Exercices les Fonctions exponentielles bac sc exp .pdf

4ème Sc-Exp
Tunis ,Tél :27509639

Série d’exercices :
Fonctions Exponentielles

Prof :Khammour.Khalil
Année Scolaire :2013/2014

Toute personne croyant qu'une croissance exponentielle peut durer indéfiniment dans
un monde fini est soit un fou, soit un économiste.
Exercice n°1 :
Calculer les limites suivantes :
; lim

lim

x

lim

x

x

; lim
x 0

; lim

;

x

; lim

lim

x

; lim

x

; lim

x1

; lim

x

.

x

Exercice n°2 :
Résoudre dans IR , les équations et les inéquations suivantes :
1)

2)

3)

4)

5)
6)
7)
Exercice n°3 :
1) Calculer la dérivée de chacune des fonctions suivantes :
a)
b)
c)
2) Donner une primitive des fonctions suivantes:
a)

b)

c)

8)

.

d)
d)

.

Exercice n°4:
Soit la fonction f définie sur IR par :
.
1) a) Montrer que le point I(0,1) est un centre de symétrie de Cf.
b) Dresser le tableau de variation de f.
c) Montrer que D :y=x+2 est une asymptote oblique au voisinage de
.
d) Montrer que Cf admet une autre asymptote oblique au voisinage de
.
2) a) Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une solution unique dans IR.
b) Vérifier que
et
.
c) Soit
la fonction réciproque de f. Montrer que
3) Tracer Cf dans un repère orthonormé
.
Exercice n°5 :
Soit

.On note (C) sa représentation graphique dans un repère orthonormé

1) Etudier les variations de la fonction f et les limites aux bornes de son ensemble de définition.
2) Tracer la courbe (C)
3) Soit un réel strictement positif.
a) A l’aide d’une intégration par parties, calculer le nombre
.
b) Déterminer lim
. Interpréter graphiquement ce résultat.
 

.

Exercice n°6 :
Soit f une fonction définie sur IR par :
un repère orthonormé
.

. On note (C) sa représentation graphique dans

1) a) Etudier le signe de f(x) sur IR.
b) Déterminer la limite de la fonction f en
et en
.
c) Calculer f ‘(x) , puis dresser le tableau de variation de f.
d) Tracer (C).
2) On note la suite
définie pour tout entier naturel n par :
.
a) Montrer que, pour tout n
.
b) Montrer que la suite
est croissante.
3) a) A l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tous réels a et b :
b)En déduire l’expression de
c)Déterminer lim .

en fonction de n.

n

d)Donner une interprétation graphique de cette limite.
Exercice n°7 :
A tout entier naturel non nul n on associe la fonction
définie sur IR par :
On désigne par
la courbe représentative de dans un repère orthonormé
Les courbes
,
et
sont données en annexe ci-dessous.
Partie A
On considère la fonction définie sur IR par :
.

.

1) Vérifier que pour tout réel x ;
.
a) Démontrer que la courbe
admet deux asymptotes dont on précisera leurs équations.
b) Démontrer que la fonction : est strictement croissante sur IR.
c) Démontrer que pour tout réel x ;
.
2) a) Démontrer que le point
est un centre de symétrie de la courbe
.
b) Déterminer une équation de la tangente (
à la courbe
au point .
c) Tracer la droite ( .
3) a) Déterminer une primitive de la fonction sur IR.
b) Calculer la valeur moyenne de sur l’intervalle [0,
.
Partie B
1) démontrer que pour tout entier naturel n non nul le point
appartient à
.
2) a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul la courbe
et la droite d’équation y=2 ont un
unique point d’intersection dont on précisera l’abscisse.(On note ce point d’intersection).
b) Déterminer une équation de la tangente (
à la courbe
au point .
c) Tracer (
et ( .
3) On note la suite

définie pour tout entier naturel n par :

Annexe

.

Exercice n°8 :
A/On considère la fonction g définie sur
par :
1) Etudier les variations de la fonction g.
2) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.
3) En déduire que pour tout x de
.

.

B/On considère la fonction f définie sur l’intervalle [0,1] par :
. On note (C) sa représentation
graphique dans un repère orthonormé
.On admet que f est strictement croissante sur [0,1].
1) Montrer que pour tout x de [0,1]
.
2) Soit (D) la droite d’équation y = x.
3) a) Montrer que pour tout x de [0,1]
.
b)Etudier la position relative de la droite (D) et la courbe (C) dans [0,1].
c) Tracer (C) et (D).
4) a) Déterminer une primitive F de f sur [0,1].
b) Calculer l’aire, en unité d’aire, du domaine du plan délimité par la courbe (C) , la droite (D) et les
droites d’équations x =0 et x =1.
Exercice n°9 :
Soient f et g les fonctions définies sur l’ensemble IR des nombres réels par :
et
.
Les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthonormé
sont respectivement
notées C et C ′. Leur tracé est donné en annexe.
1) a) Déterminer les limites des fonctions f et g en − .
b) Justifier le fait que les fonctions f et g ont pour limite 0 en
.
c) Etudier le sens de variations de chacune des fonctions f et g et dresser leurs tableaux de variations
respectifs.

2) Pour tout entier naturel n, on définit l’intégrale par :
et si
a) Calculer la valeur exacte de .
b) A l’aide d’une intégration par parties, démontrer que pour tout entier naturel n :
c) En déduire la valeur exacte de , puis celle de .
3) a) Etudier la position relative des courbes C et C ′.
b) On désigne par A l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’une part entre
les courbes C et C ′, d’autre part entre les droites d’équations respectives x = 0 et x = 1.
En exprimant A comme différence de deux aires que l’on précisera, démontrer l’égalité : A = e − 3.
4)Soit a un réel strictement supérieur à 1.
On désigne par S(a) l’aire, exprimée en unité d’aire, de la partie du plan comprise d’une part entre
les courbes C et C ′, d’autre part entre les droites d’équations respectives x = 1 et x = a.
On admet que S(a) s’exprime par : S(a) = 3 −
( + a + 1).
a) Démontrer que l’équation S(a) = A est équivalente à l’équation :
+a+1
b) Dans cette question, toute trace d’argumentation, même incomplète, ou d’initiative, même
non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
Conclure, quant à l’existence et l’unicité du réel a, solution du problème posé.
Annexe

Exercice n°10 :

1) Soit f la fonction définie sur [0;
[ par :
.
a) Déterminer la limite de la fonction f en
et étudier le sens de variation de f.
b) Démontrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution sur l’intervalle [0,
[.
-2
Déterminer une valeur approchée de à 10 près.
c) Déterminer le signe de f(x) suivant les valeurs de x.
2) On note C la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction logarithme
népérien dans le plan muni d’un repère orthonormé
.
Les courbes C et sont données en annexe.
Soit x un nombre réel strictement positif. On note M le point de C d’abscisse x et N le point de
d’abscisse x. On rappelle que pour tout réel x strictement positif,
.
a)Montrer que la longueur MN est minimale lorsque x =
b)En utilisant la question 1), montrer que :
c)En déduire que la tangente à C au point d’abscisse et la tangente à au point d’abscisse
sont parallèles.
3) Soit h la fonction définie sur ]0,+ [ par h(x) = x ln(x) − x. Montrer que la fonction h est une
primitive de la fonction logarithme népérien sur ]0,+ [.
b)Calculer la valeur exacte, puis une valeur approchée à 10-2 près, de l’aire (exprimée en unités
d’aire) de la surface hachurée sur la figure jointe en annexe .

Exercice n°11 :
Dans l’annexe ci-jointe on a représenté, dans un repère orthonormé

, la courbe Cf de la

fonction f définie sur IR par :
.
1) Montrer que lim f(x)=1 et tracer l’asymptote à Cf au voisinage de

.

x

2) a) Vérifier que pour tout réel x , f (x) = x+2
.
3) b) En déduire que Cf admet au voisinage de
une asymptote qu’on précisera.
4) c) Etudier la position relative de la courbe Cf et la droite puis tracer .
5) Montrer que pour tout réel x ,

.

6) Soit l’abscisse du point A de la courbe Cf où la tangente est horizontale .
7) a) Vérifier que est différent de 0.
8) b) Montrer que
puis que
.
9) c) Construire alors le point A et la tangente à la courbe Cf au point A.
10) Soit h la restriction de f à l’intervalle [
.
a) Montrer que h réalise une bijection de [
sur un intervalle J que l’on précisera.
b) Tracer
dans le repère
.
Annexe

Exercice n°12 :
On considère la fonction f définie sur IR\{-1} par
courbe représentative dans un repère orthonormé
1) Calculer lim  f(x) ;
x  1

.On désigne par (C) sa
.

lim  f(x) ; lim f(x) ; lim f(x).
x
x
1

x

2) a) Montrer que pour tout x de IR\{-1}
b) Donner le tableau de variation de f.
3) a) Montrer que l’équation f(x) =0 admet dans ]-1,
une unique solution
b) Vérifier que
et que
.
f ( x)
4) a) Calculer lim
. Interpréter graphiquement le résultat.
x 
x

et que 1,5<

.

b) Tracer la courbe (C).
Exercice n°13 :
Les courbes C et C’ données dans le graphique ci-contre représentent dans un repère orthonormé
les fonctions f et g définies sur IR*+ par : f(x)= ln x et g(x)= ln2x.
1) a) Calculer le volume V du solide de révolution engendré par la rotation Y autour de l’axe des
abscisses. Où Y={M(x,y) tels que y=f(x) et
x
}.
b) Pour x
, on note M le point de la courbe C et N le point de la courbe C’de même abscisse x
Déterminer la valeur de x pour la quelle la distance MN soit maximale.

2) Soit F la fonction définie sur IR+ par :
a) Montrer que F est dérivable sur ]0,

et que pour tout x>0 , F’(x)=

.

b) Déduire que pour tout x
, on a
c) Etudier la continuité et la dérivabilité de F à droite en 0.
3) a) Montrer que pour tout x >0 , F(x)=F
.
b)Expliciter F(x) , pour x
.
c) Dresser le tableau de variation de F puis construire sa courbe G dans un repère orthonormé.
Exercice n°14 :
On considère la fonction f définie sur [-1,
par
et (C) sa courbe représentative.

1) A partir d’une lecture graphique
a) Déterminer lim 
,
et lim f(x).
x
x  1
b) Dresser le tableau de variation de f.
2) Soit un réel supérieur ou égale à 1.On note S( l’aire de la partie coloriée.
a) Ecrire S( sous la forme d’une intégrale.
b) Montrer que pour tout x de IR ; 1+x
.
c) En déduire que pour tout x
d) Montrer que pour tout
3) On pose
a) Calculer I.

.

et

c) En déduire que pour tout
I 
n

A

dx
IN* ;

b) Montrer que pour tout

d) Montrer que

.

.

e

x
n

1

4 2  1n 
  1 .Déduire que
3 e


.
converge vers une limite que l’on précisera.