courbes de Bezier formulaire 20 09 2019 V3 .pdf



Nom original: courbes de Bezier - formulaire 20-09-2019 V3.pdf
Auteur: Mon PC

Ce document au format PDF 1.6 a été généré par PScript5.dll Version 5.2.2 / Acrobat Distiller 11.0 (Windows), et a été envoyé sur fichier-pdf.fr le 19/09/2019 à 22:54, depuis l'adresse IP 87.100.x.x. La présente page de téléchargement du fichier a été vue 40 fois.
Taille du document: 1.3 Mo (37 pages).
Confidentialité: fichier public




Télécharger le fichier (PDF)










Aperçu du document


Formulaire
courbes de Bézier
de degré 2 et 3

I

I’

1

1

Réalisé par Alexandre Christophe GLON le 29-01-2019

2

2

Table des matières
Equations des courbes de Bézier de degré 2................................... pages 4 et 5
Equations des courbes de Bézier de degré 3................................... pages 6 et 7
Courbes de Bézier 3 spéciales........................................................... page 8
Changement de paramètres d’une courbe de Bézier .................... page 9
Intersection d’une droite avec une courbe de Bézier .................... page 10
Estimation de paramètre t ................................................................ page 11
Parabole paramétrique , calcul du sommet et du foyer .............. pages 12 et 13
Points stationnaires et de croisement d’une courbe de Bézier .... pages 14 et 15
Subdivisions récursives (De Casteljau) .......................................... pages 16 et 17
Réunion de 2 courbes de Bézier ...................................................... page 18
Distance d’un point à une courbe de Bézier .................................. page 19
Centre de courbure (cercle osculateur) .......................................... page 20
Paramétrisation d’une fonction de 2ème ou 3ème degré ............. page 21
Aire, abscisse curviligne d’une courbe de Bézier .......................... pages 22 et 23
Simulation d’un arc de cercle par une courbe de Bézier .............. pages 24 et 25
Simulation d’un arc de clothoïde par une courbe de Bézier ........ pages 26 et 27
Courbe de Bézier passant strictement par 3 et 4 points............... pages 28 et 29
Lissage d’un polygone par approximation dichotomique............. pages 30, 31, 32, 33 et 34
Rotation d’une courbe Bézier par changement de base............... page 35
Résolution d’une équation du 3ème degré ................................... pages 36 et 37

Bibliographie
[1] Modèles de Bézier des B-Splines et des Nurbs par G. DEMENGEL et J.P. POUGET éditions Ellipses
[2] Topographie et topométrie modernes tome 1 : par S. MILLES et J. LAGOFUN éditions Eyrolles
[3] Topographie et topométrie modernes tome 2 : par S. MILLES et J. LAGOFUN éditions Eyrolles
[4] Cours de géométrie : par M. TROYANOV Presses polytechniques et universitaires romandes
[5] Method’S classe de première : par T. PETIT éditions Ellipses

3

3

Équations des courbes de Bézier de degré 2

[1]

Les points A0 A1 A2 sont les points de définitions d’une courbe paramétrique de Bézier de degré 2

Pour calculer les coordonnées d’un point M(t) de la courbe il faut connaitre son paramètre t *
Equations vectorielles et analytiques de C2

a) selon les polynômes de Bernstein

b) définition

OM(t) = t²(A1A0+A1A2) + 2t(A0A1) + OA0

OM(t) = (1-t)²OA0 + 2t(1-t)OA1 + t²OA2
xM(t) = (1-t)² xA0 + 2t(1-t) xA1 + t² xA2
yM(t) = (1-t)² yA0 + 2t(1-t) yA1 + t² yA2

M(t)

M(t)

x = f(t) = t² (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2t(xA1 - xA0) + xA0
y = g(t) = t² (yA0 - 2yA1 + yA2 ) + 2t(yA1 - yA0) + yA0

Exemple
la courbe

C2

X

Y

A0
A1
A2

6
87
60

36
81
9

t

1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,635
0,7
1,1
0

xM(t)
60
34,1
44,9
53,5
60
65,3
66,5
53,5
6

M(t)

canonique ( selon les puissances de t)

C2 est une portion de parabole

x = f(t) = -108t² + 162t + 6
y = g(t) = -117t² + 90t + 36

C2

34,1
M(0,2) 49,3

yM(t)
9
49,3
52,5
53,3
51,8
46,0
41,7
-6,6
36

M(0,635)

A0

A1

65,3
46,0

G
t<0
y

A2
x

échelle 1

M(1,1)

t >1

Les vecteurs A0A1 et A2A1 sont respectivements tangent à C2 en A0 et A2

Équations de la dérivée première des courbes de Bézier de degré 2 appelé aussi Hodographe premier

a’) selon les polynômes de Bernstein
OH1(t) = 2[ (1-t) (A0A1) + t(A1A2) ]

M’(t)
ou

xH1(t) = 2[ (1-t) (xA1 - xA0) + t (xA2 - xA1) ]
yH1(t) = 2[ (1-t) (yA1 - yA0) + t (yA2 - yA1) ]

b’) canonique (selon les puissances de t )
OH1(t) = 2t(A1A0 + A1A2) + 2(A0A1)

M’(t)

x’= f ’(t) = 2t (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2(xA1 - xA0)
y’= g’(t) = 2t (yA0 - 2yA1 + yA2) + 2(yA1 - yA0)

OH1(t) = -2[ (1-t)A0 - (1-2t )A1 - t A2 ]
Dérivée seconde

M’’(t)
4

* l’usage veut que le paramètre t ∈ [0 1]

x’’= f ’’(t) = 2 ( xA0 - 2xA1 + xA2 ]
y’’= g’’(t) = 2 ( yA0 - 2yA1 + yA2 ]
4

Hodographe
L’hodographe H1 est la représentation graphique de la dérivée première de la courbe C2 .
La dérivée ’ permet de connaitre le coef. directeur de la tangente à C2 au point M(t) .

D0(0)
Exemple

M(0.5)

C2

H1(0.5)

α ≈ -26,6°
H1(0.5)

ou
Hodographe

D1(1)

échelle : 0,5

La tangente à C2 en un point M(t) =

yH1(t)
xH1(t)

α

29,1°
20,0°
11,5°
-2,7°
-26,6°
-57,3°
-81,7°
83,7°
69,4°

= tan (α)

C2’

X

D0
D1

162
-54

Y
90
-144

M’(t)

xH1(t) = (1-t)(162)+ t (90)
yH1(t) = (1-t)(-54) + t (-144)

M’(t)

x’= f ’(t) = t (-216) + 162
y’= g’(t) = t (-234) + 90

t

0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1

xH1(t)
162,0
118,8
97,2
75,6
54,0
32,4
10,8
-10,8
-54,0

yH1(t)
90,0
43,2
19,8
-3,6
-27,0
-50,4
-73,8
-97,2
-144,0

Définition matricielle d’une B2
matrice de passage

1

t
wn

5

t2

1
-2
1

0
2
-2
p2

0
0
1

xA

yA

xA0 yA0
xA1 yA1
xA2 yA2
Od

=

xM(t) yM(t)

OM(t)

5

Définition vectorielle, canonique, matricielle des pts. d’une courbes de Bézier de degré 3
[1]
a) Définition selon les polynomes de Bernstein.
OM(t) = (1-t)³ OP0 + 3t(1-t)² OP1 + 3t²(1-t) OP2 + t³OP3

M(t)

xM(t) = (1-t)³ xP0 + 3t(1-t)² xP1 + 3t²(1-t) xP2 + t³ xP3
yM(t) = (1-t)³ yP0 + 3t(1-t)² yP1 + 3t²(1-t) yP2 + t³ yP3

OM’(t) = 3[ (1-t)² (P0P1) + 2t(1-t) (P1P2) + t² (P2P3) ]

M’(t)

xM’(t) = 3[ (1-t)² (xP1-xP0) + 2t(1-t)(xP2-xP1) + t²(xP3-xP2) ]
yM’(t) = 3[ (1-t)² (yP1-yP0) + 2t(1-t)(yP2-yP1) + t²(yP3-yP2) ]

OM’’(t) = 6[ (1-t) (P1P0 + P1P2) + t (P2P1 + P2P3) ]

M’’(t)

xM’’(t) = 6[ (1-t) (xP2-xP0) + t (xP1-2xP2+xP3) ]
yM’’(t) = 6[ (1-t) (yP2-yP0) + t (yP1-2yP2+yP3) ]

OM’’’(t) = 6[ (P0P3) + 3(P2P1)

M’’’(t)

xM’’’(t) = 6[ xP3-xP0 +3(xP1-xP2) ]
yM’’’(t) = 6[ yP3-yP0 + 3(yP1-yP2) ]

C3
P0
P1
P2
P3

X

Y

14
34
64
90

10
54
54
26

]

P1

P2

Hodographe 1er de
X

φ3
φ0

M(0,3)

A0= 3(P0P1)
A1= 3(P1P2)
A2= 3(P2P3)

M(0,7)

34,32
38,15

60
90
78

A0

C3
Y

132
0
-84

α3

C3

M’(0,3)

74,22
57,12

P3

α0
P0

A1

échelle : 1/3

échelle 1

Les vecteurs P0P1 et P2P3 sont respectivements tangents à C3 en P0 et P3

A2

Définition matricielle.
t
0
0,3
0,7
1

1 t
t² t3
1 0 0 0
1 0,3 0,1 0,027
1 0,7 0,5 0,343
1 1 1 1
wn

matrice de passage

1
-3
×
3
-1
p3

0
3
-6
3

b) Définition avec P0 P1 P2 P3 isolés .
xP0 + 3t(1-t)² xP1 + 3t²(1-t) xP2 + t³ xP3
M(t) xy == gf(t)(t) ==(1-t)³
(1-t)³ yP0 + 3t(1-t)² yP1 + 3t²(1-t) yP2 + t³ yP3

x’ = f ’(t) = -3[ (1-t)² xP0 - (1-t)(1-3t) xP1 - t(2-3t) xP2 - t² xP3 ]

M’(t) y’ = g’(t) = -3[ (1-t)² yP0 - (1-t)(1-3t) yP1 - t(2-3t) yP2 - t² yP3 ]
x’’ = f ’’(t) = 6[ (1-t) xP0 - (2-3t) xP1 + (1-3t) xP2 + t xP3 ]

M’’(t) y’’ = g’’(t) = 6[ (1-t) yP0 - (2-3t) yP1 + (1-3t) yP2 + t yP3 ]

0
0
3
-3

0
0
0
1

×

xP
14
34
64
90

yP
10
54
54
26

Os

=

xM(t)
14,00
34,32
65,90
90,00

yM(t)
10,00
38,15
43,21
26,00

OM(t)

c) Définition vecteurs et contraintes .
En posant : V0= OP0 ; V1= (OP1 - OP0) ; V2 = (OP2 - OP1) ; V3= (OP3 - OP2)

OM(t) = V0 + (1-(1-t)³) (V1) + (3t²-2t³) (V2) + t³ (V3)
OM’(t) = 3[(1-t)²) (V1) + 2t(1-t) (V2) + t² (V3)]
OM’’(t) = -6[(1-t) (V1) - (1-2t) (V2) - t(V3)]
OM’’’(t) = 6[ (V1) -2 (V2) + (V3)]

x’’’ = f ’’’(t) = 6[ xP3 - xP0 + 3( xP1 - xP2)]

M’’’(t) y’’’ = g’’’(t) = 6[ yP3 - yP0 + 3( yP1 - yP2)]
6

6

d) Définition canonique (selon les puissances de t).
Réciproquement

OM(t) = OC0t³ + OC1t² + OC2t + OC3

M(t)

x = f(t) = x3t³+x2t²+x1t+x0
y = g(t) = y3t³+y2t²+y1t+y0

xP0 = x0

En posant : xC0 = x3 = (xP3 - xP0 + 3(xP1-xP2))
xC1 = x2 = 3(xP0 + xP2 - 2xP1)
xC2 = x1 = 3(xP1-xP0)
xC3 = x0 = xP0 ( Resp. pour les y)

M’(t)

x’= f ’(t) =3x3t²+2x2t+x1
y’= g’(t) = 3y3t²+2y2t+y1

Donc dans notre exemple les points de C3 sont aussi définis par :
Et matriciellement avec : Of =

x0
y0

x1
y1

x2
y2

xP1 = x1 + xP0

( Resp. pour les y)

3

xP2 = x2 - xP0 + 2xP1

3
xP3 = x3 + xP0 - 3(xP1-xP2)

M’’(t)

x’’= f ’’(t) = 6x3t+2x2
y’’= g’’(t) = 6y3t+2y2

x’’’ = 6 x3

M’’’(t) y’’’ = 6 y3

x = f = -14t³+30t² +60t +14
M(t) y = g(t) = 16t³ -132t²+132t +10
(t)

x3
y3

OM(t) =

T

Of wn

e) Définition canonique avec P1 et P3 définis par coordonées polaires .
avec α0 = angle orienté P0P1 et φ0 = ||P0P1||

M(t)

et α3 = angle orienté P3P2 et φ3 = ||P3P2||

x = f(t) = t³ (2xP0 + 3φ0 cos(α0)-3φ3 cos(α3) -2xP3 ) - 3t² ( xP0 + 2φ0 cos(α0) - φ3 cos(α3) -xP3 ) + 3t φ0 cos(α0) + xP0
y = g(t) = t³ (2yP0 + 3φ0 sin(α0)-3φ3 sin(α3) -2yP3 ) - 3t² ( yP0 + 2φ0 sin(α0) - φ3 sin(α3) -yP3 ) + 3t φ0 sin(α0) + yP0

e1) Avec P1 connus et fixe .

M(t)

x = f(t) = t³ (- xP0 + 3xP1-3φ3 cos(α3) -2xP3 ) + 3t² ( xP0 - 2xP1 +φ3 cos(α3) +xP3 ) + 3t ( xP1-xP0 ) + xP0
y = g(t) = t³ (- yP0 + 3yP1-3φ3 sin(α3) -2yP3 ) + 3t² ( yP0 - 2yP1 +φ3 sin(α3) +yP3 ) + 3t ( yP1-yP0 ) + yP0

e2) Avec P2 connus et fixe .

M(t)

x = f(t) = t³ (2xP0 + 3φ0 cos(α0) - 3xP2 + xP3 ) - 3t² ( xP0 + 2 φ0 cos(α0) - xP2 ) + 3t φ0 cos(α0) + xP0
y = g(t) = t³ (2yP0 + 3φ0 sin(α0) - 3yP2 + yP3 ) - 3t² ( yP0 + 2 φ0 sin(α0) - yP2 ) + 3t φ0 sin(α0) + yP0

f ) Définition par coordonées polaires avec éléments isolés.

M(t)

x = f(t) = (1-t)²(2t+1) xP0 + 3t(1-t)² φ0 cos(α0) + 3t²(1-t) φ3 cos(α3) + t²(3-2t)xP3
y = g(t) = (1-t)²(2t+1) yP0 + 3t(1-t)² φ0 sin(α0) + 3t²(1-t) φ3 sin(α3) + t²(3-2t)yP3

M’(t)

x’ = f ’(t) = 3 [ -2t(1-t) xP0 + (1-t)(1-3t) φ0 cos(α0) +t(2-3t) φ3 cos(α3) + 2t(1-t)xP3 ]
y’ = g’(t) = 3 [ -2t(1-t) yP0 + (1-t)(1-3t) φ0 sin(α0) + t(2-3t) φ3 sin(α3) + 2t(1-t)yP3 ]

= f ’’(t) = 6 [ -(1-2t) xP0 -(2-3t) φ0 cos(α0) +(1-3t) φ3 cos(α3) + (1-2t)xP3 ]
M’’(t) x’’
y’’ = g’’(t) =
(1-2t) yP0 -(2-3t) φ0 sin(α0) + (1-3t) φ3 sin(α3) + (1-2t)yP3

6[-

]

= f ’’’(t) = 6 [ 2xP0 +3 φ0 cos(α0) -3 φ3 cos(α3) -2xP3 ]
M’’’(t) x’’’
2yP0 +3 φ0 sin(α0) -3 φ3 sin(α3) -2yP3
y’’’ = g’’’(t) =

6[

]

Les définitions e) et f ) sont très pratiques pour certains calculs.

7

7

Courbes de Bézier de degré 3 spéciales.
a ) Les différents types de courbes de degré 3.

1 point d’inflexion

2 points d’inflexions

Type 1

1 rebroussement
de 1ère espèce
Type 3

Type 2

1 point de croisement

1 arc de parabole

Type 4

Type 5

b) Courbe B3 qui est une portion de parabole
Dans la plupart des logiciels de dessin vectoriel seules les courbes de Bézier de degré 3 sont utilisées.
Voici une méthode pour afficher un vrai segment de parabole avec une B3.
P1

Il faut que P1 soit au 2 de A0A1 et P2 au 2 de A2A1
3
3

C2
A0
A1
A2

X

Y

6
87
60

36
81
9

C2
P0

=

P1
P2
P3

X

Y

6
60
78
60

36
66
57
9

A1

P2

C2
P0 = A0
y

x

P3 = A2

échelle 0.5

c) Courbe définie par «3 points» utilisée dans le système Postscript.
La courbe est définie avec les points P0 P1 P2 P3 mais P2 est confondu avec P3.
X
P0
P1
P2
P3

14
34
90
90

Y

Courbes de type 3 avec rebroussement en P3

P1

10
54
26
26

P1
P0
P1
P2
P3

P2 = P3

P0

P0

e) Courbe avec P2 sur la tangente en P0 et P1 au milieu de P0P2

Courbe de type 2 avec deux inflexions dont une en P0

P0
P1
P2
P3

Y

5
20
30
35

5
5
5
20

Courbe de type 1 avec une inflexion en P0

P3
P0
P1
P2

P0

P3

P1

8

Y
26
54
10
10

P2 = P3

d) Courbe avec P2 sur la tangente en P0

X

X
90
34
14
14

P2

X

Y

5
17.5
30
35

5
5
5
20

P3

P0
P1

P2

8

Changement de paramètres d’une B3 par rotation et / ou translation
Nous utiliserons la définition canonique d’une B3 =>

t³+x2t²+x1t+x0
M(t) yx == gf(t)(t) == x3
y3t³+y2t²+y1t+y0

Exemple avec une courbe ‘‘gauche’’ et ses hodographes
C4
P0
P1
P2
P3

X
1
5
4
6

C4

Y
3
8
1
5

C4

xM(t) = f(t) = 8t³ -15t² + 12t + 1
yM(t) = g(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3

y

courbe de type 2

a = y3
x3 =

23
=>
8

α

≈ 70,821°

-36
=>
-15
15
c = y1
x1 = 12 =>
y0
d = x0 = 13 =>

β

≈ 67,380°

γ

≈ 51,340°

δ

≈ 71,565°

b = y2
x2 =

NB :

α

H2

x

o

échelle : 10

H1

a = C4’’’

Méthode pour ‘’ dégauchir ‘’ et simplifier une courbe B3 par rotation et translation.
Appliquer une rotation* de (90°-α ) ≈ 19°179 de centre P0

1
3

et une translation de -P0

-1
-3

y

C4
P0



P1
P2
P3

X

Y

0
2,14
3,49
4,07

0
6,04
-0,90
3,53

C4

C4

f(t) ≈
0 t³ -2,34 t² + 6,41 t + 0
g(t) ≈ 24,35 t³ -38,93 t² + 18,11 t + 0

x

o

échelle : 5

H2
H1

y3 qui sera nul.
De la même manière une rotation impliquant β les coef. x2 ou y2 seront = 0

Avec une rotation de -α c’est le coefficient

etc...

Ces changements de paramètres peuvent permettre de simplifier des équations
notamment pour determiner le point de croisement d’une courbe de type 4 (voir page 15)
En fait l’invariance affine du paramètre t autorise ces changements.
Nous pouvons dans certains cas exprimer une équation d’une manière différente et arriver indirectement
à un résultat pour revenir à une méthode directe.
* Rotation à l’aide d’une formule du changement de base (voir page 35 )

9

9

Intersection d’une droite avec une B3, calcul du paramètre t
Il est très utile de déterminer le paramètre t d’un point de la courbe dont on connait l’abscisse ou l’ordonnée
Cela revient à calculer l’intersection de la courbe avec une droite d’équation x = x(M) ou y = y(N)
Exemple 1
C4

X

Y

1
5
4
6

P0
P1
P2
P3

C4

3
8
1
5

2
?

M

N1

N2

N3

y=4,5

M

xM(t) = 8t³-15t² + 12t + 1 = 2

Donc il faut résoudre :

avec

C4

C4

8t³ -15t² + 12t - 1 = 0
t ≈ 0,0938 =>

=> 1 solution réelle :

Exemple 2

xM(t)= f(t) = 8t³ -15t² + 12t + 1
yM(t) = g(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3

1

et

N

M

2
4,11

y

o

?

x=2

x

échelle : 10

4,5

yM(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3 = 4,5
t ≈ 0,1470

t ≈ 0,4660

1

23t³ -36t² + 15t - 1,5 = 0 => 3 solutions réelles :

2,47
4,5

N1

t ≈ 0,9523

2

3

4,14
4.5

N2

N3

5,73
4.5

Intersection d’une B3 avec une droite définie par un point D et son coef. directeur a

M3

Exemple 3

C4
Posons :

xM(t) =f(t) = 8t³ -15t² + 12t + 1
yM(t) =g(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3

yC4 - yD
xC4 - xD

D

2
3

a =1
M1

=a

=> (y3-ax3)t³+ ( y2-ax2)t²+(y1-ax1)t+(y0-ax0-yD+xDa) = 0

D

2
3

C4

En développant => 15t³ - 21t² + 3t + 1 = 0
=> 3 solutions réelles :
t ≈ 0,3692
1

M1

3,78
4,78

t ≈ -0,1526
2

M2

-1,21
-0,21

t ≈ 1,1834
3

M3

7,45
8,45

o
M2

x
échelle : 10

Intersection de 2 courbes B3
Un algorithme s’impose => https://pomax.github.io/bezierinfo/#intersections

10

L’avantage est que l’algorithme calcule sur l’intervalle [0 1] donc pas de confusions possible.

10

Nous pouvons constater que le calcul de t implique souvent 3 solutions.
Et pour éviter certaines confusions j’ai situé les exemples de courbes dans le premier quadrant du cercle trigonométrique
afin d’avoir une pseudo équivalence avec une fonction.
Cela implique que le calcul de t avec la définition canonique f(t) accepte une seule solution sur l’intervalle [0 1].
D’ou l’utilité parfois d’effectuer un changement de paramètre par rotation et ou translation pour effectuer certains calculs.
Dans la réalité, notamment dans le domaine du design avec des logiciels «vectoriels» seule la portion continue
des courbes sont utilisées (en majorités ce sont des courbes de type 2 ou 4).
Si par le calcul un point stationnaire est situé sur [0 1] il est préférable de diviser la courbe en ce point.

Estimation du paramètre t
Dans certains calculs, il est parfois necessaire d’estimer le paramètre t d’un ou plusieurs points .
Voici 2 méthodes :
Exemple 1 : méthode du projeté orthogonal sur M0M3

M3
M2

||M0M3||≈49,82

||M0M1||≈16,13
α ≈ 11,171°

||M0M1|| COS(α)

t(M1) =

β ≈ 1,754°

M2’

M1

≈ 0,3175

||M0M3||

t(M2) =

||M0M2||≈35,47

||M0M2|| COS(β)

α

≈ 0,7116

||M0M3||

β

M0

M1’

M1
M2
M3

M0

X

Y

1
9
24
40

13
27
40
44

Exemple 2 : méthode des normes
échelle 2

Avec :

t(M1) =

||M0M3||≈49,82
||M0M1||
||M0M3||

||M0M1||≈16,13

≈ 0,3237

t(M2) =

||M0M2||≈35,47

||M0M2||
||M0M3||

≈ 0,7119

Et aussi avec : ||M0M3||≈49,82 ||M3M1||≈35,36 ||M3M2||≈16,49

t(M1) = 1 -

11

||M3M1||
||M0M3||

≈ 0,2903

t(M2) = 1-

||M3M2||
||M0M3||

≈ 0,6690

Nous pouvons constater
que la méthode des normes engendre 2 solutions.
Nous pourrions par exemple
faire la moyenne des 2 estimations de t.

t(M1)moyen ≈ 0,3070
t(M2)moyen ≈ 0,6905

11

Parabole B2 : calcul de son axe A, son sommet S et son foyer F
Calcul du sommet S
le coef dir. de l’axe A de la parabole = a =

yC2’’
xC2’’

La tangente au sommet S = d =

1

a

A l’aide de l’équation de la dérivée première et de d calculer le paramètre t du sommet S

d=

2t (yA0 - 2yA1 + yA2) + 2(yA1 - yA0)
2t (xA0 - 2xA1 + xA2) + 2(xA1 - xA0)

Exemple

C2

X

Y

A0
A1
A2

6
87
60

36
81
9

S

62,6

(yA1 - yA0) - d(xA1 - xA0)

donc t(sommet) =

a=

117
108

d(xA0 - 2xA1 + xA2) - (yA0 - 2yA1 + yA2)

d=

donc t(sommet) ≈ 0,552716

50,0

xM(t) = -108t² + 162t + 6
yM(t) = -117t² + 90t + 36

C2

108
117

S

xS(tsommet) ≈ 62.547
yS(tsommet) ≈ 50.002

Calcul du foyer F
Il faut savoir que l’intersection d’une tangente à C2 (par exemple A2A1) avec son axe A => L
et que + de la médiatrice de A2L avec l’axe A de la parabole est son foyerF .

Exemple*

X

L= (S ;

F= (S ;

a ) + A2A1

a) +

médiatrice de A2L

Y

coef dir.

A2

60

9

2.6667 (coef dir. de A2A1)

S

62.55

50.00

1.0833 (a)

L

84.15

73.41

X

Y

S
M

62.55
72.08

50
41.2

F

58.96

46.12

K

66.13

53.88

coef dir.

1.0833 (a)
-0.3750 (-1÷ 2.6667)

Et nous pouvons aussi calculer le point K situé sur la directrice et qui est le symétrique de F par rapport à S

12

* voir page 24 intersection de 2 droites a l’aide de la formule de Delambre.

12

A1
L

C2

K

S
F

Di

re

M

A0

ct

ric

eD

S
eA
ax

y

xM(t) = -108t² + 162t + 6
yM(t) = -117t² + 90t + 36

xS ≈ 62.547
yS ≈ 50.002

α
A2

x

echelle 1

Calcul du foyer F : méthode indirecte
Dans un premier temps il faut que le sommet de la parabole soit à l’origine du repère et son axe A
doit coïncider avec l’axe OY.
Nous allons donc effectuer un changement de base avec une rotation de
dont le centre Ω est le sommet S et une translation de -xS et -yS .
avec α = arctan ( 117
108 ) ≈ 42,7094°
y

Donc dans ce cas la avec Ω = S
echelle 1

S’

xS ≈ 62,547
yS ≈ 50,002

Δx ≈ - 62,547
Δy ≈ - 50,002

x

F’

A0’

xA0’= cosα (xA0 - xS) - sinα (yA0 - yS) ≈ -32.054

yA0’= sinα (xA0 - xS) + cosα (yA0 - yS) ≈ -48.643
xA3’

≈ 32,054
yA3’ ≈ -48,643

A3’est le symétrique de A0’

En interpolant les points A0’, S’, A3’ par la méthode de Newton

A0’

A3’

la paramètre a de la parabole =
le foyer est définis par : F’

yA0’
(xA0’)²

≈ -0,047344

x F’= 0
(xA0’)²
≈ -5,281
y F’= 1 =
4a 4 yA0’

Donc directement avec A =(xA0 - xS) , B =(yA0 - yS) , et son sommet S
x F= sin(α) (y F’) + xS =

F

(cosα A - sinα B )²
+ xS
4 ( A + cotanα B )

(cosα A - sinα B )²
y F= cos(α) (y F’) + yS = 4 ( tanα A + B ) + yS

NB : le calcul peut se faire sur R² avec A0 = n’importe quel point de la parabole hormis son sommet.
13

13

Points stationnaires et point de croisement d’une B3
Pour déterminer les points stationnaires utilisons la formule suivante : le déterminant de
Avec :

x’= f ’ = 3 x3 t² + 2 x2 t + x1 et

(t)
B3’ => y’= g’(t)
= 3 y3 t² + 2 y2 t + y1

x’’= f ’’(t) = 6 x3 t +2 x2 => f ’(t) f ’’(t) = f ’(t) g’’(t) g’(t) f ’’(t) = 0
g’(t) g’’(t)

B3’’=> y’’= g’’(t) = 6 y3 t +2 y2

At ² +Bt + C = 0

En développant : => ( x2y3 - x3y2 ) t ² +( x1y3 - x3y1 ) t + ( x1y2 - x2y1 )/3 =
Si Δ>0 et A=0 => 1 pt d’inflexion
Si Δ>0 et A≠0 => 2 pt d’inflexions

Si A =0 et B =0 => 1 arc de parabole

Si Δ=0 => 1 pt rebroussement
Si Δ<0 => 1 pt croisement

P1

1) courbe de type 1 (acceptant un point d’inflexion)

C31
P0
P1
P2
P3

X

Y

1
5
5
9

5
10
0
5

f(t) = 8t³ - 12t² + 12t + 1
g(t) = 30t³ - 45t² + 15t + 5

C31

B3’(t) , B3’’(t) =0

I
P0

5
5

P2

x’ y’’ - y’ x’’ => 0t² + 240t - 120 = 0 (Δ=57600 et A=0)
=> t1 = t2 = 0,5
1 point d’inflexion en

I(0,5)

P3

5
5

échelle 6

2) courbe de type 2 (acceptant deux points d’inflexion)

C32
P0
P1
P2
P3

X

Y

1
3
1.6
5

1
3
2.5
2

P1

C32

f(t) =8,2t³ - 10,2t² + 6t + 1
g(t) = 2,5t³ - 7,5t² + 6t + 1

I2

P2

I1

P3

x’ y’’ - y’ x’’ => 36t² - 34,2t + 5,4 = 0 (Δ=36)
=> t1 ≈ 0,2
2 points d’inflexions en

t2 ≈ 0,75
I1

1.858
1.920

P0

I2

3.222
2.336

échelle 15

3) courbe de type 3 (acceptant un point de rebroussement de 1ère espèce)

C33
P0
P1
P2
P3

X
1
9
1
9

Y
1
5
5
1

C33

f(t) = 32t³ - 48t² + 24t + 1
g(t) = 0t³ - 12t² + 12t + 1

P2

R

P1

x’ y’’ - y’ x’’ => 384t² - 384t + 96 = 0 (Δ=0)
P0

=> t = 0,5
14

1 point de rebroussement en R

P3

5
4

échelle 6

14

4) courbe de type 4 (acceptant un point de croisement ou point double)

C34
P0
P1
P2
P3

X

Y

4
7
1
7

2
6
4
3

C34

x’ y’’ - y’ x’’ => 189t² - 189t + 54 = 0 (Δ= -5103)

f(t) = 21t³ - 27t² + 9t + 4
g(t) = 7t³ - 18t² + 12t + 2

Calcul du point double D

donc la courbe C34 accepte un point double

f(t1) = f(t2) => x3t1³+ x2t1²+ x1t1 + x0 = x3t2³+ x2t2²+ x1t2 + x0
g(t1) = g(t2) => y3t1³+ y2t1²+ y1t1 + y0 = y3t2³+ y2t2²+ y1t2 + y0
f(t1) - f(t2) = 0 => x3 (t1³- t2³) + x2 (t1²- t2²) + x1(t1 - t2) = 0
f(t1) - f(t2) = 0 => x3 (t1²+ t2²+t1t2) + x2 (t1 + t2) + x1 = 0

A présent le but est de définir t2 à partir de t1 , nous allons donc faire en sorte que dans ( f(t1) - f(t2)) x3 = 0
en appliquant une rotation ( π - α ) sur ( f(t1) - f(t2)) avec tan (α) = y3/x3
2

A l’ aide de la formule du changement de base (rotation des axes)
Donc f(t1) - f(t2) => X2 (t1 + t2) + X1 = 0 =>

Résoudre

{

t2 = - X1 -t1

x3 (t1²+ t2²+t1t2) + x2 (t1 + t2) + x1 = 0
t2 = - X1 -t1
X2

x1
x2
t1² t1
=0
+ G +
+
x3 G x3
G

=>

X2 = x2 sin(α) - y2 cos(α)
X1 = x1 sin(α) - y1 cos(α)

=>

X2

avec

x2 tan(α) - y1
G = X1
=
X2
x1 tan(α) - y2

ou

t1² + Gt1 + G² +

x1 y3 - y1
x1y3 - y1x3
x3
=
=
y3
x2y3 - y2x3
x2 - y2
x3

x1 - x2 G
=0
x3
P1

C34

Exemple avec
=>

f(t) = 21t³ - 27t² + 9t + 4
g(t) = 7t³ - 18t² + 12t + 2
P2

G = -1

P3

=> -t1² + t1 - 1 = 0 ( Δ= 37 )
7

=> t1 ≈ 0,1727

P0

t2 ≈ 0,8273

1 point de croisement en D

α

4.857
3.571

P1

5) courbe de type 5 (arc de parabole)
Exemple

C2
P0
P1
P2
P3

C2

P2
X

Y

6
60
78
60

36
66
57
9

P0

f(t) = 0t³ - 108t² + 162t + 6
g(t) = 0t³ - 117t² + 90t + 36

x’ y’’ - y’ x’’ => 0t² + 0t - 3078 = 0
15

échelle 10

P3
échelle 1

15

Subdivisions récursives d’une B2 avec la méthode de ‘‘De Casteljau’’ [1]
Cette méthode permet de calculer les coordonnées d’un point M(t) sans passer par les équations traditionnelles.
Les points A0 A1 A2 sont les points de définitions d’une courbe paramétrique de Bézier de degré 2.
Et B un point de cette courbe de paramètre t = 0.4

A1
t (A1 - A0) + A0

Q2 = (1-t)A1 + t A2

ou

t (A2 - A1) + A1

B = (1-t)Q1 + t Q2

ou

t (Q2 - Q1) + Q1

)
1- t

1(
A 0A

2t

ou

A1A

Q1 = (1-t)A0 + t A1

Q1

C2

X

Y

6
87
60

36
81
9

Q1Q2 (1- t)

Q2
A 0A

B(0.4)

1t

A0

X
38,4
76,2
53,5

Y

A1A

C2

donc avec t = 0.4
Q1
Q2
B

2 (1-

t)

A0
A1
A2

Q1Q2 t

y

54
52,2
53,3

A2
x

échelle 1

Subdivisions récursives d’une B3
Les points P0 P1 P2 P3 sont les points de définitions d’une courbe paramétrique de Bézier de degré 3
et M un point de cette courbe de paramètre t = 0.4

Q1 = (1-t)P0 + t P1
Q2 = (1-t)P1 + t P2
Q3 = (1-t)P2 + t P3
S1 = (1-t)Q1 + t Q2

P1

Q2

P2
S2

Q3
S1

S2 = (1-t)Q2 + t Q3

M(0,4)

41,9
42,7

C3

M = (1-t)S 1 + t S 2
Q1
donc avec t = 0.4
X

Q1
Q2
Q3
S1
S2
M

22
46
74,4
31,6
57,4
41,9

Y
27,6
54
42,8
38,2
49,5
42,7

P0
P1
P2
P3

X

Y

14
34
64
90

10
54
54
26

P3

P0

échelle 1.5

Et de ce fait nous pouvont diviser la courbe C3 en M(0,4) en 2 courbes définies par :
16

C3a P0 Q1 S1 M
C3b M S2 Q3 P3

16

Quelques applications pour une B3
Subdivision

C3 et t=0,4

Méthode pour calculer les points de définition des courbes C3a et C3b avec

C3
P0
P1
P2
P3

X

Y

14
34
64
90

10
54
54
26

C3a

A0 = P0
A1 = t (P1-P0) + P0
A2 = t[ t(P2-P1) + P1 - A1]+A1
A3 = M(t)

X

Y

A0 14
A1 22
A2 31,6
A3 41,904

B1

10
27,6
38,160
42,704

B2
A2
A1

C3b

X

Y

C3b

A3 = B0

C3a

avec t = 0,4
B0 = M(t)
B1 =(1- t) [t(P2-P1) + P1 - B2]+B2
B2 = t (P3-P2) +P2
B3 = P3

P2

P1

P3= B3

P0 = A0

B0 41,904 42,704
B1 57,360 49,552
42,8
B2 74,4
26
B3 90

échelle 3/4

Nous remarquons que A2 est sur la parabole définie par P0 P1 P2 et B1 sur la parabole P1 P2 P3

Méthode pour prolonger une courbe B3 jusqu’au point E de paramètre t >1
C2
C1

C3a

X

P0 14
P1 22
P2 31,6
P3 41,904

Y
10
27,6
38,160
42,704

P2

t en E = 2

donc E(2)

74,032
39,312

P3
C3=E

C3a bis

P1

C0

avec t = 2

C1
C2

C0 = P0
C1 = t (P1-P0) + P0
C2 = (1-t)C1 +t(1-t)P1 + t²P2
C3 = E(t)

C0=P0

C3

X

Y

14
30
52,4
74,032

10
45,2
52,240
39,312

échelle 1

Méthode pour prolonger une courbe B3 jusqu’au point H de paramètre t <0

C3
P0
P1
P2
P3

D2

D1

X

Y

14
34
64
90

10
54
54
26

P2
P1

3,312

t en H = -0.2 donc H(-0.2) -21,808

C3 bis

avec t = -0.2

D0 = H(t)
D1 = (1-t)²P1 + t(1-t)P2 + tD2
D2 = t (P3-P2) +P2
D3 = P3

P0
échelle 3/4

D0

D 3 = P3

X

Y

3,312 -21,808

D1 21,840 52,880
D2 58,8 59,6
D3

90

26

D0 =H

17

17²

Réunion de 2 courbes de Bézier de degré 3
La subdivision De Casteljau implique une formule simple pour effectuer cette réunion.
Exemple 1 : soit 2 courbes A et B ayant un raccordement de classe C1 (A3’= B0’).
A
A0
A1
A2
A3

X

Y

8
25
40
56

18
30
35
35

B
B0

x = f(t) = 3t³ - 6t² + 51t + 8
y = g(t) = 2t³ - 21t² + 36t + 18

A

B1
B2
B3

X

Y

56
72
92
104

35
35
30
14

x = f(t) = -12t³ + 12t² + 48t + 56

B y = g(t) = -6t³ - 15t² + 0t + 35

à l’aide de la subdivision récursive des B3 nous pouvons «naïvement» réunir A et B en posant :
B2 - tB3
B2= t(B3-P2) +P2 => P2 =
(1-t)

A1= t(P1-A0)+A0 => P1 = A1-A0 (1-t)
t

t=

||A2A3||
||A2A3||+||B0B1 ||

= 0,5

P2
P1

P

A2

P

B1

P0
A1

A3=B0

A

B2

B

=>

P1
P2
P3

X

Y

8
42
80
104

18
42
46
14

x = f(t) = -18t³ + 12t² + 102t + 8

P y = g(t) = -16t³ - 60t² + 72t + 18

A0=P0
B3=P3
échelle 1

NB : cette méthode respecte les tangentes en A0 et B3 mais P ne passe pas par A3.
Nous verrons à la section courbe passant par 1 point page 29 qu’il est possible de faire varier P1 ou P2
afin que Pbis passe strictement par A3 .tout en conservant les tangentes en P0 et P3 (voir ci dessous) .

Pbis
P0
P1
P2
P3

X

Y

Pbis

variation sur P1

8
18
34,61 36,78
80
46
104
14

P0
P1
P2
P3

t en A3 ≈ 0,4907912

X

Y

variation sur P2

8
18
42
42
84,02 40,64
104
14

t en A3 ≈ 0,4496878

Exemple 3 : idem Exemple 1 mais avec un raccordement de classe C0 (A3’ ≠ B0’) avec
A
A0
A1
A2
A3

X

Y

8
25
40
56

18
30
40
35

B
B0

+

B1
B2
B3

t=

X

Y

56
72
92
104

35
40
30
14

||A2A3||
||A2A3||+||B0B1 ||

P
P0

=>

P1
P2
P3

X

P2

Y

8
18
42,57 42,40
80,39 45,48
104
14

P1
A2
A1

A

P
A3=B0

B1

B

B2

= 0,5
A0=P0
B3=P3
échelle 0,5

Dans ce cas la et personnellement je pense que visuellement le résultat est correct car la réunion épouse au mieux les courbes A et B.

18

18

Distance d’un point à une courbe B3.
Lors d’un lissage d’une suite de points par approximation avec une ou plusieurs courbes B3 il est souvent utile
de savoir si le ou les points de départ ne sont pas trop éloignés des B3 calculées.
Cela implique qu’il faut se fixer une tolérance de +/- λ .
Exemple : avec une courbe P et un point M

56
35
P2

P
P0
P1
P2
P3

P1

X

Y

8
42
80
104

18
42
46
14

x = f(t) = -18t³ + 12t² + 102t + 8

P
M

P y = g(t) = -16t³ - 60t² + 72t + 18

P0
P3
échelle 1

Le problème est de calculer le point M’ situé sur la courbe P dont la normale passe par le point M.
Déterminons les équations pour résoudre le problème .
la normale en un point de paramètre
Nous pouvons donc poser :

-

t de P =

f ’(t)
f(t) - xM
=
g’(t)
g(t) - yM

-

f ’(t)
g’(t)
=> f ’ (t) ( g(t) - yM ) + g’(t) ( f(t) - xM ) = 0

En utilisant la définition canonique d’une B3
=> (3x3t²+2x2t+x1)(y3t³+y2t²+y1t+y0-yM ) + (3y3t²+2y2t+y1)(x3t³+x2t²+x1t+x0-xM ) = 0
En développant
=> h (t) = 3(y3²+x3²) t5 + 5(y3y2 + x3x2 ) t4 + [ 4(y3y1+x3x1)+2(y2²+x2²) ] t3

+ [ 3(y2y1+y3(y0-yM) + x2x1+x3(x0-xM) ] t2 + [ y1²+2y2(y0-yM)+x1²+2x2(x0-xM) ] t +y1(y0-yM)+x1(x0-xM)

Dans notre exemple =>

h(t) = 1740t5 + 3720t4 - 4464t3- 5880t2 + 16476t - 6120
h’(t) = 8700t4 + 14880t3- 13392t2 - 11760t + 16476

Et en résolvant h(t)=0 par la méthode de Raphson Newton => t(M’ )≈ 0,4617252

M’≈

55.882
36.878

[5]

donc ||MM’|| ≈ 1,882

M’

Dans cet exemple il existe une seule solution sur l’intervalle [0 1].

échelle : 6

19

M
19

Vecteur vitesse , accélération , rayon de courbure (cercle osculateur) [4]

C3
P0

exemple avec :

P1
P2
P3

X

Y

14
34
64
90

10
54
54
26

+30t²+60t+14
M(t) yx == gf(t)(t) == -14t³
16t³-132t²+132t+10

Le vecteur vitesse d’une courbe B3 en un point M(t)
est la norme du vecteur dérivé premier au point M(t)
= f ’(0,3) = -42t²+ 60t + 60 = 74,22
M’(0,3) x’
y’ = g’(0,3) = 48t²- 264t + 132 = 57,12

sa norme ≈ 93,66
P1
M(0.5)

Le vecteur accélération d’une courbe B3 en un point M(t)
est la norme du vecteur dérivé second au point M(t)
= f ’’(0,3) = -84t+60 = 34,8
M’’(0,3) x’’
y’’ = g’’(0,3) = 96t-264 = -235,2

P2

C3

M(0.3)

sa norme ≈ 237,76

R
P3

Ω

calcul du rayon de courbure R en un point M(t)

R en M(t) =
avec

P0

(x’ ² + y’ ² )3/2

échelle 1

x’ y’’ - y’ x’’

= f ’(0,5) = 79,5
= f ’’(0,5) = 18
M’(0,5) x’
M’’(0,5) x’’
y’ = g’(0,5) = 12
y’’ = g’’(0,5) = -216

R en M(0.5) =

519729,318

≈ 29.89

-17388

Calcul du centre de courbure Ω
Dans le repère de Frenet en

C
= -12(1)
≈ 0,15
80,4
(x’ ² + y’ ² )0,5
(x’)C
= (79.5)(1) ≈ -0,99
80,4
(x’ ² + y’ ² )0,5
(-y’ )

49.75

M(0,5) 45

nous avons

N

NB : si au point M(t) x'y"- x"y' < 0 la courbe est concave en M(t) donc C= 1 si non C= -1

Ω(0,5)

(xN)(R)(1)+xM(0,5) = 54.21
(yN)(R)(1)+yM(0,5) = 15.44

Donc directement : avec x = f(t) et y = g(t)

x Ω(t) =
20

(x’ ² + y’ ² ) (-y’)
x’ y’’ - x’’y’

+ x M(t)

y Ω(t) =

(x’ ² + y’ ² ) (x’)
x’ y’’ - y’ x’’

Sources : http://prof.math.free.fr/textes/cours/normal/courbure_html/index.html

+ yM(t)

20

Paramétrisation d’une fonction du second ou troisième degré sur un intervalle borné.
Exemple
Soit la fonction : f(x) = 2x³ + 3x² + x +1 que l’on veut paramétrer sur l’intervalle [-1 0,5].

Y

Pour y arriver nous allons nous servir de la définition matricielle d’une B3
en choisissant 4 points : M0 qui est au début de l’intervalle
M1 , M2, 2 points intermédiaires et M3 à la fin de la courbe B3
M0

a) calcul de OM(t)

M1
M2
M3

X

f(x)

-1
-0,5
0
0,5

1
1
1
2,5

M3

C

M1
M0

b) calcul des paramètres t en M0, M1 , M2, M3

M2

Dans ce cas là le calcul est simple car t est proportionnel aux abscisses.
X
échelle : 20

t en M0 = 0 t en M3 = 1
t en M1 =

xM1 - xM0
0,5
1
=
=
xM3 - xM0
1,5
3

t en M2 =

xM2 - xM0
1
2
=
=
xM3 - xM0
1,5
3

t
0
1/3
2/3
1

1 t
t² t3
1 0 0 0
1 0,33 0,11 0,037
1 0,67 0,44 0,296
1 1 1 1
wn

donc Os = wn × p 3

-1

-1 -0,5 0 0,5

matrice de passage

1
-3
×
3
-1
p3

× OM(t)

0
3
-6
3

0
0
3
-3

0
0
0
1

×

xP
xP0
xP1
xP2
xP3

yP
yP0
yP1 =
yP2
yP3

Os

=>

X

Y

P0

-1
-0,5
0
0,5

1
1,5
-0,25
2,5

P3

yM(t)
1
1
1
2,5

OM(t)

C
P1
P2

xM(t)
-1
-0,5
0
0,5

C est une B3 de type 1.

NB : pour une parabole la méthode est identique.

La réciproque est possible à l’aide d’une interpolation de type Hermite ou Lagrange.
Mais pour avoir des résultats cohérents la courbe de Bézier doit être de type 1 ou 5 et «dégauchie».

21

21

Aire d’une courbe de Bézier de degré 3.
Il existe plusieurs méthodes plusieurs méthodes pour calculer la superficie d’une courbe B3.
Notamment la forme : aire =
Et aussi

f

a

b

1
2

f

0

1

(g(t) f(’t) - f(t) g’(t)) qui permet de calculer l’aire d’une B3 fermée.

( g(t) f(t)’ ) permettant un calcul sur un intervalle donné [a b]

Mais quelque soit la méthode utilisée et pour avoir des résultats probants et compréhensible il est préférable
d’effectuer un changement de paramètre de la courbe par translation de -xP0 et -yP0.

a) Aire d’une courbe B3 fermée sur son domaine de définition [ 0 1] (méthode WEB).
P1

P2

C3

En posant exceptionnellement : X0 =xP0 , Y0=yP0 ; X1 =xP1 , Y1=yP1 etc...
Aire = 3 / 20 [ (Y1-Y0) ( X2 + X3 -2X0)
- (X1-X0) (Y2 + Y3 -2Y0)
- 2[ X0(Y2-Y3) + Y0(X3-X2) + Y3X2-Y2X3 ] ]

P3
P0

C3

échelle 1/2

P0

NB : La translation de - P0 est intégrée dans la formule et fonctionne sur R²

P1
P2

Dans cet exemple Aire de C3 = 1414,8 mm²

P3

14
34
64
90

10
54
54
26

b) Aire d’une courbe B3 fermée acceptant un point d’inflexion sur son domaine de définition [ 0 1].
Aire de C4 = 1,2 mm²

A1

y
En fait c’est l’aire du segment de courbe de P0 à M = A1
+ l’aire du segment de M à P3 = A2

P0

C4

A1 ≈ 2,177 et A2 ≈ - 0,977 donc A1 + A2 = 1,2 mm²

P0
P1
P2

Le point M est l’intersection de la droite P0P3 avec C4 .

P3

M(t)

d=

g(t) - yP0
g(t) - y0
=
f(t) - xP0
f(t) - x0

d

=>

Ce polynôme accepte 2 racines réelles :

22

X
1
5
4
6

Y
3
8
1
5

x

yP3 - yP0
= xP3 - xP0

P0

(y3- dx3)t³+(y2- dx2)t²+ (y1- dx1)t = 0

t1= 0

et

t2= 1

échelle : 10

xP0=x0
yP0=y0

=> At³+ Bt²+ Ct = 0

=> (0- t)( 1- t) = ( t²- t)

nous pouvons donc diviser At³+Bt²+Ct par (t²- t) => A t3 + A+B = 0 donc

Dans cet exemple C4

A2

o

Voici son calcul dans le cas général.

x = f(t) = x3t³+x2t²+x1t+x0
y = g(t) = y3t³+y2t²+y1t+y0

P3

M

Que représente ce chiffre ?

xM(t) = 8t³ -15t² + 12t + 1
yM(t) = 23t³ -36t² + 15t + 3

(y2- dx2)
t3 = - ( 1+ B )= - ( 1+ (y3- dx3) )
A

d=0,4 t (M) ≈ 0.51515151 M

4,295
4,318

22

c) Aire d’une courbe B3 sur un intervalle [a b] .
En utilisant la formule : aire =

f

a

b

( g(t) f(t)’ ) et la définition canonique d’une B3

t³+x2t²+x1t+x0
M(t) xy == gf(t)(t) == x3
y3t³+y2t²+y1t+y0

g(t) f (’t) = h(t) =3x3y3t5+(3x3y2+2x2y3)t4+(3x3y1+2x2y2+x1y3)t3+(3x3y0+2x2y1+x1y2)t2+(2x2y0+x1y1)t +x3y0
Dans cet exemple :

f(t) = -3t³+ 6t²+ 3t + 0
g(t) = -3t³-3t²+ 6t + 0

C5

y

P0
P1
P2

h(t) = 27t5- 9t4- 99t3+ 63t2+18t + 0
H(t) = 4,5t6-1,8t5- 24,75t4+ 21t3+ 9t2+ C

C5

P3

x

o

X

Y

0
1
4
6

0
2
3
0

échelle : 10

L’aire de C5 sur l’intervalle [0,2 0,6] = H(0,6) - H(0,2) ≈ 4,15 mm²

Abscisse curviligne

s ou longueur d’un arc d’une courbe de Bézier de degré 3.
b

la théorie veut que la longueur d’un arc d’une courbe paramétrique =

Pour une courbe B3

b

s = f √( f’ )²+(g’ )²
a

(t)

=

(t)

f

f √( dxdt )²+( dydt )² dt
a

b

a

√ ( 3x3t²+2x2t+x1 ) ² + ( 3y3t²+2y2t+y1 )²

NB : les variables a et b sont les valeurs possible du paramètre t

Mais dans la pratique il est quasiment impossible de calculer cette intégrale d’où la nécessitée
de procéder à une approximation.
Pour ma part je divise la courbe en 100 parties sur l’intervalle [a b] avec un pas de (b-a) / 100.
Je calcule les coordonnées des points M correspondants allant de M0 à M100.
Je détermine le centre du cercle passant par M0 M1 M2
Je peut donc calculer son rayon, la corde M0 M2 de l’arc, sont angle au centre θ et enfin sa longueur.
Et ainsi de suite avec M2 M3 M4 , M4 M5 M6 etc... jusque M98 M99 M100
Exemple avec C5 sur l’intervalle [0,2 0,6] => pas = (0,6 - 0,2) / 100 = 0,004
Donc

23

s de C

5

sur [0,2 0,6] ≈ 2,705 mm

t
0,200
0,204
0,208
0,212
0,216

n
0
1
2
3
4

xM
0,8160
0,8362
0,8566
0,8771
0,8977

yM
1,0560
1,0737
1,0912
1,1086
1,1258

0,584
0,588
0,592
0,596
0,600

96
97
98
99
100

3,2008
3,2286
3,2564
3,2842
3,3120

1,8833
1,8809
1,8782
1,8752
1,8720

xC

yC

corde

rayon

θ

Lg, arc

3,15

-1,60

0,05

3,53

0,015 rad

0,05

3,15

-1,59

0,05

3,53

0,015 rad

0,05

2,96

-1,07

0,06

2,97

0,019 rad

0,06

2,96

-1,08

0,06

2,97

0,019 rad

0,06

23

Simulation d’un arc de cercle avec une B3*
( pour avoir une bonne précision l’angle au centre de l’arc doit être ≤ 90° )

Calculs préliminaires avec

X

Y

M1
M2
M3

1
4
8

1,5
6
7

M3

=

Pts

=
M2

=

Le centre Ω du cercle passant par M1 M2 M3 est déterminé
par l’intersection des médiatrices de M1M2 et M2M3.

β

B

A
α

Calcul de l’intersection par la méthode de Delambre.
=

xΩ = xA+

(yA-yB)-(xA-xB)tan(β)
≈ 7,525
tan(β)-tan(α)

yΩ =

rayon R =||M1 Ω|| ≈ 6,617 corde C = ||M1M3|| ≈ 8,902
C

θ = 2 arcsin( 2R ) ≈

θ

y

yA+ (xΩ-xA)tan(α) = 0,4

M1

Ω

échelle 10

84,542°

Calcul de la courbe de bézier B3
Astuce : ne connaissant pas le paramètre t en M2 déterminer le point M2’
(

qui est sur la bissectrice de M1 Ω M3.

t en M2’

= 0,5) .

Calculer les angles orientés suivants : α0 ≈ 80,431° et α3 ≈ 175,884 °
Pts

X

Y

1
P0= M1
1,5
M2’ 3,437 5,603
P3= M3
8
7
2
7,432
I

Polynôme de Bernstein avec t=0.5

B0

B1

B2

B3

(1-t)³
0,125

3t(1-t)²
0,375

3t²(1-t)
0,375


0,125

Avec P1 et P2 déterminés par coordonnées polaires :

=> xM2’ = B0 xP0 + B1 (φ0 cos(α0)+xP0) + B1 (φ3 cos(α3)+xP3) + B3 xP3
xM2’- 0,5 ( xP0 + xP3)
≈ 3,410940045
=> φ0 = φ3 =
α0
α3
0,375 [cos( )+cos( )]

X
P0

=>

P1
P2
P3

1
1,567
4,598
8

Y
1,5
4,863
7,245
7

NB : pour un arc de cercle de rayon 1 et un angle de 90 ° : φ = 0.552284750 ou 0.551915631
*D’autres méthodes existent entre autre celle de monsieur krauss voir :
24

http://d.krauss.free.fr/documents/Transverses/Bezier/Arc_cercle/Arc_Cercle.htm

24

Voici la méthode Krauss
Avec : S = sin(θ) , C=cos(θ)
x = -0.118433799202707
K° = 1 [-S +√S²+ 6(1-C)
3
K1 = 4 tan( θ4 )
3

]

α = 6 ( 3K° + S )
β = 9 ( 1-C)K1 + 12 S )
Kidéal =

βK1 - α x K°
β-αx

φ0 = φ3 = Kidéal . Rayon ≈ 3,409176983

t
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1

ΔR perso
0,00000
0,00069
0,00123
0,00094
0,00031
0,00000
0,00031
0,00094
0,00123
0,00069
0,00000

ΔR Krauss
écart
0,00000
0,00000
0,00058
0,00011
0,00088
0,00036
0,00032
0,00062
-0,00051
-0,00020
-0,00089
-0,00089
-0,00051
-0,00020
0,00032
0,00062
0,00088
0,00036
0,00058
0,00011
0,00000
0,00000

α3
I

P2

φ3
P3

θ
2

M2’

P1

φ0

y

α0

θ
2

P0

échelle 20
25

θ
2

Ω
25

La clothoïde (clothoide) [2] [3]
Avant propos.
Y

La particularité d’une clothoïde, appelée aussi spirale de «Cornu»,
est que son rayon de courbure est progressif au fur et a mesure
l’on avance sur la courbe.

I

C’est pour cela que dans le domaine des travaux public
le début de la spirale est utilisé pour raccorder des axes routiers
par une partie courbe en permettant d’aborder une partie circulaire
progressivement sans changement brusque de direction.

O

X

I’

La législation impose un virage avec un rayon de courbure
minimal à respecter pour chaque catégories de route.
Par exemple pour une autoroute de catégorie L120 où la vitesse
est limitée à 130 Km/h le rayon du virage circulaire doit être >= à 665m.

Exemple 1

Quelques définitions mathématiques [2][3] [géogébra] .
coordonnées de I : x = y =

A√π
2

Y

A est appelé paramètre de la clothoïde

s l’abscisse curviligne de la clothoïde
r son rayon de courbure
τ l’angle en radian d’une tangente de la courbe
L’équation intrinsèque de la spirale est : s r = A²
τ = s² = s
2A² 2r

I

Soit :

r(35) = 45.71

M(35)
O

τ(35) = 21°, 93
X

Les coordonnées d’un point de la courbe sont :

x = fcos S

s² X ds
2A²

y = fsin S

s² X ds
2A²

Ces intégrales dites de Fresnel ne peuvent pas s’exprimer à partir de fonctions élémentaires,
mais le calcul à l’aide d’un développement limité au voisinage de 0 est possible :

xM(s) = s - s5 +
40A4

s9 s13
+ ...
3 456A8 599 040A12

dans l’exemple 1 avec

26

s = 35 et A= 40

yM(s) = s3 6A2

s15
s7 + s11 + ...
336A6 42 240A10 9 676 800A14

xM(35) = 34,49

yM(35) = 4,42

τ(35) = 21°, 93

r(35) = 45.71
26

Simulation d’un arc de clothoïde par une courbe de Bézier de degré 3.
Exemple 2
échelle 1/500

Soit un arc de cercle de rayon 32 m que l’on veut
raccorder par une clothoide de paramètre A= 35,5 .

τ

39,383
≈ 35,257°
2*32

(39,383)

=

xM(39,383) ≈ 37,917

32

donc s(32) = 35,5²/32 ≈ 39,383 m

=
on
ray

s r = A²

D2

M

yM(39,383) ≈ 7,862

P3

τ
P0

P1

M’

P2

D1

Définition de la courbe de Bézier
Soit : les droites D1 et D2 et M’ qui est le projeté orthogonal de M sur la droite D1

P0 est à l’origine de la clothoïde
P1 est à 1/3 de P0M’
P2 est l’intersection de D1 et D2
P3 est le point M

X
P0

donc la courbe de Bézier ≈

P1
P2
P3

Y

0
0
12,639 0
26,796
0
37,917 7.862

Tableaux comparatifs
Calcul traditionnel
param. A

35,5

abscisse curviligne tous les 5 m
rayon de l'arc de cercle à raccorder 32 m

s

X

Y

τ

0,00

0,000

0,000

0,000°

approximation par la courbe de bézier
X

Y

écart des Y

infinis

0,000

0,000

0,000

infinis

r

r

estimé

A moyen

s estimé

35,6

A

estimé

5,00

5,000

0,017

0,568°

252,05

5,000

0,017

-0,001

248,5

5,00

35,3

10,00

9,998

0,132

2,273°

126,03

9,998

0,135

-0,002

128,6

10,00

35,9

15,00

14,988

0,446

5,115°

84,02

14,988

0,446

0,000

86,0

15,00

35,9

20,00

19,950

1,056

9,093°

63,01

19,950

1,048

0,008

63,5

20,00

35,6

25,00

24,847

2,057

14,207°

50,41

24,847

2,038

0,019

49,7

25,00

35,2

30,00

29,620

3,538

20,459°

42,01

29,620

3,515

0,023

40,9

30,00

35,0

35,00

34,182

5,575

27,847°

36,01

34,182

5,563

0,012

35,9

35,00

35,4

39,383

37,917

7,862

35,257°

32,00

37,917

7,862

0,000

34,1

39,389

36,6

τ

Nous pouvons constater que avec un angle de ≈ 35° la précision se dégrade vers la fin de la courbe.

τ

Si ≈ 20° l’écart maxi est de 0,014 et avec
Donc la précision diminue si augmente .

τ

τ≈ 40° l’écart maxi est de 0,040.

L’utilité de cette approximation est que la courbe de Bézier peut être calculée sur R² sans effectuer
un changement de base par rotation et ou translation, d’ou peut être visualiser un avant projet à petite échelle.
Et aussi le ‘’A moyen‘’ me semble correct.
27

Mais ATTENTION : la méthode traditionnelle fait Foi et Loi.

27

Courbes de Bézier passant strictement par 3 points
a) Paraboles passant par 3 points
1) Les tangentes en A0 et A2 sont libres.
Dans ce cas il existe une infinités de solutions car tout dépend de l’estimation du paramètre t en M1 .

Exemple 1
A0 = M0

soit

M1
A2 = M2

A1

X

Y

7
22
42

7
26
24

t estimé en M1 = 0,5

M1

xA1 = (xM1-(1-t)² xA0- t² xA2) / 2t(1-t)= 19,5

A2 = M2

yA1 = (yM1-(1-t)² yA0- t² yA2) / 2t(1-t) = 36,5

2) La tangente en A0 est imposée .

A0 = M0

A1

Dans ce cas il faut calculer le paramètre t en M1 .

Exemple 2 : avec les mêmes points que l’exemple 1 et α0 = 85°

A2

Pour calculer t en M1 il faut résoudre :

{

xM1 = t²(xA0 + xA2 - 2xA1) + 2t(xA1 - xA0) + xA0
yM1 = t² (yA0 + yA2 - 2yA1) + 2t(yA1 - yA0) + yA0
yA1 - yA0
α0 =
xA1 - xA0

α0
A0

t en M1 ≈ 0,630865
xA1 ≈ 9,298 yA1 ≈ 33,268

=> t² ( α0(xA0 - xA2) + yA2 - yA0) + α0(xM1- xA0) + yA0- yM1 = 0
3) La tangente en A2 est imposée .

A1

Exemple 3 : avec α2 = 140°

α2

Calcul de t en M1 :

{

A2

xM1 = t²(xA0 + xA2 - 2xA1) + 2t(xA1 - xA0) + xA0
yM1 = t² (yA0 + yA2 - 2yA1) + 2t(yA1 - yA0) + yA0
α2 =

yA1 - yA2
xA1 - xA2

A0

t en M1 ≈ 0,435382
xA1 ≈ 24,015 yA1 ≈ 39,091

=> t² [ α2(xA2 - xA0) + yA0 - yA2] + 2t [ α2(xA0 - xA2) + yA2 - yA0] + α2(xM1 - xA0) - yM1 + yA0 = 0

4) M1 est le sommet de la parabole .

A1

Il faut donc résoudre à l’aide des équations des dérivées 1ère et secondes :

{
=>

28

xM1 = t²(xA0 + xA2 - 2xA1) + 2t(xA1 - xA0) + xA0
yM1 = t² (yA0 + yA2 - 2yA1) + 2t(yA1 - yA0) + yA0
g’(t)
f ’’(t)
et en posant xA0 = x0 yA0 = y0
=f ’(t)
g’’(t)
xA2 = x2 yA2 = y2
+ t3 [( x0 - x2 )² + ( y0 - y2 )²]
- 3t² [( x0² + x0x2 + x0 xM1 - x2 xM1 ) + ( y0² + y0y2 + y0 yM1 - y2 yM1 )]
+ t [( 3x0² - x0x2 - 5x0 xM1 + x2 xM1 + 2xM1²) + ( 3y0² - y0y2 - 5y0 yM1 + y2 yM1 + 2yM1²)]
- (x0 - xM1)² - (y0 - yM1)² = 0

A2

A0

t en M1 ≈ 0,537706
xA1 ≈ 16,817 yA1 ≈ 35,331

28

b) Cubiques passant par 3 points
5) P1 est fixe et la tangente en P3 est imposée .
Exemple 5 : avec : xP1= 11 yP1= 22 et α3 = 120°

P2

α3

Pour calculer t en M1 il faut résoudre :

{

xM1 = t³ (- xP0 + 3xP1-3φ3 cos(α3) -2xP3 ) + 3t² ( xP0 - 2xP1 +φ3 cos(α3) +xP3 ) + 3t ( xP1-xP0 ) + xP0
yM1 = t³ (- yP0 + 3yP1-3φ3 sin(α3) -2yP3 ) + 3t² ( yP0 - 2yP1 +φ3 sin(α3) +yP3 ) + 3t ( yP1-yP0 ) + yP0

P1

t³ [ α3(xP0 - 3xP1+2xP3)-(yP0 - 3yP1+2yP3 )]
+3t²[ α3(-xP0 + 2xP1-xP3)-(-yP0 + 2yP1 -yP3 )]
+3t [ α3(xP0-xP1)-(yP0-yP1)]
+ α3(xM-xP0)-(yM-yP0)=0

=>

P3

P0

t en M1 ≈ 0,479595
xP2 ≈ 33,679 yP2 ≈ 38,412

Donc xP2 = [ xM1 -(1-t)³ xP0 - 3t(1-t)² xP1 - t³ xP3 ] / [3t²(1-t)] et similairement pour yP2

6) P2 est fixe et la tangente en P0 est imposée .
P1

Exemple 6 : avec : xP2= 40 yP2= 34 et α0 = 60°

P2

Résoudre :

{

xM1 = t³ (2xP0 + 3φ0 cos(α0) - 3xP2 + xP3 ) - 3t² ( xP0 + 2 φ0 cos(α0) - xP2 ) + 3t φ0 cos(α0) + xP0
yM1 = t³ (2yP0 + 3φ0 sin(α0) - 3yP2 + yP3 ) - 3t² ( yP0 + 2 φ0 sin(α0) - yP2 ) + 3t φ0 sin(α0) + yP0

P3

α0

t³[ α0(-xP3 -2xP0+3xP2)-(-yP3 -2yP0 +3yP2)]
=> +3t²[ α0(xP0 - xP2)-(yP0 - yP2)]
+ α0(xM-xP0 )-(yM-yP0) =0

P0

t en M1 ≈ 0,302471
xP1 ≈ 24,472 yP1 ≈ 37,262

Donc xP1 = [ xM1 -(1-t)³ xP0 - 3t²(1-t) xP2 - t³ xP3 ] / [3t(1-t)²] et idem pour yP1

Courbes de Bézier passant strictement par 4 points
Source :

P0 = M0

soit

M1
M2
P3 = M3

Résoudre

{

http://d.krauss.free.fr/documents/Transverses/Bezier/Simulation_Bezier/Simulation_Bezier.htm

X

Y

7
22
36
42

7
26
31
24

Dans ce cas il faut estimer t1 en M1 et t2 en M2
Exemple avec

{

P2
M2

t1 = 0,3 et t2 = 0,7

M1

P3

3t1(1-t1)² xP1 + 3t1²(1-t1) xP2 = xM1 - (1-t1)³ xP0 - t1³ xP3

X
P0

3t2(1-t2)² xP1 + 3t2²(1-t2) xP2 = xM2 - (1-t2)³ xP0 - t2³ xP3

P0
P1
P2

a1

=>

P1

(1-t1) xP1 + t1 xP2 = [ xM1 - (1-t1)³ xP0 - t1³ xP3 ] / [3t1(1-t1)]
(1-t2) xP1 + t2 xP2 = [ xM2 - (1-t2)³ xP0 - t2³ xP3 ] / [3t2(1-t2)]
a2

=>

{

xP1 =
xP2 =

a1 t2 - a2 t1

P3

7

Y
7

25,810 36,873
37,476 35,397
42

24

t2-t1

a2(1-t1) - a1(1-t2)

t2-t1

idem pour les y

NB : toutes ces définitions strictes peuvent engendrer des résultats incohérents ou pas du tout de solutions.
29

29

Lissage d’un polygone par approximation dichotomique.
Pour bien comprendre ma méthode je vais prendre l’exemple d’un quart d’ovale définis par 2 arcs de cercles.

=>

A mon avis, visuellement, le résultat n’est pas correct car je distingue
des «pics» au point de tangence des cercles.
Donc je vais «améliorer» l’effet visuel en lissant le quart d’ovale par une B3.
Dans un premier temps je vais choisir 7 points qui vont me servir pour le lissage.

M4

M5

M6

M7
M4

M3

M5

M6

M7

M1 = P0
M2
M3
M4
M5
M6
M7 = P3

M3

M2

M2

M1

M1

X
0.000
1.502
6.317
12.4
19.349
28.128
40

Y
0.000
6.441
12.215
16.868
20.64
23.613
25

En second je définis les données de départ.

1 A ) En suite avec la formule ( page 29 paragraphe 5
je calcule les paramètres des points M(n) respectifs.

φ3(M2) = || P3 P2(M2) ||
φ3(M3) = || P3 P2(M3) ||
φ3(M4) = || P3 P2(M4) ||
φ3(M5) = || P3 P2(M5) ||
φ3(M6) = || P3 P2(M6) ||

α3

α0

NB : au début P1 = T
Cela me permet de calculer
5 valeurs possibles :

t³ [ α3(xP0 - 3xP1+2xP3)-(yP0 - 3yP1+2yP3 )]
+3t²[ α3(-xP0 + 2xP1-xP3)-(-yP0 + 2yP1 -yP3 )]
+3t [ α3(xP0-xP1)-(yP0-yP1)]
+ α3(xM-xP0)-(yM-yP0)=0
T3

α3

Puis je détermine les
5 normes suivantes :

T0

-1
|| M2 P2(M2) || =w2

|| M3 P2(M3) ||-1=w3

P3

T

α0

P0

|| M4 P2(M4) ||-1=w4
|| M5 P2(M5) ||-1=w5
|| M6 P2(M6) ||-1=w6

Et enfin je fait la moyenne pondérée suivante :

φ3(M2) w2 + φ3(M3) w3 + φ3(M4) w4 + φ3(M5) w5 + φ3(M6) w6 φ3
= (Moyen) => P3 (Moyen)
30

w2 + w3 + w4 + w5 + w6

30

1 B ) De façon similaire avec la formule ( page 29 paragraphe 6
je calcule le P1(moyen) avec le P2 (moyen) précédent
t³[ α0(-xP3 -2xP0+3xP2)-(-yP3 -2yP0 +3yP2)]
+3t²[ α0(xP0 - xP2)-(yP0 - yP2)]
+ α0(xM-xP0 )-(yM-yP0) =0
2 A ) idem 1A avec P1 de 1B etc....
1/4 d’ovale lissé

P0
P1
P2

=>

P3

X

Y

0
0
21.23
40

0
13.2
25
25

φ0 = 13.20
φ3 = 18.77
Le résultat c’est amélioré mais si cela n’est pas encore probant,
il faut effectuer un autre lissage avec un déplacement (interactif)
d’un ou plusieurs points M.
Pour vérifier la précision du lissage je calcule les distances des points M(n) à la courbe de bézier.
|| M2 B3 ||=0.143
|| M3 B3 ||=0.177
|| M4 B3 ||=0.202
|| M5 B3 ||=0.035
|| M6 B3 ||=0.062

NB : voir les détails numériques page 34
ou le fichier Excell à l'adresse suivante
https://drive.google.com/open?id=1WnIhtbCCuQzKSwSH5ci52AoV99vIH6v5

Quelques conseils.
La dichotomie est «simple» pour ce genre de calcul mais à chaque itération il faut vérifier certains points.
1) Les φ ne doivent pas dépasser le point de tangence T si non la courbe aura un

point d’inflexion sur son domaine de définition [0 1] donc bloquer le φ concerné .

2) Le calcul des paramètres t peuvent aussi être hors domaine [0 1]=> attribuer un poids nul
sur le ou les points M respectifs peut y remédier.

3) La convergence de la dicho. peut engendrer un déséquilibre des φ (un φ très petit par rapport à l’autre)
le bloquage du φ concerné avec une valeur équilibrée résout le problème.

4) Quant cela est possible la précision peur être améliorée en faisant varier légèrement un α .

5) Faire en sorte qu’un point d’inflexion soit la fin et ou le début de la courbe à traiter.
J’ai sciament fait le contraire dans l’exemple du lissage (dans le méandre).

31

31

Lissage d’un polygone complexe par 4 points.
échelle 1/2

Dessin d’origine.

M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10
M11
M12
M13
M14
M15
M16
M17
M18
M19
M20
M21
M22
M23
M24
M25
M26
M27
M28
M29
M30
M31
M32
M33
M34
M35
M36
M37
M38
M39
M40
M41

Définition des points de lissage

Courbes Lissées avec raccordements de classe C1

Note importante.
Pour réaliser ce type de lissage il faut à chaque fois determiner les α3 cohérents.
Ils doivent anticiper la courbe suivante => α0(+n) = α3(n-1) +
Voici ma métode.
M3
Je calcule le cercle passant par M3 M4 M5
et je détermine aisément α3.

i

X
1
9.8
24.4
40
54.5
65.2
73.8
86.9
105
125
146
167
183
198
208
213.2
211
204.5
193
171.8
146.3
125.3
118
110.5
104.3
97
91
87
85.2
84.5
82
75
66
60
58.5
58.4
54.8
45
34
25
17

Y
13
27
40
44.2
41.5
34.5
26.6
14
4.5
1.3
1.9
5.5
9.8
15.5
23.2
34.5
46
53.5
62
76.5
92
103.4
106.7
109.5
109.2
105
97.4
87.5
74
64.6
58
53.6
53.9
60
70.6
79
87
93
94.4
93
90

α3
M5
M4

M2

M1

32

32

Courbes Lissées avec raccordement de classe C2 (dans la mesure du possible)
Exemple avec les 2 premières courbes du lissage classe C1
1ère courbe A

2ème courbe B

X

Y

X

1
13
φ0 =11.53 P0
5.829 23.475
P1
P2 19.254 43.596
φ3 =20.75 P3
40
44 A’’en P3 = -2.66605

φ0 =13.43 P0

P1
P2
φ3 =18.48 P3

Y

40
44 B’’en P0 = 0.87972
53.423 44.591
60.302 39.225
74
27

Dés à présent le but est de faire varier φ0 et ou φ3
avec A’’en P3 et à l’aide des formules suivantes :
φ0 de B =

φ3 de B =

A’’( xP3 - xP0) + yP0 - yP3 + φ3 [ cos(α3)A’’ - sin(α3) ]
2 cos(α0)A’’ -2 sin(α0)
A’’ ( xP3 - xP0) + yP0 - yP3 + 2 φ0 [ sin(α0) - cos(α0)A’’ ]
sin(α3) - cos(α3)A’’

Variation de φ0 avec A’’ = -2.66605 * 0,7=-1.86624 et pour φ3 A’’ = -2.66605
2ème courbe B classe C2

X
φ0 =8.69

P0
P1
P2

φ3 =20.34 P3

Y

40
44 B’’en P0 = -2.66605
48.682 44.453
58.945 40.494
74
27

=>

33

33

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

= 40 yP3= 25

T
M2
M3
M4
M5
M6
M7 = P3

34

34

=>

=>

X
0.000
1.502
6.317
12.400
19.349
28.128
40

P1-M2 α0=1.57 rad
P1-M3
1.57
P1-M4
1.57
P1-M5
1.57
P1-M6
1.57
2B

ϕ0= 16.11

ϕ0= 18.31

ϕ0= 16.86

ϕ0= 15.80

ϕ0= 15.29

t 2 = 0.141 ϕ0= 16.37

12.70
t 2 = 0.302
12.70
t 2 = 0.442
12.70
t 2 = 0.580
12.70
t 2 = 0.745
moyenne pondérée

ϕ3= 12.70

ϕ0= 17.35

ϕ0= 20.02

ϕ0= 18.37

ϕ0= 17.11

ϕ0= 16.41

ϕ0= 17.33

0.100
0.142
0.080
0.051
0.035

ϕ3= 9.75

ϕ3= 2.6

ϕ3= 8.7

ϕ3= 15.58

ϕ3= 22.3

0.029
0.034
0.050
0.101
0.372

poid

poid
0.016
0.017
0.023
0.034
0.069

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 16.108

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 18.312

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 16.863

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 15.797

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 15.292

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 16.365

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 17.354

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 20.017

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 18.373

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 17.113

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 16.407

xP0= 0 yP0= 0 xP1= 0 yP1= 17.332

ϕ3= 12.70

ϕ3= 14.2

ϕ3= 11.8

ϕ3= 9.18

ϕ3= 7.0

t 1 = 0.134 ϕ3= 9.7

17.35 t 1 = 0.277
17.35 t 1 = 0.420
17.35 t 1 = 0.572
17.35 t 1 = 0.757
moyenne pondérée

ϕ0= 17.35

25.00 t1(M3) = 0.200
25.00 t1(M4) = 0.312
25.00 t1(M5) = 0.441
25.00 t1(M6) = 0.619
moyenne pondérée

ϕ0= 25 t1(M2) = 0.095 ϕ3= 20.5

poid
0.091
0.132
0.081
0.051
0.035

xT= 0 T0= 25 P2-M2 α3=3.14 rad
yT= 25 T3= 40 P2-M3
3.14
P2-M4
3.14
P2-M5
3.14
P2-M6
3.14

P1-M2 α0=1.57 rad ϕ3= 9.75 t2(M2) = 0.134
P1-M3
1.57
9.75 t2(M3) = 0.288
P1-M4
1.57
9.75 t2(M4) = 0.423
P1-M5
1.57
9.75 t2(M5) = 0.556
P1-M6
1.57
9.75 t2(M6) = 0.721
1B
moyenne pondérée

2A

α0=1.57 rad
α3=3.1 rad

Y
0.000 α0=1.57 rad xT= 0 T0= 25 P2-M2 α3=3.14 rad
6.441 α3=3.1 rad yT= 25 T3= 40 P2-M3
3.14
12.215
P2-M4
3.14
16.868
P2-M5
3.14
20.640
P2-M6
3.14
23.613
1A
Début
25 α3=3.1 rad

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP0= 0

yP1= 25

yP1= 25

yP1= 25

yP1= 25

yP1= 25

yP1= 25

xP2= 30.25

xP2= 42.62

xP2= 48.75

xP2= 55.58

xP2= 62.28

xP2= 60.48

xP1= 0 xP1= 17.35 xP2= 27.30

xP1= 0 xP1= 17.35 xP2= 25.83

xP1= 0 xP1= 17.35 xP2= 28.22

xP1= 0 xP1= 17.35 xP2= 30.82

xP1= 0 xP1= 17.35 xP2= 32.95

xP1= 0 xP1= 17.35 xP2= 30.31

xP1= 0

xP1= 0

xP1= 0

xP1= 0

xP1= 0

xP1= 0

xP2= 27.297 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 27.297 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 27.297 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 27.297 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 27.297 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 27.297 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 30.246 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 30.246 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 30.246 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 30.246 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 30.246 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP2= 30.246 yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

xP0= 0

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

yP2= 25 xP3= 40 yP3= 25

=>

=>

P1-M2 α0=1.57 rad
P1-M3
1.57
P1-M4
1.57
P1-M5
1.57
P1-M6
1.57
2B

t2

12.70
t2
12.70
t2
12.70
t2
12.70
t2
moyenne p

ϕ3= 12.70

P1-M2 α0=1.57 rad ϕ3= 9.75 t2(M
P1-M3
1.57
9.75 t2(M
P1-M4
1.57
9.75 t2(M
P1-M5
1.57
9.75 t2(M
P1-M6
1.57
9.75 t2(M
1B
moyenne p

Rotation d’une courbe en utilisant une formule du « changement de base ».
Il est utile de connaitre cet outil car il permettra de simplifier certaines équations.

Le but est d’effectuer à la courbe une rotation α ayant pour centre de rotation un point Ω
et éventuellement une translation Δx , Δy de cette courbe.
Notation Matricielle

P’

cos α -sin α . (xP - xΩ)
xP’
xΩ + ∆x
=
+ yΩ + ∆y
(yP - yΩ)
yP’
sin α cos α

donc

P’

xP’ = cosα (xP - xΩ) - sinα (yP - yΩ) + xΩ + ∆x
yP’ = sinα (xP - xΩ) + cosα (yP - yΩ) + yΩ + ∆y

Exemple

P

X

Y

P0

P3

45
72
15
75

15
60
45
15

Origine

0

0

Ω 45
15

avec

P2-P0

Δx = -30
Δy = 30

P

X

Y

P0’

15
-18,1
-23,5
25,3

45
85,8
27,1
73,2

P1’
P2’

=>

P3’

Origine’ 19,81 -2,19

P3’

P1’

P1
P2

α = 70°

P0’

P

P1

P

P2’

P2

y
P3

P0
α = 70°

o

x

Opération réciproque

35

P

cos (-α) -sin(-α) . (xP’ - xΩ - ∆x)
xP

=
+ yΩ
(yP’ - yΩ - ∆y)
yP
sin(-α) cos(-α)

ou

P

xP = cos(-α)(xP’- xΩ -∆x) - sin(-α)(yP’ - yΩ -∆y) +xΩ

P

yP = sin(-α)(xP’- xΩ -∆x) + cos(-α)(yP’ - yΩ -∆y)+yΩ

cos (α)
xP
=
yP
-sin(α)

sin (α)
cos(α)

. (xP’ - xΩ - ∆x) + xΩ
(yP’ - yΩ - ∆y)


xP = cos(α)(xP’- xΩ -∆x) + sin(α)(yP’ - yΩ -∆y) +xΩ
yP = -sin(α)(xP’- xΩ -∆x) + cos(α)(yP’ - yΩ -∆y) +yΩ

35

Comment résoudre un équation du 3ème degré ?

ax³ + bx² + c x + d = 0

L’équation se présente sous la forme :

Dans un premier temps nous allons simplifier les termes de cette équation
) on divise tous les coefficients par :

ax³ bx²
a
a

cx² d
a
a

0

a
=>

x³ + Bx² + C x + D = 0

(

)

) on change de variable en posant : x = z − B
3

(

=> 1 z − 3B

)

3

(

)

+ B z − 3B

2

(

) En développant et simplifiant =>

p=

avec :

(

²
C B
3

(

Δ

Le discriminant

)

+ C z − 3B + D = 0

et

de

q=

z³+ p z + q = 0

( 272B³

D BC
3

z³+ pz + q

)


= q² + 4
27

Le signe et la valeur du discriminant impliquent

ͳer cas : si

Δ>0
x1 =

Exemple 1

=>

cas

il existe ͷ racine réelle :

3 -q+ Δ

2

3 -q - Δ

2

B
3

2x³ + 3x² + x +1= 0

z³ − 0,25z + 0,5 = 0

Δ ≈ 0,25

x1 ≈ -1,398
36

36

Δ=0

ʹ ème cas : si

x1 =

3q B
p −3

x1 =
x2 =
x3 =

=>

3q B

2p 3

x1 = 13
x2 = x3 = 1

z³−48z−128 = 0 Δ = 0

2

2

2

il existe ͹ racines réelles :

Δ<0

͵ ème cas : si

Exemple 3

x2 = x3 = -

x³ - 15x² + 27x - 13 = 0

Exemple 2

=>

il existe ͸ racines réelles :

-p
3

-p
3

-p
3

cos

cos

cos

(
(
(

Arccos

(

3q
2p

(

-3
p

( +2¼

-3
p

( +4¼

3
Arccos

(

3q
2p

(

-3
p

− B
3

3
Arccos

(

3q
2p

3

(
(

−B
3
−B
3

2x³ - 3x² - 4x + 2 = 0

z³ − 2.75z − 0.25 = 0

Δ ≈ -3,02

x1 ≈ 2,02
x2 ≈-1,11
x3 ≈ 0,41
37

37



Documents similaires


courbes de bezier   formulaire 20 09 2019  v3
longueur courbe
fonction exponentielle 4eme sc techniques
correctiondevoir2
chapitre 5 2
lw503ru