InitiationMQ9Économétrie

BEN AHMED MOHSEN
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M1/L3 (ÉCONOMÉTRIE)

Série Corrigée N°2
Modèle de Régression Linéaire Multiple

Énoncé de l'Exercice 1 : (IHET SC2011)
Pendant 23 ans, on a relevé sur une parcelle de terre agricole les rendements de la culture de blé
(symbolisé 𝒀), la température moyenne (variable 𝑿𝟏 ) et le niveau des précipitations (variable 𝑿𝟐 ).
L’ajustement de ce modèle conduit aux résultats suivants :
𝟐𝟑

𝒚𝒊 = 𝟎, 𝟓𝟏𝟐𝒙𝒊𝟏 − 𝟎, 𝟑𝟓𝟎𝒙𝒊𝟐 + 𝟐𝟕, 𝟑 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝟐𝟑

𝟐

; 𝑹 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 ; 𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝟑𝟏𝟕, 𝟒𝟔

𝒊=𝟏

On donne, en plus
′

𝑿𝑿

−𝟏

𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗
=

−𝟎, 𝟎𝟖
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓

−𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟎𝟐
𝟎, 𝟐

1) Déduire l’estimateur de 𝝈𝟐 .
2) Déduire les variances des estimateurs 𝜷𝟏 et 𝜷𝟐 (les coefficients associés à 𝒙𝟏 et 𝒙𝟐
respectivement).
3) Effectuer les tests de significativité individuelle de 𝜷𝟏 et 𝜷𝟐 , sachant que le 𝒕-tabulé
est 𝒕𝟓% 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟒𝟐.
4) Peut-on affirmer que le coefficient de la température est deux fois plus élevé que celui des
précipitations, en valeur absolue ?

Corrigé :
1)
𝒏
𝟐
𝒊=𝟏 𝝃𝒊

𝝃′ 𝝃
𝑺𝑪𝑹
𝟏 − 𝑹𝟐 𝑺𝑪𝑻
𝟐
𝟐
𝝈 =
=
=
𝒐ù 𝑺𝑪𝑹 = 𝟏 − 𝑹 𝑺𝑪𝑻 ⟹ 𝝈 =
𝒏−𝒌
𝒏−𝒌 𝒏−𝒌
𝒏−𝒌
A.N
𝟐

𝟐𝟑
𝟐

𝒏 = 𝟐𝟑, 𝒌 = 𝟑, 𝑹 = 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 𝒆𝒕 𝑺𝑪𝑻 =

𝒚𝒊 − 𝒚

𝟐

= 𝒀𝒄 ′ 𝒀𝒄 = 𝟑𝟏𝟕, 𝟒𝟔

𝒊=𝟏

𝝈𝟐 =

𝟏 − 𝟎, 𝟗𝟑𝟕 × 𝟑𝟏𝟕, 𝟒𝟔
= 𝟎, 𝟒𝟐𝟖𝟔 ⟹ 𝝈 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟒𝟕
𝟐𝟑 − 𝟑

1
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2)

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𝝈𝟐𝜷𝟎
𝝈𝟐𝜷 = 𝝈𝟐 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟎 , 𝜷𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟎 , 𝜷𝟐

𝝈𝟐𝜷𝟏

𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐

=

𝝈𝟐𝜷𝟐
A.N
−𝟎, 𝟎𝟖 −𝟎, 𝟑
𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓 𝟎, 𝟎𝟐
𝟎, 𝟐
−𝟒
𝟑, 𝟖𝟓𝟒𝟕 × 𝟏𝟎
−𝟑𝟒𝟐, 𝟖𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒
=
𝟏𝟎, 𝟕𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒

𝝈𝟐𝜷 = 𝟎, 𝟒𝟐𝟖𝟔

𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟗

−𝟏𝟐𝟖𝟓, 𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒
𝟖𝟓, 𝟕𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒
𝟖𝟓𝟕, 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒

Ce qui donne :
𝝈𝟐𝜷𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟕𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 ⟹ 𝝈𝜷𝟏 = 𝟑, 𝟐𝟕𝟑 × 𝟏𝟎−𝟐
et
𝝈𝟐𝜷𝟐 = 𝟖𝟓𝟕, 𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒 ⟹ 𝝈𝜷𝟐 = 𝟐𝟗, 𝟐𝟖 × 𝟏𝟎−𝟐
3)
 On se propose de tester : 𝑯𝟏𝟎 : 𝜷𝟏 = 𝟎 contre 𝑯𝟏𝟏 : 𝜷𝟏 ≠ 𝟎 sous un niveau de significativité 𝜶 = 𝟓%
𝜷𝟏 − 𝜷𝟏
𝑻=
↝ 𝝉 𝒏 − 𝒌 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝜷𝟏
On rejette 𝑯𝟏𝟎 si 𝑻𝟎 =

𝜷𝟏 −𝟎
𝝈𝜷

𝟏

> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌
𝟐

Or 𝑻𝟎 = 𝟗, 𝟎𝟕 et 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟖𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌
𝟐

𝟐

D’où 𝜷𝟏 est statistiquement significatif
 On se propose maintenant de tester : 𝑯𝟐𝟎 : 𝜷𝟐 = 𝟎 contre 𝑯𝟐𝟏 : 𝜷𝟐 ≠ 𝟎 sous un niveau de
significativité 𝜶 = 𝟓%
𝜷𝟐 − 𝜷𝟐
𝑻=
↝ 𝝉 𝒏 − 𝒌 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈𝜷𝟐
On rejette 𝑯𝟐𝟎 si 𝑻𝟎 =

𝜷𝟐 −𝟎
𝝈𝜷

𝟐

> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌
𝟐

Or 𝑻𝟎 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟓 et 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟖𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 ≯ 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌
𝟐

𝟐

D’où 𝜷𝟐 n’est pas statistiquement significatif
4) On se propose maintenant de tester : 𝑯𝟎 : 𝜷𝟏 = 𝟐𝜷𝟐 contre 𝑯𝟏 : 𝜷𝟏 ≠ 𝟐𝜷𝟐 sous un niveau de
significativité 𝜶 = 𝟓% ou encore 𝑯𝟎 : 𝜷𝟏 − 𝟐𝜷𝟐 = 𝟎 contre 𝑯𝟏 : 𝜷𝟏 − 𝟐𝜷𝟐 ≠ 𝟎
𝜷𝟏 − 𝟐𝜷𝟐 − 𝜷𝟏 − 𝟐𝜷𝟐
𝑻=
↝ 𝝉 𝒏 − 𝒌 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒍𝒂 𝒔𝒕𝒂𝒕𝒊𝒔𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆 𝒅é𝒄𝒊𝒔𝒊𝒐𝒏
𝝈 𝜷𝟏 −𝟐𝜷𝟐
Rappelons que 𝑽 𝒂𝑿 + 𝒃𝒀 = 𝒂𝟐 𝑽 𝑿 + 𝒃𝟐 𝑽 𝒀 + 𝟐𝒂𝒃𝑪𝒐𝒗 𝑿, 𝒀
Ainsi 𝝈𝟐𝜷𝟏 −𝟐𝜷𝟐 = 𝝈𝟐𝜷𝟏 + 𝟒 𝝈𝟐𝜷𝟐 − 𝟒𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟏 , 𝜷𝟐 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟔𝟕 × 𝟏𝟎−𝟐 ⟹ 𝝈
On rejette 𝑯𝟎 si 𝑻𝟎 =

𝜷𝟏 −𝟐𝜷𝟐 −𝟎
𝝈 𝜷 −𝟐𝜷
𝟏
𝟐

> 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌
𝟐

2
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𝜷𝟏 −𝟐𝜷𝟐

= 𝟎, 𝟓𝟓𝟕

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𝜶
Or 𝑻𝟎 = 𝟐, 𝟏𝟕𝟔 et 𝒕𝟏− 𝒏 − 𝒌 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟐𝟎 = 𝟐, 𝟎𝟖𝟔 ⟹ 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝒏 − 𝒌
𝟐

𝟐

On peut affirmer –avec un niveau de significativité 𝜶 = 𝟓% que le coefficient de la température est deux
fois plus élevé que celui des précipitations.

Énoncé de l'Exercice 2 : (ISG SP2008)
On considère le modèle de régression multiple :
𝑲

𝒚𝒊 = 𝜷 𝟎 +

𝜷𝒌 𝒙𝒊𝒌 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝒏
𝒌=𝟏

1)
a) Mettre le modèle sous forme matricielle en fonction du vecteur 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … 𝟏 ′ et de la
matrice 𝑿 = 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … 𝒙𝑲
b) Donner l’expression du vecteur 𝜷𝒄 estimateur MCO de 𝜷𝒄 en fonction de 𝑴𝟎 , où 𝑴𝟎 est la
matrice qui transforme les observations en écarts par rapport aux moyennes des colonnes
𝟏

de la matrice𝑿. 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝒏 𝒊𝒊′
2) Dans la régression précédente le calcul du vecteur 𝜷𝒄 revient à régresser la variable 𝒀 centrée
par rapport aux variables explicatives 𝒙𝟏 , 𝒙𝟐 , … 𝒙𝑲 centrées dans le cadre d’un modèle linéaire
sans constante.
a) Est-ce qu’on obtient le même résultat si seule la variable 𝒀 est centrée ?
Est-ce qu’on obtient le même résultat si uniquement les variables explicatives sont centrées ?

Corrigé :
Rappel de cours : Complément d’algèbre matricielle
𝒙𝟏
𝒔𝒐𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒖 = ⋮
𝒙𝒏

𝒚𝟏
𝒆𝒕 𝒗 = ⋮
𝒚𝒏

𝒖 𝒗 = 𝒗 𝒖 = 𝒙𝟏
′

′

, 𝒍𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒊𝒕 𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒆𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒖 𝒆𝒕 𝒗 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒔𝒄𝒂𝒍𝒂𝒊𝒓𝒆 ∶

… 𝒙𝒏

𝒖 ′ 𝒖 = 𝒙𝟏

𝒚𝟏
⋮ = 𝒚𝟏
𝒚𝒏
…

𝒙𝒏

… 𝒚𝒏

𝒙𝟏
⋮ =
𝒙𝒏

𝒏

𝒙𝒊 𝟐
𝒊=𝟏

3
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𝒙𝟏
⋮ =
𝒙𝒏

𝒏

𝒙 𝒊 𝒚𝒊
𝒊=𝟏

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′

′

𝒊𝒖=𝒖𝒊= 𝟏

… 𝟏

𝟏
𝒙=
𝒏

𝟏
𝒊𝒙 = 𝒊𝒊′ 𝒖 =
𝒏

𝒙𝟏
⋮
𝒙𝒏

𝟏
𝒏
𝟏
𝒏
⋮
𝟏
𝒏
𝟏
𝒏

𝟏
𝒏
𝟏
𝒏
⋮
𝟏
𝒏
𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝒊 =
𝒊=𝟏

𝟏
𝒏
𝟏
⋯
𝒏
⋱ ⋮
𝟏
⋯
𝒏
𝟏
⋯
𝒏
⋯

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𝒏
𝟏
= 𝒙𝟏 … 𝒙𝒏 ⋮ =
𝒙𝒊
𝟏
𝒊=𝟏
𝟏 ′
𝟏
𝒊 𝒖 = 𝒖′ 𝒊
𝒏
𝒏
𝟏
𝒏
𝟏
𝒏
⋮
𝟏
𝒏
𝟏
𝒏

𝟏
𝒏

𝒙𝟏
⋮ =
𝒙𝒏

𝒏

𝒙𝒊
𝒊=𝟏

⋮

𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝒊

𝒙
= ⋮
𝒙

𝒊=𝟏

𝒙𝟏 − 𝒙
𝟏 ′
𝟏 ′
𝟎
⋮
𝒖 − 𝒊𝒙 = 𝑰𝒏 𝒖 − 𝒊𝒊 𝒖 = 𝑰𝒏 − 𝒊𝒊 𝒖 = 𝑴 𝒖 =
𝒏
𝒏
𝒙𝒏 − 𝒙
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏−
−
⋯
−
−
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
−
𝟏−
⋯
−
−
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝟏
𝒐ù 𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 − 𝒊𝒊′ =
⋮
⋮
⋱
⋮
⋮
𝒏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
−
−
⋯ 𝟏−
−
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
−
−
⋯
−
𝟏−
𝒏
𝒏
𝒏
𝒏
𝟎 𝒏
𝟎
∗
𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒊𝒅𝒆𝒎𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒊. 𝒆. 𝑴
= 𝑴 ∀ 𝒏 ∈ ℕ 𝒆𝒕 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 𝒊. 𝒆. 𝑴𝟎 ′ = 𝑴𝟎
𝒒𝒖𝒊 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝒍𝒆𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒆𝒏 é𝒄𝒂𝒓𝒕𝒔 𝒑𝒂𝒓 𝒓𝒂𝒑𝒑𝒐𝒓𝒕 𝒂𝒖𝒙 𝒎𝒐𝒚𝒆𝒏𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒏𝒏𝒆𝒔
𝑴𝟎 𝒊 =

𝟎
⋮
𝟎

𝒆𝒕 𝒊′ 𝑴𝟎 = 𝟎 …

𝟎

𝒏

𝒙𝒊 − 𝒙

𝟐

= 𝒖 − 𝒊𝒙

′

𝒖 − 𝒊𝒙 = 𝑴𝟎 𝒖

′

𝑴𝟎 𝒖 = 𝒖′ 𝑴𝟎 𝒖

𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊 − 𝒙 𝒚𝒊 − 𝒚 = 𝑴𝟎 𝒖

′

𝑴𝟎 𝒗 = 𝒖′ 𝑴𝟎 𝒗

𝒊=𝟏

4
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1)
a)

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𝑲

𝑲

𝑴𝟏 : 𝒚𝒊 = 𝜷𝟎 +

𝜷𝒌 𝒙𝒊𝒌 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝒏 ⟺ 𝒚𝒊 − 𝜷𝟎 =
𝒌=𝟏

𝜷𝒌 𝒙𝒊𝒌 + 𝝃𝒊 ; 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝒏
𝒌=𝟏

Une écriture matricielle du modèle sera :
𝒙𝟏𝟏
𝒚𝟏 − 𝜷 𝟎
⋮
= ⋮
𝒙𝒏𝟏
𝒚𝒏 − 𝜷 𝟎
𝒙𝟏𝟏
𝒐ù 𝑿 = ⋮
𝒙𝒏𝟏

⋯
⋯
⋯

⋯
⋯
⋯

𝒙𝟏𝒌
⋮
𝒙𝒏𝒌

𝒚𝟏 − 𝜷 𝟎
𝜷𝟏
𝝃𝟏
⋮ + ⋮ ⟺
⋮
= 𝑿𝜷𝒄 + 𝝃
𝜷𝒌
𝝃𝒏
𝒚𝒏 − 𝜷 𝟎

𝒙𝟏𝒌
𝜷𝟏
𝒄
⋮ ,𝜷 = ⋮
𝒙𝒏𝒌
𝜷𝒌

𝝃𝟏
𝒆𝒕 𝝃 = ⋮
𝝃𝒏

𝒚𝟏
𝒚𝟏
𝜷𝟎
𝟏
𝒄
𝒄
Ainsi ⋮ − ⋮ = 𝑿𝜷 + 𝝃 𝒐𝒖 𝒆𝒏𝒄𝒐𝒓𝒆 𝒀 − 𝜷𝟎 ⋮ = 𝑿𝜷 + 𝝃 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒀 = ⋮
𝒚𝒏
𝒚𝒏
𝜷𝟎
𝟏
𝟏
⋮
𝟏

Notons 𝒊 =

𝑴𝟏 : 𝒀 = 𝜷𝟎 𝒊 + 𝑿𝜷𝒄 + 𝝃

On obtient finalement :

b) Vérifions que 𝑴𝟎 est une matrice idempotente i.e. 𝑴𝟎
une matrice symétrique :
𝑴𝟎 𝟏 = 𝑴𝟎 donc la propriété est vraie pour 𝒏 = 𝟏



Supposons 𝑴𝟎
𝑴𝟎

𝒏+𝟏

𝒑

= 𝑴𝟎 𝒑𝒐𝒖𝒓 𝒕𝒐𝒖𝒕 𝒑 = 𝟏, 𝟐 … , 𝒏 et vérifions que 𝑴𝟎

= 𝑴𝟎 𝒏 𝑴𝟎 = 𝑴𝟎 𝑴𝟎 = 𝑴𝟎

𝑫′ 𝒐ù ∀ 𝒏 ∈ ℕ∗ ; 𝑴𝟎


𝑴𝟎

′

𝒏

𝟐

𝟏

= 𝑰𝒏 − 𝒏 𝒊𝒊′

′

𝟏

= 𝑰′𝒏 − 𝒏 𝒊𝒊′

′

= 𝑴𝟎 :

𝟏

= 𝑰𝒏 − 𝒏 𝒊𝒊′ = 𝑴𝟎 ⟺ 𝑴𝟎 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏𝒆 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒔𝒚𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆

𝟏 ′
𝒊𝒊
𝒏

𝟏 ⋯
⋮ ⋱
𝟎 ⋯

𝒏+𝟏

= 𝑴𝟎 et 𝑴𝟎 est une matrice idempotente

Avec :

=

= 𝑴𝟎 ∀ 𝒏 ∈ ℕ∗ et que 𝑴𝟎 est

= 𝑴𝟎

Par la suite 𝑴𝟏 ⟺ 𝑴𝟎 𝒀 = 𝑴𝟎 𝜷𝟎 𝒊 + 𝑿𝜷𝒄 + 𝝃

𝑴𝟎 = 𝑰𝒏 −

𝒏

𝟎
𝟏 𝟏
−
⋮
⋮
𝒏
𝟏
𝟏

𝟏, 𝟏, … 𝟏

5
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𝟏 ⋯ 𝟎
𝟏 𝟏 ⋯ 𝟏
= ⋮ ⋱ ⋮ −
⋮ ⋯ ⋮
𝒏
𝟎 ⋯ 𝟏
𝟏 ⋯ 𝟏
𝟏
𝒏
𝟏
−
𝒏
⋮
𝟏
−
𝒏
𝟏
−
𝒏

𝟏−

𝟎

𝑴 =

𝟏
𝒏
𝟏
𝟏−
𝒏
⋮
𝟏
−
𝒏
𝟏
−
𝒏
−

⋯
⋯
⋱
⋯
⋯

𝟏
𝒏
𝟏
−
𝒏
⋮
𝟏
−
𝒏
𝟏
−
𝒏

𝟏
𝒏
𝟏
𝟏−
𝒏
⋮
𝟏
−
𝒏
𝟏
−
𝒏

𝟏−

𝑨𝒊𝒏𝒔𝒊: 𝑴𝟎 𝒀 =

𝟏
𝒚𝟏 −
𝒏
𝒚𝟐 −
=

⋮
𝟏
𝒚𝒏−𝟏
𝒏
𝒚𝒏

=

𝒏𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 𝒀𝒄 =

𝟏
𝒏

𝟏
𝒏

−

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𝟏
𝒏
𝟏
−
𝒏
⋮
𝟏
𝟏−
𝒏
𝟏
−
𝒏
−

⋯
⋯
⋱
⋯
⋯

𝟏
𝒏
𝟏
−
𝒏
⋮
𝟏
−
𝒏
𝟏
𝟏−
𝒏
−

𝟏
𝒏
𝟏
−
𝒏
⋮
𝟏
𝟏−
𝒏
𝟏
−
𝒏
−

𝟏
𝒏
𝟏
−
𝒏
⋮
𝟏
−
𝒏
𝟏
𝟏−
𝒏
−

𝒚𝟏
𝒚𝟐
⋮
𝒚𝒏−𝟏
𝒚𝒏

𝒏

𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊
𝒊=𝟏
𝒏

𝒚𝒊
𝒊=𝟏

𝒚𝟏 − 𝒚
𝒚𝟐 − 𝒚
⋮
𝒚𝒏−𝟏 − 𝒚
𝒚𝒏 − 𝒚
𝒚𝟏 − 𝒚
𝒚𝟐 − 𝒚
⋮
𝒚𝒏−𝟏 − 𝒚
𝒚𝒏 − 𝒚

𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒐𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 𝒀𝒄 = 𝑴𝟎 𝒀

6
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𝝃𝟏 − 𝝃
𝝃𝟐 − 𝝃
𝑫𝒆 𝒎ê𝒎𝒆, 𝝃𝒄 =
= 𝑴𝟎 𝝃
⋮
𝝃𝒏−𝟏 − 𝝃
𝝃𝒏 − 𝝃

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𝒐𝒏 𝒂 𝒂𝒖𝒔𝒔𝒊
𝟏

𝟏

𝟏−𝒏
𝑴𝟎 𝑿 =

−𝒏

𝟏

𝟏−𝒏
⋮
𝟏
−𝒏

𝟏

𝟏

−𝒏

−𝒏
⋮
𝟏
−𝒏

𝟏

−𝒏
𝟏
𝒙𝟏𝟏 −
𝒏
𝒙𝟐𝟏 −
=

𝟏
𝒏

𝒏

𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊𝟏

𝒙𝒏𝟏 −

𝒄

𝟏
𝒏

𝟏

−𝒏

⋯
⋱
⋯

−𝒏
⋮
𝟏
𝟏−𝒏

𝟏

−𝒏
⋮
𝟏
−𝒏

⋯

−𝒏

𝟏

𝟏−𝒏

𝒙𝟐𝟐 −

𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊𝟏
𝒊=𝟏
𝒏

−𝒏

𝟏
𝒙𝟏𝟐 −
𝒏

𝒙𝒊𝟏

⋮
𝟏
𝒙𝒏−𝟏,𝟏 −
𝒏

⋯

𝒙𝒏𝟐 −

𝒊=𝟏

𝑺𝒐𝒊𝒕 𝑿 = 𝑴 𝑿 =

𝟏
𝒏

𝒙𝟏𝟏
𝒙𝟐𝟏
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝟏
𝒙𝒏𝟏

𝟏

𝟏

𝒏

𝒙𝒊𝟐
𝒙𝒊𝟐
𝒊=𝟏

⋯
⋯

𝒙𝟐,𝒌−𝟏 −

⋯

𝒏

𝒙𝒊𝟐

𝟏
𝒏

⋯
⋯

𝒙𝒏,𝒌−𝟏 −

𝒊=𝟏

𝟏
𝒏

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯

𝒙𝟏,𝒌−𝟏
𝒙𝟐,𝒌−𝟏
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝒌−𝟏
𝒙𝒏,𝒌−𝟏

𝒏

𝒙𝟏𝒌
𝒙𝟐𝒌
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝒌
𝒙𝒏𝒌

𝟏
𝒙𝟏𝒌 −
𝒏

𝒙𝒊,𝒌−𝟏
𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊,𝒌−𝟏

𝒙𝟐𝟏 −

𝒊=𝟏

⋮
𝟏
𝒙𝒏−𝟏,𝒌−𝟏 −
𝒏

𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊𝟐

𝒙𝟏𝟐
𝒙𝟐𝟐
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝟐
𝒙𝒏𝟐

𝟏
𝒙𝟏,𝒌−𝟏 −
𝒏

𝒊=𝟏
𝒏

⋮
𝟏
𝒙𝒏−𝟏,𝟐 −
𝒏

𝒙𝒊𝟏

𝟎

𝟏
𝒏

𝟏

𝒏

𝒙𝒊,𝒌−𝟏
𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊,𝒌−𝟏

𝒙𝒏𝒌 −

𝒊=𝟏

𝒙𝟏𝟐 − 𝒙𝟐

⋯

𝒙𝟏,𝒌−𝟏 − 𝒙𝒌−𝟏

𝒙𝟏𝒌 − 𝒙𝒌

𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝟏
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝟏 − 𝒙𝟏

𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝟐
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝟐 − 𝒙𝟐

⋯
⋯
⋯

𝒙𝟐,𝒌−𝟏 − 𝒙𝒌−𝟏
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝒌−𝟏 − 𝒙𝒌−𝟏

𝒙𝟐𝟏 − 𝒙𝒌
⋮
𝒙𝒏−𝟏,𝒌 − 𝒙𝒌

𝒙𝒏𝟏 − 𝒙𝟏

𝒙𝒏𝟐 − 𝒙𝟐

⋯

𝒙𝒏,𝒌−𝟏 − 𝒙𝒌−𝟏

𝒙𝒏𝒌 − 𝒙𝒌

𝑫′ 𝒂𝒖𝒕𝒓𝒆𝒑𝒂𝒓𝒕 𝑴𝟎 𝜷𝟎 𝒊 = 𝜷𝟎 𝑴𝟎 𝒊

= 𝜷𝟎

𝟏 ′
𝒊𝒊 𝒊
𝒏

𝟏
𝒊 − 𝒊 𝒊′ 𝒊 𝒄𝒂𝒓 𝒊′ 𝒊 = 𝟏, 𝟏, … 𝟏
𝒏 𝒏

𝟏
⋮ =
𝟏

𝑨𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑴𝟎 𝜷𝟎 𝒊 = 𝟎
𝑬𝒏 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒕 𝑴𝟏 ⟺ 𝑴𝟎 𝒀 = 𝑴𝟎 𝜷𝟎 𝒊 + 𝑿𝜷𝒄 + 𝝃
⟺ 𝑴𝟎 𝒀 = 𝑴𝟎 𝜷𝟎 𝒊 + 𝑴𝟎 𝑿𝜷𝒄 + 𝑴𝟎 𝝃
𝟎

7
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𝒏

𝟏=𝒏
𝒊=𝟏

𝒙𝒊𝒌
𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊𝒌
𝒊=𝟏

⋮
𝟏
𝒙𝒏−𝟏,𝒌 −
𝒏

𝒙𝟏𝟏 − 𝒙𝟏

= 𝜷𝟎 𝑰 𝒏 −

𝟏
𝒏

𝒏

𝟏
𝒏

𝒏

𝒙𝒊𝒌
𝒊=𝟏
𝒏

𝒙𝒊𝒌
𝒊=𝟏

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⟺ 𝒀𝒄 = 𝑿𝒄 𝜷𝒄 + 𝝃𝒄

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On obtient par conséquent :
−𝟏

𝜷𝒄𝑴𝟏 = 𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄
=

′

𝑴𝟎 𝑿

𝑴𝟎 𝑿

−𝟏

𝑴𝟎 𝑿

−𝟏

𝟎′

′

𝑿𝒄 ′ 𝒀𝒄

𝟎

′

𝑴𝟎 𝒀

′

𝑿′ 𝑴𝟎 𝑴𝟎 𝒀

= 𝑿 𝑴 𝑴 𝑿
𝑴𝟎

𝑴𝟎
−𝟏

′

𝟎 𝟐

= 𝑿 𝑴

𝑿′ 𝑴𝟎

𝑿

𝑴𝟎

𝟐

𝒀

𝑴𝟎

D’où
𝜷𝒄𝑴𝟏 = 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝑴𝟎 𝒀

2)
a)
𝑴𝟐 : 𝒀𝒄 = 𝑿𝜷𝒄 + 𝝃
𝜷𝒄𝑴𝟐 = 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝑴𝟎 𝒀

b)
𝑴𝟑 : 𝒀 = 𝑿𝒄 𝜷𝒄 + 𝝃
𝜷𝒄𝑴𝟑 = 𝑿′ 𝑴𝟎 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

Il est clair que l’expression du vecteur 𝜷𝒄 change d’un modèle à un autre.

Énoncé de l'Exercice 3 : (ISG SP2008)
On considère le modèle de régression multiple avec constante : 𝒀 = 𝑿𝜷 + 𝝃 . On procède à la
transformation suivante des variables explicatives: 𝒁 = 𝑿𝑻 , où 𝑻 est une matrice inversible.
1) Donner l’expression des vecteurs des résidus de la régression de 𝒀 sur 𝑿 et de 𝒀 sur 𝒁
respectivement 𝒆𝟏 = 𝑴𝑿𝒀 et 𝒆𝟐 = 𝑴𝒁𝒀
2) Que peut-on conclure quant à la qualité d’ajustement des deux régressions
3) Quel est le lien entre ce résultat et le problème de changement d’unité de mesure des variables

8
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Corrigé :
1)
𝓜𝟏 : 𝒀 = 𝑿𝜷𝟏 + 𝝃 ; 𝒆𝟏 = 𝑴𝑿𝒀 = 𝒀 − 𝒀𝟏 = 𝒀 − 𝑿𝜷𝟏 ; 𝒐ù 𝜷𝟏 = 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

𝒁 = 𝑿𝑻 𝒆𝒕 𝑻 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑿 = 𝒁𝑻−𝟏
𝑷𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 𝓜𝟏 ⟺ 𝒀 = 𝒁𝑻−𝟏 𝜷𝟏 + 𝝃 = 𝒁 𝑻−𝟏 𝜷𝟏 + 𝝃
𝜷𝟐

𝑫𝒐𝒏𝒄 𝓜𝟐 : 𝒀 = 𝒁𝜷𝟐 + 𝝃 𝒆𝒕 𝒆𝟐 = 𝑴𝒁𝒀 = 𝒀 − 𝒀𝟐 = 𝒀 − 𝒁𝜷𝟐 ; 𝒐ù 𝜷𝟐 = 𝒁′ 𝒁

−𝟏

𝒁′ 𝒀

2)
𝑺𝒐𝒊𝒆𝒏𝒕 𝑹𝟐𝟏 𝒆𝒕 𝑹𝟐𝟐 𝑳𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒔 𝒅𝒆 𝒅é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒕𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒅𝒆𝒔 𝒓é𝒈𝒓𝒆𝒔𝒔𝒊𝒐𝒏𝒔 𝒓𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒊𝒗𝒆𝒔
𝒅𝒆 𝒀 𝒔𝒖𝒓 𝑿 𝒆𝒕 𝒅𝒆 𝒀 𝒔𝒖𝒓 𝒁
′

𝑺𝑪𝑹𝟏 = 𝒆′𝟏 𝒆𝟏 = 𝑴′𝑿𝒀 𝑴𝑿𝒀 = 𝒀 − 𝑿𝜷𝟏

𝒀 − 𝑿𝜷𝟏 = 𝒀′ 𝒀 − 𝜷′𝟏 𝑿′ 𝒀

𝑬𝒕 𝑺𝑪𝑹𝟐 = 𝒆′𝟐 𝒆𝟐 = 𝑴′𝒁𝒀 𝑴𝒁𝒀 = 𝒀 − 𝒁𝜷𝟐

′

𝒀 − 𝒁𝜷𝟐 = 𝒀′ 𝒀 − 𝜷′𝟐 𝒁′ 𝒀

′

= 𝒀′ 𝒀 −

𝒁′ 𝒁

−𝟏

𝒁′ 𝒀

𝒁′ 𝒀

𝜷𝟐

= 𝒀′ 𝒀 −

𝑿𝑻

′

−𝟏

𝑿𝑻

= 𝒀′ 𝒀 − 𝑻′ 𝑿′ 𝑿 𝑻

−𝟏

𝑿𝑻 ′ 𝒀

𝑻′ 𝑿′ 𝒀

′

′

𝑿𝑻 ′ 𝒀

𝑻′ 𝑿′ 𝒀
′

′

= 𝒀 𝒀− 𝑻

−𝟏

′

𝑿𝑿

−𝟏

′ −𝟏 ′

𝑻

′

𝑻 𝑿𝒀

𝑻′ 𝑿′ 𝒀

𝑰𝒌
′

= 𝒀′ 𝒀 − 𝑻−𝟏 𝑿′ 𝑿

−𝟏

𝑿′ 𝒀

𝑻′ 𝑿′ 𝒀

𝜷𝟏

= 𝒀′ 𝒀 − 𝑻−𝟏 𝜷𝟏

′

= 𝒀′ 𝒀 − 𝜷′𝟏

−𝟏 ′

𝑻′

𝑻′ 𝑿′ 𝒀
𝑻 𝑿′ 𝒀

𝑰𝒌
′

𝑫′ 𝒐ù 𝑺𝑪𝑹𝟐 = 𝒀′ 𝒀 − 𝜷′𝟏 𝑿′ 𝒀 = 𝑺𝑪𝑹𝟏 𝒆𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒐𝒏 𝒂 𝑺𝑪𝑻𝟐 = 𝑺𝑪𝑻𝟏 = 𝒀𝒄 𝒀𝒄 , 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝑹𝟐𝟐 = 𝑹𝟐𝟏
Ce qui prouve que 𝑹𝟐 n’est pas affecté par ces changements d’unité de mesure.
2) On a 𝜷𝟐 = 𝑻−𝟏 𝜷𝟏 𝒐𝒖 𝜷𝟏 = 𝑻𝜷𝟐
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′
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
Et puisque 𝚫𝒚𝒊 = 𝒃𝟏 𝚫𝒙𝟏 + 𝒃𝟐 𝚫𝒙𝟐 + ⋯ 𝒃𝒌 𝚫𝒙𝒌 𝒐ù 𝒃𝟎 𝒃𝟏𝟏 ⋯ 𝒃𝟏𝒌 = 𝜷𝟏
Et on a aussi 𝚫𝒚𝒊 = 𝒃𝟐𝟏 𝚫𝒙𝟏 + 𝒃𝟐𝟐 𝚫𝒙𝟐 + ⋯ 𝒃𝟐𝒌 𝚫𝒙𝒌 𝒐ù 𝒃𝟐𝟎

𝑵𝒐𝒕𝒐𝒏𝒔 𝑻 =

𝒕𝟏𝟏
𝒕𝟐𝟏
⋮
𝒕𝒌,𝟏

𝒕𝒌+𝟏,𝟏

𝑨𝒊𝒏𝒔𝒊 𝜷𝟏 = 𝑻𝜷𝟐 ⇔

𝒕𝟏𝟐
𝒕𝟐𝟐
⋮
𝒕𝒌,𝟐

𝒕𝒌+𝟏,𝟐
𝒃𝟏𝟎
𝒃𝟏𝟏
⋮
𝒃𝟏𝒌

=

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯

𝒕𝟏,𝒌
𝒕𝟐,𝒌
⋮
𝒕𝒌,𝒌

𝒕𝒌+𝟏,𝒌

𝒕𝟏𝟏
𝒕𝟐𝟏
⋮
𝒕𝒌,𝟏

⋯

𝒃𝟐𝒌

′

= 𝜷𝟐

𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒊𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆

𝒕𝒌+𝟏,𝒌+𝟏

𝒕𝟏𝟐
𝒕𝟐𝟐
⋮
𝒕𝒌,𝟐

𝒕𝒌+𝟏,𝟏

𝒕𝟏,𝒌+𝟏
𝒕𝟐,𝒌+𝟏
⋮
𝒕𝒌,𝒌+𝟏

𝒃𝟐𝟏

𝒕𝒌+𝟏,𝟐

⋯
⋯
⋯
⋯
⋯

𝒕𝟏,𝒌
𝒕𝟐,𝒌
⋮
𝒕𝒌,𝒌

𝒕𝒌+𝟏,𝒌

𝒕𝟏,𝒌+𝟏
𝒕𝟐,𝒌+𝟏
⋮
𝒕𝒌,𝒌+𝟏

𝒕𝒌+𝟏,𝒌+𝟏

𝒃𝟐𝟎
𝒃𝟐𝟏
⋮
𝒃𝟐𝒌

𝒌+𝟏

𝒃𝟐𝟎

⇔

𝒃𝟏𝟎
𝒃𝟏𝟏
⋮
𝒃𝟏𝒌

𝒕𝟏𝒋
𝒋=𝟏
𝒌+𝟏

=

𝒃𝟐𝟏

𝒕𝟐𝒋
𝒋=𝟏

𝒌 + 𝟏 𝒕𝟏 𝒃𝟐𝟎
𝒌 + 𝟏 𝒕𝟐 𝒃𝟐𝟎
⋮
𝒌 + 𝟏 𝒕𝒌+𝟏 𝒃𝟐𝟎

=

⋮

𝒌+𝟏

𝒃𝟐𝒌

𝒕𝒌+𝟏,𝒋
𝒋=𝟏

𝒃𝟏𝒊 = 𝒌 + 𝟏 𝒕𝒊 𝒃𝟐𝒊

𝒑𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒊𝒕𝒆 ∀ 𝒊 = 𝟏, 𝟐 … , 𝒌, 𝒌 + 𝟏 ,

𝑶𝒓 𝒔𝒊 𝒙𝒊 𝒑𝒂𝒔𝒔𝒆 à 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒆𝒖𝒓 𝒙𝒊 + 𝚫𝒙𝒊 𝒕𝒐𝒖𝒕𝒆 𝒄𝒉𝒐𝒔𝒆 é𝒕𝒂𝒏𝒕 é𝒈𝒂𝒍𝒆 𝒑𝒂𝒓 𝒂𝒊𝒍𝒍𝒆𝒖𝒓𝒔
𝒂𝒍𝒐𝒓𝒔 𝒚 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒆 𝒅𝒆 𝚫𝒚𝒊 = 𝒃𝟏𝒊 𝚫𝒙𝒊 = 𝒃𝟐𝒊 𝚫𝒛𝒊
Donc non seulement la qualité d’ajustement des deux régressions reste elle-même, mais aussi la
variation de la variable à expliquer 𝒚 ne sera pas affectée par les changements d'unité.

Énoncé de l'Exercice 4 : (ISG SC2006)
On considère deux modèles de production :
𝒌

𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝒆

𝜷𝟏

𝒙𝒕𝒊 𝜷𝒊 𝒆𝝃𝒕
𝒊=𝟐
𝒌

𝑴𝟐 : 𝒚𝒕 = 𝜶𝟏 +

𝜶𝒊 𝒙𝒕𝒊 + 𝜻𝒕
𝒊=𝟐

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Où 𝒚 est la production, et les 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 sont les facteurs de production.
1)
a) Donner le modèle 𝑴𝟑 qui correspond à la forme log-linéaire du modèle 𝑴𝟏 .
b) Déterminer 𝜼𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌
selon le modèle 𝑴𝟏
2) Déterminer 𝜹𝒊 l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le
modèle 𝑴𝟐 . Commenter
Sur la base d’un échantillon de 𝟒𝟓 observations, on a estimé ce modèle 𝑴𝟑 par la méthode des
moindres carrés pour le cas de deux facteurs de productions : 𝒙𝟐 le capital et 𝒙𝟑 le travail. Les résultats
sont :
𝟎, 𝟕𝟓
𝟏𝟓
, 𝑺𝑪𝑹 = 𝟐𝟓 , 𝝈𝟐𝜷𝒄 = 𝟏𝟎−𝟒
𝟎, 𝟑𝟎

𝜷𝒄 =

−𝟓
𝟏𝟎

3) Donner le tableau d’analyse de la variance
4) Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse que l’élasticité capital est égale à l’élasticité travail
Tester au risque de 𝟓% l’hypothèse des rendements d’échelle constants

Corrigé :
1)
a)
𝒌

𝑴𝟏 : 𝒚𝒕 = 𝒆

𝜷𝟏

𝒌

𝒙𝒕𝒊

𝜷𝒊 𝝃𝒕
𝒆

⇔ 𝐥𝐧 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 +

𝒊=𝟐

𝒌
𝜷𝒊 𝝃𝒕

𝐥𝐧 𝒙𝒕𝒊 𝒆

= 𝜷𝟏 +

𝒊=𝟐

𝜷𝒊 𝐥𝐧 𝒙𝒕𝒊 + 𝝃𝒕
𝒊=𝟐

𝑴𝟏 ⇔ 𝑴𝟑 : 𝐥𝐧 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝐥𝐧 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷𝟑 𝐥𝐧 𝒙𝒕𝟑 + ⋯ + 𝜷𝒌 𝐥𝐧 𝒙𝒕𝒌 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝑻
b)
𝜼𝒊 Étant l’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le modèle 𝑴𝟏
𝜼𝒊 =

𝒅𝒚 𝒚
𝒅𝒙𝒊 𝒙𝒊

𝑶𝒓

𝒅 𝐥𝐧 𝒚
𝟏
𝒅𝒚
=
𝒅 𝐥𝐧 𝒚 =
𝒅𝒚
𝒚
𝒚
⇒
𝒅 𝐥𝐧 𝒙𝒊
𝟏
𝒅𝒙𝒊
=
𝒅 𝐥𝐧 𝒙𝒊 =
𝒅𝒙𝒊
𝒙
𝒙

𝒆𝒕 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒐𝒏 𝒂 𝜷𝒊 =

𝒅 𝐥𝐧 𝒚
𝒅𝒚 𝒚 ′
⇒ 𝜷𝒊 =
𝒅 𝒐ù 𝜼𝒊 = 𝜷𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌
𝒅 𝐥𝐧 𝒙𝒊
𝒅𝒙𝒊 𝒙𝒊

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𝒌

𝑴𝟐 : 𝒚𝒕 = 𝜶𝟏 +

𝜶𝒊 𝒙𝒕𝒊 + 𝜻𝒕
𝒊=𝟐

𝜹𝒊 L’élasticité de la production par rapport au facteur 𝒙𝒊 ; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌 selon le modèle 𝑴𝟐
𝜹𝒊 =

𝒅𝒚 𝒚
𝒅𝒚
=
𝒅𝒙𝒊 𝒙𝒊
𝒅𝒙𝒊

𝒙𝒊
𝒚

𝒅𝒚
𝒙𝒊
= 𝜶𝒊 ⇒ 𝜹𝒊 = 𝜶𝒊
; 𝒊 = 𝟐, 𝟑 … , 𝒌
𝒅𝒙𝒊
𝒚

𝒐𝒓

Pour le modèle 𝑴𝟏 l’élasticité 𝜼𝒊 est constante et on a vérifié que 𝜼𝒊 = 𝜷𝒊
Quant au modèle 𝑴𝟐 , il est évident que le rapport

𝒙𝒊

n’est jamais constant par la suite l’élasticité 𝜹𝒊 sera

𝒚

variable.
𝑴𝟑 : 𝐥𝐧 𝒚𝒕 = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐 𝐥𝐧 𝒙𝒕𝟐 + 𝜷𝟑 𝐥𝐧 𝒙𝒕𝟑 + 𝝃𝒕 ; 𝒕 = 𝟏, 𝟐 … , 𝑻 = 𝟒𝟓

3)

Les deux facteurs de productions sont : 𝒙𝟐 le capital et 𝒙𝟑 le travail.
𝐥𝐧 𝒚𝟏
⋮
𝑺𝒐𝒊𝒕 ∶ 𝒁 = 𝒍𝒏 𝒀 =
𝐥𝐧 𝒚𝑻
𝐥𝐧 𝒙𝟏𝟐 − 𝒍𝒏𝒙𝟐
⋮
𝐥𝐧 𝒙𝑻𝟐 − 𝒍𝒏𝒙𝟐

𝑿𝒄 =

𝒆𝒕 𝑿𝒄 ′ 𝒁𝒄 =

𝒄

,𝒁 =

𝟏
𝐥𝐧 𝒚𝟏 − 𝒍𝒏𝒚
,𝑿 = ⋮
⋮
𝟏
𝐥𝐧 𝒚𝑻 − 𝒍𝒏𝒚

𝐥𝐧 𝒙𝟏𝟑 − 𝒍𝒏𝒙𝟑
⋮
𝐥𝐧 𝒙𝑻𝟑 − 𝒍𝒏𝒙𝟑

, 𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄 = 𝑻

𝒍𝒏 𝒙𝟏𝟐
⋮
𝒍𝒏 𝒙𝑻𝟐

𝑽 𝒍𝒏𝒙𝟐

′

−𝟏

𝒆𝒕 𝝈𝟐 =

𝑺𝑪𝑹
′
𝒂𝒊𝒏𝒔𝒊 𝑿𝒄 𝑿𝒄
𝑻−𝟑

−𝟏

𝒑𝒖𝒊𝒔𝒒𝒖𝒆 𝑺𝑪𝑬 = 𝜷

𝟏𝟓

𝒄′

𝒄′

𝒄

𝒄

𝑿 𝑿 𝜷 =𝜷

𝟏𝟎𝟒 𝑺𝑪𝑹 𝒄 ′ 𝟏𝟓 −𝟓
𝜷
𝟏𝟎
𝑻−𝟑

𝟏𝟓
−𝟓
−𝟓
𝟏𝟎

𝑪𝒐𝒗 𝒍𝒏𝒙𝟐 , 𝒍𝒏𝒙𝟑
𝑽 𝒍𝒏𝒙𝟑

𝑻−𝟑
𝑺𝑪𝑹

= 𝝈𝟐𝜷𝒄

𝑻−𝟑
𝑺𝑪𝑹

𝑷𝒐𝒖𝒓 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒆𝒓 𝑺𝑪𝑬 𝒐𝒏 𝒅𝒐𝒊𝒕 𝒅′ 𝒂𝒃𝒐𝒓𝒅 𝒅é𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒓 𝑿𝒄 ′ 𝑿𝒄 = 𝝈𝟐𝜷𝒄

𝒐𝒓

,

𝑪𝒐𝒗 𝒍𝒏𝒙𝟐 , 𝒍𝒏𝒚
𝑪𝒐𝒗 𝒍𝒏𝒙𝟑 , 𝒍𝒏𝒚

𝒐𝒓 𝝈𝟐𝜷𝒄 = 𝝈𝟐 𝑿𝒄 𝑿𝒄

𝑺𝑪𝑬 =

𝒍𝒏 𝒙𝟏𝟑
⋮
𝒍𝒏 𝒙𝑻𝟑

−𝟏

𝒄′

𝝈𝟐𝜷𝒄

𝑻−𝟑
𝑺𝑪𝑹

=

𝟏 𝟐
𝟐𝟓

𝒄

𝜷 =𝜷

𝒄′

𝟏𝟎

−𝟒

𝑻−𝟑
𝑺𝑪𝑹

𝟏𝟓

−𝟓
𝟏𝟎

𝜷𝒄

−𝟓
𝟏𝟓 −𝟓
𝟏𝟎
= 𝟏𝟐𝟓 𝒆𝒕 𝑪𝒐𝒎
=
𝟏𝟎
𝟏𝟎
−𝟏

−𝟏

−𝟏

𝟓
𝟏𝟓 −𝟓
⇒
𝟏𝟓
𝟏𝟎

𝟏
𝟑

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−𝟏

=

𝟏 𝟏𝟎
𝟏𝟐𝟓

𝟓
𝟏𝟓

−𝟏

𝜷𝒄

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𝟏
𝟏𝟎𝟒 × 𝟐𝟓
𝑺𝑪𝑬 =
×
𝟎, 𝟕𝟓 𝟎, 𝟑𝟎
𝟐𝟓
𝟒𝟓 − 𝟑

𝟐

𝟏
𝟑

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𝟎, 𝟕𝟓
⇒ 𝑺𝑪𝑬 = 𝟒𝟑𝟗, 𝟐𝟗
𝟎, 𝟑𝟎

𝑺𝒐𝒖𝒔 𝒍′ 𝒉𝒚𝒑𝒐𝒕𝒉è𝒔𝒆 𝜷𝟏 ≠ 𝟎 𝑶𝒏 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒕 ∶ 𝑺𝑪𝑻 = 𝑺𝑪𝑬 + 𝑺𝑪𝑹 ⇒ 𝑺𝑪𝑻 = 𝟒𝟔𝟒, 𝟐𝟗
Tableau d’analyse de variance:
Source de la variabilité

Somme des carrés

Degré de liberté

Carrés moyens

Régression

𝑺𝑪𝑬 = 𝟒𝟑𝟗, 𝟐𝟗

𝒌−𝟏=𝟑−𝟏=𝟐

𝑺𝑪𝑬 𝒌 − 𝟏 = 𝟐𝟏𝟗, 𝟔𝟓

Résidus

𝑺𝑪𝑹 = 𝟐𝟓

𝑻 − 𝒌 = 𝟒𝟓 − 𝟑 = 𝟒𝟐

𝝈𝟐 = 𝑺𝑪𝑹 𝑻 − 𝒌 = 𝟎, 𝟔

Total

𝑺𝑪𝑻 = 𝟒𝟔𝟒, 𝟐𝟗

𝑻 − 𝟏 = 𝟒𝟓 − 𝟏 = 𝟒𝟒

𝑺𝑪𝑻 𝑻 − 𝟏 = 𝟏𝟎, 𝟓𝟓

4) 𝒙𝟐 étant la variable explicative représentant le capital et 𝒙𝟑 celle qui représente le travail
Or 𝜼𝟐 = 𝜷𝟐 est l’élasticité de la production par rapport au capital 𝒙𝟐
Et 𝜼𝟑 = 𝜷𝟑 est l’élasticité de la production par rapport au travail 𝒙𝟑
Donc on se propose de tester 𝑯𝟎 : 𝜷𝟐 = 𝜷𝟑 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜷𝟐 ≠ 𝜷𝟑 ou encore
𝑯𝟎 : 𝜷𝟐 − 𝜷𝟑 = 𝟎 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜷𝟐 − 𝜷𝟑 ≠ 𝟎 Sous un niveau de signification 𝜶 = 𝟓%
Statistique de décision :
𝜷𝟐 − 𝜷𝟑 − 𝜷𝟐 − 𝜷𝟑

𝑻=

𝜷𝟐 − 𝜷𝟑 − 𝜷𝟐 − 𝜷𝟑

=

𝝈𝟐𝜷
𝟐

𝑽 𝜷𝟐 − 𝜷𝟑

+

𝝈𝟐𝜷
𝟑

− 𝟐𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟐 , 𝜷𝟑

𝑯𝟎 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕é𝒆 𝒔𝒊 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝒌 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑻𝟎 =
𝟐

𝜷𝟐 − 𝜷𝟑 − 𝟎
𝝈𝟐𝜷 + 𝝈𝟐𝜷 − 𝟐𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟐 , 𝜷𝟑
𝟐

𝜷𝒄 =

𝒂𝒗𝒆𝒄

↝𝝉 𝑻−𝒌

𝟑

𝜷𝟐
𝟎, 𝟕𝟓
=
⇒ 𝜷𝟐 = 𝟎, 𝟕𝟓 𝒆𝒕 𝜷𝟑 = 𝟎, 𝟑𝟎
𝟎, 𝟑𝟎
𝜷𝟑
𝝈𝟐𝜷𝒄

=

𝝈𝟐𝜷𝟐

𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟐 , 𝜷𝟑
𝝈𝟐𝜷𝟑

= 𝟏𝟎−𝟒

𝟏𝟓

−𝟓
𝟏𝟎

⇒ 𝝈𝟐𝜷𝟐 = 𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 , 𝝈𝟐𝜷𝟑 = 𝟏𝟎−𝟑 𝒆𝒕 𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟐 , 𝜷𝟑 = −𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒
𝑻𝟎 = 𝟕, 𝟐𝟕
𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝒌 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟒𝟐 = 𝟐, 𝟎𝟏 ⇒ 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶𝟐 𝑻 − 𝒌
𝟐

D’où on rejette l’hypothèse d’égalité des deux élasticités avec un seuil de signification de 5 %

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𝑶𝒏 𝒔𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝒕𝒆𝒔𝒕𝒆𝒓 𝑯𝟎 : 𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 = 𝟏𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒆 𝑯𝟏 : 𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 ≠ 𝟏 𝐬𝐨𝐮𝐬 𝐮𝐧 𝐧𝐢𝐯𝐞𝐚𝐮 𝐝𝐞
𝐬𝐢𝐠𝐧𝐢𝐟𝐢𝐜𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝜶 = 𝟓%
Statistique de décision :
𝑻=

𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 − 𝜷𝟐 + 𝜷𝟑

𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 − 𝜷𝟐 + 𝜷𝟑

=

𝝈𝟐𝜷
𝟐

𝑽 𝜷𝟐 + 𝜷𝟑

+

𝝈𝟐𝜷
𝟑

↝𝝉 𝑻−𝒌

+ 𝟐𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟐 , 𝜷𝟑

𝑯𝟎 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒋𝒆𝒕é𝒆 𝒔𝒊 𝑻𝟎 > 𝒕𝟏−𝜶 𝑻 − 𝒌 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝑻𝟎 =
𝟐

𝜷𝟐 + 𝜷𝟑 − 𝟏
𝝈𝟐𝜷 + 𝝈𝟐𝜷 + 𝟐𝑪𝒐𝒗 𝜷𝟐 , 𝜷𝟑
𝟐

𝑶𝒓

𝑻𝟎 =
𝒕𝟏−𝜶
𝟐

𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟎, 𝟑𝟎 − 𝟏
𝟏𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒 + 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟐 × −𝟓 × 𝟏𝟎−𝟒
𝑻 − 𝒌 = 𝒕𝟎,𝟗𝟕𝟓 𝟒𝟐 = 𝟐, 𝟎𝟏

𝟑

= 1,29

D’où on accepte l’hypothèse des rendements d’échelle constants.

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