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Nom original: ENT-Matrices.pdfTitre: Diapositive 1Auteur: Friedelmeyer

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s.friedelmeyer@ac-toulouse.fr , le 18/12/2012

Chapitre II - Matrices

Problème d'évolution

Problèmes menant au matrices
Sur un tableur



On conserve dans une enceinte une population de 500.000
êtres unicellulaires qui ne peuvent se trouver que dans deux
états physiologiques désignés par A et B.
On désigne an par bn et les effectifs – exprimés en milliers
d’individus des deux sous-populations à l’instant n.
Des observations menées sur une assez longue période
permettent d’estimer que 95% des unicellulaires se trouvant
à l’instant n dans l’état A n’ont pas changé d’état à l’instant
n + 1, de même que 80% de ceux se trouvant à l’instant n
dans l’état B
ce qui se traduit par le système suivant :

an 1  0,95an  0,2bn

bn 1  0,05an  0,8bn
1. Sachant que a0=375, étudier l'évolution des deux
populations.
2. Etudier le comportement de la suite un=an-400

A
1
2

Etat initial

3

Formule

B

C

Population A

Population B

Quelques valeurs



A
1
2

B

C

Population A

Population B

Etat initial

3

1

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Chapitre II - Matrices

Avec des 'matrices'
Sur Casio

Notation



Avec une notation matricielle, on peut écrire le
problème sous la forme :



Dans le menu 1, on
choisit MAT

Touche MATRIX



On choisit le nom et EDIT

 an 1   0,95 0,2  an 
  

 
 bn 1   0,05 0,8  bn 
la multiplication des matrices se faisant de
cette manière :

 an 
 
 bn 

Sur TI



Pour la matrice A, on
définit une taille 2x2

Pour la matrice A, taille
2x2

Et les valeurs

 0,95 0,2 


 0,05 0,8 
On a alors, en posant

 an 1 
 0,95 0,2 


Un  
 et A   0,05 0,8 
b


 n 1 

U n 1  A  U n
et par extension,
Un  A U
A la calculatrice, on trouve ainsi
n

et on rentre les coefficients De
même pour B, taille 2x1 et
valeurs 375 et 125
Pour les calculs, on
repasse par
Pour B, taille 2x1 on rentre
375 et 125
et via le menu NAMES, on
Pour les calculs, on clique
sur Mat avant le nom de la choisit [A]x[B]
matrice :
Le résultat s'affiche
2

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Chapitre II - Matrices



Application des Matrices

Programme de production
3 succursales d'une même entreprise ont des besoins
différents. 3 fournisseurs sont possibles. Auquel
s'adresser ?

besoins des succursales par jour

Vente par les différents fournisseurs
Vente

Fournisseur
1

Fournisseur
2

Fournisseur
3

Ciment

60€

55€

63€

Sable

15€

17€

13€

Gravillon

17€

16€

15€

Fournisseur
1

Fournisseur
2

Fournisseur
3

Ciment
(tonnes)

Sable (m3)

Gravillons
(m3)

Vente

Succursale 1

10

5

5

Succursale 1

Succursale 2

8

3

2

Succursale 2

Succursale 3

7

3

2

Succursale 3

On peut représenter ces valeurs sur deux matrices B
et V
Le produit de B par V donne le prix à payer à chaque
fournisseur pour les différentes entreprises

10 5 5 


B   8 3 2
 7 3 2



A la main, il faut 9 calculs différents :
En utilisant des matrices, le problème se règle
rapidement en un seul calcul

 60 55 63 


V   15 17 13 
 17 16 15 



3

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Chapitre II - Matrices

gestion d'un hôpital

On estime que les patients admis dans un certain
service d’un hôpital peuvent se trouver dans l’un des 4
états suivants : 1. Soins réguliers, 2. Chirurgie, 3.
Soins intensifs, 4. Sortie.
Cette estimation est décrite par le tableau suivant,
dans lequel sont indiquées les probabilités de passage
d’un des états à un autre dans un intervalle de 24
heures (probabilités obtenues par modélisation des
fréquences observées sur une longue période).
Tableau de circulation des malades :
Soins
réguliers

Chirurgie

Soins
intensifs

Sorties

Soins réguliers

0,6

0,2

0

0,2

Chirurgie

0,1

0

0,8

0,1

Soins intensifs

0,5

0

0,33

0,17

Sorties

0

0

0

0

Représentation par un graphe
0,1

Chirurgie

0,8

0,17
Soins intensifs
0,33

0,2

Sortie

0,1

0,5

0,2
soins réguliers
0,6

On peut manipuler ce tableau via une matrice.

Si un certain jour, il y a X=(12 ; 5 ; 6 ; 3) patients
dans les différents services, on aura le lendemain :

Soit X'=(10,7 ; 2,4 ; 6 ; 3,9)
En effet, le nombre de patients en soins régulier sera
calculé par 12x0,6+5x0,1+6x0,5
Si on a 10 entrées en soins réguliers chaque jour, quel
quantité de lits doit-on prévoir ?
Il faut étudier la suite

 X 0  10 0 0 0 

 X k 1  10 0 0 0   X k M
On constate qu'elle se stabilise vers une limite
de 38;8 et 9 lits, et 10 sorties chaque jour
4

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Chapitre II - Matrices

Le calcul matriciel est un outil puissant, utilisant des
tableaux de nombres pour faire des calculs rapides,
résoudre des systèmes d’équations et d’autres
problèmes complexes.

Exemple:

Définition: On appelle matrice A à n lignes et p
colonnes un tableau des nombres ai,j
où i représente la ième ligne et j la jème colonne :

Mathématiquement on dira que la somme de A=(ai,j) et
B=(bi,j) est C=(ci,j) où ci,j=ai,j+bi,j

Voici une matrice de 4 lignes et 3 colonnes

 a1,1

 a2,1

 a3,1
a
 4,1

a1, 2
a2 , 2
a3, 2
a4 , 2

 2 3  3   1  3 2   3 0  1

  
  

 5 0 4   4 1  3  9 1 1 
La somme n’existe que pour des matrices de même
taille !!
Si on appelle O une matrice dont tous les coefficients
sont nuls et que A, B, C sont des matrices de même
taille, on aura les propriétés suivantes :

a1,3 

a2 , 3 

a3,3 
a4,3 

A+B=B+A
(A+B)+C=A+(B+C)

On parlera aussi de la matrice
Et on dira que A a une taille n x pA  ai , j 1i  n
1 j  n
Et deux matrices sont égales si elles ont les mêmes
coefficients
On définit plusieurs opérations sur les matrices :
Somme (Addition) de 2 matrices
La somme de deux matrices de même taille s’obtient
en additionnant les éléments situés sur la même ligne
et la même colonne.

 

A+O=A
Définition:
On appelle matrice opposée à A la matrice dont les
coefficients sont –ai,j. On la note (-A)
On a alors A + (-A) = O
Exemple

 2 3  3
  2  3 3
A  
; (  A)  

5
0
4
5
0
4






5

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Chapitre II - Matrices



Multiplication d’une matrice par un réel
Si k est un réel et A=(ai,j) une matrice, on
obtient la matrice k.A en multipliant toutes
les valeurs de A par k. A et kA ont la même
taille.
Mathématiquement on dira que B=kA si
bi,j=kai,j



Opérations sur les matrices


Multiplication de deux matrices
La multiplication de 2 matrices se fait avec

Une matrice A de n lignes et p colonnes (taille n x p)
2) Une matrice B de p lignes et m colonnes (taille p x m)
3)Son résultat est une matrice M de n lignes et m
colonnes (taille n x m)
4)Elle se fait selon le processus suivant :
1)

Exemple:

 2 3  3
6 9  9 
A  
;3 A  
;
5
0
4
15
0
12





4
2  2

1 1,5  1,5  2
1
3

A  
; A  
8 
 10
2
 2,5 0 2  3
0


3
 3
On a alors les propriétés suivantes :
K(A+B)=kA+kB
(k+k’)A=kA+k’A
k(k’A)=k’(kA)=(kk’)A

0  2 5 1 


1 0 3 1 
 3 0  2 0


 2 3  3


5 0 4 

Définition mathématique
On a donc, pour 1≤i≤n et 1≤j≤m

Ci , j  ai ,1b1, j  ai , 2b2, j  ...  ai , p b p , j
k p

Ci , j   ai ,k bk , j
k 1

6

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Chapitre II - Matrices

On a alors les propriétés suivantes:
Si A, B et C sont des matrices dont les
tailles satisfont les conditions de la
multiplication, et k un réel.
A.B  B.A en général
A.(B.C) = (A.B).C
A.(B+C) = A.B+A.C
(B+C).A = B.A + C.A
A.(kB) = k.(A.B) = (kA).B
Définition :
Si n est un entier positif, on appelle
matrice unité d’ordre n, et on note In la
matrice de taille n x n dont:
1) Tous les coefficients valent zéro
2) Sauf ceux sur sa diagonale
Exemple


1

 1 0
0
I 2  
; I 4  
0
 0 1

0

0 0 0

1 0 0
0 1 0

0 0 1

S’il n’y a pas de confusion possible sur la
taille, on notera simplement I pour la matrice
unité.

Propriétés, Puissance
Propriété
On a alors A.In = In.A = A
Définition
A est une matrice carrée de dimension n si
elle a n lignes et n colonnes
On peut définir les opérations suivantes :
A2 = A.A est une matrice carrée n x n
Ap = A.A.A.A….A (p fois) également
par convention, A0=In et A1=A
Propriété
On a alors, pour tout n et p entiers
naturels : AnxAp=An+p


ATTENTION
le fait que AxB  BxA
implique de réfléchir au sens concret que
l'on donne à une multiplication de
matrices, en particulier pour les matrices
carrées pour lesquelles on ne peut pas
déduire des dimensions l'ordre du produit.

7


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