S3 4Eco 2014

Synthèse N°3

4ème Eco1+3

MATHEMATIQUES

Mai 2014
Durée = 2h

Exercice N°1 (4 points)
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à
la réponse choisie. La justification n’est pas demandée.
1

1. Soit l’intégrale I =  e-2x dx .
0

1
2

b) I=  (e 2  1)

a) I= e 2  1
2.



0

1

(2 x  e  x ) dx =

a) 0
3.

c) I = 0



b) -e
e

e

c) 1

x.ln x dx :

a) 1
b) 0
c) e
x
4. Soit f(x) = 2x – 3 + e , la valeur moyenne f de f sur [0,1] est
b) f = e + 3
c) f = e – 3
a) f = 3 – e
5. Soit f une fonction négative sur [1,2] , l’aire A limitée par la courbe Cf , l’axe des ordonnées
et les droites x = 1 et x= 2 est
2

a) A = 1 f ( x) dx

1

b) A = 2 f ( x) dx

1

c) A = - 2 f ( x) dx

6. Soit le graphe probabiliste ci-contre, sa matrice de transition est :
 0,9 0,1 

 0, 7 0,3 

a) M = 
b) M = 


 0, 7 0,3 
 0,9 0,1 
7. L’état probabiliste stable de ce graphe est
a) P(0,5 0,5)
b) P(0,75 0,25)

 0,9

0,1

0,9

0,1 

c) M = 

 0,3 0, 7 

0,7
B

A
0,3

c) P(1 0)

 0,8 0, 2 

8. On donne M 2 = 
 et l’état initial P0 = (0,4 0,6) , alors l’état P2 =
 0,5 0,5 
a) (0,62 0,38)
b) (0,38 0,62)
c) (1, 8 0,2)

Exercice N°2( 6 points)

Deux fabricants de parfum lancent simultanément deux nouveaux produits A et B .
Afin de promouvoir celui-ci chacun organise une compagne de publicité.
Une boite communication contrôle l’efficacité de cette compagne par des sondages
hebdomadaire. Chaque semaine elle interroge les même personnes qui toutes se
prononcent en faveur de l’un de ces produits.
Au début de la compagne, 20% des personne interrogées préfèrent A et les autres préfèrent
B. Les arguments publicitaires font évoluer cette répartition : 10% de ceux qui préfèrent
A et 15% des personnes préférant B changent d’avis d’une semaine à l’autre.
On note Pn ( an ,bn ) l’état probabiliste à la nième semaine du début de la compagne où an
désigne la probabilité qu’une personne préfère A et bn désigne la probabilité qu’une personne préfère B .
1. Représenter la situation par un graphe probabiliste.
2. Déterminer P0 l’état probabiliste initial.
3. Ecrire la matrice de transition M de ce graphe en respectant l’ordre alphabétique.
4. Montrer que : P1= ( 0,3 ; 0,7).
5. Donner la situation au bout de trois semaines.
6. l’état ( 0,5 ; 0.5 ) est-il stable ? Justifier.
7. Donner l’état stable P de cette situation. En déduire lequel des deux parfums finira par être
le plus apprécier
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Exercice N°3 (5 points)
Soit le graphe ci-dessous G représente un réseau routier, tenant compte des sens de circulation
1. a) Compléter le tableau suivant :
A

B

C

D

E

F

d+
db) Le graphe G admet-il un cycle eulérien ?Justifier.
c) Justifier que G admet une chine eulérienne. Donner un exemple.
2. Donner la matrice M de G.
3. On donne :
1
0

0
M3  
0
1

1

3 0 1 0 2
2 1 2 1 0 
0 1 0 2 1

1 2 1 3 1
1 1 0 2 2

3 0 1 0 2 

a) Combien de chemins de longueurs 3 relient-elles D à E ?Justifier.
b) Donner ces chemins.

Exercice N°4 (5 points)
Soit la suite ( Un ) définie sur IN par :U0 = 1 et Un+1 =
1. Montre r que Un+1 = 6 

6 Un
.
1  Un

6
.
1  Un

2. a) Montrer, par récurrence, pour tout entier naturel n, on a : 1 ≤ Un < 5.
b) Montrer que la suite ( Un ) est croissante.
c) En déduire que la suite ( Un ) est convergente et calculer sa limite  .
3. On considère la suite ( Vn ) définie sur IN par : Vn =

Un  5
Un
1
6

a) Montrer que ( Vn ) est une suite géométrique de raison q = . Donner V0.
b) Exprimer Vn puis en déduire Un en fonction de n . Retrouver lim Un .
n 

n

c) Calculer en fonction de n ,la somme Sn =  Vk . Calculer lim Sn
k 1

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n 