S1 4e Eco 2014

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Lycée Tahar Sfar Sousse

Devoir de synthèse N°:1

Mathématiques
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Eco 1−3

Durée = 2h
Décembre 2013

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Exercice N°1 (4 points)
Un hôtel compte 160 chambres, certaines chambres à un lit et les autres à deux lits. Le prix
d'une chmbre à un lit est de 45 D et celui d'une chambre à deux lits est de 60 D. En raison
d'un tournoi de Golf, toutes les chambres sont occupées. Le total des ventes pour la nuit est
de 8700 D. On désigne par n et p respectivement les nombres de chambres à un lit et à deux
lits de l'hôtel.
1. Traduire
2. Soit

les informations ci-dessus en un système de deux équations à deux inconnues.

la matrice M =



1
45

1
60



. Montrer que M est inversible et calculer M −1 .

(
x+y
= 160
3. Soit le système (S) :
45x + 60y = 8700
(a) Donner

l'écriture matricielle de (S).
(b) En déduire la résolution de (S).

Exercice N°2

(5 points)




2 −1 1
Soit la matrice A =  1 0 1 
1 −1 2
1. Montrer

que A est inversible .

2. Montrer

que A2 − 3A + 2I3 = 0.

3. En

déduire A−1 = − 21 (A − 3I3 ), calculer alors A−1 .



2x − y + z = 5
2
4. Résoudre, dans R , le système (S) :
x+z
=3


x − y + 2z = 6

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Exercice N°3 3 (55 points)
Une urne contient 8 jetons dont : cinq jetons blancs numérotés 1,1,1,2,2 et trois jetons noirs
numérotés 1,1,3.
1. On

tire au hasard et simultanément 3 jetons de l'urne . On considère les évènements
suivants : B : Avoir 3 jetons blancs et S : La somme des trois chires obtenus égale à 5 .
B ∩ S : Avoir 3 jetons blancs et la somme des trois chires obtenus égale à 5 
(a) Calculer

P (B), P (S), P (B ∩ S). En déduire P (B ∪ S) .

(b) Calculer

la probabilité de d'avoir la somme des trois chires obtenus égale à 5, sachant
que les trois jetons sont blancs.

2. Supposons

¯ = 0,3.
que P (S/B)

l'arbre pondéré ci-contre de cette situation
(b) En déduire P (B/S).
(a) Completer

Exercice N°4 (6 points)
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, ~i , ~j ) , la courbe (C ) ci dessous est la
representation d'une fonction f dénie sur R.
(I) Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes :
(C )
1. f

est elle continue en 1?Justier.

2. Donner

f (0) , f (1) , f ([0, 2]) et f ([2, +∞[) .

3. Résoudre
4. Donner

, dans R, l'équation f (x) = 3.

f 0 (0) et f 0 (1).

Montrer que f réalise ine bijection de [0, 2] sur[−1, 3] .
(b) Donner f −1 (1) et f −1 (3) . ( f −1 est la réciproque de f )

5. (a)

(II) On donne g(x) = x3 − 3x2 + 3 , x ∈ R .

(a) Dresser le tableau de variations de g

(b) Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution α ∈ [2, 3].

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