4 eme eco ges Limite+et+continuité+ +Bac+Eco++Gestion

Séries d’exercices 4ème économie
Limites et continuite

Maths au lycee
lycee *** Ali AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/

EXERCICE N°1
Calculer les limites suivantes :
1 − x² + 3 x
2 − x + x²
x² + 2 − 3 x
x² − 2
x −1
lim
; lim
; Lim
; Lim
; Lim
; Lim x ² + 2 x − x ;
x →+∞ 1 + x − x ²
x →1 1 + x − 2 x ²
x →1
x →1
x −1
x→ 2 x x − 8
x + 3 − 2 x →+∞

(

(

)

Lim x² + 2 + x ; lim

x →−∞

x →2



1
1 − tan( x )
 2 πx − 1 
; lim cos
 ; , lim x  4 + − 2  ; lim
π
x →0
x
x + 2 − 2 x →+∞  3 x − 2 

 x → 4 cos( 2 x )
x +7 − 3

)

.

EXERCICE N°2
On considère la fonction f définie sur [ 2 ; + ∞ [ par : f(x) =
Montrer que , pour tout x ≥ 2 ,

|f(x) − 3| ≤

3 x + sin x
.
x−1

4
. En déduire la limite de f en + ∞
x−1

EXERCICE N°3
La fonction f est définie sur IR par : f (x) =
1°)) Montrer que, pour tout réel x,

1
.
2 – cos x

1
≤ f (x) ≤ 1 .
3

b) En déduire les limites suivantes :

1
x2 + 1
1
lim
; lim
et lim
x → +∞ x (2 – cos x) x → –∞ 2 – cos x x → 0 x2 (2 – cos x)

EXERCICE N°4
−x + cos x
 1

Soit la fonction f définie sur  − ,+∞  par : f ( x ) =
2x + 1
 2

1
−x − 1
−x + 1
1°)Démontrer que pour tout x > − on a :
≤ f( x) ≤
2
2x + 1
2x + 1
2°) En déduire la limite de f en + ∞ .

EXERCICE N°5


 f ( x ) =
Soit a et b deux réels et f la fonction définie sur R par : 
f ( x ) =

Déterminer les réels a et b pour que f soit continue sur R.

a−x
x +1
1 2
x + x +b
2

si

x ∈ ]− ∞ ; − 2 [ ∪ ]1 ; + ∞[

si

x ∈ [− 2 ; 1]

EXERCICE N°6
ax ² + ( a² − 3 ) x − 3 a
si x ≠ 1 et f (1) = 4a
x −1
Déterminer a pour que f soit continue en 1 .
Soit f définie par f(x) =

EXERCICE N°7
Soit f(x) =

−x² − 3 x − 2
1 − x +1

1°)Déterminer le domaine de définition de f .
2°)Ecrire f sans valeur absolue.
3°)f est-elle continue en -1 .

EXERCICE N°8
Soit la fonction f : x ֏ 3 x + 2 sin x
1°)a-Montrer que pour tout x de R : 3 x − 2 ≤ f ( x ) ≤ 3 x + 2
b-En déduire lim f ( x ) et lim f ( x )
x →−∞

x →+∞

1

 x
si x ≠ 0

2°)Soit la fonction g défini sur R par : g ( x ) =  f ( x )
 1
si x = 0
 5
a- Montrer que g est continue en 0.
x
x
2

b- Montrer que pour tout x ∈  ,+∞  :
≤ g( x ) ≤
3
3
x
+
2
3
x
−2


c-

En déduire lim g ( x ) . Interprète géométriquement le résultat.
x → +∞

EXERCICE N°9
 x +1 −1

si x ≠ 0
Soit f ( x ) = 
où a ∈ R
x

a si x = 0
1°)Déterminer le domaine de définition de f .
2°)Pour quelle valeur de a, f est continue en 0 .
3°)Préciser suivant a, l’ensemble de continuité de f

4°)Calculer Lim f ( x ) ; Lim (x .f ( x ) + 1 − x ) ; Lim x .f ( x )
x →+∞

x → +∞

x →+∞

EXERCICE N°10
x +1

 2 x − 3 si x ≤ 1
 2 m − x
3
Soit f ( x ) = 
si 1 < x ≤
2
 2−x
3
 x² + 1
si x >
2
 x² + 2 x − 4
1°)Trouver m pour que f soit continue en 1 .
2°)Pour la valeur du réel m trouvée. Etudier la continuité da f en x0= 3 2 .

EXERCICE N°11

1

 ( 1 + 3 a ) x ² − 3 x si x ∈  − ∞ , 
2



x3 − 8
1 
f( x) = 
si x ∈  ,2 
2 
 2 x² − 5 x + 2
 4 x² − 1 − ax − 1 si x ∈ [2 ,+∞[


1°) Déterminer le domaine de définition de f .
2°)Etudier les limites suivantes : Lim f ( x ) ; Lim f ( x ) ; Lim f ( x ) et Lim− f ( x )
x →−∞

x →+∞

x→

1
2

x →2

3°)Peut-on déterminer a pour que f soit continue en 2 .
4°)Préciser suivant a, l’ensemble de continuité de f .

EXERCICE N°12

1°)Démontrer que l’équation : x3 + x -3 = 0 admet une unique solution a ∈ ]1; 2 [
2°)Utiliser la dichotomie pour donner une valeur approchée par défaut de cette α à 10 −1 près .

EXERCICE N°13
On pose pour a réel strictement positif la fonction fa définie sur [ 0 , a ] par :
Pour tout x ∈ [ 0 , a ] , fa ( x ) =

a−x
.
a( a + x )

1°) Montrer que fa réalise une bijection de [ 0 ; a ] sur [ 0 ;
2°) Donner le tableau des variations de fa
3°) Montrer que fa

−1

−1

1
−1
] . On note fa sa bijection réciproque.
a

en précisant les valeurs aux bornes.

= f1 .
a

2

EXERCICE N°14

Soit f la fonction définie sur [0 ,+∞[ par f ( x ) = 4 x² + x + 2 x + 1
1°)Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur [0 ,+∞[
2°)Montrer que f est une bijection de [0 ,+∞[ sur un intervalle J que l’on précisera.

3°)Sur quel ensemble f −1 est-elle continue ?
4°)Expliciter f −1 ( x ) pour x ∈ J

1 1 
5°)Montrer que l’équation f ( x ) = x + 2 admet une solution unique α ∈  , 
4 2 

EXERCICE N°15
x
.
1−x
1°)Déterminer le domaine de définition D f de f.
Soit f : x ֏ f ( x ) =

2°)Etudier la dérivabilité de f sur D f .

3°)Montrer que f est une bijection de [0 ,1[ sur un intervalle J que l’on précisera

4°) Expliciter f −1 ( x ) pour x ∈ J

3