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Titre: Microsoft Word - E4_RLC_0506
Auteur: ppe

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Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 1

Manip. Elec.4
E4.1

Circuits RLC en tension alternative

But de la manipulation

Le but de la manipulation est l'étude de circuits alimentés en tension alternative et
comprenant des associations de résistances, condensateurs et bobines.

E4.2 Circuits alimentés en tension alternative
E4.2.1 Rappels
♦ Les circuits étudiés ici comporteront les éléments suivants : résistances (R), capacités (C) et
bobines d'induction (L). Ils seront alimentées en tension alternative :

= 2πf
avec ω =
U t = U 0 sin ωt
T
Ö ils seront donc parcourus par un courant alternatif, de même fréquence que U, mais
éventuellement déphasé par rapport à la tension d'alimentation :
I t = I0 sin ωt + Φ
avec Φ le déphasage courant/tension.

bg

bg

b

g

♦ Ces tensions et courants alternatifs sont des grandeurs variables dans le temps; en fait il
s'agit de grandeurs périodiques dite alternatives car leur valeur moyenne sur une période est
nulle. Une grandeur sinusoïdale est un cas particulier de grandeur alternative. Ces grandeurs
variables peuvent être représentées par des nombres complexes, ce qui facilite le calcul des
grandeurs physiques mesurables dans les circuits. Elles sont généralement représentées
graphiquement par des vecteurs dans le plan complexe (représentation de Fresnel).
♦ Caractéristiques des grandeurs alternatives
U

bg

U t = U 0 sin ωt

U0
0

0

t

T

−U0
1/ Valeur instantanée : valeur de la grandeur à un instant t donné : U(t).
1 T
2/ Valeur moyenne sur une période: U t =
U t dt = 0
T 0
U
1 T 2
U t dt = 0
3/ valeur quadratique moyenne ou valeur efficace : U eff =
T 0
2

af

af

z

af

b

I

I = I 0 sin ω t + φ

I0

t

0
0
−I0

z

T

g

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 2

Rappelons que les voltmètres et ampèremètres dont on dispose au laboratoire mesurent la
valeur efficace des tensions et des courants alternatifs. Ainsi, lorsqu’on mesure, par exemple, la
tension du réseau et qu’on lit sur le cadran du voltmètre 220 V, même si on le sous-entend
généralement, il faut savoir qu’il s’agit d’une valeur efficace et que la tension de crête ou amplitude
maximale vaut 220 /2 soit 311 V.

♦ Caractéristiques des éléments des circuits : R L C
• résistance R "pure" ou résistance ohmique : élément qui "s'oppose" au passage du courant I
tel que il y a proportionnalité entre la tension appliquée à ses bornes et le courant qui le
traverse (loi d'Ohm) :
U
IR = R
UR = R ⋅ I
Ö
R
Unité SI de résistance : Ohm [Ω] @ 1Ω = 1V /1A
Les résistances utilisées en pratique sont de l'ordre de quelques Ω à quelques MΩ.
• condensateur de capacité C : élément qui permet de stocker une quantité
de charges proportionnelle à la tension appliquée à ses bornes : Q = CU Ö

Q
C

UC =

Unité SI de capacité : Farad [F] @ 1F = 1C/1V
Les capacités utilisées en pratique sont de l'ordre de 1pF à 1µF.
dQ
dU
Rappelons la relation : I =
Ö
IC = C C
dt
dt

• bobine d'induction : la variation d'un courant I dans une bobine de n spires conduit à un
changement du flux magnétique la traversant @ induit une tension aux
dI
bornes de cette bobine proportionnelle à la variation de courant :
UL = − L
dt
où l'inductance L est une propriété de la bobine, facteur de proportionnalité entre la tension
induite et la variation de courant. Le signe − provient de la loi de Lenz (la tension induite
s'oppose à la tension initiale).
Unité SI d'inductance : Henry [L] @ 1H = 1V.1s/1A
Les inductances utilisées en pratique sont de l'ordre de 1µH à 1H.
Ö

IL =

z

−1
U L dt
L

• En résumé:

R

UR = R ⋅ I

IR =

UR
R

L

UL = − L

IL =

z

C

dI
dt

−1
U L dt
L

UC =

Q
C

IC = C

dU C
dt

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 3

E4.2.2 Notation complexe et loi d'Ohm généralisée
♦ Pour représenter une grandeur alternative sinusoïdale, on peut adopter la notation des
électroniciens c-à-d une forme mathématique complexe tel que les tensions et courants sont
jω t
= U e jω t et
représentés par des nombres complexes : U = U 0 e

I = I 0 e jb ω t + Φ g = I e j b ω t + Φ g

avec le nombre purement imaginaire j tel que j2 = −1.
♦ On établit alors une relation reliant la tension et le courant (complexes) qui peut se
comprendre comme une généralisation de la loi d'Ohm :

U=ZI
avec Z défini comme impédance complexe du circuit.
En particulier on a les relations (entre nombres réels) :

U = Z⋅I

U eff = Z ⋅ I eff

&

E4.2.3 Eléments R L C alimentés en tension sinusoïdale
♦ Ceci vaut en particulier pour des circuits très simples ne comprenant qu'une résistance ou
une bobine d'induction ou un condensateur pour lesquels on peut établir :

R

L

U0 sin(ωt)

U0 sin(ωt)

U R = ZR ⋅ IR

ZR = R
Ö l'impédance
d'une résistance
est indépendante
de la fréquence

Ö I=

U
R

C

U0 sin(ωt)
U C = ZC ⋅ IC

U L = ZL ⋅ IL

ZL = jωL Ö |ZL| = ωL
Ö l'impédance d'une bobine
augmente avec la fréquence

UL
: le courant
ωL
diminue avec la fréquence

Ö IL =

• hautes fréquences : I → 0
circuit ouvert (aucun courant
ne circule)
• basses fréquences : I → 4
→ court-circuit

ZC =

1
1
Ö ZC =
jω C
ωC

Ö l'impédance d'un
condensateur diminue avec
la fréquence

Ö I C = U C ⋅ ω C : le courant
augmente avec la fréquence

• hautes fréquences : I → 4
→ court-circuit
• basses fréquences : I → 0
circuit ouvert : un
condensateur ne laisse pas
passer le courant continu

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 4

ΦR = 0

ΦL = −π/2

Pas de déphasage du
courant par rapport à
la tension du
générateur

ΦC = +π/2

retard du courant par
rapport à la tension du
générateur d'un quart
de période (T/4)

avance du courant par
rapport à la tension du
générateur d'un quart
de période (T/4)

On a aussi : Q = Qmax sin(ωt + ϕC) avec ϕC
le déphasage de la charge du condensateur
par rapport à la tension appliquée.

♦ loi d'associations des impédances complexes
1/ les impédances des éléments connectés en série s'additionnent :

Z tot = ∑ Z i
i

2/ les impédances des éléments placés en parallèle se combinent comme suit :
E4.2.4 Circuits RL & RC en régime sinusoïdal

1
1
=∑
Z tot
i Zi

♦ En pratique, il faut considérer des circuits RL et RC car les bobines (fil conducteur enroulé)
sont légèrement résistives; de même les fils de connexion aux différents éléments, générateur
de tension et appareils de mesure présentent eux aussi une certaine résistance ohmique.

A

A

I = I0 sin(ωt + Φ)

U = U0 sinωt

• on impose U (donc ω) et on veut connaître I c-à-d les valeurs de I0 et de Φ (déphasage
courant/tension)
• impédance du circuit :

Zcircuit = ZR + Z L = R + jω L

b g

Z circuit = R + ω L
2

2

Zcircuit = Z R + ZC = R +
Zcircuit = R

2

F 1 IJ
+G
H ω CK

1
jω C

2

• loi d'Ohm généralisée : I = U/Z Ö Ieff = Ueff/|Z|
Ö I maximum quand Z minimum et vice versa.

Manip. Elec. Circuits RLC

Ieff =

Elec 4 - 5

U eff

b g

R2 + ω L

U eff

I eff =

2

R

• à basses fréquences (ω → 0) :
|Zcircuit| ≈ R = Z minimum
Ö I → I maximum : Ieff max = Ueff/R

2

F 1 IJ
+G
H ω CK

2

|Zcircuit| tel que R<< 1/ωC → Z maximum
Ö I→0

En continu (ω = 0) : bobine = fil
Ö court-circuit

En continu (ω = 0) : condensateur = isolant
Ö pas de circulation de courant
NB le condensateur se charge puis le courant ne circule plus

• à hautes fréquences (ω → 4) :
|Zcircuit| tel que R << ωL → Z maximum
Ö I→0

|Zcircuit| ≈ R = Z minimum
Ö I → I maximum: Ieff max = Ueff/R

I

I

Ueff/R

Ueff/R

Circuit RC
Circuit RL

ω

ω

• déphasage courant / tension :
I=

I=

jω t

b

g

U0 e
R − jω L
U
U0 e
=
=
Z R + jω L
R + jω L R − jω L
jω t

b

b

g≡I e

U 0 e jω t R − j ω L

b g

2

0

jω t

gb

U0 e

1
R+
jω C

FG
H

U 0 e jω t R +
=

R2 +

tgΦ =

j
ωC

1
ωC

b g

e jΦ

R + ωL
Im − ω L
=
Ö tgΦ =
Re
R
Ö basses → hautes fréquences :
Φ :
0 → −π/2 (−90°)
comportement R seule → "L seule"
2

g

I=

jω t

Im
1
=
Re ω R C

Φ : +π/2 (90°) → 0
" C seule" → " R seule"

2

IJ
K

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 6

E4.2.5 Etude du circuit RLC série alimenté en tension sinusoïdale

♦ Considérons le circuit représenté ci-dessous constitué d'une bobine d'inductance propre L,
d'une résistance R et d'un condensateur de capacité C connectés en série. Aux bornes du
circuit est appliquée une tension alternative sinusoïdale.

A
U0 sin(ωt)

I0 sin(ωt +Φ)

• impédance du circuit :
Zcircuit = ZR + ZL + ZC
Ö Zcircuit = R + j ω L +
Ö Zcircuit = R

2

FG
H

1
1
= R + j ωL−
jω C
ωC

F
1 I
+ Gω L −
H ω C JK

• courant circulant dans le circuit:

I=

IJ
K

2

U
Zcircuit

ou

I eff =

U eff
Zcircuit

1
1
1
= 0 Ö ω2 =
Ö ω=
LC
ωC
LC
Ö Cette fréquence angulaire particulière correspondant au maximum du courant est appelée
fréquence de résonance
I maximum si Z minimum lorsque : ω L −

ω res =

1
LC

Ö la valeur du courant à la résonance vaut donc :

I eff res =

U eff
R

Ö seule la résistance R limite le passage du courant.

Allure de la courbe I = f(ω)
I

ωres

ω

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 7

• déphasage courant / tension :
U e jω t R − j α
U
U 0 e jω t
I= =
= 0
Z
R + j α R − jα
1
R + j ωL−
ωC

b

FG
H

b
gb

IJ b
K

g

g

avec α = ω L −

g

1
ωC

U 0 e jω t R − j α
≡ I 0 e jω t e j Φ
2
2
R +α
1
−ωL
ωC
Im − α
Ö tgΦ =
=
=
R
R
Re
I=

FG
H

IJ
K

Ö Basses fréquences : ωL << 1/ωC

ω→0

Ö Hautes fréquences : 1/ωC << ωL

ω→ +4

1
Ö comportement circuit RC
ωRC
Ö tgΦ → +4 Ö Φ → π/2 Ö comportement C
Ö tgΦ →

−ω L
Ö comportement circuit RL
R
On dit que le circuit est inductif.

Ö tgΦ →

Ö tgΦ → −4 Ö Φ → −π/2 Ö comportement L
On dit que le circuit est capacitif.

Ö à la résonance : tg Φ = 0 Ö Φ = 0 (comportement d'une résistance) ce qui confirme qu'à
la résonance tout se passe comme si seule la résistance R était présente dans le circuit.

Allure de la courbe tgΦ = f(ω)
π/2

0

ωres

ω

−π/2

• En résumé, à la résonance, seule la résistance R limite le passage du courant et celui-ci est
en phase avec la tension U appliquée. Le courant Ieff peut atteindre une valeur élevée. Il en est
de même des amplitudes des tensions aux bornes de la bobine Ueff L et du condensateur Ueff C
puisque celles-ci sont proportionnelles au courant :
I
U eff C = ZC ⋅ Ieff = eff
&
U eff L = Z L ⋅ I eff = ω L I eff
ωC

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 8

E4.2.6 Etude d'un circuit RL et C en parallèle alimenté en tension sinusoïdale

♦ Chacun des cas envisagés ci-avant est un cas idéal. En effet, aucun circuit n’a une
résistance nulle; un circuit, comme son nom l’indique, comporte au moins une boucle et son
inductance propre ne peut être nulle : même très faible, elle peut donner une impédance
non négligeable aux hautes fréquences. Finalement, le circuit RLC lui-même est un circuit
idéal puisqu’il existe toujours des capacités parasites, qui interviennent en parallèle, et
peuvent laisser passer un courant non négligeable aux très hautes fréquences.
♦ Considérons ici 2 circuits particuliers connectés en parallèle, l'un comprenant une bobine
d'inductance propre L et une résistance R (qui peut se limiter à la résistance de la bobine),
l’autre étant constitué d’un condensateur de capacité C. La tension sinusoïdale appliquée à ce
circuit est de la forme U t = U 0 sin ωt .

bg

3 courants sont ici à considérer :

Itot
IL

Itot : courant total fourni par le
générateur

IC

IL : courant traversant la branche
comprenant la bobine
IC : courant traversant la branche
comprenant le condensateur

Itot

ATTENTION: dans ce cas Itot n'est plus la somme algébrique des 2 courants IL et IC
I tot ≠ I L + IC Ö I eff tot ≠ I eff L + I eff C
car les tensions & courants sont des nombres complexes, représentés par des vecteurs dans le
plan complexe Ö Itot estrla somme
r rde 2 nombres complexes IL et IC (ou somme de 2 vecteurs):
Itot = IL + IC
♦ Les courants Itot, IL et IC peuvent se mettre sous la forme :
I tot t = I 0 sin ωt + ϕ
ou I tot t = I0 e jω t

bg
b g
I b t g = I sinbωt + ϕ g
I b t g = I sinbωt + ϕ g
L

0L

L

ou

C

0C

C

ou

bg
I btg = I e
I btg = I e
L

0

C

0

jω t

e jϕ L

jω t

e jϕC

avec ϕtot le déphasage du courant Itot par rapport à la tension
ϕL le déphasage du courant IL par rapport à la tension
ϕC le déphasage du courant IC par rapport à la tension
♦ impédance du circuit :

1
Zcircuit

=

1
1
1
+
=
+ jω C
Z R + Z L ZC R + j ω L

Manip. Elec. Circuits RLC

Ö Zcircuit =

Elec 4 - 9

R + jω L
R + jω L
=
2
1 + j ω C R + j ω L 1 − ω LC + j ω RC

Ö Z circuit =

b

g

b g
d1 − ω LCi + bω R Cg
R2 + ω L

2

2

2

2

U

I=

• courant circulant dans le circuit:

Zcircuit

ou

I eff =

U eff
Zcircuit

I minimum si Z maximum c-à-d si le dénominateur de Z est
minimum, c-à-d lorsque :
ω antires =
1
1
Ö ωL=
Ö
1 − ω2 L C = 0 Ö ω2 =
LC
ωC
Ö il s'agit dans ce cas d'un minimum de courant c-à-d d'une antirésonance.

1
LC

On remarque que la valeur de cette fréquence est identique à celle de la résonance lorsque
les éléments R, L et C sont connectés en série.

La valeur du courant à l'antirésonance est donnée par :
R
U eff
U eff R
U eff
U ωRC
ωL
I eff min =
= eff2
=
=
Zcircuit max
R 2 + ω 2 L2 ω L R/ 2 + ω 2 L2
R + ω 2 L2
Ö si R<< ωL :
U
I eff min = 2 eff 2
ω L
R
♦ Examinons les courants dans les 2 branches du circuit : IL et IC

Ieff L =

U eff
=
ZR + ZL

U eff

I eff C =

U eff
= ω C U eff
ZC

b g

R2 + ω L

2

Ö diminue avec ω
Ö augmente avec ω

♦ Les déphasages par rapport à la tension sont définies à partir des relations du type établies
pour les circuits RL ou RC (§E4.2.4) :
ωL
tgϕ L = −
R
1
tgϕ C =
ω C R'
avec R' la faible (mais jamais non nulle) résistance de la branche comprenant le condensateur.
Ö si on peut négliger R' (R' ≈0) : tgϕ C = ∞ ⇒ ϕ C = π / 2 (cf. §E4.2.3).

Manip. Elec. Circuits RLC

E4.3

Elec 4 - 10

Manipulation

E4.3.1 Etude du circuit RLC série en tension alternative : résonance
♦ Vérifier, par l’analyse dimensionnelle, que l’unité de ΤL et de 1/(ωC) est l'Ohm [Ω].
♦ Réaliser le circuit schématisé ci-dessous. Le faire vérifier. Le schématiser dans le rapport.

Mutltimètre
digital

= 2π/ω

Ampèremètre à aiguille (r = résistance interne)
• 1ière expérience - conditions de travail:
Tension efficace appliquée au circuit : Ueff = 3,5 V
bobine résistive : L = 1,458 H
R = 75,78 Ω
Fréquence = f = ν = 200 Hz
@ faire varier la capacité du condensateur : 0,1 < C < 1 µF
par pas de 0,1 µF mais 0,01 µF autour du maximum

►► vous mesurerez Ieff en fonction de C.
ATTENTION: veiller à maintenir la tension Ueff
constante pendant toute la durée de l'expérience ainsi qu'à
éloigner le plus possible la bobine de la table et des
différents appareils de mesure, la présence de parties
ferromagnétiques risquant de modifier son inductance
propre.
Ne pas oublier de noter la sensibilité adoptée pour
l’ampèremètre lors de la mesure du courant maximum.
En déduire la valeur de la résistance interne r que l’on
ajoutera à la résistance de la bobine pour les calculs.

A la résonance, mesurer les valeurs de la tension
Uc aux bornes du condensateur et UL aux bornes de
la bobine
♦ Ö Porter en graphique les valeurs mesurées de Ieff en fonction de C (cf. figure).
♦ Comparer la valeur de C pour laquelle vous avez observé la résonance à la valeur
théoriquement attendue. Observez-vous une différence ? Si oui, expliquez. Utilisez à toutes
fins utiles un oscilloscope afin de vérifier la valeur de la fréquence générée par l'appareil.

Manip. Elec. Circuits RLC

Elec 4 - 11

♦ Calculer la valeur du courant à la résonance (valeur maximale). Comparer cette valeur à
celle obtenue expérimentalement. Doit-on tenir compte de la résistance interne de
l'ampèremètre dans le calcul ?
♦ Calculer les valeurs théoriquement attendues pour UL et UC à la résonance et comparer aux
valeurs mesurées.
• 2ième expérience (si le temps) - conditions de travail:
Tension efficace appliquée au circuit : Ueff = 4 V
L = 1,478 H
R = 75,78 Ω C = 0,1 µF @ on fixe la capacité
@ vous ferez varier la fréquence : 200 < f < 600 Hz
par pas de 50 Hz mais 10 Hz autour du maximum

►► vous mesurerez Ieff en fonction de la fréquence @ porter en graphique.
Calculer la valeur théorique de la fréquence correspondant à la résonance et comparer à la
valeur trouvée expérimentalement.

E4.3.2 Etude d'un circuit RL & C en parallèle: anti-résonance
♦ Réaliser le circuit schématisé ci-dessous. Le faire vérifier. Le schématiser dans le rapport.

IL

IC

♦ Les conditions de travail sont les suivantes :
Tension efficace appliquée au circuit : Ueff = 40 V
bobine résistive : L = 1,478 H
R = 75,78 Ω
Fréquence = f = ν = 200 Hz
@ vous ferez varier la capacité du condensateur : 0,1 < C < 1 µF.
ATTENTION : faire varier C suffisamment lentement au voisinage de l'antirésonance (Imin) et ne pas
oublier de noter la sensibilité adoptée pour l'ampèremètre lors de la mesure du courant minimum afin
d'en déduire la valeur de la résistance interne de l'ampèremètre que l'on ajoutera à la valeur de la
résistance de la bobine dans les calculs.

►► vous mesurerez 3 courants I, IL' et IC" en fonction de C.
♦ Tracer sur un même graphique les 3 courants mesurés en fonction de C.
►► justifier l'allure des courbes à partir de la partie théorique (E4.2.6).
♦ Calculer la valeur de C correspondant à l'anti-résonance (comparer à la valeur mesurée)
♦ Calculer la valeur minimale attendue pour I (comparer à la valeur expérimentale).
♦ Ö En déduire la valeur de la résistance équivalente du circuit antirésonant (comparer à la
valeur expérimentale).




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