le fait que la technique de la couche de peinture ne marche pas pour calculer le "cardinal" dans le cas de la grille vient, on le
sent bien, des coins intérieurs. De manière précise, il y a dans les coins intérieurs des points aussi proches qu'on veut de la grille et qui ont deux
points sur la grille réalisant le minimum de distance.
Ceci n'arrive pas pour un ensemble convexe compact non vide
(dans ce cas il y a toujours un unique point le plus proche sur ) ou pour une
sous-variété lisse compacte
de
. Dans ce dernier cas, pour suffisamment petit, tout point a une distance
de
a un unique point le
plus proche sur
; ces points à une distance
forment un tube
, et Hermann Weyl a établi que le volume d'un tube de rayon est
donné par un polynôme en . Vous pouvez voir cette formule du tube dans le livre de Géométrie différentielle de Berger et Gostiaux, par exemple.
On y explique que les coefficients de ce polynôme sont donné par des intégrales de certaines courbures.
On a aussi une formule du tube pour des sous-variétés compactes
à bord
, qui coïncide avec la formule de Steiner-Minkovski pour les corps
convexes compacts à bord lisse. On peut utiliser cette formule du tube pour étendre la notion de "cardinal". Si
est de dimension , le coefficient
du "cardinal" (pour
) est donné par l'intégrale

où
sont les courbures principales en
, et
le
ème polynôme symétrique élémentaire. On peut
déterminer les constantes
en prenant pour
une boule de rayon , pour laquelle les courbures principales du bord valent toutes
. Par
exemple on sait que pour une boule de rayon en dimension 3, on a

d'où

. Donc, si on a une variété à bord compacte

courbure moyenne sur le bord de

(la courbure moyenne est

trouve que l'intégrale de la courbure moyenne est

de dimension 3, le coefficient de

dans le cardinal de

est

fois l'intégrale de la

). Pour le tore dont le centre du disque est à distance

de l'axe, on

.

Signalons aussi que l'écriture du terme constant du cardinal comme intégrale de courbure n'est autre que la célèbre formule de Gauss-Bonnet qui
donne la caractéristique d'Euler comme une constante fois l'intégrale de la courbure de Gauss (produit des courbures principales)

L'extension de ces intégrales de courbure du cas des sous-variétés lisses compactes, éventuellement à bord, à celui de sous-ensembles de
pouvant présenter des singularités a été réalisé ces dernières années, principalement par Martina Zähle, Joseph Fu, Ludwig Bröcker et Andreas
Bernig. Ces deux derniers auteurs ont démontré l'existence et l'unicité du "cardinal" vérifiant les règles posées au départ,(avec une condition de
continuité pour une topologie étendant la topologie de Hausdorff sur les convexes compacts et dont la description est un peu compliquée
techniquement) sur des classes de compacts qui admettent une bonne décomposition en un nombre fini de morceaux difféomorphes à des pavés
ouverts de différentes dimensions. (La décomposition que Guillaume F essayait de mettre en place, sans les outils nécessaires, fait penser à ça).
\section*{\'Epilogue}
Finalement, on a vu que la notion de "cardinal" nous amène à voir pas mal de mathématiques, notamment tout un pan de la géométrie convexe. Ce
domaine est encore bien vivant, on peut avoir un aperçu de développements récents dans la conférence invitée de Semyon Alesker au congrès
international des mathématiciens de Pékin (2002).
[attachment 7801 Aleskerrev.pdf]
En dehors de la géométrie convexe, la notion d'invariant additif associé à un objet géométrique (comme l'est le cardinal par sa règle n°3) est aussi
au coeur d'importants progrès récents, comme l'intégration motivique introduite par Maxim Kontsevich et développée notamment par Jan Denef et
François Loeser.
Certaines familles d'invariants additifs se regroupent naturellement en un polynôme, à la façon du "cardinal": on peut citer le polynôme de Hodge
en géométrie algébrique complexe. L'invariance dans ce cas est pour les isomorphismes algébriques, pas pour les isométries comme dans le cas
du "cardinal". A ma connaissance, ce sont A. Bernig et L. Broecker qui ont les premiers regroupé les courbures de Lipschitz Killing en un polynôme,
créant le "cardinal" dont on a raconté la saga.
Voici l'ensemble de la saga en pdf
[attachment 7802 GF.pdf]
Ouf!
MC
egoroff
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Alors là chapeau.. merci beaucoup Michel pour cet exposé magistral. Je connaissais un tout petit peu ces histoires de polynômes pour les corps
convexes, sous le nom de quermassintegrals je crois, mais j'étais loin de me douter que la théorie était aussi riche et intéressante !
Encore merci (et bravo pour avoir su raisonner GF).
le barbant raseur
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 960

C'était vraiment passionant. Merci beaucoup Michel.
remarque
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Oui, c'était vraiment un des fils les plus intéressants depuis longtemps. On en vient à regretter que ce soit fini...

Ritchie
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 646

Il me faudra un peu plus de temps libre pour lire l'épilogue de ce feuilleton, mais un grand bravo pour tant de pédagogie!
Ritchie
Bruno
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Administrateur
Membre depuis : il y a onze années
Messages: 14 582

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

3 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Fichier enregistré, je vais le lire à mon rythme. Merci Michel de passer du temps avec nous et de prendre la peine d'avoir fait un document d'un tel
intérêt.
Bruno
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Et merci de m'avoir remis les pendules à l'heure,
d'avoir su voir l'analogie entre une partie de mes travaux et des travaux plus poussés déjà faits bien avant moi par des mathématiciens,
d'avoir montré mes erreurs de démonstation dans le 2) et peut-etre dans le 3) de ma proposition 1.4,
et d'avoir montrer le cas général plus simplement par une méthode classique à partir du 1),
d'avoir montré la fausseté de mon postulat 1.15 et de sa remarque 1.17,
et enfin quand je lui ai montré le schéma de ma partie bornée de
partitionnable en un nombre fini de variétés sans bord et de points ou
d'ouverts purs et de points,
de me dire que ça fait déjà longtemps que des mathématiciens se sont consacrés à classifier les parties de
,
et de me donner un exemple.
Bref Michel Coste a bouclé définitivement mon sujet sur mes cardinaux de parties bornées de

, enfin presque.

Michel Coste a préféré employer le terme de "cardinaux" au lieu de cardinaux,
c'est je pense un tort car ce sont ces cardinaux qui dans une certaine mesure (puiqu'il est question de parties bornées seulement) détronent ceux
de Cantor.
Il y a peut etre quelques cas non bornés qu'on peut traiter par exemple en patitionnant
mais dans ce cas, la théorie demeure très limitée.

en deux segments et en un point

,

Je n'ai désormais plus qu'à me trouver une autre théorie personnelle :
plus facile à dire qu'à faire.
Peut-etre m'attaquer aux cardinaux de parties non bornées de
Puis généraliser les résultats bornés ou non de

à

en faisant peut-etre appel à de l'analyse non standard.

, ...etc.

Michel Coste

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Guillaume : Je suis content d'avoir pu t'apporter mon aide. Mon expérience en mathématiques, c'est que les occasions où on peut inventer quelque
chose de nouveau et qui en vaut le coup sont vraiment très, très rares! Par contre, on peut constamment se faire plaisir en comprenant de jolies
mathématiques. D'autant que les idées qu'on peut avoir ne viennent pas toutes seules, mais sont nourries par ce qu'on a appris d'autres.
Je suis très flatté par les remerciements. Pour vous remercier à mon tour (et aussi pour boucher quelques trous), voici un
\section*{Bis}
\subsection*{Intégrale de courbure moyenne}
On a vu que, pour un solide compact
à bord lisse dans
, le coefficient de dans le "cardinal" de
est égal à
fois l'intégrale de la
courbure moyenne sur le bord. On en a déduit, à partir du calcul du "cardinal" du tore solide par la technique de la couche de peinture, que
l'intégrale de la courbure moyenne sur le tore est
où est la distance du centre du disque à l'axe de révolution.
Rien de tel qu'une bonne vérification. Comme j'ai la flemme de calculer la courbure moyenne sur le tore, j'ouvre "A Course in Differential Geometry"
de Klingenberg page 49, et là je vois que pour le paramétrage du tore donné par

la courbure moyenne est

Il ne reste plus qu'à intégrer

Zut, un facteur qui dépasse. Alors je rejette un coup d'oeil à la formule du cardinal du tore solide, et je m'aperçois que je me suis trompé dans la
normalisation. Le vrai cardinal du tore solide est

et tout colle.
Essayons maintenant pour un parallélépipède rectangle
. Le bord n'est pas lisse, mais qu'à cela ne tienne: pour rendre le bord lisse, on
passe dessus une couche de peinture d'épaisseur et on fait tendre vers (d'accord, ce n'est pas de classe
et il y a un problème pour
calculer les courbures partout, mais presque partout ça va). C'est bien une limite pour la distance de Hausdorff sur les convexes compacts, donc ça
devrait marcher. La courbure moyenne est nulle en regard des faces, égale à
sur les quarts-de-rond le long des arêtes, et à
sur les
huitièmes de sphères au sommet. La contribution des faces à l'intégrale de courbure moyenne est nulle, celles des sommets tend vers avec , et
celle des arêtes est

C'est bien

fois le coefficient de

dans

. Yes!

\subsection*{Bien mesurer la couche de peinture}
Si la couche de peinture n'a pas donné le résultat attendu quand on l'a passé sur la grille, c'est parce qu'on l'a mal mesurée. La bonne recette pour
mesurer la couche de peinture d'épaisseur passée sur un compact
, c'est d'affecter à chaque point à distance
de un poids égal
à la caractéristique d'Euler de l'intersection de avec la boule de centre et de rayon . Si est convexe, l'intersection est convexe et sa
caractéristique d'Euler est : tout est normal. Mais dans un coin intérieur la caractéristique d'Euler peut être , comme sur le dessin où l'intersection
se compose de deux segments.

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

4 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

[attachment 7813 coin.jpg]
Pour la couche de peinture sur la grille, on doit donc compter deux fois les surfaces en rouge.
[attachment 7814 grille.jpg]
Quand on fait ça, on trouve pour la couche de peinture sur une grille de

et maintenant ça colle avec le "cardinal"

carreaux

obtenu par additivité. Re-yes!

Cordialement,
MC
egoroff
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 9 982

Bravo !!!!! clap clap clap clap clap clap (standing ovation).
Ca donne envie de ressortir son Berger-Gostiaux.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

A Michel Coste qui aurait pu le remarquer
Remarque : On peut remplacer le contenu de ma proposition 1.15 par :
Si deux intérieurs de compacts différents ont meme volume :
alors ils ont le meme cardinal
et non pas comme dans ma proposition 1.15 :
Si deux compacts ont meme volume alors ils ont meme cardinal.
N'empeche que ce simple changement dans ma proposition 1.15 change la donne et me permet de faire le pont avec la suite et de clore ma théorie
:
Mon premier théorème de décomposition est toujours vrai moyennant l'hypothèse 1.7 :
Reste que les ensembles ainsi obtenus peuvent avoir une infinité de composantes connexes :
Ce qui n'est pas toujours évident à traiter.
Mais je pense que ma théorie peut peut-etre simplifier bien des choses.

Remarque : Il est dit dans mon cours de topologie qu'une composante connexe d'un ensemble A est un fermé de cet ensemble :
Ce qui m'a paru etre absurde si cet ensemble est un ouvert pur de l'ensemble espace E, mais ne l'est pas :
Je pense que dans ce cas les composantes connexes sont des ouverts purs pour l'ensemble espace E mais des fermés purs de A
Si l'ensemble A en question était un fermé pur de E :
Ses composantes connexes seraient des fermés purs à la fois pour l'ensemble E et A .
Parcontre si l'ensemble A en question est à la fois ouvert et fermé dans E :
là c'est différent.

Edité 6 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par Guillaume du HAVRE.
Michel Coste
Membre depuis : il y a dix années
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 527

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

5 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Désolé Guillaume, ça ne marche pas mieux avec les intérieurs. L'intérieur d'un carré a plus grand "cardinal" que l'intérieur d'un rectangle de même
aire. C'est un peu toujours la même histoire.
Tu découpe l'intérieur d'un carré de 2 sur 2 en deux intérieurs de rectangles de 2 sur 1, deux intervalles ouverts de longueur 1 et un point.
[attachment 8273 carre1.png]
Tu recolles les deux intérieurs de rectangles le long de leurs petits côtés, avec pour colle un des intervalles ouverts. Tu trouve l'intérieur d'un
rectangle de 4 sur 1 de même aire que le carré de départ, et il te reste sur les bras un intervalle ouvert et un point.
[attachment 8274 carre2.png]
Cordialement,
MC

Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par Michel Coste.

Jean-Louis Lambda

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 99

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Quelqu'un a-t-il essayé de calculer le "cardinal" d'un ensemble triadique de Cantor ?
Michel Coste
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Bonjour,
La version du "cardinal" tel que je l'avais présentée au cours d'interventions sur ce fil, et qui en fait se ramène à des invariants connus sous divers
noms, certains depuis plus d'un siècle (Quermasse, volumes intrinsèques, invariants de Lipschitz-Killing), ne fonctionne que pour des classes de
sous-ensembles de
ne présentant pas de pathologie et ayant de bonnes propriétés de finitude (par exemple : unions finies de convexes
compacts, ou ensembles semi-algébriques bornés). Dans le cas de sous-ensembles de la droite, ça couvre les unions finies d'intervalles bornés et
de points. Un ensemble de Cantor échappe complètement à ce cadre. Si on construit l'ensemble triadique de Cantor à partir du segment unité,
l'ensemble obtenu à l'étape de la construction a pour "cardinal", avec les notations utilisées dans ce fil,
(la mesure de Lebesgue
en coefficient de , la caractéristique d'Euler en terme constant).
Cordialement,
MC
Jean-Louis Lambda

Membre depuis : il y a onze années
Messages: 99

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Etant donné que l'on a généralement un polynôme en
dimension non entière

de degré

pour des ensembles de dimension , et que l'ensemble de Cantor est de

, on devrait s'attendre à trouver un terme en

, si il est possible de généraliser la définition de

aux puissances non

entières.
Je pense que le triangle de Sierpinski serait peut-être plus simple à étudier (c'est un compact connexe, mais qui n'est pas une union finie de
convexes).
Jean-Louis Lambda
Membre depuis : il y a onze années
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Messages: 99

On peut peut-être utiliser le fait que lorsqu'on fait une homothétie de rapport
.
Un triangle de Sierpinski est l'union de 3 triangles de Sierpinski de rapport
Cela semble indiquer que

et que

si

et

sur un ensemble de cardinal

son cardinal devient

, moins 3 points d'intersection.

.

[attachment 8279 SierpinskiTriangle.gif]
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

C'est bizarre mais quand on obtenait 2 résultats différents pour le meme cardinal d'un meme ensemble borné :

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

6 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Le terme de plus grande puissance était toujours le meme :
c'est le volume de plus grand degré de cet ensemble borné
qui peut se confondre avec le volume de plus grand degré de l'adhérence ou de l'intérieur de cet ensemble.
Je croyais que si deux compacts de meme volume n'avaient pas le meme cardinal :
celà s'expliquait par les effets de bord,
et que les intérieurs de meme volume avaient donc le meme cardinal,
mais Michel Coste m'explique qu'en fait c'est plus compliqué que ça :
en fait les effets de bord affectent aussi les intérieurs.
Michel Coste

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

> Guillaume : tu remarqueras que ce que gagne en cardinal le carré compact en devenant un rectangle compact, c'est exactement ce que perd
l'intérieur du carré en devenant l'intérieur du rectangle, à savoir la moitié de la différence de cardinal entre le bord du rectangle et le bord du carré.
> Jean-Louis : très intéressante cette idée. En fait pour le Cantor triadique standard
(qui est union disjointe de deux Cantor trois fois plus petits),
le cardinal serait, simplement en suivant ce que tu dis,
, où
est la dimension de Hausdorff. Et comme tu l'explicites, celui du
triangle de Sierpinski

serait

. Ce qu'il serait raisonnable de mettre pour

et , c'est les mesures de Hausdorff de dimensions

correspondantes (normalisées de façon convenable pour qu'elles coïncident bien avec les mesures de Lebesgue aux dimensions entières).
Après, je ne vois pas pour quelle classe d'ensembles on pourrait dire des choses raisonnables. Et si on dit que le cardinal du produit cartésien du
Cantor par le triangle de Sierpinski a pour cardinal le produit des cardinaux
, le coefficient dominant doit encore être une
mesure de Hausdorff, mais quid du coefficient

? Au moins, les invariants de Lipschitz-Killing, on sait à quoi ils correspondent.

Le triangle de Sierpinski a une caractéristique d'Euler fractionnaire : marrant.
A suivre ?
Cordialement,
MC
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

A Michel Coste
Et si on condidérait
(la somme du cardinal de l'adhérence d'un ensemble A et du cardinal de l'intérieur de cet ensemble A)/2
et (la somme du cardinal de l'adhérence d'un ensemble B et du cardidal de l'intérieur de cet ensemble B)/2
où les volumes de plus grand degré de A et de B sont les memes :
Je dirais que :
(la somme du cardinal de l'adhérence de cet ensemble A et du cardinal de l'intérieur de cet ensemble A)/2
= (la somme du cardinal de l'adhérence de cet ensemble B et du cardidal de l'intérieur de cet ensemble B)/2

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a dix années et a été effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

,

On suppose qu'on a bien :

Comme

On a

De meme pour
donc

Si

Ce que Michel Coste avait prédit
Utilisateur anonyme

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

7 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

J'ai vérifié ma formule avec un carré

et un rectangle

En posant
J'obtiens bien de chaque coté des deux membres
Le problème est que si je prends une partie

connexe, et un hypercube

:

:
Je ne peux pas isoler les formules de

et de

.

Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

J'ai la solution
Soit

et

un hypercube de dimension

:

On a

Or
Rebelotte avec

avec
et

:

Bien sur pour ces ensembles l'adhérence et l'intérieur des parties concernée ne sont plus par rapport à
classe
de dimension
.
Michel Coste

mais par rapport à des variétés de

Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Membre depuis : il y a dix années
Messages: 527

Bonjour Guillaume,
Je joue encore une fois les rabat-joie, mais ma remarque sur les pertes et gains t'a embarqué sur une fausse piste.
Pour que tout le monde puisse comprendre à quoi on joue, je rappelle la partie des règles du jeu qui sera utile :
Le "cardinal" d'un point est 1, celui d'un segment de longueur est
. Les "cardinaux" s'additionnent (pour une réunion disjointe) et se
multiplient (pour un produit cartésien). Par exemple le "cardinal" d'un intervalle ouvert de longueur est
(on a retiré les deux extrémités du
segment), celui d'un rectangle compact de côtés et est
.
Les deux figures ci-dessous ont même aire.
[attachment 8292 careuler.png]
Le "cardinal" du carré (compact) est

, celui de l'intérieur du carré

, la moyenne est

.

Le "cardinal" de la figure de gauche (rectangle compact de 3 sur 3,5 auquel on a retiré un rectangle ouvert de 1 sur 1,5) est

celui de l'intérieur de cette figure (grand rectangle ouvert moins petit rectangle compact) est

. La moyenne est

On a donc deux figures compactes de même aire mais pour lesquelles les moyennes du cardinal et du cardinal de l'intérieur sont différentes.
Dans l'espace à trois dimensions, on a un contre-exemple avec des figures qui ont même topologie (ce qui n'est pas le cas pour les figures planes
ci-dessus). Pour le cube compact de côté 2, la moyenne du cardinal et du cardinal de l'intérieur est
. Pour le parallélépipède rectangle
compact de côtés 4, 2 et 1, cette moyenne est
.
Cordialement,
MC
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Michel Coste a raison : ma formule est fausse bien qu'elle s'est vérifiée par hasard sur l'exemple que j'ai présenté et bien que certaines de ses
conséquences s'avèrent vraies.
Mais ce qu'il ne dit pas c'est qu'elle est bonne sauf pour un terme de chaque coté des deux membres : le dernier terme (le plus petit) de chacun
des deux membres, en dimension .
Je crois qu'elle est vraie pour une dimension finie

quelquonque que pour les deux premiers termes de chacun des deux membres.

A vrai dire ma formule est une approximation : il y a peut-etre donc un moyen de la corriger pour qu'elle ne le soit plus.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a dix années

Ma formule marche pour deux intervalles de meme longueur
et pour deux rectangles de meme aire,
elle doit surement marcher pour les morceaux d'arc de meme longueur et les figures planes de meme aire sans trous.(Je crois que Michel Coste en
a parlé brièvement)
Reste à trouver une formule qui se généralise en dimension 3 au cas des solides sans trous, etc...
Puis de la généraliser au cas des figures avec trous.

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

8 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Ca doit etre faisable, sans passer par l'arsenal technique que Michel Coste nous a présenté dans cette discussion.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a neuf années

Je dis que la notion présentée par Michel Coste à travers ses messages et ses pdf,
mérite bien l'appelation de cardinal,
puisqu'elle prolonge la notion intuitive contrairement au cardinal de Cantor,
bien sur elle ne distingue que les cardinaux infinis d'une classe de parties qu'on peut mettre en bijection.
Alors j'aimerais bien en savoir plus sur cette notion,
elle peut peut-etre simplifier la démonstration du paradoxe de Banach-Tarski,
puisqu'elle ne néglige aucun volume quelque soit sa dimension.
Peut-etre qu'il y a des moyens de la généraliser,
notamment à certaines parties non bornées de
On pourra l'étendre à

.

,...,etc,

puis à des classes d'ensembles non dénombrables plus générales,
et on n'en finira pas de généraliser.
Le cardinal de Cantor ne sera valable que pour ce qui est hors de notre portée.
On pourra parler de et immaginer des ordinateurs qui stockent chaque donnée en un point du disque dur fait de matière continue de densité
uniforme donc ayant une mémoire infinie
et montrer que le disque dur de volume plus petit a une capacité de stockage plus petite que le disque dur de volume plus grand,
tout deux étant faits d'une matière de meme densité uniforme.
Le cardinal de Cantor en est incapable notamment pour les disques durs parallèlépipédiques puisqu'on peut les mettre en bijection,
encore mieux je peux mettre en bijection un segment avec un de ses disques durs.
On voit bien que dans bien des cas le cardinal de Cantor n'est pas une notion assez fine.
J'aimerais bien connaitre toutes les applications d'un tel cardinal.
Ce cardinal ne concerne que les parties de matière continue de densité uniforme,
et si on le généralisait aux densités non uniformes.
HelloWorld
Re: Mes cardinaux.
il y a neuf années

Le jour où la matière sera quelque chose de continu, tu m'appelles stp.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a neuf années

Oui, mais c'est pour imager,
rien ne nous dit que que dans des parties de L'Univers encore inconnues cette propriété ne soit pas vraie :
L'Univers est le monde de tous les possibles ou tout n'est pas possible.
Et puis si on veut continuer : Est-ce que L'Univers est borné ou non borné ?
Mathématiquement on peut créer et imaginer des modèles d'Univers non bornés.
HelloWorld
Re: Mes cardinaux.
il y a neuf années

Un des postulats essentiels à la physique est l'isotropie...
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a neuf années

Dit toi bien que nous n'avons qu'une connaissance locale, partielle et approximative de L'Univers,
et il y aura tellement d'hétérogénéités d'origine locale,
qu'il sera de plus en plus difficile les années passant et les connaissances s'accumulant de faire des théories physiques homogènes et non tirées
par les cheveux qui tendent {vers le/au} tout .
Je sais ton principe d'isotropie vaut sans doute localement,
meme si dans notre partie de L'Univers celà peut concerner des échelles considérablement plus grandes et des échelles considérablement plus
petites que la notre.
Moi, je n'idéalise pas L'Univers :
Nous devons vivre et survivre en lui,
malgré l'incertitude,
je dis incertitude car la certitude n'est qu'apparence :
Il peut y avoir un jour une explosion extérieure gigantesque qui détruise tout notre Univers connu,
et nous avec,
il peut y avoir un jour des changements brutaux de lois microscopiques qui fassent de meme.

Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Guillaume du HAVRE.
Utilisateur anonyme
Re: Mes cardinaux.
il y a neuf années

Après éventuellement une réponse,
j'aimerais bien qu'on en revienne au vrai sujet de cette discussion.
J'aimerais connaitre toutes les potentialités et les possibilités qu'offrent ces cardinaux,
meme si j'en entrevois certaines.
J'aimerais savoir comment faire pour imposer la dénomination de cardinal à cette notion qui va vraiment dans le sens de l'intuition
pour une classe d'ensembles infinis qu'on peut mettre en bijection,
contrairement au cardinal de Cantor qui à bien des égards et contre intuitif,
et dont nous ne devons nous en servir qu'en dernier recours.

Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a neuf années et a été effectuée par Guillaume du HAVRE.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.
Cliquer ici pour vous connecter

01/06/2018 à 11:22

Mes cardinaux.

9 sur 9

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=3

Liste des forums - Statistiques du forum
Total
Discussions: 128 170, Messages: 1 226 961, Utilisateurs: 20 913.
Notre dernier utilisateur inscrit Sheshe123.

Ce forum
Discussions: 2 716, Messages: 32 007.

AlgèbreAnalyseArithmétiqueCombinatoire et GraphesConcours et ExamensFondements et LogiqueGéométrieHistoire des
MathématiquesLaTeXLes-mathématiquesLivres, articles, revues, (...)Mathématiques et InformatiqueMathématiques et SociétéPédagogie,
enseignement, orientationProbabilités, théorie de la mesureShtamStatistiquesTopologieVie du Forum et de ses membres
This forum is powered by Phorum.

©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001

01/06/2018 à 11:22