Etude de fonctions Bac sc exp

Prof : Mr Khammour.K

Série n°10 : Etude de fonctions

4ème Sc-exp

Janvier 2015

Exercice n°1 :
On considère la fonction f définie sur IR\{-1}par : f ( x) 





x2  4x  3
. Soit  la courbe représentative de f
x 1

dans le plan muni d'un repère orthonormé O, i, j .
1) a) Calculer f '( x) pour tout x  IR\{-1}.
2) b) Dresser le tableau de variation de f.
3) a) Déterminez trois réels a, b et c tels que pour tout réel x de IR\{-1} f ( x)  ax  b 
alors que la droite (D) d'équation y = x -5 est asymptote à  .
b) Etudiez la position relative de (D) par rapport à  .
c) Déterminer les autres asymptotes à  .
4) Déterminez les points d'intersection entre  et l'axe des abscisses.

c
, montrer
x 1

5) En prenant 1  2 2 = 1,828 à 0,001 près et 1  2 2 = -3.828 à 0,001 près, tracez la courbe  , les
asymptotes de  , ainsi que les tangentes horizontales de  .
Exercice n°2 :
Soit f la fonction définie par : f ( x)  1 





x
1  x2

; on note  la courbe représentative de f dans le plan rapporté

à un repère orthonormé O, i, j .
1) a) Montrer que f est dérivable sur IR et que pour tout x∈IR on a : f '( x) 

1
1  x2

3

.

b) Dresser le tableau de variations de f.
c) En déduire le signe de f(x) pour tout x∈IR.
2) a) Vérifier que la tangente T à la courbe  au point d'abscisse 0 a pour équation y=x+1.
b) Etudier la position relative de  par rapport à T.
c) Démontrer que le point I(0,1) est un point d'inflexion de  .
3) Montrer que le point I est un centre de symétrie de  .
4) a) Montrer que  admet au voisinage de +∞ une asymptote horizontale D dont on donnera une équation et
au voisinage de -∞ une asymptote horizontale qui est l'axe des abscisses.
b) Etudier la position de  par rapport à la droite D et l’axe (xx’).





5) Tracer  , T et D dans le repère O, i, j .
6) a) Montrer que f réalise une bijection de IR sur un intervalle J que l'on précisera.
b) Tracer dans le repère O, i, j la courbe  ' représentative de la fonction f-1.





 x 1 
7) a) Etudier la dérivabilité de f -1sur J. Montrer que pour tout x  0, 2 , f 
x
2
 xx 
c) En déduire l'expression de f -1(x) pour x∈]0,2[.
d) Calculer (f -1)'(x).
8) Soit g la fonction définie sur IR par g(x)=f(x)-x.
a) Montrer que g est strictement décroissante sur [0,+∞[.
b) En déduire que l'équation f(x)=x admet une solution unique 𝛼 dans 1, 2 .

Exercice n°3 :
On considère l’application f définie sur 0, 4 par: f ( x) 





2x  4
4x  x2

, on désigne par Cf sa courbe dans un repère

orthonormé O,i,j .
1) a) Etudier les variations de f.
b) Montrer que f est une bijection de ]0,4[ sur IR.
c) Soit g la fonction réciproque de f. Montrer que pour tout x de IR g ( x)  2 

2x
x2  4

.

2) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans ]0,4[ une solution unique 𝛼 > 2
3) a) Déterminer une équation de la tangente T à Cf au point d’abscisse 2.
b) Etudier la position de Cf par rapport à T. Tracer Cf , T et la courbe C’ représentant g.
U0  
4) On considère la suite (Un) définie sur IN par : {
Un1  g  Un  pour tout n  IN
a)
b)
c)
d)

Démontrer que pour tout n  IN U n   .
Déterminer graphiquement le signe de g(x)-x.
En déduire le sens de variation de (Un).
Montrer que la suite (Un) admet une limite l que l’on précisera.

2
  
  1
5) Soit la fonction h définie sur un intervalle E=   ,  par : h( x) 
; h   .
g  2tg  x  
 2 2
 2 2
1
  
a) Montrer que pour tout x    ,  , h( x) 
.
1  sin x
 2 2





b) Montrer que h réalise une bijection de E sur un intervalle J à préciser. Déterminer h 1  2  et h 1 2  2 .
-1

c) Etudier la dérivabilité de h sur J puis déterminé sa fonction dérivée .
Exercice n°4 :
Soit f la fonction définie sur IR \{-2 ; 0 } par : f  x 
1)
2)
3)
4)

 x  1


2

2 x  x2
Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
Justifier que f est dérivable sur IR \{-2 ; 0 } et calculer f'(x) .
Donner le tableau des variations de f.
Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé

 O,i,j d'unité 1cm. On indiquera et on

tracera les asymptotes éventuelles à la courbe.
5) Démontrer que la courbe (C) a un axe de symétrie.
6) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 1.
Exercice n°5 :





Le plan est muni d’un repère orthonormé O, i, j . On donne dans l’annexe ci-dessous la courbe représentative (C)
d’une fonction f définie et dérivable sur IR.
  est l'unique réel non nul tel que f     .
 La courbe (C) admet :

1
au voisinage de   .
4
 Une seule tangente horizontale au point d’abscisse 0.
 Une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de  .
Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :
f ( x)
1) Déterminer f (0) , f’(0) , lim f ( x) , lim f ( x) et lim
.
x 
x 
x 
x

 Une assymptote d'équation y 

2) Soit g la restriction de f sur 0,  .

a) Montrer que g réalise une bijection de 0,  sur un intervalle J à préciser.
b) Etudier la position relative de la courbe (C) de la fonction g par rapport à la droite ∆ d’équation y = x.
c) Tracer sur l’annexe la courbe (C’) de la fonction réciproque g 1 de g.

Annexe