Etude de fonction troisième sc exp

Prof : Mr Khammour.K

Série n°9 : Etude de fonction

3ème Sc-exp

Février 2015

Exercice n°1 :
Soit f la fonction définie sur IR\{1} par : f  x  

x2  3
.
x 1

1) Etudier le sens de variation et les limites de f .
2) Dresser le tableau de variations de f .
c
.
x 1
4) Démontrer que la courbe C f de f admet une asymptote oblique D en  et en  . La courbe

3) Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x  1 , f  x   a x  b 
C f admet-elle une autre asymptote ?

5) Montrer que le point A  1;2  est un centre de symétrie de la courbe C f .
Exercice n°2 :
1) On considère le polynôme P( x)  x 3  3 x 2  2 .
a) Vérifier que P( x)  ( x  1)( x 2  2 x  2) .
b) Etudier le signe de P(x).
2) On considère la fonction f définie sur



 {2} par f ( x) 



x3  3 x  2
et C sa courbe représentative dans un
x 2

repère orthonormé O, i, j (en abscisse 1 cm pour 1 unité, en ordonnée 1 cm pour 2 unités).
a) Déterminer les limites de f en +  , en −  et en 2. Préciser les asymptotes verticales et horizontales
éventuelles.
b) Montrer que f '( x) 

2 P( x)
.
( x  2)2

c) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation.
d) Tracer C .
3) a) Pour quelle abscisse a la tangente au point d’abscisse a est-elle horizontale ? Justifier.
b) Déterminer l’équation de la tangente T à C en x = 3 et la tracer dans le même repère que C.
4) Trouver a, b, c et d tels que f ( x )  ax 2  bx  c 
5) On admet que f ( x )  x 2  2 x  1 

4
x2

d
x2

.

. On appelle g la fonction définie par g( x)  x 2  2 x  1 et P sa courbe

représentative.
a) Déterminer les limites en  et en  de f(x) – g(x). Que peut-on en déduire sur les courbes C et P ?
b) Etudier la position relative de C et P.
Exercice n°3 :
I)

Soit  la fonction numérique de la variable réelle x telle que : ( x) 

3 x ²  ax  b
.
x²  1

Déterminer les réels a et b pour que la courbe représentative de  soit tangente au point I de
coordonnées (0 ; 3) à la droite (T) d’équation y = 4x + 3.

II)

Soit f la fonction numérique de la variable réelle x telle que : f ( x ) 





3 x²  4x  3
et (C) sa
x²  1

courbe représentative dans un repère orthonormé O, i, j d’unité graphique 2 cm.
1) Montrer que pour tout x réel, on a f ( x )   

x
x²  1

;  et 

étant deux réels que l’on déterminera.

2) Etudier les variations de f. Préciser ses limites en l’infini et en donner une interprétation
graphique. Dresser le tableau de variations de f.
3) Déterminer l’équation de la droite (T) tangente à la courbe (C) au point I d’abscisse 0. Etudier la
position de (C) par rapport à (T).
4) Démontrer que I est centre de symétrie de (C).
5) Construire la courbe (C) et la tangente (T) dans le repère proposé.
Exercice n°4 :
Soit f la fonction définie sur IR \{-2 ; 0 } par : f  x 
1)
2)
3)
4)

 x  1


2

2 x  x2
Donner les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
Justifier que f est dérivable sur IR \{-2 ; 0 } et calculer f'(x) .
Donner le tableau des variations de f.
Tracer la courbe (C) représentative de f dans un repère orthonormé

 O,i,j d'unité 1cm. On indiquera et on

tracera les asymptotes éventuelles à la courbe.
5) Démontrer que la courbe (C) a un axe de symétrie.
6) Déterminer l'équation de la tangente T à (C) au point d'abscisse 1.
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie par : f ( x)  1 





x
1  x2

; on note  la courbe représentative de f dans le plan rapporté

à un repère orthonormé O, i, j .
1) a) Montrer que f est dérivable sur IR et que pour tout x∈IR on a : f '( x) 

1
1  x2

3

.

b) Dresser le tableau de variations de f.
c) En déduire le signe de f(x) pour tout x∈IR.
2) a) Vérifier que la tangente T à la courbe  au point d'abscisse 0 a pour équation y=x+1.
b) Etudier la position relative de  par rapport à T.
c) Démontrer que le point I(0,1) est un centre de symétrie de  .
3) a) Montrer que  admet au voisinage de +∞ une asymptote horizontale D dont on donnera une équation et
au voisinage de -∞ une asymptote horizontale qui est l'axe des abscisses.
b) Etudier la position de  par rapport à la droite D et l’axe (xx’).





4) Tracer  , T et D dans le repère O, i, j .