SUITE INTEGRALES Mr Anis Ben Ali

2013-2014

4 ANNEE SECONDAIRE

ANIS BEN ALI

Enoncés des exercices

AL
I

TECHNIQUES ET METHODES

Suite intégrale. Relation de récurrence
et limite d’une suite

Suite intégrale. Relation de
récurrence et limite d’une suite
Énoncé de l’exercice

BE
N

Enoncé: Suite intégrale:
Soit pour tout entier n non nul
et pour tout x de [1;e]:

J n = ∫ x ( ln x ) dx
e

n

1

1 / En effectuant une intégration par parties sur
Jn, démontrer que pour tout n supérieur ou
égal à 2 que:

IS

2 J n + nJ n −1 = e

2

AN

2 / Démontrer que Jn est décroissante.
3/ Démontrer que Jn est positive.
4/ En utilisant les résultats de 1/ 2/ et 3/
démontrer que pour tout n supérieur ou égal
2
à2:
e

Jn ≤

n+2

5/ Déterminer la limite de la suite Jn

CALCUL INTEGRAL

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ANIS BEN ALI

TECHNIQUES ET METHODES

AL
I

Suite intégrale. Relation de récurrence et limite d’une suite

Enoncé: Suite intégrale:

Soit pour tout entier n non nul et pour tout x de [1;e]:

∫

Jn =

e
1

x ( ln x ) d x
n

1 / En effectuant une intégration par parties sur Jn ,

démontrer que pour tout n supérieur ou égal à 2 que:

2 J n + n J n −1 = e 2

BE
N

2 / Démontrer que Jn est décroissante.
3/ Démontrer que Jn est positive.
4/ En utilisant les résultats de 1/ 2/ et 3/ démontrer
que pour tout n supérieur ou égal à 2 :

e2
Jn ≤
n+2

5/ Déterminer la limite de la suite Jn
et:

Voici une solution :

2

1 / En effectuant une intégration
par parties sur Jn , démontrer
que pour tout n supérieur ou
égal à 2 que: 2 J + nJ
= e2

x ( ln x ) d x
Posons : u ( x ) = ( ln x ) n

1
n −1
 u ' ( x ) = n ( ln x ) × x

∫

e

1

AN

u = wn ( w )
n

'

= nw

u ' = nwn−1 × w '

avec :

Jn

 x2
= 
 2

n −1

1
x


 −
1

∫

e
1

nx2
2x

1
n
n
n
J n =  e 2 ( ln e ) − ( ln 1 )  −
 2
2
ln e = 1
ln 1 = 0

Avec:

w'
D’où:

J

n

=

e
2

2

−

( ln x )

n −1

On reconnaît J(n-1):

∫ x ( ln x )
e

n −1

1

J n−1 = ∫ x ( ln x )
e

n
J
2

dx

dx

n −1

1

n − 1

En multipliant par 2 les deux membres de l’égalité, on obtient:

w = ln x

w'=

( ln x )

e

n

Par linéarité de l’intégrale:

Rappel:

Méthode:

Posons :

∫ u v ' = [u v ] − ∫ u ' v

n

IS

Jn =

dérivables sur [1; e ], utilisons
l’intégration par parties:

n −1

n

xn+1
 v'( x) = x
n
∫ x dx = n +1
 v ( x) = x
2

Les fonctions u, u ’, v et v ’ étant

2 J n = e 2 − n J n −1
Soit:

CALCUL INTEGRAL

2 J n + nJ n −1 = e 2

dx

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TECHNIQUES ET METHODES

f ( x) = x ( ln x) × ln x − x ( ln x) ×1
n

2 / Démontrer que Jn est décroissante.

et:

∫
= ∫

Jn =
J n +1

x ( ln x ) d x

e

n

1
e

1

x ( ln x )

n +1

dx

f ( x ) = x ( ln x ) [ ln x − 1]
n

∀ x ∈ [1; e ]

BE
N

0 ≤ ln x ≤ 1

− 1 ≤ ln x − 1 ≤ 0

et: ∀ x ∈ [1; e ]

Si pour tout x de [a;b] f est définie
et dérivable et que:
alors

∫

b

e

1

n +1

dx − ∫ x ( ln x ) dx
e

n

(

AN
1

Posons :

n

≥0

x ( ln x ) [ ln x − 1] ≤ 0

f ( x) ≤ 0

Par conséquent:

1

La linéarité de l’intégrale nous
permet d’écrire:

J n +1 − J n = ∫ x ( ln x )

( ln x )
n

Par produit:

Calculons J n+1 - Jn :

J n+1 − J n = ∫ x ( ln x )

x ≥1
 ln x ≥ 0


et pour tout n
naturel non nul:

f ( x )dx ≤ 0

IS

a

ln e = 1
ln 1 = 0

or:

Alors Jn est décroissante
sur l’intervalle considéré.
Utilisons aussi la propriété
régissant les intégrales suivante:
L’intégrale d’une fonction
négative sur un intervalle
considéré est négative.
( La borne supérieure étant
supérieure à la borne inférieure)

e

1≤ x ≤ e

ln 1 ≤ ln x ≤ ln e

J n +1 − J n ≤ 0

f (x) ≤ 0

n

x(lnx)n étant commun aux deux
termes, factorisons par x(lnx)n

Utilisons la propriété du cours
de première sur les suites à savoir :
si

a n+m = a n × a m

Utilisons la
propriété:

Suite de l'exercice
On a :

AL
I

Suite intégrale

n +1

)

− x ( ln x ) dx

f ( x) = x ( ln x)

n+1

Et étudions son signe.
Pour cela factorisons f:

n

− x ( ln x)

« L’intégrale d’une fonction négative est
négative ( La borne supérieure étant
supérieure à la borne inférieure et f étant
définie et dérivable sur l’intervalle considéré) ».
Par conséquent:

n

∫

e

J n +1 − J n =

∫

( x ) dx ≤ 0

f

1

e

1

f ( x ) dx

J n +1 − J n ≤ 0

∀n ∈ ℕ*

Conclusion : La suite Jn est décroissante

CALCUL INTEGRAL

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TECHNIQUES ET METHODES

Reprenons les résultats de 1/ 2/ et 3/ : pour
tout x de [1; e] et pour tout naturel non nul

Suite de l’exercice :

2 J n + nJ n −1 = e 2

1/

3/ Démontrer que Jn est positive.
On a :

∫

∀ x ∈ [1; e ]

e
1

x ( ln x ) d x
n

J n −1
J

 x ≥1
 ln x ≥ 0


et pour tout n
naturel non nul:

( ln x )

Par conséquent:

n

Pour tout naturel n supérieur
ou égal à deux, la suite Jn est
Décroissante et positive.

n

n

n−1

n

0 ≤ J n ≤ J n −1
0 ≤ n J n ≤ n J n −1

Par conséquent:

∀n ≥ 2

≥0

La suite Jn
est décroissante

La suite Jn est positive

3/

1≤ x ≤ e

∀ x ∈ [1; e ]

J n +1 − J n ≤ 0

2/

BE
N

Jn =

AL
I

Suite intégrale

Ajoutons ( 2 Jn ) à chaque membre de l’inéquation :

2 J n + n J n ≤ 2 J n + n J n −1

x ( ln x ) ≥ 0
n

Factorisons par Jn le membre de gauche:

Et « l’intégrale d’une fonction positive
est positive ( La borne supérieure étant
supérieure à la borne inférieure et
la fonction étant définie et dérivable
sur l’intervalle considéré) ».

IS

Or d’après 1 /:

En divisant par ( n + 2 ) chaque membre
l’inégalité , on obtient:

Conclusion: La suite Jn est positive pour
tout x de [1;e] et pour tout naturel non nul.

AN

4/ En utilisant les résultats de 1/ 2/
et 3/ démontrer que pour tout n
supérieur ou égal à 2 :

J

n

≤

2

e
n + 2

2 J n + nJ n −1 = e 2

J n (2 + n ) ≤ e2

D’où:

Jn ≥ 0

D’où:

J n ( 2 + n ) ≤ 2 J n + n J n −1

0 ≤ Jn

( 2+ n ) étant
positif, pour tout
n supérieur
ou égal à 2.

e2
≤
n+ 2

5/ Déterminer la limite de la suite Jn

lim n + 2 = + ∞

n → +∞

e2
lim
= 0
u → +∞ u

Posons:

D’où:

u = n+2

e2
lim
= 0
n → +∞ n + 2

La suite Jn est positive et majorée par une suite
de limite zéro en l’infini, donc:

lim J n = 0

n → +∞

CALCUL INTEGRAL

BA.2014