cours electricite regime sinusoidal

Module d’Electricité
1ère partie : Electrocinétique
Fabrice Sincère (version 4.0.3)
http://perso.orange.fr/fabrice.sincere
1

Sommaire
1- Introduction : les grandeurs périodiques
2- Représentation des grandeurs sinusoïdales
2-1- Fonction mathématique
2-2- Représentation de Fresnel
2-3- Nombre complexe associé
3-Déphasage entre deux grandeurs sinusoïdales
4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal
5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal
5-1- Lois de Kirchhoff
5-2- Association de dipôles passifs linéaires
5-3- Théorèmes généraux
6- Puissance en régime sinusoïdal

2

Chapitre 3 Régime sinusoïdal
1- Introduction : les grandeurs périodiques
• Période
Un signal périodique est caractérisé par sa période :

T = 2 ms.
3

• Fréquence
La fréquence f (en hertz) correspond au nombre de périodes par
unité de temps :
1
f=
T
A.N.
T = 2 ms

⇔

f = 500 Hz

(500 périodes par seconde)

• Pulsation
La pulsation est définie par :
ω = 2π
πf = 2π
π/T

(en radians par seconde)
4

• Valeur moyenne
On note <u> la valeur moyenne dans le temps de la tension u(t) :
T

1
< u > = ∫ u( t )dt
T0

A.N.
1
< u > = ×10 = 2,5 V
4

5

• Composante continue (DC =) et composante alternative (AC ~)
Une grandeur périodique a deux composantes :
- la composante continue (c’est la valeur moyenne ou « offset »)
- et la composante alternative
u(t) = <u> + uAC(t) :

6

Remarques :
- la composante alternative a une valeur moyenne nulle : <uAC> = 0
- une grandeur périodique alternative n’a pas de composante
continue : <u> = 0

7

• Puissance électrique

p(t) = u(t)⋅i(t) est la puissance électrique consommée à l’instant t (ou
puissance instantanée).
En régime périodique, ce n’est pas p(t) qu’il est intéressant de
connaître mais la puissance moyenne dans le temps :
T

1
P =< p >=< ui >= ∫ u ( t )i( t )dt
T0

Attention : en général, <ui> ≠ <u> <i>
8

• Valeur efficace (RMS)
Par définition, la valeur efficace Ueff de la tension u(t) est :
T

U eff

1
= < u² > =
u ²( t )dt
∫
T0

A.N.

U eff

1
= 100 × = 5 V
4
9

Remarques :
La valeur efficace est une grandeur positive.
Ueff² = <u>² + UAC eff ²

Valeur efficace d’un courant électrique :

I eff = < i ² >

10

• Signification physique de la valeur efficace
Soit une résistance parcourue par un courant continu :
I

R

U

La résistance consomme une puissance électrique :
P = RI² = U²/R (loi de Joule)

11

Soit la même résistance parcourue par un courant périodique i(t) de
valeur efficace Ieff :
i(t)

R

u(t)

La puissance moyenne consommée est :
P = <Ri²> = R<i²>
= RIeff² = Ueff²/R
Pour avoir les mêmes effets thermiques, il faut que Ieff soit égal à
la valeur du courant en régime continu I (idem pour les tensions) :
La notion de valeur efficace est liée à l’énergie.
12

• Cas particulier des grandeurs sinusoïdales alternatives

Û désigne la tension maximale (ou tension crête)
On montre que :
Û
U eff =
2
Exemple : EDF fournit une tension sinusoïdale alternative de
valeur efficace 230 V et de fréquence 50 Hz.
Pour un courant sinusoïdal alternatif :

I eff

Î
=
2

13

A.N. Calculer la valeur efficace de la tension suivante :

10
U ACeff =
= 7,07 V
2
< u >= +15 V
U eff = 15² + 7,07² = 16,58 V
14

2- Représentation des grandeurs sinusoïdales
2-1- Fonction mathématique
i( t ) = ˆI sin(ωt + ϕi ) = I eff 2 sin(ωt + ϕi )

avec :
•
•
•
•
•

Ieff : valeur efficace (A)
ω : pulsation (rad/s)
t : temps (s)
(ωt + ϕ i) : phase (rad)
ϕ i : phase à l’origine (rad)

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2-2- Représentation de Fresnel
C’est une représentation vectorielle des grandeurs sinusoïdales.
Le vecteur de Fresnel associé au courant i(t) est défini de la façon
suivante :
I =I
eff


(Ox, I) = ϕi
Exemple :

U

i( t ) = 3 2 sin(ωt − 12π )

π
ϕ =+
u
4

u ( t ) = 5 2 sin(ωt + π4 )

I

π
ϕ =−
i
12
16

2-3- Nombre complexe associé
Le nombre complexe I associé au courant i(t) est défini de la façon
suivante :
I = (Ieff , ϕ i)
Le module correspond à la valeur efficace et l’argument à la phase
à l’origine.

17

A.N. Déterminer le nombre complexe associé à la tension :
u ( t ) = 5 2 sin(ωt + π4 )
U = (5,+ π4 )

= 5 cos(+ π4 ) + 5 sin (+ π4 )j
5 2 5 2
=
+
j
2
2
( j² = −1)

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3-Déphasage (ou différence de phase) entre deux grandeurs
sinusoïdales
Soit deux grandeurs sinusoïdales (de même fréquence) :

i( t ) = ˆI sin(ωt + ϕi )
ˆ sin(ωt + ϕ )
u(t) = U
u

Le déphasage de u par rapport à i est par convention : ϕu/i = ϕ u - ϕ i
τ : décalage (en s) entre les deux signaux.

τ ϕ( rad ) ϕ(°)
=
=
T
2π
360
19

• Déphasages particuliers
- déphasage nul (τ = 0) :
les grandeurs sont en phase
- déphasage de 180° (τ = T/2) :
grandeurs en opposition de phase

- déphasage de 90° (τ = T/4) :
grandeurs en quadrature de phase
N.B. Le déphasage est une grandeur algébrique : ϕ i/u = - ϕ u/i
Fig. 3d :
ϕ u/i = +90° : u est en quadrature avance sur i.
20

A.N. Calculer le déphasage ϕ u1/u2 :

ϕ u1 / u 2

τ
100 µs
= 360 = 360
= +36°
T
1 ms
21

• Déphasage et vecteurs de Fresnel
ϕ u / i = ( I, U )

U
ϕ
ϕ

u

ϕ

u/i

I
i

• Déphasage et nombres complexes
ϕ u/i = ϕ u - ϕ i = arg (U) – arg (I)

U
ϕ u / i = arg 
 I

22

A.N. Calculer le déphasage ϕ u / i

U
π
ϕ =+
u
4

I

π
ϕ =−
i
12

ϕu / i = +60 °
23

4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal

24

4- Les dipôles passifs linéaires en régime sinusoïdal
• Impédance complexe
En régime continu, un dipôle passif linéaire est caractérisé par sa
résistance : R = U/I (loi d’Ohm)
En régime sinusoïdal, un dipôle passif linéaire est caractérisé par son
impédance complexe Z :
I

Z
U

U
Z=
I

- L’impédance Z (en Ω) est le module de Z :

U eff (V)
Z(Ω) =
I eff (A)
25

- Le déphasage de u par rapport à i correspond à l’argument de Z :

arg(Z) = ϕu/i
- En définitive :

Z = (Z, ϕu/i) = (Ueff/Ieff , ϕu/i)

• Admittance complexe
L’admittance complexe est l’inverse de l’impédance complexe :
1
Y=
Z
Y est l’admittance (en siemens S) : Y =

1 I eff
=
Z U eff

arg(Y) = - arg(Z) = ϕi/u
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• Dipôles passifs élémentaires en régime sinusoïdal
- résistance parfaite

ZR = R

Z R = R

ϕ u / i = 0°

U eff = RI eff (loi d' Ohm)
1
YR = G =
R

U

I

27

- bobine parfaite

Z L = jLω

Z L = Lω

ϕ u / i = +90°

U eff = LωI eff
YL = −

j
Lω

U
O

π
+
2
I

L : inductance d’une bobine (en henry H)

L’impédance d’une bobine augmente avec la fréquence.
28

- condensateur parfait

1

j ZC =
ZC = −
Cω

Cω 
ϕ u / i = −90°
I eff
U eff =
Cω
Y C = jCω

I

π
−
2
U

C : capacité en farad F (corps humain ≈ 200 pF)

L’impédance d’un condensateur diminue avec la fréquence.

29

5- Etude des circuits linéaires en régime sinusoïdal
Un circuit électrique linéaire est composé uniquement de dipôles
linéaires :
- passifs : R, L, C
- actifs : source de courant ou de tension sinusoïdal (de fréquence f)
Dans un tel circuit, tensions et courants sont sinusoïdaux (de
fréquence f).
On peut donc utiliser :
- la représentation vectorielle
- ou les nombres complexes associés.

30

5-1- Lois de Kirchhoff

31

5-1- Lois de Kirchhoff
•

Loi des nœuds

i(t) = i1(t) + i2(t)
Pour les vecteurs de Fresnel :

I = I1 + I 2

Pour les nombres complexes associés :

I = I1 + I2

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• Exemple :

Une mesure au multimètre (en mode AC ~) donne :
IR eff = 5,00 mA
IL eff = 3,98 mA
Calculer la valeur efficace du courant i(t)
et le déphasage par rapport à la tension u(t) : ϕu/i
33

Utilisons une construction vectorielle :
ϕ u / iR = (I R , U) = 0°
ϕ u / iL = (I L , U) = +90°

I = IR + IL
IR
ϕ

IL

U
u/i

I
I eff = I R eff ² + I L eff ² = 6,39 mA ( théorème de Pythagore)
tan ϕ u / i

I L eff
=
I R eff

d' où : ϕ u / i = +38,5°

34

En raison des déphasages, la loi des nœuds ne s’applique pas
aux valeurs efficaces.
•

Loi des branches / Loi des mailles
u(t) = u1(t) + u2(t)

U = U1 + U 2
U = U1 + U2

La loi des branches ne s’applique pas aux valeurs efficaces.

35

5-2- Association de dipôles passifs linéaires
Une association de dipôles passifs linéaires se comporte comme un
dipôle passif linéaire.
On note Zeq l’impédance complexe équivalente de ce dipôle.
• En série, les impédances complexes s’additionnent :

Zéq = ∑ Zi
i

• En parallèle, les admittances complexes s’additionnent :

Y éq = ∑ Y i
i

ou

1
1
=∑
Z éq
i Zi
36

• Exemple n°1
ZR= R

ZL= jLω

=

I

Zeq= R + jLω

U

On en déduit la relation entre les valeurs efficaces :
U eff = Z eq I eff
avec : Zeq = Zeq = R + jLω = R 2 + (Lω) 2

 Lω 
arctan


et le déphasage : ϕu/i = arg Zeq =
 R 
Remarque : sauf exception

Zéq ≠ ∑ Zi
i

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• Exemple n°2

La tension d’alimentation u(t) est sinusoïdale alternative de valeur
efficace 5 V et de fréquence 10 kHz.
Le circuit est linéaire donc le courant i(t) est sinusoïdal de fréquence
10 kHz.
Calculer sa valeur efficace et le déphasage par rapport à u.

38

1
j
−
Yeq = YR + YL =
R Lω
2

2

1
1 
Loi d’Ohm : Ieff = YeqUeff =   + 
 U eff = 6,39 mA
 R   Lω 
 − L1ω 
ϕu/i = - arg Yeq = − arctan 1  = +38,5°
 R 

En définitive :

39

5-3- Théorèmes généraux
Les formules et théorèmes vus en régime continu (diviseur de
tension, Thévenin – Norton, superposition …) se généralisent au
régime sinusoïdal.
Analogies :
Régime
continu

Régime sinusoïdal

Tension

U

U

Courant

I

I

Résistance / Impédance complexe

R

Z

Conductance / Admittance complexe

G

Y

Source de tension parfaite

E

E

Source de courant parfaite

Icc

Icc

40

Exemple : Théorème de Millman

VR
+ jCωV C
VA = R
1
+ jCω
R

41

6- Puissance en régime sinusoïdal

On montre que la puissance moyenne consommée (ou puissance
active) est :
P = Ueff Ieff cos ϕu/i
Le terme cos ϕ est appelé facteur de
puissance.

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• A.N. : Calculer la puissance active d’un condensateur parfait.
On sait que : ϕu/i = -90°
⇒ P = 0 watt
(pas d’échauffement)

43