F quantité (01 10 2026)

F-quantité sur

Rn

et sur

R′′n,

pour

n ∈ N∗

de certaines restrictions]

Guillaume FOUCART 612BRJMDLO5XLHC
01 octobre 2026

[Cas

guillaume.foucart76@laposte.net

1

Abstract
Ce travail de recherche en mathématiques introduit et formalise le
concept de F-quantité, une notion initialement développée sous le
nom de cardinal quantitatif. Conçue en opposition directe avec la
notion de cardinal potentiel, c'est-à-dire la notion de cardinal (de
Cantor), la F-quantité propose un nouveau paradigme pour mesurer
et comparer la taille des ensembles innis de manière plus ne, là
où la notion classique de cardinal échoue, mais sur une petite classe
d'ensembles.
This mathematics research paper introduces and formalizes the
concept of F-quantity/F-quantité (initially developed under the name
of quantitative cardinal/cardinal quantitatif ). Designed in direct opposition to the concept of potential cardinal, that-is-to-say the concept of Cantor's cardinal, the F-quantity/F-quantité proposes a new
paradigm to measure and compare the size of innite sets with greater
precision, where the traditional notion of cardinal fails, but on a small
class of sets.

Contents
1

2

Introduction

1.1 Avant propos . . . . . . . . . . .
1.2 Partie principale . . . . . . . . .
1.3 Ce que sont ces travaux, ce qu'ils
droit d'attendre d'eux . . . . . .
1.4 Liens . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Remarques complémentaires . . .

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
ne sont pas et ce
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .

2

. . . . . . . . 2
. . . . . . . . 4
qu'on est en
. . . . . . . . 18
. . . . . . . . 20
. . . . . . . . 21

Partie déjà établie et connue : F-quantité dénie sur P V (Rn ),
pour n ∈ N∗ [en fait, à un changement de notion de limite de

famille de parties de Rn , près, cette partie correspond au cas de
la F-quantité dénie sur la classe des plafonnements normaux
des parties de P V (Rn )]
24

2.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Construction et dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Existence et résultats sur les intervalles I , bornés, de R, et en
particulier, sur les parties de P V (R) = Polytopes(R) . . . . . . . 36
2.4 Existence et résultats généraux concernant la F-quantité sur P V (RN ),
pour N ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5 Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité . . . . . . . . 58
3

Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur le sujet)

68



3.1 F-quantité dénie sur P V (R ) P V 2(R ) Plaf onnements I, P V 2(Rn ), P V (Rn )
avec I un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné
à droite et n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1.2 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1.3 Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité . . . . 107
3.2 Hypothèses de dénition supplémentaires traitant du cas de la
F-quantité des parties non bornées de Rn , pour n ∈ N∗ . . . . . . 120
3.3 Dénitions de Polyconvexes(RN ), Polyconvexesi (RN ), PolyPolytopes(RN ),
PolyPolytopesi (RN ), PolyP V (RN ), PolyP V i (RN ), etc, pour i ∈
NN et N ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
n

F

2

n

F

,

3.4 Autres tentatives de généralisation de la F-quantité sur Rn , pour
n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4.1 Partie 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.4.2 Partie 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.5 F-quantité dénie sur P V (R′′n ), pour n ∈ N∗ [NB : L'Exercice 33 (d'Anne BAUVAL, dernière version du 10 juillet 2021 à 06h28,
supprimée par ses soins, sous prétexte que je dessillais ou que je

. . . . . . . . 146
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
Construction et dénition . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Existence et résultats sur les intervalles I , bornés, de R′′ ,
et, en particulier, sur les parties de P V (R′′ ) . . . . . . . . 165
3.5.4 Existence et résultats généraux concernant la F-quantité
sur P V (R′′N ), pour N ∈ N∗ . . . . . . . . . . . . . . . .. 171

F
F
3.6 F-quantité dénie sur P V (R′′ n ) P V 2(R′′ n ) Plaf onnements I, P V 2(R′′ n ), P V (R′′ n ) ,
avec I un ensemble totalement ordonné, éventuellement non borné
à droite et n ∈ N∗ [NB : L'Exercice 3-3 (d'Anne BAUVAL, dernière
décillais) peut peut-être faire tomber cette section]

3.5.1
3.5.2
3.5.3

version du 10 juillet 2021 à 06h28, supprimée par ses soins, sous
prétexte que je dessillais ou que je décillais) peut peut-être faire

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
g (à omettre pour obtenir une
Dénitions de diam et diam
version publiable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.6.4 Dénition des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou
de HAUSDORFF, de dimension 0 et de dimension 1, pour
la distance euclidienne, sur R′′ (à omettre pour obtenir
une version publiable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.6.5 Utilisation des "mesures" de LEBESGUE généralisées ou
de HAUSDORFF, de dimension 0 et de dimension 1, pour
la distance euclidienne, sur R′′ , de +∞f avec f ∈ F(R), et
de +∞F (R) (à omettre pour obtenir une version publiable) 195
Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Hypothèses de dénition supplémentaires traitant du cas de la
F-quantité des parties non bornées de R′′n , pour n ∈ N∗ . . . . . 204
Exemples illustratifs de calculs, avec la F-quantité, dans certains
cas de parties non bornées de Rn , avec n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . 207
Les propriétés que doit vérier la F-quantité ou que l'on veut voir
vérier par la F-quantité sur Rn , pour n ∈ N∗ . . . . . . . . . . . 209
Avec la F-quantité, les innitésimaux se prolent . . . . . . . . . 213
Peut-être que l'on peut aussi créer la notion de plafonnement
constitué d'une partie bornée A de RN et d'une suite de parties
(éventuellement bornées) (An )n∈N de RN convergeant vers cette
partie bornée A de RN , noté [A, (An )n∈N ], pour N ∈ N∗ . . . . . 215
Cardinaux négatifs ou complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
tomber cette section]

3.6.1
3.6.2
3.6.3

3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12

3.13

3

4

Notion, en rapport avec la théorie des ensembles et des innis mathématiques, et notion, en rapport avec la notion de cardinal d'un ensemble et en particulier, en rapport avec la notion de cardinal d'un
ensemble inni ou de cardinal inni d'un ensemble.

1

Chapter 1

Introduction
1.1 Avant propos
Remarque : L'introduction n'est qu'une petite partie de mes travaux
: N'oubliez pas aussi d'aller jeter un coup d'÷il sur le reste ou de
le survoler ou de le consulter. Si dans l'introduction, il y a beaucoup de texte : Dans le reste, il y a beaucoup de formalisme et de
formules mathématiques. Si jamais, un maître de conférences ou un
professeur des universités voire un agrégé en mathématiques passait
par là, je souhaite qu'il valide ou invalide les parties concernant les
plafonnements (limites non classiques de familles de parties de Rn ) et
les limites non classiques de fonctions, c'est la partie cruciale de mes
travaux.
Remarque : Je rappelle que c'est une introduction et que je n'ai
pas, normalement, à y dénir, au préalable, les objets qui y sont
présentés, puisqu'ils seront dénis par la suite, mais à les évoquer et
à les présenter.
Je suis parfaitement conscient de la loi dite de Brandolini ou du
principe d'asymétrie des baratins c'est-à-dire l'aphorisme selon lequel
 la quantité d'énergie nécessaire pour réfuter des sottises [· · · ] est
supérieure d'un ordre de grandeur à celle nécessaire pour les produire . Donc je vous demande de signaler mes erreurs en précisant simplement leur localisation, et non pas en me donnant les
raisons pour lesquelles ce sont des erreurs, en donnant la version de
mes travaux, les pages et les lignes concernées, en ne prenant pas
en compte les lignes vides, dans la numérotation des lignes (Désolé,
mais cette numérotation des lignes devra se faire manuellement, en
comptant le nombre de lignes non vides, du début de chaque page
concernée jusqu'aux lignes d'erreur concernées dans cette page).

2

Les présents travaux font référence à ceux que j'ai déposés sur (la)
Wikiversité :
Recherche:Cardinal quantitatif (table des matières, simpliée)
Recherche:Cardinal quantitatif
Pour une première approche :
Consultez d'abord l'essentiel,
c'est-à-dire :
-

Chap. 1/1.2

-

Chap. 2/2.1 à 2.4

-

Chap. 3/3.1/3.1.1 à 3.1.2 et Chap. 3/3.10

Et, si vous le pouvez et si vous le voulez :
Dans la partie : 3 Partie spéculative (Mes travaux de recherche sur
le sujet) :
Lire en priorité d'abord
où

(∗) :

et où

′′

(∗) puis (∗∗)

3.1, 3.1.1, 3.1.2 p71-79′′

(∗∗) :

′′

P rop. 29, P rop. 30, P rop. 31, P rop. 32, P rop. 33, P rop. 34, P rop. 35, 3.1.3′′

et dire si ma construction est bancale et, si oui, pourquoi.
Remarque : 2 grandes sections + 1 petite qui ne gurent pas dans
l'essentiel, c'est-à-dire toutes les sections impliquant l'ensemble R′′ ,
peuvent peut-être tomber d'après Anne BAUVAL.
Remarque : Il y a peut-être incompatibilité entre ma notion non classique de limite d'une famille de parties de Rn et la notion classique de
limite d'une famille de parties de Rn , bien qu'elles soient équivalentes,
toutefois la 1ère est plus informative, donc c'est a priori celle qu'il
faut privilégier voire celle qu'il faut choisir.

3

Remarque : Il y a la notion classique de limite de fonction ou de suite
numérique, il faut la diérencier de la notion non classique de limite
de fonction ou de suite numérique :
Par exemple :

limclassique p
p∈N,p→+∞classique

= +∞classique et

lim

p∈N,p→+∞classique

p = cardQ,R (N1∗ ) ∈ +∞

(Se reporter plus loin pour la dénition des notations).
Concernant, les notions de limite classique et de limite non classique,
incompatibles entre elles, il ne faut pas croire que c'est parce que la
2nde est absurde et qu'elle est, donc, à exclure, au prot de la 1ère,
car on pourrait faire le même raisonnement avec la 1ère avec la 2nde.
Il y a incompatibilité, donc on doit choisir l'une ou l'autre, mais pas
les 2 dans la même théorie.

1.2 Partie principale
J'utiliserai une terminologie personnelle, en renommant parfois autrement
certaines notions existantes.
Soit

n ∈ N∗ .

En particulier, je désignerai par :
* PV (comme   'petite variété ' ) les sous-variétés compactes, convexes, (connexes) de Rn , de classe (C 0 ) et (C 1 par morceaux) ou sans
bord,
et
* PV2 (comme   'petite variété 2 ' ) les sous-variétés fermées,
non bornées, convexes, (connexes) de Rn , de classe (C 0 ) et (C 1 par
morceaux) ou sans bord,
et on posera :

P V (Rn ) = {A ∈ P(Rn ) | A sous-variété compacte, convexe (connexe) de Rn ,
déf

de classe (C 0 ) et (C 1 par morceaux) ou sans bord}
et

4

P V 2(Rn ) = {A ∈ P(Rn ) | A sous-variété f ermée, non bornée, convexe (connexe) de Rn ,
déf

de classe (C 0 ) et (C 1 par morceaux) ou sans bord}.
*La notion de "F-quantité" est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments d'un ensemble, qui est une notion
au moins dénie et construite sur P V (Rn ). C'est une notion qui
s'apparente à une  mesure dénie sur P V (Rn ), qui ne néglige aucun point et pour laquelle la F-quantité ou le nombre d'éléments ou
la quantité d'éléments ou la masse ou le poids d'un singleton vaut 1
et qui s'exprime en fonction des mesures [extérieures] de LEBESGUE
généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension i (i ∈ [[0, n]]), pour la
distance euclidienne, sur Rn . C'est une notion qui prolonge le caractère intuitif des propriétés que l'on a déjà de la notion de cardinal (de
CANTOR) dans le cas des ensembles nis, au cas des ensembles innis
(en tout cas, au moins au cas des ensembles innis de P V (Rn )) c'est-àdire qui vérie, en particulier, le  'principe du tout et de la partie ' :
"Le tout est nécessairement strictement plus grand que chacune de
ses sous-parties strictes". C'est une notion pour laquelle je cherche à
aller plus loin (dans mes travaux relativement modestes, je suis allé
jusqu'aux parties de P V (Rn ) et de P V 2(Rn ), et aux mêmes parties en
remplaçant "convexe" par "polyconvexe").  'Par opposition à la notion de cardinal potentiel ou de cardinal de CANTOR c'est-à-dire la
notion usuelle de cardinal ', c'est-à-dire la notion de cardinal au sens
de la puissance, et qui est dénie pour toutes les parties de Rn et qui
est la {vraie|véritable} notion de nombre ou de quantité d'éléments
d'un ensemble, dans le cas des ensembles nis, mais qui est un ordre
de grandeur du nombre ou de la quantité d'éléments d'un ensemble,
dans le cas des ensembles innis et qui ne vérie pas le  'principe du
tout et de la partie '. Donc la notion de "F-quantité" se veut être
une notion plus ne que celle de "cardinal" c'est-à-dire que celle de
cardinal (de CANTOR). Les notions de "F-quantité" et de "cardinal"
se confondent, dans le cas des parties nies.

(03-06-2021 : Rectication : La notion de F-quantité n'est pas a priori une mesure dénie sur P V (Rn ), car P V (Rn ) n'est pas a priori une
tribu de parties. Toutefois, cette notion a été construite de manière à
se comporter comme une mesure. 24-06-2021 : Cette notion est sûrement une mesure sur une tribu que nous devons déterminer. Pour le
moment, nous ne cherchons pas à déterminer la tribu, la plus grande,
sur laquelle elle serait une mesure, car nous aurons vraisemblablement besoin de la dénition de cette notion sur une tribu intermédiaire, avant de pouvoir la généraliser davantage.)

5

(09-07-2023 : Remarque : Pour désigner le "cardinal, au sens de la
puissance, d'un ensemble", je n'ai pas d'autre expression que "cardinal potentiel d'un ensemble", même si, ici, "potentiel" désigne "au
sens de la puissance" et non "en puissance". Peut-être que pour
l'usage que je veux en faire, il faudrait désigner le "cardinal, au sens
de la puissance, d'un ensemble", "cardinal potentatif d'un ensemble"
ou "cardinal potentiatif d'un ensemble", mais les termes "potentatif"
et "potentiatif" sont des néologismes très rares.)
Cette notion est dénie sur P V (Rn ). Le problème se pose, en dehors
de P V (Rn ), car je me suis permis quelques audaces avec les "plafonnements", dans un premier temps, de parties non bornées de Rn [Cf.
dénition dans mes travaux], notamment an d'éviter les contradictions, quitte à faire certaines concessions. Mais nalement on peut
dénir la F-quantité, relative à un repère orthonormé, d'une partie
non bornée ou même bornée de Rn , comme la F-quantité, relative
à ce même repère orthonormé, d'un des plafonnements normaux de
cette partie non bornée ou même bornée de Rn . Néanmoins malgré ces concessions qui, en fait, n'en sont pas, nous y gagnons très
largement, par l'explosion des nombres et des quantités innies, ainsi
produite, bien plus forte et bien plus grande que celle du cardinal
c'est-à-dire que celle du cardinal (de CANTOR). Peut-être que l'on
pourra généraliser "ma" théorie, à toutes les parties bornées, voire
à tous les "plafonnements" de parties bornées de Rn , voire à tous
les "plafonnements" de parties non bornées de Rn , voire à toutes les
parties non bornées de Rn .
Si l'on veut inclure le cas des parties non bornées de Rn c'est-à-dire
si l'on veut étendre cette notion à des classes de sous-ensembles non
bornés de Rn (sous réserve de compatibilité des hypothèses de dénition et de non-contradiction, concernant la dénition de cette notion
étendue), on doit abandonner, concernant cette dernière, l'hypothèse
de dénition de la σ -additivité, du moins si on utilise la notation
classique concernant la dénition classique de limite d'une suite de
parties bornées de Rn tendant vers une partie non bornée de Rn , mais
on peut le récupérer, d'une certaine façon, en utilisant une notation
non classique concernant la dénition non classique de limite d'une
suite de parties bornées de Rn tendant vers un plafonnement d'une
partie non bornée de Rn , et considérer que la notion de F-quantité,
dans le cas des parties non bornées de Rn n'est plus une notion universelle, mais une notion relative au repère orthonormé direct de Rn ,
et au plafonnement sphérique ou autre, associé, que l'on s'est xé.
On peut néanmoins dénir la F-quantité d'une partie non bornée A
de Rn , relativement au repère orthonormé direct de Rn que l'on s'est
xé, par la F-quantité d'un des plafonnements normaux de la partie

6

A, relativement au même repère orthonormé direct de Rn que l'on
s'est xé.
Il est à noter qu'une partie non bornée de
plafonnements.

Rn admet une innité de

On utilisera, essentiellement, dans la partie spéculative, une notion
de limite de suites de parties de P V (Rn ) tendant chacune vers un
plafonnement d'une partie de P V 2(Rn ).
Comme dit ci-dessus, il y a quelques concessions à faire pour inclure
le cas des sous-ensembles non bornés de Rn et ces considérations nécessitent un cadre neuf, où, par exemple, il faut appeler autrement la
plupart des "droites" (resp. des "demi-droites"), puisque dans notre
cadre, toutes les "droites" (resp. toutes les "demi-droites") n'ont pas
toutes la même longueur, si on considère que l'on est dans un "plafonnement" ou dans un autre, et ce du fait même de l'existence pour
chaque partie non bornée de Rn , d'une innité de "plafonnements", et
du fait qu'en considérant un "plafonnement" donné, certains points
sont plus près que d'autres de ce "plafonnement".
Entre autre, j'essaie d'étendre et de généraliser cette notion aux parties de P V 2(Rn ), voire à celles de P V 2(R′′n ) [Cf. dénitions dans
mes travaux], quitte à tenter d'introduire et de dénir le  'nouvel
espace R′′  ', qui me semble, vu de très loin, avoir des points communs avec l'espace ∗R de l'analyse non standard. Dans une section, j'ai essayé de dénir des nombres +∞f où f ∈ F(R), en utilisant une relation d'équivalence et une relation d'ordre totale, et une
fois cette dénition
l'ensemble R′′ par :
G G donnée, on peut alors dénir
G G

R′′ = −∞F (R)

R

+∞F (R) = {−∞f |f ∈ F(R)}

R

{+∞f |f ∈ F(R)}.

Citation de Michel COSTE : On voit pourquoi il était crucial de ne
travailler qu'avec des polyèdres CONVEXES compacts ; heureusement, avec
ceux-ci, on trouve toujours la même limite quelle que soit la manière dont on
approxime (voir Berger).

Avec la notion de plafonnement, on n'est plus limité par le fait de
devoir ne travailler qu'avec des polyèdres convexes compacts et il n'y
a pas de contradiction.
NB : Je ne suis pas un de ces farfelus qui postent en pensant avoir
résolu en quelque pages des conjectures célèbres qui résistent depuis
longtemps : Le problème que je souhaite résoudre ou faire progresser
est plus raisonnable et est moins connu, même s'il revient, ni plus

7

ni moins, à faire "péter" de la quantité innie, encore plus fou, plus
fort et plus nement, que CANTOR, et, d'une certaine manière, à
faire "péter" de la quantité innie intermédiaire "entre 2 cardinaux
innis (de CANTOR) successifs" et "entre le cardinal inni dénombrable (de CANTOR) et un cardinal ni (de CANTOR)",  'grâce
à la F-quantité [qui n'est pas un cardinal (de CANTOR)], là où le
cardinal (de CANTOR) ne le peut ', après avoir choisi un ensemble
A0 représentant idéal de ℵ0 (par exemple N ou Z), un ensemble A1
représentant idéal de ℵ1 (par exemple R+ ou R ≃ P(N)), un ensemble
A2 représentant idéal de ℵ2 (par exemple P(R+ ) ou P(R)), etc.
Plus précisément et en particulier :

La notion de F-quantité n'est pas un cas particulier de la notion de
cardinal [de CANTOR] : Elle n'a pas nécessairement de lien ou de
rapport avec la notion de bijection ou avec la notion de puissance
d'un ensemble ou de cardinal [de CANTOR] d'un ensemble (LA
F-QUANTITÉ N'EST PAS UN CARDINAL [DE CANTOR]).
Considérons une chaîne exhaustive de parties de Rn , pour la relation
d'inclusion, allant de l'ensemble ∅ à l'ensemble Rn .
Par convention, ici, dans cette chaîne, parmi les parties innies de
Rn , seule la F-quantité innie d'un représentant de la puissance du
dénombrable A0 sera notée et sera égale à "a0 " (et pourra, même,
être notée "ℵ0 ", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique
ou habituel "ℵ0,classique ") [resp. seule la F-quantité innie de Rn ou
d'un des représentants de la puissance du continu A1 sera notée et
sera égale à "a1 " (et pourra, même, être notée "ℵ1 ", mais, attention,
ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "ℵ1,classique ")]. Le
reste ne fait pas appel à la notion de bijection, ou de puissance
ou de cardinal [de CANTOR].
"OR L'HYPOTHÈSE DU CONTINU AFFIRME QU'IL N'EXISTE
AUCUN ENSEMBLE DONT LE CARDINAL [DE CANTOR] EST
STRICTEMENT COMPRIS ENTRE LE CARDINAL [DE CANTOR] DE L'ENSEMBLE N ET CELUI DE L'ENSEMBLE R" (qui
est d'ailleurs indécidable dans ZFC).
Mais, par contre, il existe des ensembles dont la F-quantité [QUI
N'EST PAS UN CARDINAL (DE CANTOR)] est strictement comprise entre la F-quantité de l'ensemble N et celle de l'ensemble R.

8

Et, par convention, dans ce cas, la F-quantité de l'ensemble N sera
notée et sera égale à "a0 " (et pourra, même, être notée "ℵ0 ", mais, attention, ici, ce n'est pas le nombre classique ou habituel "ℵ0,classique ")
et la F-quantité de l'ensemble R sera notée et sera égale à "a1 " (et
pourra, même, être notée "ℵ1 ", mais, attention, ici, ce n'est pas le
nombre classique ou habituel "ℵ1,classique "), et ce seront les seuls à
l'être. Remarque : On aurait pu choisir un autre représentant que N
de ℵ0,classique et un autre représentant que R de ℵ1,classique .
(La F-quantité d'une partie innie bornée ou innie non bornée de
Rn étant égale à la F-quantité d'un de ses plafonnements normaux,
quelconque.)
La notion de F-quantité est une notion qui existe, mais (trompeusement) sous d'autres appellations, et qui est bel et bien, et parfaitement dénie de manière générale, dans la littérature, du moins, sur
une classe de parties bornées de Rn (Cf. interventions de Michel
COSTE), mais qui y est très peu présente :
Il reste à la généraliser à des classes de parties, de plus en plus larges.
La notion de cardinal (de CANTOR) est valable pour toutes les parties de Rn , alors que concernant la notion de F-quantité, on ne sait
pas, pour le moment, du moins concernant la partie connue et établie
ociellement, aller au delà des parties de P V (Rn ), mais il fallait le

dire avant de dire qu'une telle généralisation était impossible, au delà
des parties nies.
Voici cette notion présentée par Michel COSTE qui n'aime pas trop
l'appellation "cardinal" : La saga du "cardinal" (version 4)
(Historiquement, avant CANTOR, la notion de "cardinal d'un ensemble" désignait la véritable notion de quantité d'éléments d'un ensemble. Depuis CANTOR, cela n'est plus vrai, elle désigne la puissance d'un ensemble. Alors trouvant la notion véritable de quantité
d'éléments d'un ensemble, plus ne que la notion de puissance d'un
ensemble et prolongeant l'intuition que l'on en a déjà dans le cas des
ensembles nis, c'est celle à qui on devrait et à qui on doit attribuer le
qualicatif de "cardinal". Mais comme ce mot était déjà utilisé mais
maladroitement, j'ai dû inventer les terminologies "cardinal quantitatif" et "cardinal potentiel", pour les distinguer.
Mais, j'ai, maintenant, une terminologie qui rend inutiles les terminologies précédentes, je distingue, désormais, la "F-quantité" du
"cardinal (de CANTOR)"

9

Attention : En adoptant cette terminologie, la notion de F-quantité
n'est pas un cas particulier de la notion de "cardinal (de CANTOR)".
Mais sinon si on tient vraiment à attribuer le nom de "cardinal d'un
ensemble" uniquement à la notion de puissance d'un ensemble qui est
un ordre de grandeur de la quantité d'éléments d'un ensemble dans
le cas des ensembles innis, on peut, sans adopter la terminologie
précédente, appeler, tout simplement, la notion véritable de quantité
d'éléments d'un ensemble : la "F-quantité d'un ensemble".
À la place du fameux :

"Je le vois
[sous entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre R et Rn et donc
R et Rn ont la même quantité ou le même nombre d'éléments. Idem
en remplaçant "Rn " par "[0; 1]".],
mais je ne le crois pas" (de CANTOR),
je dirais plutôt :
"Je le vois
[sous-entendu : Je vois qu'il y a une bijection entre R et Rn . Idem
en remplaçant "Rn " par "[0; 1]"],
mais cela n'est pas susant
[pour caractériser la vraie notion de quantité ou de nombre d'éléments
d'un ensemble inni borné ou non borné ou d'un de ses plafonnements]." )
Je pense que les notions de quantité d'éléments et de puissance doivent
être distinguées :
Car, par exemple, on a bien
bijection avec [−2, 2]

et on a

et

[−1, 1] ⊊ [−2, 2] et [−1, 1] peut être mis en

cardQ ([−2, 2]) − cardQ ({0})
cardQ ([−2, 2]) − 1
cardQ ([−2, 2] \ {0})
=
=
=2
cardQ ([−1, 1] \ {0})
cardQ ([−1, 1]) − cardQ ({0})
cardQ ([−1, 1]) − 1

cardQ ([−1, 1]) < cardQ ([−2, 2])

10

alors qu'on a

cardP ([−2, 2]) = card([−2, 2]) = card([−1, 1]) = cardP ([−1, 1]),

où cardQ (A) désigne la F-quantité de l'ensemble
ditions sur l'ensemble A

A, sous certaines con-

et cardP (A) désigne le cardinal potentiel de l'ensemble A, c'est-à-dire
le cardinal de CANTOR ou le cardinal classique de l'ensemble A,
card(A).
La notion de F-quantité présentée par Michel COSTE concerne la
classe de parties de Rn , P V (Rn ).
Je pense qu'on peut, en fait, comparer, entre elles, les F-quantités
des parties de Rn ayant une décomposition, en un nombre ni de
sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes
de Rn , de classe C 0 , et de dimension i, pour tout i ∈ [[1, n]], ainsi qu'en
un nombre ni, en plus ou en moins, de singletons, ou ayant une
décomposition, en un nombre ni de sous-variétés ouvertes bornées,
convexes (connexes), simplement connexes de Rn , de classe C 0 , et de
dimension i, pour tout i ∈ [[1, n]], ainsi qu'en un nombre ni, en plus
ou en moins, de singletons.
[Et en m'hasardant, mais c'est relativement lourd et pas simple à
formuler :
Je pense, même, qu'on peut, en fait, comparer, entre elles, les Fquantités des parties A de Rn
ayant une décomposition, en un nombre ni de réunions disjointes de
sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes
de Rn , de classe C 0 , et de dimension i, Fi , pour tout i ∈ [[0, n]],
ainsi qu'en un nombre ni, en moins, de réunions disjointes de sousvariétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de Rn ,
de classe C 0 , et de dimension j , Fi,j telle que Fi,j ∈ P(Fi ), pour tout
i ∈ [[0, n]] et pour tout j ∈ [[0, i]],
ou ayant une décomposition, en un nombre ni de réunions disjointes
de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement
connexes de Rn , de classe C 0 , et de dimension i, Ui , pour tout i ∈ [[1, n]],
et en un
 nombre ni de
 singletons dont la réunion forme l'ensemble

F0′ ∈ P Rn \

 G

Ui



(pouvant être vide),

i∈[[1,n]]

11

ainsi qu'en un nombre ni, en moins, de réunions disjointes de sousvariétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes
de Rn , de classe C 0 , et de dimension j , Ui,j telle que Ui,j ∈ P(Ui ), pour
tout i ∈ [[1, n]] et pour tout j ∈ [[1, i]], et en un nombre ni, en moins,
′
de singletons
non

 inclus dans F0 , dont la réunion forme l'ensemble

G

′
F0,0
∈P

(pouvant être vide),

Ui

i∈[[1,n]]

c'est-à-dire qu'on peut comparer, entre elles, les F-quantités des parties A ∈ P(Rn )
telles que :

∀i ∈ [[0, n]], ∃Fi réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes
(connexes), simplement connexes de Rn , de classe C 0 , et de dimension
i,
∀i ∈ [[0, n]], ∀j ∈ [[0, i]], ∃Fi,j réunion disjointe de sous-variétés compactes, convexes (connexes), simplement connexes de Rn , de classe
C 0 , et de dimension j , telle que Fi,j ∈ P(Fi ),
A=

 G

  G
Fi \

i∈[[0,n]]


Fi,j .

G

i∈[[0,n]] j∈[[0,i]]

ou telles que :

∀i ∈ [[1, n]], ∃Ui réunion disjointe de sous-variétés ouvertes bornées, convexes (connexes), simplement connexes de Rn , de classe C 0 , et de
dimension i,
∀i ∈ [[1, n]], ∀j ∈ [[1, i]], ∃Ui,j réunion disjointe de sous-variétés ouvertes
bornées, convexes (connexes), simplement connexes de Rn , de classe
C 0 , et de dimension j , telle que Ui,j ∈ P(Ui ),
∃F0′



n

∈P R \

 G

Ui



, réunion de singletons (pouvant être vide),

i∈[[1,n]]

′
∃F0,0
∈P

 G


Ui , réunion de singletons (pouvant être vide),

i∈[[1,n]]

A=

 G
i∈[[1,n]]

Ui

G

F0′

  G
\

G

i∈[[1,n]] j∈[[1,i]]

12

Ui,j

G


′
F0,0
.]

Décomposition d'une partie bornée de
bornée de R2]

R2 [Décomposition d'une partie

Remarque : J'ai dit plus haut qu'on savait comparer, entre elles, les
F-quantités des parties bornées de Rn , ayant une décomposition, en
un nombre ni de sous-variétés, comme détaillée ci-dessus (en particulier en un nombre ni de variétés, compactes, convexes, connexes,
simplement connexes) :
Mais je pense qu'en fait, il doit être possible de comparer, entre
elles, celles des parties bornées quelconques et même celles de parties non bornées quelconques de R′′n (respectivement de Rn ), ayant
une décomposition analogue voire peut-être ayant une décomposition
analogue en remplaçant  ni  par  au plus dénombrable , et
peut-être même en supprimant toutes les expressions : "simplement
connexes".
En eet, une fois qu'on s'est occupé de l'adhérence ou de l'intérieur
d'une partie, on s'occupe ensuite de l'adhérence sans la partie ou de la
partie sans l'intérieur, et on refait la même chose, avec ces dernières.
Les mesures [extérieures] de LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension i (i ∈ [[0, n]]), pour la distance euclidienne, sur
Rn , voli

(Le cas i = 0 étant un cas à part que je compte voir gurer, mais qui
n'est pas présent dans le document "Théorie de la mesure/Cf. Mesures de
HAUSDORFF"
https://www.chier-pdf.fr/2021/08/07/polyintegrationmai2013/
Cf.

page 13 :

Chapitre 1.

Les mesures/III Exemples fondamentaux

d'espaces mesures/Mesures de HAUSDORFF
Cf. page 39 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II
Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.1 Mesures de HAUSDORFF/Dénition
5
Cf. page 40 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II
Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.3 Dénition alternative de
la mesure de LEBESGUE/Théorème 3

13

Cf. page 41 : Chapitre 4. La mesure de LEBESGUE et ses corollaires/II
Généralisations de la mesure de LEBESGUE/II.4 Longueur, aire, surface
de parties courbées de R

d

/Dénition 7

Cf. page 67 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/I Cas des
applications linéaires
Cf. page 68 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/II Mesure
des sous-variétés plongées
Cf. page 70 : Chapitre 7. Théorème du changement de variable/III Intégration sur les sous-variétés plongées
Cf. aussi https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf
Cf. aussi https://w3.ens-rennes.fr/math/people/thibaut.deheuvels/MesuresHausdor.pdf),

sont telles que si i ∈ [[1, n]], elles négligent chacune, respectivement, si
i = 1, des points isolés, respectivement, si i = 2, des points isolés et
des points de courbes, respectivement, si i = 3, des points isolés et des
points de courbes et des points de surfaces, respectivement, si i = 4,
des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces
et des points d'espaces de dimension 3, . . . , respectivement, si i = n,
des points isolés et des points de courbes et des points de surfaces et
des points d'espaces de dimension 3, . . . , et des points d'espaces de
dimension n − 1.
La "mesure" F-quantité qui ne veut négliger aucun point se doit
de composer avec toutes les "mesures" [extérieures] de LEBESGUE
généralisées ou de HAUSDORFF, de dimension i (i ∈ [[0, n]]), pour

gi

la distance euclidienne, sur Rn , vol , la mesure de comptage pouvant être considérée comme la "mesure" [extérieure] de LEBESGUE
généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension 0, pour la distance
euclidienne,

g0 .
vol

(24-06-2021 : Rectication : La notion de F-quantité n'est pas a
priori une mesure dénie sur P V (Rn ), car P V (Rn ) n'est pas a priori
une tribu de parties.)

14

Les suites d'inégalités données, juste après, dans la suite, ne sont pas
si techniques que ça et sont là pour illustrer mon propos et pour que
l'on voit quelles sont les diérences fondamentales entre le cardinal
potentiel "cardP " ou "card" qui est la notion usuelle de cardinal et
qui est en rapport direct avec la notion de bijection, et la F-quantité,
relative au repère orthonormé R de R2 , "cardQ,R ", sachant que la
référence à un repère orthonormé R, n'est utile que pour les parties
non bornées de R2 (ou de Rn , de manière générale), et que dans le cas
des parties bornées de R2 (ou de Rn , de manière générale), on peut
noter la F-quantité : "cardQ ".

Soit R un repère orthonormé de R2 , d'origine O .
Nous désignons la "F-quantité, relative au repère orthonormé R de
R2 , d'une partie A de R2 ", qui était nommée auparavant le "cardinal
quantitatif, relatif au repère orthonormé R de R2 , de cette partie A
de R2 ", par "cardQ,R (A)" et le "cardinal potentiel de cette partie A de
R2 " par "cardP (A)". En fait, puisque la "F-quantité de la partie A"
n'est pas un "cardinal de la partie A", nous devrions plutôt la noter :
"QF,R (A)" ou "F -QR (A)", mais comme les modications à faire sont
trop importantes, je ne le ferai pas dans la suite.
On a :

cardQ,R ({O} × Nn ) < cardQ,R ({O} × 3N)


F
< cardQ,R {O} × (3N {1, 2}) < cardQ,R ({O} × N) < cardQ,R ({O} × Z) < cardQ,R ({O} × Q)
< cardQ,R ({O}×] − 1, 1[) < cardQ,R ({O} × [−1, 1]) < cardQ,R ({O} × [−2, 2])








= cardQ,R {O} × ([−2, 2] + 1) < cardQ,R {O} × ([−2, 2] + 1)

F




{4}
< cardQ,R {O} × (R \ [−2, 2])



< cardQ,R {O} × (R \ [−1, 1]) < cardQ,R ({O} × R∗ ) < cardQ,R ({O} × R)
< cardQ,R ([−1, 1] × [−1, 1]) < cardQ,R ([−2, 2] × [−2, 2]) < cardQ,R (R2 )
alors que :

cardP ({O} × Nn ) < cardP ({O} × 3N)


F
= cardP {O} × (3N {1, 2}) = cardP ({O} × N) = cardP ({O} × Z) = cardP ({O} × Q)

15

< cardP ({O}×] − 1, 1[) = cardP ({O} × [−1, 1]) = cardP ({O} × [−2, 2])






G 
= cardP {O} × ([−2, 2] + 1) = cardP {O} × ([−2, 2] + 1) {4}
= cardP {O} × (R \ [−2, 2])


= cardP {O} × (R \ [−1, 1]) = cardP ({O} × R∗ ) = cardP ({O} × R)
= cardP ([−1, 1] × [−1, 1]) = cardP ([−2, 2] × [−2, 2]) = cardP (R2 )
Applications :
1) Imaginons 2 disques durs cubiques compacts dont l'un est strictement plus gros que l'autre disque et pour lesquels on peut stocker une
donnée en chaque point, alors le disque dur cubique, strictement plus
gros que l'autre disque, aura une capacité de stockage strictement
plus grande que l'autre disque (quantité), et non pas une capacité
égale à celle de l'autre disque (puissance).
2) Dans une bouteille de
dans une bouteille d'1L.

2L, on stocke plus de matière continue que

Je viens de donner la raison d'être et l'utilité de la notion de Fquantité.
On ne fait pas toujours des mathématiques, en vue d'applications
pratiques ou concrètes.
Pourtant à qui lui veut des applications :
La notion de quantité de matière discrète ou de matière continue,
parle d'elle-même.
Supposons qu'un univers soit fait d'un mélange de matière continue
et de matière discrète :
La F-quantité mesure la quantité de matière continue et de matière
discrète.
La notion de matière continue n'existe certes pas dans notre univers,
mais on peut la concevoir mathématiquement et c'est une bonne
approximation de la matière discrète, à l'échelle macroscopique, en
physique.

16

La notion de (F-)quantité est plus ne que celle de puissance qui
donne, seulement, un ordre de grandeur de la première.

[Rectication : En fait, tout dépend des "plafonnements" de chacun des 2 disques durs cubiques compacts et plus généralement des
"plafonnements" des parties innies bornées que l'on s'est xé et,
plus particulièrement, des densités (quantitatives) uniformes ou pas,
que l'on s'est xé, des "matières continues et/ou discrètes" qui les
composent et qui sont composées chacune au moins d'une innité de
points de "matière continue" et/ou de "matière discrète"
(Tout point étant de dimension nulle, les interprétations concernant
les densités quantitatives des parties innies bornées sont multiples
voire innies et donc aussi concernant leurs F-quantités '
[relatives à un repère orthonormé de Rn (mais dans le cas des "plafonnements" des parties bornées, cette précision est inutile)]
relativement aux plafonnements et selon les plafonnements que l'on
s'est xé).
Remarque : Cela marche aussi avec les "plafonnements" des parties
(innies) non bornées.
Il existe, néanmoins, pour chaque partie bornée, un ou des plafonnement(s), et pour chaque partie non bornée, un ou des plafonnements, dits normaux.]
Il reste un certain nombre de généralisations permettant de comparer
les F-quantités, de n'importe quelle partie, entre elles : Tout l'intérêt
et tout l'enjeu de cette dénition, est là.
Restera à généraliser cette notion aux parties de



P(Rn ), P P(Rn ) ,

· · · , et à des classes de parties, les plus larges possibles, où on peut
encore lui donner un sens, même aaibli.
La notion de "volume" ou de "mesure" [extérieure] de LEBESGUE
généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension i (i ∈ [[0, n]]), pour la
distance euclidienne, sur Rn , le fait que Rn soit un espace métrique et
un espace vectoriel (topologique) normé, le fait que R soit totalement
ordonné, semblent essentiels, pour dénir la notion de F-quantité sur
Rn :

17

Comment généraliser ces notions ou trouver des notions aaiblies qui
marchent, aussi, dans d'autres espaces, par exemple sur des espaces
qui dépendent de R ?

1.3 Ce que sont ces travaux, ce qu'ils ne sont pas
et ce qu'on est en droit d'attendre d'eux
Le PDF : La
nal" (version
intuitivement
cheminement

saga du "cardinal" (version 4) et La saga du "cardi4-5) de Michel COSTE guide le lecteur en expliquant
les notions et les idées qu'il présente ainsi que tout le
qui a permis d'y aboutir à travers des exemples.

Le but de mes travaux n'est pas, mise à part l'introduction, de reproduire et d'inclure ou d'incorporer tout le travail d'explication,
d'explicitation, d'illustration, de vulgarisation et de pédagogie effectué par Michel COSTE ainsi que toute la prise par la main du
lecteur par ce dernier, mais d'enchaîner rigoureusement les dénitions, propositions, résultats et exemples comme cela est le cas dans
de nombreux livres de mathématiques, même si ceux-ci sont censés
donner une certaine idée et une certaine intuition des objets manipulés.
Le PDF de Michel COSTE répond aux attentes {des amateurs|de
l'amateur}, mais il ne répond pas à toutes les attentes {des mathématiciens|du mathématicien}.
Il faut peut-être que je travaille encore l'énoncé d'un des théorèmes
de mes travaux et que je le distingue bien de sa démonstration.
Depuis quelques temps, j'ai fait un travail censé éclaircir et désambiguïser les hypothèses de dénition de la F-quantité en précisant
rigoureusement pour chacune d'entre elles, son domaine {d'application|de
validité} respectif, certains domaines étant plus généraux que d'autres,
mais au nal on a toutes les hypothèses de dénition dont on a besoin
sur le domaine Polytopes(Rn ) qui permettront, ensuite, de dénir la
F-quantité sur le domaine P V (Rn ).
Mes travaux n'ont pas par exemple pour but comme Michel COSTE
l'a fait à partir du théorème de STEINER-MINKOWSKI, d'expliquer
géométriquement la nature des coecients qui interviennent dans la
formule de la F-quantité sur P V (Rn ).
L'essentiel de la partie connue et établie a été proposée et a bien été
validée par Michel COSTE.

18

Mais, peut-être que je dois encore intervenir dans son contenu et dans
sa forme, pour la mettre dans une forme qui satisfasse les intervenants
Des-mathematiques.net, en m'inspirant du PDF de Michel COSTE.
Mais, je n'aurais pas pu faire, de moi-même, la vulgarisation qu'a
faite Michel COSTE dans son PDF, car je ne disposais pas de tous
les éléments et de toutes les connaissances pour le faire, et, pour les
mêmes raisons, j'ai des limites à pouvoir faire mieux que lui et à
compléter son travail, concernant la partie connue et établie.
Il est vrai que mes travaux sur la F-quantité sont beaucoup plus secs
que le PDF de Michel COSTE, "La saga du "cardinal"" : Je ne dis pas
que tout ce qu'a dit dedans Michel COSTE est inutile et n'aide pas à
la compréhension, mais si on veut démontrer ou utiliser de manière
opérationnelle les résultats qui y sont mentionnés, on n'a pas besoin
de tous les commentaires qu'il y a faits.
Concernant la partie spéculative.
Si l'ensemble +∞F (R) est mal déni et qu'il n'y a aucune alternative
possible pour le dénir, alors une sous-section entière de la partie
spéculative tombera à l'eau, mais pas tout.
J'ai de bonnes raisons de croire que la sous-section restante de la
partie spéculative est valable et bonne dans le fond, et qu'il y a juste
à intervenir encore dans son contenu et dans sa forme, pourvu que
la dénition de limite d'une famille de parties de Rn tendant vers
un plafonnement d'une partie non bornée de Rn soit valide et que
ou bien la conjecture ou bien l'hypothèse de dénition que j'ai émis,
concernant la F-quantité, soit valable.

[26-09-2023 : La notion de plafonnement d'une partie de Rn est désormais bien dénie et valide, cependant on rencontre, par la suite,
certains problèmes épineux, notamment celui du double sens possible de certaines notions de limite, dans la conjecture fondamentale
ou l'hypothèse de dénition fondamentale que j'ai émis, concernant
la F-quantité, relative à un repère orthonormé de Rn . Concernant
ce problème, il se peut qu'il y ait incompatibilité entre certaines notions de limite et qu'il va peut-être falloir choisir entre ces diérentes
notions.]

19

1.4 Liens
REMARQUE : On pourra d'abord lire les PDF de Michel COSTE,
qui sont des articles informels de vulgarisation, beaucoup moins ambitieux :
*La saga du "cardinal" (version 4-5) (chier hébergé sur https://www.chierpdf.fr)
*La saga du "cardinal" (version 4) (chier hébergé sur https://www.chierpdf.fr)
*La saga du "cardinal" (version 3) (chier hébergé sur https://www.chierpdf.fr)
*La saga du "cardinal" (version 2) (chier hébergé sur https://www.chierpdf.fr)
*La saga du "cardinal" (version 1) (chier hébergé sur https://www.chierpdf.fr)

Voici des extraits du livre de BERGER2 intitulé "Cedic-Nathan (vol
3): Convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aires et volumes" :
*BERGER 1 (chier hébergé sur https://www.chier-pdf.fr)
*BERGER 2 (chier hébergé sur https://www.chier-pdf.fr)
Cf. Référence:Géométrie (BERGER)
Quant à l'extrait de livre suivant, d'après Michel COSTE, il provient
de Jean DIEUDONNÉ :
*Dieuquarto (chier hébergé sur https://www.chier-pdf.fr)

Voici des liens Wikipedia :
*Volume mixte (en anglais)
*Théorème de HADWIGER (en anglais)
*Formule de STEINER-MINKOWSKI

20

Voici des liens intéressants en français :
*Valuations et Théorème de HADWIGER
*Volumes des corps convexes; géométrie et algèbre; Bernard TEISSIER

Voici un lien intéressant en anglais (du moins le début, en ce qui me
concerne) :
*https://www.utgjiu.ro/math/sma/v03/p07.pdf
La notion de F-quantité sur Rn est une notion relative au repère
orthonormé dans lequel on se place.

1.5 Remarques complémentaires
NB : Michel COSTE, qui tient à sa réputation, est uniquement responsable de ses propres propos dans les PDF dont il est l'auteur
c'est-à-dire, ici, dans les documents intitulés "La saga du "cardinal""
(versions 1-2-3-4-[4-5]), qui sont des articles informels de vulgarisation.
Avant d'envisager la formule de la F-quantité concernant les parties bornées de R′′n , il faut d'abord l'envisager concernant les parties
bornées de Rn , et même seulement les PV.
NB : le principal et le plus dur reste encore à faire.
On pourra peut-être ensuite l'étendre à des classes de parties de

R′′n .

Je sais que si des suites de polytopes de Rn , de dimension n (c'està-dire des suites de polyèdres compacts, convexes, [connexes] de Rn ,
de dimension n), convergent vers une PV de dimension n, alors les
suites constituées des F-quantités des polytopes de chacune d'entre
elles, convergent vers la F-quantité de cette PV.
[Le début des versions 1, 2 et 3 de "La saga du "cardinal"" de Michel
COSTE, contient un passage que l'auteur a préféré supprimer dans
la version 4 et la version 4-5, mais ce passage est fondamental pour
moi, et est caractéristique et constitutif de la {vraie|véritable} notion
de quantité d'éléments d'un ensemble, et qui dit que cette notion,
appliquée à un ensemble, ne néglige aucun point, et que la F-quantité
de tout singleton de Rn vaut 1.]

21

La documentation disponible tourne autour de la géométrie convexe
et de la formule de STEINER-MINKOWSKI qui est fausse dans le
cas des parties non convexes, mais cela est insusant voire inutile, si
on veut aller au-delà des parties convexes.
Je sais que tout polyèdre non convexe est décomposable en polyèdres convexes. Il y a donc peut-être là une possibilité d'étendre la
notion de F-quantité en supprimant la contrainte de convexité de ma
dénition des PV.
Conjecture :
"Toute partie non convexe, connexe, de Rn est (une) réunion disjointe
de parties convexes, (connexes), de Rn ,
donc toute partie non convexe, de Rn est (une) réunion disjointe de
parties convexes, (connexes), de Rn ,
donc toute partie de
vexes, (connexes), de

Rn est (une) réunion disjointe de parties conRn ."

Cette conjecture est, par exemple, vraie si, dans l'espace de dimension
3, R3 , la partie non convexe et les parties convexes en question sont
dans un même plan de dimension 2.
La plupart des surfaces de classe C 1 de R3 ne sont pas convexes :
Celles qui le sont, sont contenues dans des plans de dimension 2.
Certaines surfaces de R3 , de dimension 2, brisées par morceaux, sont
constituées de parties convexes (polygones).
Certaines surfaces de classe C 1 sont les limites de suites de surfaces
brisées par morceaux, lorsque les diamètres des morceaux (polygones)
tendent vers 0.
Il est mentionné quelque part que la formule de STEINER-MINKOWSKI
s'étend aux polyconvexes, et que donc ma notion s'étend, aussi, à ces
derniers.

22

Michel COSTE et Denis FELDMANN disent pour l'un qu'ils ne peuvent raisonnablement pas aller au-delà des PV, et pour l'autre audelà des parties bornées de Rn , mais, à aucun moment, ils ne disent
pourquoi. Mais, en fait, ils disent cela, parce qu'ils n'ont pas vu qu'on
pouvait aller plus loin et dépasser les contradictions, en dénissant et
en introduisant les "plafonnements".
Michel COSTE a vu et a fait le lien et le rapprochement entre la
F-quantité et la formule de STEINER-MINKOWSKI, mais tous les
travaux qui tournent autour de cette formule concernent principalement, le théorème de HADWIGER, les inégalités isopérimétriques,
l'inégalité de BRUNN-MINKOWSKI et la formule de PICK et ignorent complètement, mais peut-être pas, totalement, pour le 1er, la
notion que je cherche à étendre.
Par ailleurs, j'ai introduit des notions qui sont peut-être inutiles pour
étendre la F-quantité aux "seules" parties de Rn .
De plus, il se peut qu'elles aient été déjà inventées par d'autres personnes, avant moi, mais dans tous les cas, on devrait, normalement,
leur trouver une utilité.
Sur le forum Maths-Forum, Ben314 préfère abandonner l'axiome du
"principe du tout et de la partie" (cf. supra), que d'abandonner
l'axiome ou la proposition :"Toute translation laisse toute partie innie, invariante" : C'est une conception légitime de la notion d'inni.
Quant à moi, je pars de la conception inverse, c'est un choix, tout
aussi légitime. Il existe diérentes conceptions de la notion d'inni,
légitimes, mais incompatibles entre elles.
Pour le moment, je sais comparer les F-quantités, au moins, des PV
de Rn , de dimension i (i ∈ [[0, n]]), et je crois savoir comparer ceux, au
moins, des PV de R′′n , de dimension i (i ∈ [[0, n]]).

23

Chapter 2

Partie déjà établie et connue :
F-quantité dénie sur
P V (Rn), pour n ∈ N∗[en fait,

à un changement de notion
de limite de famille de
parties de Rn, près, cette
partie correspond au cas de
la F-quantité dénie sur la
classe des plafonnements
normaux des parties de
P V (Rn)]

En fait, puisque la "F-quantité, relative au repère orthonormé R de
Rn , d'une partie A de Rn ", qui était nommée auparavant le " cardinal
quantitatif, relatif au repère orthonormé R de Rn , de cette partie A de
Rn ", n'est pas un "cardinal de la partie A de Rn ", nous devrions plutôt
la noter : "QF,R (A)" ou "F -QR (A)" au lieu de la noter "cardQ,R (A)",
mais comme les modications à faire sont trop importantes, je ne le

24

ferai pas dans la suite.
J'ai admis les propositions et les théorèmes pour lesquels Michel
COSTE n'a pas fourni de démonstration ou n'a pas donné de référence
[Ce sont, sans doute, les démonstrations les plus diciles qui permettraient, au lecteur, d'attacher plus d'importance et de crédit, et de
donner, d'avantage, corps à cette théorie].

2.1 Préliminaires
Denition 1. [Dénitions de

Polytopes(Rn ) et de P V (Rn ), pour n ∈ N∗ ]

Soit n ∈ N∗ .
1) Polytopes(Rn )

=

déf

n
o[
P n ∈ P(Rn ) P n polytope de Rn (c-à-d polyèdre compact, convexe [connexe] de Rn )
{∅}.

2) P V (Rn )

=

déf

n
An ∈ P(Rn ) An sous-variété compacte, convexe (connexe) de Rn ,

o
de classe (C 0 ) et (C 1 par morceaux) ou sans bord .
Remarque :
DORFF.

La topologie choisie, ici, est la topologie de HAUS-

2.2 Construction et dénition
Denition 2. [Quelques hypothèses de dénition de la F-quantité sur

P(Rn ) et sur Pbornées (Rn ) et dénition de la F-quantité sur Polytopes(Rn )
, pour n ∈ N∗ ]
Soit n ∈ N∗ .
Soit R un repère orthonormé de Rn , d'origine O .
On pose : Pbornées (Rn ) = {A ∈ P(Rn ) | A bornée dans Rn }.
déf

L'application F-quantité relative au repère orthonormé R de Rn , cardQ,R ,

25

la restriction à l'ensemble Pbornées (Rn ) de l'application cardQ,R ,
et la restriction à l'ensemble P V (Rn ) de l'application cardQ,R
et la restriction à l'ensemble Polytopes(Rn ) de l'application cardQ,R
sont les applications :

cardQ,R : P(Rn ) −→ (F ′′ , +, ×, ≤),
cardQ,R |Pbornées (Rn ) : Pbornées (Rn ) −→ (F ′ , +, ×, ≤),
cardQ,R |P V (Rn ) : P V (Rn ) −→ (F, +, ×, ≤),
cardQ,R |Polytopes(Rn ) : Polytopes(Rn ) −→ (F, +, ×, ≤),
où (F ′′ , +, ×, ≤) est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,
où (F ′ , +, ×, ≤) est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,
où (F, +, ×, ≤) est un anneau commutatif unitaire intègre ordonné,
avec F = Rn [cardQ,R (I)],
où I est un intervalle borné de R (par exemple I = [0; 1[),
et avec F ⊂ F ′ ⊂ F ′′ , où F ′ =?, F ′′ =?,
[On peut cependant dire au moins à ce stade que :

cardQ,R : P(Rn ) −→ N

F

+∞,

et cardQ,R |Pbornées (Rn ) : Pbornées (Rn ) −→ N
et cardQ,R |P V (Rn ) : P V (Rn ) −→ N

F

F

+∞,

+∞,

et cardQ,R |Polytopes(Rn ) : Polytopes(Rn ) −→ N

F

+∞,

où, de manière non classique et naïve, on considère : "+∞" comme
un ensemble tel que +∞ = {x | ∀a ∈ R, x > a}.],

26

qui doivent, normalement, vérier les conditions suivantes (Règles
et opérations générales sur la F-quantité) :
0) ∀R, R′ repères orthonormés de Rn , cardQ,R |Pbornées (Rn ) = cardQ,R′ |Pbornées (Rn ) .
On pose donc : ∀R repère orthonormé de Rn ,

^
^
card
Q = cardQ,R |Pbornées (Rn )
déf

et

^
^
^
card
Q = cardQ
déf

P V (Rn )


= cardQ,R


Pbornées (Rn )

= cardQ,R

P V (Rn )

.

|P V (Rn )

1)
[a) ∀A ∈ P(Rn ), cardQ,R (A) ≥ 0.]
b) cardQ,R (∅) = 0.
c) ∀x ∈ Rn , cardQ,R ({x}) = 1.
2) ∀A, B ∈ P(Rn ),

cardQ,R (A

[

B) = cardQ,R (A) + cardQ,R (B) − cardQ,R (A

\

B),

\

B).

donc, en particulier,

∀A, B ∈ Polytopes(Rn ),
cardQ,R (A

[

B) = cardQ,R (A) + cardQ,R (B) − cardQ,R (A

3) ∀(xm )m∈N ⊂ R, convergente dans R,

lim cardQ,R ([0, xm ]) = cardQ,R ([0, lim xm ]).

m→+∞

4) Soient ∀i ∈ N∗n , Ri un repère orthonormé de Ri d'origine Oi (0)j∈N∗i .

∀k ∈ N∗n−1 ,
∀A ∈ Pbornées (Rn−k ), ∀B ∈ Pbornées (Rk ),

27

m→+∞

cardQ,R (A × B) = cardQ,Rn (A × B) = cardQ,Rn−k (A) cardQ,Rk (B),
donc, en particulier,

∀k ∈ N∗n−1 ,
∀A ∈ Polytopes(Rn−k ), ∀B ∈ Polytopes(Rk ),
cardQ,R (A × B) = cardQ,Rn (A × B) = cardQ,Rn−k (A) cardQ,Rk (B).
@Attention, concernant les parties non bornées, les formules cidessus, n'ont pas, nécessairement, sens, si, par exemple, on suppose
qu'il y a un plafonnement sphérique, autour de l'origine du repère
orthonormé direct R.@
5)
A)
a) ∀I intervalle de Rn , I ∈ Pbornées (Rn ),

∀is isométrie de Rn ,


cardQ,R is(I) = cardQ,R (I),
donc, en particulier,

∀I intervalle de Rn , I ∈ Polytopes(Rn ),
∀is isométrie de Rn ,


cardQ,R is(I) = cardQ,R (I).
En particulier :
a1) ∀I intervalle de Rn , I ∈ Pbornées (Rn ),



∀x ∈ Rn , cardQ,R tx (I) = cardQ,R (I),
où ∀x ∈ Rn , tx : P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ A + x, est la translation de
vecteur x, dans l'espace Rn ,

28

donc, en particulier,

∀I intervalle de Rn , I ∈ Polytopes(Rn ),


∀x ∈ Rn , cardQ,R tx (I) = cardQ,R (I),
où ∀x ∈ Rn , tx : P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ A + x, est la translation de
vecteur x, dans l'espace Rn .
a2) ∀I intervalle de Rn , I ∈ Pbornées (Rn ),

∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,



card rot(M,θn ) (I) = cardQ,R (I),
où

∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,

: P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ rot(M,θn ) (A), est la rotation
(sphérique) de centre M et d'"angle" θn , dans l'espace Rn ,

rot(M,θn )

donc, en particulier,

∀I intervalle de Rn , I ∈ Polytopes(Rn ),
∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,



card rot(M,θn ) (I) = cardQ,R (I),
où

29

∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,

: P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ rot(M,θn ) (A), est la rotation
(sphérique) de centre M et d'"angle" θn , dans l'espace Rn .

rot(M,θn )

Si les hypothèses de dénition données dans 3) A), ne susent pas,
on considérera les hypothèses de dénition données dans 3) B).
B)
a) ∀A ∈ Pbornées (Rn ),

∀is isométrie de Rn ,


cardQ,R is(A) = cardQ,R (A),
donc, en particulier,

∀A ∈ Polytopes(Rn ),
∀is isométrie de Rn ,


cardQ,R is(A) = cardQ,R (A).
En particulier :
a1) ∀A ∈ Pbornées (Rn ),



∀x ∈ Rn , cardQ,R tx (A) = cardQ,R (A),
où ∀x ∈ Rn , tx : P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ A + x, est la translation de
vecteur x, dans l'espace Rn ,
donc, en particulier,

∀A ∈ Polytopes(Rn ),


∀x ∈ Rn , cardQ,R tx (A) = cardQ,R (A),

30

où ∀x ∈ Rn , tx : P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ A + x, est la translation de
vecteur x, dans l'espace Rn .
a2) ∀A ∈ Pbornées (Rn ),

∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,



cardQ,R rot(M,θn ) (A) = cardQ,R (A),
où

∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,

: P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ rot(M,θn ) (A), est la rotation
(sphérique) de centre M et d'"angle" θn , dans l'espace Rn ,

rot(M,θn )

donc, en particulier,

∀A ∈ Polytopes(Rn ),
∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,



cardQ,R rot(M,θn ) (A) = cardQ,R (A),
où

∀M ∈ Rn ,
(
∀θn ∈

{0, π} + 2πZ
Rn−1

si n = 1
si n ̸= 1

,

31

: P(Rn ) → P(Rn ) : A 7→ rot(M,θn ) (A), est la rotation
(sphérique) de centre M et d'"angle" θn , dans l'espace Rn .

rot(M,θn )

  'Remarques sur la dénition :  '
n

On verra que cardQ,R est dénie et donnée sur P V (R ), par une formule
i

exprimant cardQ,R en fonction de (vol )i∈Nn la suite nie des mesures de
LEBESGUE généralisées ou de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne,

voli ,

de dimension i, i ∈ Nn , sur

Rn

0

(si on considère vol , comme la

mesure de comptage dénie sur la tribu des parties au plus dénombrables
de

Rn ),

et cette formule est donnée par Michel COSTE,

dans La saga du "cardinal" (version 4) et La saga du "cardinal" (version
4-5)

^
ou dans : Théorème [card
Q ∈ C



0




0
^
P V i (RN ), F
P V (RN ), F , card
Q,i ∈ C
N

N

et formule donnant la F-quantité de Ai ∈ P V i (R ), pour i ∈ NN (et, en particulier, de AN =

AN
N

N

∈ P V N (R ), en fonction de la F-quantité de l'intervalle

[0, 1[]
ou dans les propositions suivantes : Proposition 1.4 de Guillaume
FOUCART, dans les PDF de Michel COSTE (version du 11 novembre
2007).
Le problème de cette dénition est que l'ensemble d'arrivée dépend de

cardQ,R .
Quant à l'introduction de l'anneau commutatif unitaire intègre ordonné

(F, +, ×, ≤), c'est faute de mieux pouvoir dénir l'ensemble
d'arrivée
de


n
l'application cardQ,R , mais j'aurais pu l'appeler cardQ,R P(R ) , et il doit,
normalement, pouvoir être construit et déni, à partir des hypothèses de
n

dénition de cardQ,R et de P(R ). Mais, à défaut, on peut considérer, dans
un premier temps,
que l'ensemble d'arrivée de l'application cardQ,R est
G
l'ensemble N
+∞, où +∞ = {x | ∀a ∈ R, x > a}.
Denis FELDMANN m'a mis au courant du paradoxe de BURALIFORTI que je vais rencontrer, concernant l'ensemble +∞ tel que je l'ai
déni naïvement.

Aussi, au lieu de vouloir obtenir un ensemble absolu

de nombres innis positifs (à une dimension), contenu dans l'ensemble
d'arrivée de l'application cardQ,R , N

F

+∞, je vais devoir me contenter de

dénir un ensemble non absolu de nombres innis positifs (à une dimension), dans lequel je vais devoir me placer.

32

  'Remarque importante : Obstacle et facteur, pour l'instant, limitant
de "ma théorie":  '
n

Dans le cas des parties de P V (R ), Michel COSTE a dit qu'on ne pouvait
pas aller plus loin, avec la théorie de la F-quantité, mais moi je crois qu'on
peut construire cardQ,R , même si ce ne sera pas forcément une mesure
n

au sens usuel, sur P(R ), mais que ce le sera, d'une certaine façon, en
introduisant la nouvelle notation et la nouvelle notion de "plafonnement"
′′

[A, (Ai )i∈I ]′′ où A ∈ P V 2(Rn ) et (Ai )i∈I ⊂ P V (Rn ).
  'Remarque importante :  ' Lorsqu'on parle d'une partie non bornée

B (cas traité dans la partie spéculative de mes travaux) dans un espace qui
est un plafonnement [A, (Ai )i∈I ] (notion dénie dans la partie spéculative
de mes travaux),
au lieu de parler de la F-quantité relative au repère R, de la partie B ,
"cardQ,R (B)", on devrait plutôt parler de la F-quantité relative au repère

R et au plafonnement [A, (Ai )i∈I ], de la partie B , "cardQ,R,[A,(Ai )i∈I ] (B)",
et, dans ce cas, on a :

 T

h T  T 
[A, (Ai )i∈I ] = cardQ,R B A, B Ai

"cardQ,R,[A,(Ai )i∈I ] (B) = cardQ,R B
déf

i
i∈I

",

et, en particulier, on a :

 T

h  T 
[A, (Ai )i∈I ] = cardQ,R A, A Ai

"cardQ,R,[A,(Ai )i∈I ] (A) = cardQ,R A
déf

i∈I


cardQ,R ([A, (Ai )i∈I ]) ".
Quand on parle de "cardQ,R,[A,(Ai )i∈I ] (B), il se peut que la mention du
repère R soit inutile et superue.
Lorsque la famille (Ai )i∈I est une famille de parties de
0

Rn , bornées ou du

moins convexes (connexes), bornées, de classe (C ) et (C

1

par morceaux),

alors quand on parle de "cardQ,R ([A, (Ai )i∈I ])", il se peut que la mention du
repère R soit inutile et superue.
  'Problème important (lignes ajoutées le 29/05/2021) :  '

P V (Rn )

n'est manifestement pas une tribu de parties et concernant la notion de
n

F-quantité, il n'y a donc pas lieu de parler de mesure dénie sur P V (R ).

33

i 

=

prop ?

Le fait de remplacer le terme "convexe" par celui de "polyconvexe" (et
donc le terme "connexe" par le terme "non connexe" ou rien du tout), dans
n

la dénition de P V (R ) ne change rien à l'aaire : La stabilité par passage
par intersection dénombrable semble a priori vériée (mais je n'en suis pas
sûr), mais la stabilité par passage au complémentaire de la nouvelle classe
de parties ainsi obtenue n'est toujours pas vériée. Peut-être que pour
créer la tribu adéquate que l'on souhaite, il faut ajouter aux parties de

P V (Rn ) (ou de la classe de parties de Rn obtenue en remplaçant le terme
n
"convexe" par le terme "polyconvexe" dans la dénition de P V (R )), leurs
complémentaires (dans
de

R

n

Rn ).

Mais, alors il faut parler de la F-quantité

ou plus précisément de la F-quantité, relativement à un repère orn

thonormé, d'un des plafonnements [R , (Ai )i∈I ] qui est une notion que nous
n'avons pas encore dénie.

Proposition 3. [Propriétés immédiates découlant des hypothèses de

dénition de la F-quantité sur P(Rn ), Pbornées (Rn ) et Polytopes(Rn ),
pour n ∈ N∗ ]
Il en découle de 1)b), de 2) et peut-être d'autres hypothèses de dénition de la F-quantité, en particulier que :

∀I ∈ P(Rn ), cardP (I) ≤ ℵ0 , ∀(Ai )i∈I ⊂ Polytopes(Rn ),
∀i, j ∈ I, i ̸= j, Ai
cardQ,R

G

T

Aj = ∅ ,

 X
Ai =
cardQ,R (Ai ).

i∈I

i∈I

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrons montrer que :

∀I ∈ P(Rn ), cardP (I) ≤ ℵ0 , ∀(Ai )i∈I ⊂ P V (Rn ),
∀i, j ∈ I, i ̸= j, Ai
cardQ,R

G
i∈I

T

Aj = ∅ ,

 X
Ai =
cardQ,R (Ai ).
i∈I

34

La σ -additivité n'est pas valable pour une classe de parties plus large
que P V (Rn ), avec la dénition classique de limite d'une suite de parties de P V (Rn ) tendant vers une partie de P V 2(Rn ), néanmoins, elle
l'est avec la dénition non classique de limite d'une suite de P V (Rn )
tendant vers un plafonnement d'une partie de P V 2(Rn ). La notion de
F-quantité, dans le cas des parties non bornées de Rn , n'est plus considérée comme une notion universelle, mais comme une notion relative au repère orthonormé direct de Rn , et au plafonnement sphérique
ou autre, associé, que l'on s'est xé.
(Cf. dénition de P V 2(Rn ), dans la partie principale de l'introduction
ou plus loin dans la suite.)
En particulier, il découle de 1) a), 1) b) et 2) que :
a) ∀A, B ∈ P(Rn ), B ∈ P(A),

cardQ,R (A \ B) = cardQ,R (A) − cardQ,R (B).
b) ∀A, B ∈ P(Rn ), A ∈ P(B), A ̸= B ,

cardQ,R (A) < cardQ,R (B).
Il découle, en particulier, de 4), que :




I, (Ii )i∈Nn ⊂ Polytopes(Rn )
(résultats généralisables aux intervalles bornés de R, moyennant un
prolongement du domaine de dénition de cardQ,R ), alors :

Si I, (Ii )i∈Nn sont des intervalles de R et

cardQ,R (

Y

Ii ) = cardQ,Rn (

i∈N∗
n

Y
i∈N∗
n

Ii ) =

Y

cardQ,R1 (Ii )

i∈N∗
n

et donc en particulier

cardQ,R (I n ) = cardQ,Rn (I n ) = cardQ,Rn (

Y

i∈N∗
n

I) =

Y


n
cardQ,R1 (I) = cardQ,R1 (I) = cardnQ,R1 (I).

i∈N∗
n

La F-quantité est quelque chose qui s'approche d'une mesure au sens
usuel au delà de la classe de parties de Polytopes(Rn ) et de P V (Rn ), qui
ne néglige aucun point de Rn et qui est uniforme (∀x ∈ Rn , cardQ,R ({x}) =
1).
  'Proposition :  '

35

e ∈ Polytopes(Rn ).
Soit E
e Ax ∈ Polytopes(Rn ) et ∀x, y ∈ E,
e x ̸= y, Ax
Si ∀x ∈ E,

T

Ay = ∅ et A =

G
e
x∈E

alors cardQ,R (A) = cardQ,R

 G

 Z
Ax =
cardQ,R (Ax ) d cardQ,R (x).
e
E

e
x∈E

Plus tard, avec les outils dont nous disposerons, nous pourrons montrer que :

e ∈ P V (Rn ).
Soit E
e Ax ∈ P V (Rn ) et ∀x, y ∈ E,
e x ̸= y, Ax
Si ∀x ∈ E,

T

Ay = ∅ et A =

G

Ax

e
x∈E

alors cardQ,R (A) = cardQ,R

 G

 Z
Ax =
cardQ,R (Ax ) d cardQ,R (x).
e
E

e
x∈E

(sous réserve de conditions supplémentaires concernant les parties
de P V 2(Rn ) et les "plafonnements", mais sans nécessairement cone ∈ Polytopes(Rn ) ou E
e ∈ P V (Rn ) ou E
e ∈ Pbornées (Rn ))
sidérer E
(Formule peut-être remise en cause car la notion de F-quantité n'est
pas a priori une mesure dénie sur Polytopes(Rn ), car Polytopes(Rn )
n'est pas a priori une tribu de parties.)

2.3 Existence et résultats sur les intervalles I ,
bornés, de R, et en particulier, sur les parties de P V (R) = Polytopes(R)
 'Soit

R un repère orthonormé de R, d'origine O. '

  'Préliminaires :  '
Denition 4. [Notations]

Soit N ∈ N∗ .
Soit A ∈ P(E).

36

Ax

◦E

A
A

E

◦

est l'intérieur de A {dans|par rapport à} E (on note aussi A).
est l'adhérence de A {dans|par rapport à} E (on note aussi A).

∀i ∈ N∗N , ∀n ∈ N∗N , n ≥ i, voli,n désigne la mesure de LEBESGUE
généralisée ou de HAUSDORFF, de dimension i, pour la distance
euclidienne, dans Rn , de tribu de départ
Ai,n = {Ai,n ∈ B(Rn ) | dim(Ai,n ) = i}
On note aussi parfois vol

i,n

S

{∅}.

i

: vol , et la suite le justiera.

∀n ∈ N∗N , vol0,n désigne la mesure de LEBESGUE généralisée ou de
HAUSDORFF, de dimension 0, pour la distance euclidienne, sur Rn ,
c'est-à-dire la mesure de comptage sur Rn , de tribu de départ
A0,n = {A0,n ∈ P(Rn ) | dim(A0,n ) = 0}
On note aussi parfois vol

0,n

[

{∅} = {A0,n ∈ P(Rn ) | cardE (A0,n ) ≤ ℵ0 }.

0

: vol , et la suite le justiera.

Soit i ∈ NN .
Soit n ∈ N∗N , n ≥ i.

gi , notée, encore, voli , désigne le prolongement de la mesure de
vol
LEBESGUE généralisée ou de HAUSDORFF, G
de dimension i, pour
i,n
Rn , de tribu de
la distance euclidienne, sur Rn , vol , sur
n∈N∗
N , n≥i

départ Ai =

G

Ai,n

n∈N∗
N , n≥i

gi

telle que ∀n ∈ N∗N , n ≥ i, vol

|Ai,n

= voli,n

et telle que

∀n ∈ N∗N , n ≥ i, ∃Ai,n ∈ Ai,n , Ai =

G
n∈N∗
N ,n≥i

Proposition 5. [Remarque]

37

gi (A ) = vol
gi
Ai,n , vol
i



G
n∈N∗
N , n≥i


Ai,n =

X
n∈N∗
N , n≥i

gi (A ).
vol
i,n

Soient I et J , des intervalles bornés de R, non vides et non réduits à
◦

un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de I et J ou de I et
◦

J existent et sont notés i0 et j0 , alors on remarque que :
1)

∀x0 ∈ Rn , cardQ,R ({x0 }) = vol0 ({x0 }) = 1.
◦

◦

vol1 (I) = vol1 (J) ⇔ cardQ,R (I) = cardQ,R (J) et cardQ,R (I ) = cardQ,R (J ).
1

◦

1

◦

En eet ∀I, J intervalles bornes
´ de R : vol (I) = vol (J), ∃aI,J ∈ R, J = I + aI,J et J =I +aI,J .
2)

 ◦F

cardQ,R (I ∂I) \ {i0 }
cardQ,R (I \ {i0 })

 ◦F
=
cardQ,R (J \ {j0 })
cardQ,R (J ∂J) \ {j0 }
c'est-à-dire
◦ F
cardQ,R (I) − cardQ,R ({i0 })
cardQ,R (I ∂I) − cardQ,R ({i0 })
=
◦ F
cardQ,R (J) − cardQ,R ({j0 })
cardQ,R (J ∂J) − cardQ,R ({j0 })

c'est-à-dire
◦

cardQ,R (I) − cardQ,R ({i0 })
cardQ,R (I ) + cardQ,R (∂I) − cardQ,R ({i0 })
=
◦
cardQ,R (J) − cardQ,R ({j0 })
cardQ,R (J ) + cardQ,R (∂J) − cardQ,R ({j0 })
c'est-à-dire
◦

cardQ,R (I ) + cardQ,R ({inf i, sup i}) − cardQ,R ({i0 })

i∈I
cardQ,R (I) − cardQ,R ({i0 })
i∈I
=
◦
cardQ,R (J) − cardQ,R ({j0 })
cardQ,R (J ) + cardQ,R ({ inf j, sup j}) − cardQ,R ({j0 })
j∈J

c'est-à-dire
◦

cardQ,R (I) − 1
cardQ,R (I ) + 2 − 1
=
◦
cardQ,R (J) − 1
cardQ,R (J ) + 2 − 1
c'est-à-dire

38

j∈J

◦

cardQ,R (I) − 1
cardQ,R (I ) + 1
.
=
◦
cardQ,R (J) − 1
cardQ,R (J ) + 1
Proposition 6. [Proposition 1.4 de Guillaume FOUCART, dans les

PDF de Michel COSTE (version du 11 novembre 2007)]
Soient I et J , des intervalles bornés de R, non vides et non réduits à
◦

un singleton, pour lesquels les milieux respectifs de I et J ou de I et
◦

J existent et sont notés i0 et j0 , alors a :
◦

cardQ,R (I \ {i0 })
cardQ,R (I) − 1
cardQ,R (I ) + 1
vol1 (I)
=
=
.
=
◦
cardQ,R (J \ {j0 })
cardQ,R (J) − 1
vol1 (J)
cardQ,R (J ) + 1
  'Démonstration :  '
Soient I et J , des intervalles bornés de
un singleton.

R, non vides et non réduits à

On doit montrer dans un premier temps que :
◦

cardQ,R (I ) + 1

=

◦

cardQ,R (J ) + 1

vol1 (I)
.
vol1 (J)

On pose :

K

◦

◦

0,I

◦

=]0, vol1 (I )[, K

◦

0,J

=]0, vol1 (J )[

et

K0,I = [0, vol1 (I)], K0,J = [0, vol1 (J)].
Or

vol1 (I) = vol1 (K

donc

or

◦

=K

◦

0,I

,

)
◦

◦

◦

), cardQ,R (J ) = cardQ,R (K

◦

), cardQ,R (J ) = cardQ,R (K

0,I

◦

◦

0,J

◦

0,I

donc

), vol(J) = vol1 (K

cardQ,R (I ) = cardQ,R (K

◦

K

◦

0,I

◦

)

◦

)

0,J

◦

K

◦

0,J

=K

◦

0,J

◦

cardQ,R (I ) = cardQ,R (K

◦

0,I

0,J

39

donc on doit montrer que :

cardQ,R (K

◦

0,I

cardQ,R (K

◦

0,J

Or il existe

K

vol1 (K

)+1
)+1

=

vol (K

)

◦

)

0,J

.

s ∈ R∗+ tel que :
◦

◦

0,I

◦

0,I

1

◦

◦

=]0, vol1 (I )[=]0, s vol1 (J )[= s ]0, vol1 (J )[= s K
◦

p = vol1 (J ) ∈ R∗+ .

On pose :

déf

On a :

K

◦

◦

=]0, vol1 (J )[=]0, p[

◦

=sK

0,J

et

K

0,I

◦

◦

0,J

= s ]0, vol1 (J )[= s ]0, p[=]0, sp[.

Donc on doit montrer que :

cardQ,R (]0, sp[) + 1
vol1 (]0, sp[)
=
cardQ,R (]0, p[) + 1
vol1 (]0, p[)
donc si

s = k ∈ N∗ ,

on doit montrer que :

cardQ,R (]0, kp[) + 1
vol1 (]0, kp[)
=
.
cardQ,R (]0, p[) + 1
vol1 (]0, p[)
Si

s = k ∈ N∗ :

2 voies possibles :

ˆ(1)
[0, kp[=

G

[(i − 1)p, ip[

i∈N∗
k

40

◦

0,J

.

donc

cardQ,R ([0, kp[) =

X

cardQ,R ([(i − 1)p, ip[)

i∈N∗
k

or

∀i ∈ N∗k , cardQ,R (](i − 1)p, ip[) = cardQ,R (]0, p[)

car

∀i ∈ N∗k , vol1 (](i − 1)p, ip[) = vol1 (]0, p[)

donc

∀i ∈ N∗k , cardQ,R (](i − 1)p, ip[) + 1 = cardQ,R (]0, p[) + 1

donc

∀i ∈ N∗k , cardQ,R (](i − 1)p, ip[) + cardQ,R ({(i − 1)p}) = cardQ,R (]0, p[) + cardQ,R ({0})

donc

∀i ∈ N∗k , cardQ,R (](i − 1)p, ip[

donc

∀i ∈ N∗k , cardQ,R ([(i − 1)p, ip[) = cardQ,R ([0, p[)

donc comme

G

X

cardQ,R ([0, kp[) =

{(i − 1)p}) = cardQ,R (]0, p[

G
{0})

cardQ,R ([(i − 1)p, ip[),

i∈N∗
k

cardQ,R ([0, kp[) =

X

cardQ,R ([0, p[),

i∈N∗
k

donc

cardQ,R ([0, kp[) = k cardQ,R ([0, p[)

donc

cardQ,R (]0, kp[) = cardQ,R ([0, kp[\{0}) = cardQ,R ([0, kp[) − cardQ,R ({0}) = k cardQ,R ([0, p[) − 1







G
= k cardQ,R (]0, p[ {0}) − 1 = k cardQ,R (]0, p[) + cardQ,R ({0}) − 1 = k cardQ,R (]0, p[) + 1 − 1

ˆ(2)
]0, kp[= (

G

](i − 1)p, ip[)

G

(

cardQ,R (]0, kp[) =

{ip})

i∈N∗
k−1

i∈N∗
k

donc

G

X

cardQ,R (](i − 1)p, ip[) +

i∈N∗
k

or

or

i∈N∗
k−1

∀i ∈ N∗k , cardQ,R (](i − 1)p, ip[) = cardQ,R (]0, p[)

car

X

∀i ∈ N∗k , vol1 (](i − 1)p, ip[) = vol1 (]0, p[)

∀i ∈ N∗k−1 , cardQ,R ({ip}) = cardQ,R ({p})

41

cardQ,R ({ip})

donc

X

cardQ,R (]0, kp[) =

cardQ,R (]0, p[) +

X

cardQ,R ({p})

i∈N∗
k−1

i∈N∗
k

donc

cardQ,R
 (]0, kp[) = k cardQ,R
 (]0, p[)+(k−1) cardQ,R ({p}) = k cardQ,R (]0, p[)+
(k − 1) = k cardQ,R (]0, p[) + 1 − 1

ˆ[Point

où se rejoignent (1) et (2)]

donc

cardQ,R (]0, kp[) + 1
=k
cardQ,R (]0, p[) + 1

donc

kp
cardQ,R (]0, kp[) + 1
=
cardQ,R (]0, p[) + 1
p

donc

vol1 (]0, kp[)
cardQ,R (]0, kp[) + 1
=
.
cardQ,R (]0, p[) + 1
vol1 (]0, p[)

Remarque : On montre facilement le résultat pour
◦

Donc

cardQ,R (I ) + 1
◦

cardQ,R (J ) + 1

=

s ∈ Q∗+ et s ∈ R∗+ .

vol1 (I)
vol1 (J)
◦

cardQ,R (I) − 1
cardQ,R (I ) + 1
or
=
◦
cardQ,R (J) − 1
cardQ,R (J ) + 1
◦

vol1 (I)
cardQ,R (I ) + 1
cardQ,R (I) − 1
=
donc
.
=
◦
cardQ,R (J) − 1
vol1 (J)
cardQ,R (J ) + 1

2.4 Existence et résultats généraux concernant la
F-quantité sur P V (RN ), pour N ∈ N∗
Les résultats qui suivent sont ceux donnés par Michel COSTE, dans
son PDF "La saga du "cardinal"" (version 4 et version 4-5), mais
de manière plus rigoureuse, plus détaillée, plus précise, plus développée et mieux formalisée (enn j'ai fait du mieux que j'ai pu) : N'en
déplaise au lecteur contemplatif et admiratif du PDF de vulgarisation de Michel COSTE et aveuglé par ce dernier, il n'appréciera pas,
nécessairement et aussi bien, ces résultats, sous cette forme, qui est
pourtant leur forme véritable. Et si je n'ai pas fourni les démonstrations de beaucoup d'entre elles, c'est parce que Michel COSTE

42

ne les a pas fournies lui-même et n'a pas donné toutes les références
nécessaires.
Denition 7. [Notations (mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de

dimension d, pour la distance euclidienne, sur RN , d'une partie de
RN et dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur
RN , d'une partie de RN , pour N ∈ N∗ et d ∈ NN ) ]
Soient N ∈ N∗ , d ∈ NN .
Soit AN ∈ P(RN ).
Alors

vold (AN ) est la mesure [extérieure] de HAUSDORFF, de dimension
d, pour la distance euclidienne, sur RN , de la partie AN
et

dim(AN ) est la dimension de HAUSDORFF, pour la distance euclidienne, sur RN , de la partie AN .
avec la convention : dim(∅) = +∞.

  'Remarque :  ' Ici, la Dimension de HAUSDORFF (Wikipedia)
sera toujours à valeur entière positive ou innie positive.
(Cf.https://homeweb.unifr.ch/manolesc/Pub/teaching/Mesure_integration.pdf)

Denition 8. [Dénitions de

Polytopes(RN ) et de P V (RN ), pour N ∈

∗

N ]
Soit N ∈ N∗ .
1) Polytopes(RN )

=

déf

n
o[
P N ∈ P(RN ) P N polytope de RN (c-à-d polyèdre compact, convexe [connexe] de RN )
{∅}.

2) P V (RN )

43

=

déf

n
AN ∈ P(RN ) AN sous-variété compacte, convexe (connexe) de RN ,

o
de classe (C 0 ) et (C 1 par morceaux) ou sans bord .
Denition 9. [Dénitions de
∗

NN et N ∈ N ]

Polytopesi (RN ) et de P V i (RN ), pour i ∈

Soit N ∈ N∗ .
Soit i ∈ NN .
1) Polytopesi (RN )

=

déf

n
PiN ∈ P(RN ) PiN polytope de RN (c-à-d polyèdre compact, convexe [connexe] de RN )

oS
et dim(PiN ) = i
{∅}
n
o[
{∅}.
= PiN ∈ Polytope(RN ) dim(PiN ) = i
2) P V i (RN )

=

déf

n
N
N
N
AN
i ∈ P(R ) Ai sous-variété compacte, convexe (connexe) de R ,

o[
{∅}
de classe (C 0 ) et (C 1 par morceaux) et dim(AN
i )=i
n
o[
N
N
= AN
{∅}.
i ∈ P V (R ) dim(Ai ) = i
Theorem 10. [Théorème admis (formule de STEINER-MINKOWSKI

pour PN et coecients de STEINER-MINKOWSKI Li,N (PN ) pour
PN , avec PN = PNN ∈ PolytopesN (RN ), i ∈ NN et N ∈ N∗ )]
Soit N ∈ N∗ .
Soit PN ∈ PolytopesN (RN ).
On pose ∀r ∈ R+ , BRN (PN , r) = {x ∈ RN |d(PN , x) ≤ r} = PN +r BRN (ON , 1).





Alors ∃! Li,N (PN )

i∈NN





⊂ R+ , ∀r ∈ R+ , volN BRN (PN , r) = volN PN + r BRN (ON , 1)

44