Nouvelles notations mathématiques (24)

Nouvelles notations mathématiques
Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
14 août 2026

NB : ”∀i, j ∈ I,

Pi,j ” ⇔ ”∀(i, j) ∈ I 2 , Pi,j ” ⇔ ”∀i ∈ I, ∀j ∈ I, Pi,j ”
déf

déf

et soit n ∈ N∗ ,
Ik , P(ik )k∈J1;nK ” ⇔ ”∀k ∈ J1; nK, ∀ik ∈ Ik , P(ik )k∈J1;nK ”.

Q

”∀(ik )k∈J1;nK ∈

k∈J1;nK

déf




{ai |i ∈ I} ⊂ E






(ai )i∈I ∈ E I = F(I, E)



”(ai )i∈I ⊂ E” ⇔ ”
déf

ou bien

” ⇔ ”∀i ∈ I, ai ∈ E”.
déf

”{ai |i ∈ I} = {b ∈ E | ∃i ∈ I, b = ai }”
déf

où (ai )i∈I ⊂ E .
”a, b ∈ R, b < a” ⇒ ”[a; b] =]a; b[= [a; b[=]a; b] = ∅”.
déf

”m, n ∈ Z, n < m” ⇒ ”Jm; nK = ∅”.
déf

Voici 3 documents illustrant mon formalisme sans les "· · · ", peut-être
aurait-il fallu mettre des "Soi(en)t":
Formulaire de Topologie diérentielle (partiel)
Formulaire de Géométrie diérentielle (6)
Formulaire de Géométrie diérentielle (10)
Formulaire de Géométrie diérentielle (14)
An d'éviter les :

” . . . ”:
1

1) ” i∈I
= ai ”

⇔ ”∀i, j ∈ I, ai = aj ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ̸= j, ai = aj ”
prop

´
def

où (ai )i∈I ⊂ E
et où I et E sont des ensembles.
2)
a) ”

< ai ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, ai < aj ”
´
def

i∈I

où (ai )i∈I ⊂ E
et où I et E sont des ensembles totalement ordonnés.
b) ”a = <

i∈I

ai = b” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, ai < aj
´
def

et a = amin(I) et amax(I) =

b”

où (ai )i∈I ⊂ E
et où I est un ensemble totalement ordonné admettant des extremums
et où E est un ensemble totalement ordonné.
c) ”a < <

i∈I

ai < b” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, a < ai < aj < b”
´
def

où (a, b, (ai )i∈I ) ⊂ E
et où I et E sont des ensembles totalement ordonnés.
d) ” i=1
< ai ” ⇔ ”
déf
n

<
i∈J1;nK

ai ”

où (ai )i∈J1;nK ⊂ E
et où E est un ensemble totalement ordonné
et où n ∈ N∗ .
a) ”

≤ ai ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, ai ≤ aj ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, ai ≤ aj ”
i∈I

prop

´
def

2

où (ai )i∈I ⊂ E
et où I et E sont des ensembles totalement ordonnés.
b) ”a = ≤

ai = b” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, ai ≤ aj
´
def

i∈I

et a = amin(I) et amax(I) =

b”

où (a, b, (ai )i∈I ) ⊂ E
où I est un ensemble totalement ordonné admettant des extremums
et où E est un ensemble totalement ordonné.
c) ”a ≤ ≤

ai ≤ b” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, a ≤ ai ≤ aj ≤ b”
´
def

i∈I

où (a, b, (ai )i∈I ) ⊂ E
et où I et E sont des ensembles totalement ordonnés.
d) ”

n

≤ ai ” ⇔ ”
déf

i=1

≤

ai ”

i∈J1;nK

où (ai )i∈J1;nK ⊂ E
et où E est un ensemble totalement ordonné
et où n ∈ N∗ .
4)
a) ”

⊂ Ai ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, Ai ⊂ Aj ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, Ai ⊂ Aj ”
prop

´
def

i∈I

où (Ai )i∈I ⊂ P(E)
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
b) ”A = ⊂

i∈I

Ai = B” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, Ai ⊂ Aj
´
def

B”

3

et A = Amin(I) et Amax(I) =

où (A, B, (Ai )i∈I ) ⊂ P(E)
où I est un ensemble totalement ordonné admettant des extremums
et où E est un ensemble.
c) ”A ⊂ ⊂

i∈I

Ai ⊂ B” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, A ⊂ Ai ⊂ Aj ⊂ B”
´
def

où (A, B, (Ai )i∈I ) ⊂ P(E)
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
d) ” i=1
⊂ Ai ” ⇔ ”
déf
n

⊂
i∈J1;nK

Ai ”

où (Ai )i∈J1;nK ⊂ P(E)
et où E est un ensemble
et où n ∈ N∗ .
5)
a) ” i∈I
⇒ Pi ”

⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, Pi ⇒ Pj ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, Pi ⇒ Pj ”
prop

´
def

où (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
b) ”(Pi )i∈I ”

⇔ ” et Pi ” ⇔ ” ∧ Pi ” ⇔ ”∀i ∈ I, Pi ”

´
def

i∈I

´
def

i∈I

´
def

où (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.

4

c) ”ou
Pi ”
i∈I

⇔ ” ∨ Pi ” ⇔ ”∃i ∈ I, Pi ”

´
def

i∈I

´
def

où P, (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
d) ”(Pi ⇒ P )i∈I ”

⇔ ” et (Pi ⇒ P )” ⇔ ” ∧ (Pi ⇒ P )”

´
def

i∈I

´
def

i∈I

⇔ ”∀i ∈ I, Pi ⇒ P ”

´
def

où P, (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
e) ”(P

⇒ Pi )i∈I ” ⇔ ” et (P ⇒ Pi )” ⇔ ” ∧ (P ⇒ Pi )”
´
def

i∈I

´
def

i∈I

⇔ ”∀i ∈ I, P ⇒ Pi ”

´
def

où P, (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
f) ”ou
(Pi ⇒ P )”
i∈I

⇔ ” ∨ (Pi ⇒ P )” ⇔ ”∃i ∈ I, Pi ⇒ P ”

´
def

i∈I

´
def

où P, (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
g) ”ou
(P
i∈I

⇒ Pi )” ⇔ ” ∨ (P ⇒ Pi )” ⇔ ”∃i ∈ I, P ⇒ Pi ”
´
def

i∈I

´
def

où P, (Pi )i∈I sont des propriétés sur E
5

et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
5)” i∈I
→ Ai ”

⇔ ”∀i, j ∈ I, i ≤ j, Ai → Aj ” ⇔ ”∀i, j ∈ I, i < j, Ai → Aj ”
prop

´
def

où (Ai )i∈I ⊂ P(E)
et où I est un ensemble totalement ordonné
et où E est un ensemble.
6)
a) ”

+ ai =

P

déf i∈I

i∈I

ai ”

où (ai )i∈I ⊂ C
et où I est un ensemble dénombrable.
b) ”

n

+ ai =

+ ai ”

déf i∈J1;nK

i=1

où (ai )i∈J1;nK ⊂ C,
et ”

+
i∈J1;n+1K

ai = ( + ai ) + an+1
déf

i∈J1;nK

et

+

ai = a1

i∈J1;1K

déf

et

+ ai = 0”
i∈∅

où (ai )i∈J1;n+1K ⊂ C
et où n ∈ N.
n

c) ”n.a déf
= n × a = a+ = +a =
déf
déf
déf
0

n

et ”0.a déf
= 0 × a = a+ = +a =
déf
déf
déf
0

n

+a =
i=1

0

+a =
i=1

où a ∈ C
et où n ∈ N.
7)
6

+ a”

déf i∈J1;nK

+ a = + a = 0”

déf i∈J1;0K

déf i∈∅

déf

déf

a) ”i∈I
. ai =
déf

× ai =

Q

déf i∈I

i∈I

ai ”

où (ai )i∈I ⊂ C
et où I est un ensemble dénombrable.
b) ”

n

× ai =

× ai ”

déf i∈J1;nK

i=1

où (ai )i∈J1;nK ⊂ C,
et ”

×

ai = ( × ai ) × an+1

i∈J1;n+1K

déf

i∈J1;nK

et

×

ai = a1

i∈J1;1K

déf

et

× ai = 1”
i∈∅

déf

où (ai )i∈J1;n+1K ⊂ C
et où n ∈ N.
n

c) ”a× déf
= ×a =
déf
0

n

et ”a× déf
= ×a =
déf
0

n

×a =
i=1

0

×a =
i=1

× a”

déf i∈J1;nK

× a = × a = 1”

déf i∈J1;0K

déf i∈∅

déf

où a ∈ C
et où n ∈ N.
8)
a) ”

× Ai =

i∈I

Q

déf i∈I

Ai = {(ai )i∈I ⊂ E | ∀i ∈ I, ai ∈ Ai }
déf

où (Ai )i∈I ⊂ P(E)
et où E et I sont des ensembles.
b) ”

n

× Ai =

i=1

× Ai ”

déf i∈J1;nK

où (Ai )i∈J1;nK ⊂ P(E)
et où E est un ensemble
7

et

× Ai = ∅”
i∈∅

déf

et où n ∈ N.
n

c) ”A× déf
= ×A =
déf
n

0

n

×A =
i=1

et ”A× déf
= ×A =
déf
0

× A”

déf i∈J1;nK

0

×A =
i=1

× A = × A = ∅”

déf i∈J1;0K

déf i∈∅

déf

où A ∈ P(E)
et où E est un ensemble
et où n ∈ N.
9)
a) ”

P

+ ai =

déf i∈I

i∈I

où (ai )i∈I ∈

Q

ai ”

Ai

i∈I

et où (Ai )i∈I ⊂ P(E)
et où I est un ensemble dénombrable
et où E est un ensemble.
b) ”

n

+ ai =

+ ai ”

déf i∈J1;nK

i=1

où (ai )i∈J1;nK ∈

Q

Ai

i∈J1;nK

et où (Ai )i∈J1;nK ⊂ P(E),
et ”

+
i∈J1;n+1K

ai = ( + ai ) + an+1
déf

où (ai )i∈J1;n+1K ∈

i∈J1;nK

Q

Ai

i∈J1;n+1K

et où (Ai )i∈J1;n+1K ⊂ P(E)
et où n ∈ N.
8

et

+
i∈J1;1K

ai = a1
déf

et

+ ai = 0”
i∈∅

déf

n

c) ”n × a déf
= a+ = +a =
déf
déf
0

n

et ”a+ déf
= +a =
déf
0

n

+a =
i=1

0

+a =
i=1

+ a”

déf i∈J1;nK

+ a = + a = 0”

déf i∈J1;0K

déf i∈∅

déf

où a ∈ A
et où A ∈ P(E)
et où n ∈ N.
10)
a) ”

+ Ai =

i∈I

P

déf i∈I

Ai = {
déf

P

ai | (ai )i∈I ∈

i∈I

Q

Ai }

i∈I

= { + ai | (ai )i∈I ∈ × Ai }”

déf

i∈I

i∈I

où (Ai )i∈I ⊂ P(E)
et où E est un ensemble
et où I est un ensemble dénombrable.
b) ”

n

+ Ai =

i=1

+ Ai ”

déf i∈J1;nK

où (Ai )i∈J1;nK ⊂ P(E)
et où E est un ensemble
et où n ∈ N.
n

c) ”n.A déf
= n × A = A+ = +A =
déf
déf
déf
0

n

et ”0.A déf
= 0 × A = A+ = +A =
déf
déf
déf
0

où A ∈ P(E)
et où E est un ensemble
9

n

+A =
i=1

0

+A =
i=1

+ A”

déf i∈J1;nK

+ A = + A = {0}”

déf i∈J1;0K

déf i∈∅

et où n ∈ N.
11)
a) ” i∈I
◦ fi ”
où (fi )i∈I ∈

Q

F(Ai , Ai+1 )

i∈I

avec ∀i ∈ I,

i+1∈I

et où (Ai )i∈I ⊂ P(E)
et où I est un ensemble dénombrable.
n
b) ” i=1
◦ fi =
déf

◦

fi ”

i∈J1;nK

où (fi )i∈J1;nK ∈

Q

F(Ai , Ai+1 )

i∈J1;nK

et où (Ai )i∈J1;n+1K ⊂ P(E)
et ”

◦
i∈J1;n+1K

fi = fn+1 ◦ (
déf

où (fi )i∈J1;n+1K ∈

Q

fi ) et

◦

i∈J1;nK

◦
i∈J1;1K

fi = f1 et ◦ fi = ?”
déf

F(Ai , Ai+1 )

i∈J1;n+1K

et où (Ai )i∈J1;n+2K ⊂ P(E)
et où n ∈ N.
n
n
d) ”f ◦ déf
= ◦f = ◦ f =
déf i=1 déf

i∈J1;nK

0
0
et ”f ◦ déf
= ◦f = ◦ f =
déf i=1 déf

i∈J1;0K

n

0

◦

◦

f”

f = ◦ f = idA ”
déf i∈∅

et où f ∈ F(A, A)
et où A ∈ P(E)
et où n ∈ N.

10

déf

i∈∅

déf