Examen blanc 2 sm 10.06.2022 Mr. ELABBASSI... Lycée Ibn Abdoun..Khouribga

Examen national blanc
Proposé par Mr.EL ABBASSI Mohammed
10 /06/2022
Lycée Ibn Abdoun - Khouribga
Matière
Mathématiques

Branche
Sciences mathématiques A & B

Durée : 4h
Coefficient : 9

INSTRUCTIONS GENERALES
 Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient ;
 L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
COMPOSANTS DU SUJET
L'épreuve est composée de 5 exercices indépendants
Exercice 1

Nombres complexes

3.25 points

Exercice 2

Arithmétique

3.25 points

Exercice 3

Les structures

3.75 points

Exercice 4

Analyse 1

3.75 points

Exercice 5

Analyse 2

6 points

Les calculatrices sont strictement interdites

Mr.EL ABBASSI Mohammed

1/4

Exercice 1

Soit m C

Partie I

.050

Considérons dans C l’équation  Em  : z 2  2 z 1 m2  0
1) Résoudre dans C l’équation  Em  .

0.50

2) Déterminer les valeur de m pour lesquelles le nombre e 3 soit solution de  E  .

0.50

i

3) Déterminer l’ensemble des points M  m tels que les deux solutions de  E  aient
même module.
Partie II
On considère dans le plan complexe P , rapporté à un repère orthonormé direct
O, u, v , les points : M  m  , A  a  1  im  et B  b  1  im  .





0.25

.050

mb
.
a b
b-Déterminer l’ensemble des points M  m tels que les points M , A et B
soient alignés.

1) a- Calculer, en fonction de m , le nombre complexe

2) On suppose que

.025
0.25

.050

m  Re  m   0 .
2

Soit r la transformation du plan qui associe à tout point M  z  le point M   z tel
que z  iz 1 .
a- Montrer que transformation r est une rotation en déterminant son centre 
et son angle.
2
mb
 iR  m  Im  m .
b- Montrer que :
a b
c- Déduire l’ensemble des points M  m  pour que les points M , A , B et  soient
cocycliques.
Exercice 2
Les parties I et II sont indépendantes
Partie I

0.25

.050

1) a- Montrer que le nombre 151 est premier.
b-Résoudre dans Z2 , en indiquant les étapes, l’équation  E  : 151x  30 y  1 .
 X  2 151
.
X

3
30



 


2) Considérons dans Z le système  S  : 
0.25
0.25

a- Soit X 0  Z , montrer que si X 0 est une solution particulière de  S  alors
l'ensemble des solutions de  S  est S   X 0  4530k / k  Z .
b- Vérifier que 153 est une solution particulière de  S  , puis donner l'ensemble
des solutions de  S  .

Mr.EL ABBASSI Mohammed

2/4

Partie II
0.50
0.25
0.25
0.50
0.25
0.25

Pour tout n N , on pose Nn  11...1 , le chiffre 1 figure n fois .
1) a- Montrer que pour tout n N , Nn n’est divisible ni par 2 ni par 5 .
b- Montrer que  n N  Nn est divisible par 3 si et seulement si n est divisible par 3
2) a- Montrer que  n N  9 N n  10n 1 .

b- Montrer que  n N  N 6n est divisible par 7 .

b- Soit n N , montrer que si Nn est divisible par 7 alors n est divisible par 6 .
c- Montrer que n  2 N n  11 20 .
Exercice 3





On rappelle que M 2  R  , , est un anneau unitaire non commutatif





et que M 2  R  , ,. est un espace vectoriel réel.
 0 1
1 0 
y 
 x
I

J

.
On
pose
et





 0 1
y x  y


 1 1

Pour tout  x, y  R 2 , on pose M  x, y   

On considère l’ensemble E  M  x, y  /  x, y   R 2  .On pose E   E \ O2  et  R2   R2 \  0,0 .


Partie I
0.25



.

1) a- Montrer que l’ensemble E est un sous espace vectoriel de M 2  R  , ,.

0.50

b- Montrer que la famille B   I , J  est une base de E , puis déterminer dim E .

0.50

c-Vérifier que J 2 E , et déterminer les coordonnées de J 2 relativement à la base B

0.25

2) a- Montrer que E est stable dans M 2  R  ,

0.25
0.50
0.25



.

b- Montrer que la loi  est commutative dans E .
3) a- Soit M  M  a, b   E .

Montrer que M inversible dans E si et seulement si  a, b    0,0  , puis déterminer M 1 .

b- Montrer que

 E, , est un corps commutatif .

Partie II
On munit R 2 , de la loi de composition interne T définie par :
  a, b  R 2 ,   x, y  R 2 :  a, b  T  x, y    ax  by, bx   a  b  y  .
0.25



1) Montrer T définie bien une loi de composition interne sur  R 2 

.



2) Considérons l’application :

f : R 2   E 

 x, y 

f  x, y   M  x , y 

 R  ,T  dans  E , .




0.25

a- Montrer que f est un isomorphisme de

0.25

b- Soit f 1 la bijection réciproque de f , montrer que f 1 est un isomorphisme de

 E  , dans   R 



2

2



,T .

 R  ,T  est un groupe commutatif .


0.25

c- Déduire que

0.25

d- Soit  a, b    R 2  , déterminer  a, b  le symétrique de  a, b  dans  R 2  ,T

Mr.EL ABBASSI Mohammed

2



3/4





.

Exercice 4
0.50
0.50
0.50
0.50
0.50
0.25
0.50
0.50

nx

Pour tout n N , considérons la fonction f n définie sur ,0 par : f n  x   e 2 .
x

1) Etudier les variations de f n pour tout n N .
2) a- Montrer que pour tout n N , l’équation f n  x   1 admet dans ,0 une
solution unique xn .
b-Montrer que la suite  xn n1 et strictement croissante, puis déduire qu’elle est
convergente.
3) a- Montrer que n  2: 1 xn  1 .
n

b- Montrer que n  2: xn   2ln n .
n

x 0.
c- Déduire que nlim
 n

4) a- Montrer que n  2 : nxn  ln xn2
nxn .
b- Déduire la valeur de nlim


.

Exercice 5
Partie I Considérons la fonction f définie sur R par : f  x   ln x  1  x 2 et soit





C f  sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,i, j 

0.25
0.50
0.50
0.25
0.25

1) a- Montrer que f est impaire .
b- Calculer xlim
f  x  et interpréter le résultat graphiquement .

2) a- Montrer que  x R  f   x  

0.50
0.50
0.50
0.25
0.50
0.75
0.50
0.25

1
et dresser le tableau de variations de f .
1  x2

 

b- Donner l’équation de la tangente    à C f au point d’abscisse 0.

 





c-Tracer    et C f dans le même repère O, i, j .
Partie II
Considérons la fonction F définie sur R par :
F  0  ln2 et x R  F  x    2 x f 2t  d t et soit  CF  sa courbe dans le même repère O, i, j
x

0.50

.

1) Montrer que F est paire .
2) a- Montrer que x   0,   




t



2

:  x  ln 2  F  x   ln 2 .

4

b- Etudier la continuité et la dérivabilité de F à droite en 0 .
3) a- Montrer que x   0,    : f  x   F  x   f  2 x  .


2x
2x

b- Etudier la nature de la branche infinie de  CF  au voisinage de  .

4) a- Montrer que F est dérivable sur 0, , puis montrer que  x  0,   F '  x  

f  2x   2 f  x 
.
2 x2

b- Montrer que la fonction f  est strictement décroissante sur 0,   , puis

 

déduire que  x  0,   f   2 x   f   x  , puis déduire que  x  0,   f 2x 2 f  x  .

c-Etudier les variations de F sur 0,   puis dresser son tableau de variations sur R .





5)– Tracer , avec une autre couleur,  CF  dans le même repère O, i, j .

Mr.EL ABBASSI Mohammed

4/4