Examen blanc 2025 2sm proposé par Mr. ELABBASSI... Lycée Ibn Abdoun...Khouribga. 24 mai 2025..

Direction provinciale de Khouribga
Lycée Ibn Abdoun - Khouribga

Examen blanc
Proposé par Mr.EL ABBASSI Mohammed

Matière
Mathématiques

Branche
Sciences mathématiques A & B

Durée : 4h
Coefficient : 9

INSTRUCTIONS GENERALES
 Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient ;
 L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
COMPOSANTS DU SUJET
L'épreuve est composée de 5 exercices indépendants
Exercice 1

Les structures

3.50 points

Exercice 2

Arithmétique

3 points

Exercice 3

Nombres complexes

2.75 points

Exercice 4

Analyse 1

3.75 points

Problème

Analyse 2

7 points

Les calculatrices sont strictement interdites

24 mai 2025
Mr.EL ABBASSI Mohammed

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lycée Ibn Abdoun - Khouribga

Exercice 1 ( 3.50 pts )
On rappelle que

M

2

 M  R , , est un anneau unitaire non commutatif et que
2

 R  , ,. est un espace vectoriel réel. On pose   1 i

 1 1 
1 0 
 x y  y 
Pour tout  x, y   R 2 , on pose M  x, y   
 et J  

 . On pose I  
x  3y 
5y
 5  3
 0 1





On considère l’ensemble E  M  x, y  /  x, y   R 2 .On pose E   E \ O2  et

 R2   R2 \ 0,0 .


Partie I
.050
.075
0.50

1) a- Montrer que l’ensemble

E est un espace vectoriel réel.
b- Montrer que la famille B   I , J  est une base de E , puis déterminer dim E .

2) Vérifier que

J 2 E , et déterminer les coordonnées de J 2 relativement à la base B .

Partie II
.025

.025
.050
0.25

.050

  1,  est une base de l’espace vectoriel C , ,. .
f :C  E
2) Considérons l’application :
z  a b
f  z   M  a, b 
avec  a, b  est le couple des coordonnées de z relativement à la base  .
a- Vérifier que f    J .
b-Montrer que f est un isomorphisme de  C ,  dans  E, .
c- Déduire la structure de  E, .
3) Déterminer le couple des coordonnées de J 2025 relativement à la base B .
1) Montrer que la famille

Exercice 2
0.25

.025
0.5

.025
.025
0.5

0.50
0.50

( 3pts )

1) On considère dans Z2 l’équation  E  : 133x  162 y  1 .
a- Montrer que 162 et 133 sont premiers entre eux.
b- Vérifier que le couple  67,55 une solution particulière de  E  .
c- Résoudre dans Z2 l’équation  E  en indiquant les étapes.
2) a- Montrer que le nombre 163 est premier.
b- Montrer que a 1,2,...,162 : a162  1 163 .
c- Montrer que   a, b   1, 2,...,162 : a133  b133 163  a  b .
2

Z l’équation  E  : x133  162 163
a- Montrer que si x est solution de  E  alors il est premier avec 163 .
b- Résoudre dans Z , puis dans 1,2,...,136 l’équation  E  .

3) Considérons dans

Mr.EL ABBASSI Mohammed

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Exercice 3 ( 2.75 pts )

Soit m  C 

Partie I

C l’équation  Em  : z3  m 1  i 3  z 2  m2 1  i 3  z  m3  0
Vérifier que m est solution de l’équation  Em  , puis Résolvez la dans .
Considérons dans C l’équation  Fm  : z 2  im 3 z  m2  0 .

Considérons dans
0.75

1)
2)

0.25

a- Déterminer sous forme algébrique les deux valeurs de m pour lesquelles le nombre
i

e 6 soit solution de  Fm  .
0.50

b- Déterminer sous forme algébrique les valeurs de m pour lesquelles le produit des
deux solutions de  Fm  soit égale à  3  4i .

Partie II
On considère dans le plan complexe P , rapporté à un repère orthonormé direct




 
 
O, u, v , les points :   m  , A  a   1  i 3  m  et B  b   1  i 3  m  .
 2  
 2  


et soit R une rotation de centre   m  .





  m  appartient à la médiatrice du segment  AB

0.25

1)a- Montrer pour tout m  C  le point

0.25

b-Existe-t-il de valeur de m pour laquelle le triangle AB est équilatéral? Justifier votre réponse

0.25

2) Déterminer l’angle de la rotation

0.50

3) Soit n N* \ 1,2 , déterminer l’ensemble des points

Exercice 4

R

sachant que

R  A  B .

  m  tel que mn  b .

( 3.75 pts )

Pour tout nN ,considérons la fonction f n définie sur l’intervalle 0,1 par: f n  x    ent dt   ent dt
 
0
x
1) Montrer que f n est strictement croissante sur 0,1 .
 
x

0.50
0.50





2) Montrer que n N ! xn   0,1 tel que

xn nt 2

0

1

2

1

2

e dt   ent dt .
2

xn

3) Considérons la suite  xn  définie implicitement comme indiqué dans la question précédente.
0.25

a- Donner la valeur du premier terme x0 . ( en justifiant votre réponse)

0.75

b- Montrer que la suite  xn  est strictement décroissante, puis déduire qu’elle convergente.

0.25

c- Montrer que n N on a :
4) Posons

l  nlim
x .
 n

1

x e

0.25

a- Montrer que n N : xn  l .
b- Montrer que 0  l  1.

0.50

c- Supposons

0.25

0.50

 nt 2

dt  1 .

n

l

ent dt   .
l0 et montrons que nlim
 
2

0

d-Déduire que lim xn  0 .
n

Mr.EL ABBASSI Mohammed

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Problème ( 7 pts )
Partie I
Considérons la fonction f définie sur

R par : f  x   e x  1
x

e 1

 

.





et soit C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé O, i, j . ( i  j  2cm )
0.25
0.25

1) a- Montrer que f est impaire.
b- Etudier les variations de f sur R .

0.25

2) Calculer lim f  x  , puis interpréter le résultat obtenu graphiquement.

0.25

3) Montrer que  x  R   : f  x   x .

0.50

4) a- Montrer que f réalise une bijection de

0.50
0.25
0.50
0.25

x 

b-Soit

R vers un intervalle J à déterminer.
f la fonction réciproque de f , calculer f 1  x  pour tout x  J .

  au point d’abscisse 0.
b-Tracer dans le même repère    ,  C f  et  C f  .
6) Calculer en cm la valeur de l’aire de la partie du plan délimitée par  C f  , l’axe des
5) a-Donner l’équation de la tangente    de C f

1

2

1

abscisses et les droites d’équations : x  0 et x 

e 1
.
e 1

Partie II
1
Considérons la fonction F définie sur R par : F  x  
x
0.50
0.25
0.25
0.50

1) Montrer que

F est impaire .

2) a- Montrer que  x  0,   :

4 x2

 f  t  dt , si x  0 et F  0  0 .

x2

3xf  x2   F  x   3xf  4x2  .

b- Déduire que F est continue à droite en 0.
c-Etudier la dérivabilité de F à droite en 0, puis interpréter le résultat obtenu graphiquement





c  , puis redéduire que F est

0.50

3) Montrer que  x  0,   c   x,2 x  : F  x   2cf

0.50

continue à droite en 0.
4)Calculer lim F  x  ,puis lim  F  x   3x  ,ensuite interpréter le résultat obtenu graphiquement .

0.25

5) a- Montrer que

x 

2

x 

F est dérivable sur l’intervalle 0, 

b- Montrer que  x  0,   :

.

F   x    F  x   8 f  4 x2   2 f  x2  .

0.25

1
x
c- Montrer que  x  0,   : F   x   5 f 4 x2  2 f x2 .

0.25

d- Déduire que

0.50

0.25

 

 

F est strictement croissante sur 0,   .





6) Tracer  CF  dans un repère orthonormé O, u, v .

End

Mr.EL ABBASSI Mohammed

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