Le sujet et son corrigé du concours d'accès aux ENSA Maroc 2022 . Mr.ELABBASSI Med

Corrigé du concours national commun
d’accès aux Ecoles des Sciences
Nationales Appliquées ( ENSA )
Juillet 2022

Fait par
Mr.EL ABBASSI Mohammed
Professeur de Mathématiques
Au lycée Ibn Abdoun- Khouribga

Epreuve de Maths
28 juillet 2022

1

Introduction
Chers élèves, Croyez-moi, un concours se prépare toute
une année et non seulement pendant les derniers jours
qui précèdent la date de ce concours. Il faut travailler à
former une bonne culture mathématique, cumuler le
maximum possible de connaissances : notions, formules,
théorèmes, techniques et méthodes. L’épreuve de maths
de cette année, comme celles des années précédentes
exige une bonne compréhension du programme et
beaucoup d’entrainement.
Enfin, je tiens à vous dire que dans un concours de courte
durée c'est très rare de tout traiter, l'important c'est de
travailler avec stratégie et méthode, savoir faire le bon
choix des questions relativement faciles,à traiter d’abord,
puis de passer aux questions relativement difficiles et
sacrifier quelques unes si c’est nécessaire ( faute de
temps).
Il ne reste plus qu’à vous souhaiter bonne chance et bon
courage.
NB : La question 16 est mal posée, les propositions sont indépendantes de la question ?!

Mr.EL ABBASSI Mohammed

2

Q1

Sachant que 112 121, déduire la valeur de 1111111112 ?

On a :

111111111  110000000  
2

2

11107



2

 112 1014  12100000000000000

Remarquons que 12100000000000000 est un entier de 17 chiffres et
comme tous les entiers proposés contiennent moins de 17 chiffres sauf celui
proposé dans ©.
Alors, il fallait cocher la case C .

Q2

Le nombre de diviseur de l’entier N  546 840 est ?

La décomposition en facteurs premiers de N est: N  24 32 51  72 131 , donc
son nombre de diviseurs est : Nd   4 1   2 1   2 1  11  11  5 9  4  180
D’où il fallait cocher la case

A .

Q3

La négation de l ' assertion:" f est la fonction nulle"?
Il fallait cocher la case D .

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga
3

Q4





La solution de l 'équation  E  :ln  x2 1  ln 2 x 1  ln 2  0?




x  DE  x2 10 et 2x 10 , donc DE  1,  .

Soit x  1,   , on a :



   ln  2 x 1

x  S  ln  2 x 2 1






 2 x 2 1  2 x 1

1
  x  
2


2






1
3

2
2
1 3
 x
2

 x

3 
2 

2

( car x 

1
0 )
2

D’où il fallait cocher la case B .
k 2022k 21k  ?

Max C22

Q5

k 0,22





On a : k  0,22 : uk

k
 C22
2022k 21k

 20

22

k  21 
C22


20 





k

.

Etudions la monotonie de la suite finie uk 1k 22 , comme Cnk 1  n  k Cnk ,alors on a



k 





0,21 


Comparons

u
: k 1 
uk



k 1 21
C22


 20 



k 1

k 1



21
k
C22


20



k



22  k 21

k 1
20

uk 1
avec 1 , on a :
uk

 444

41
k
uk 1
21 22  k   20  k  1 444  41k
22  k 21
41


1 

1 


uk
k  1 20
20  k  1
20  k  1
20  k  1

On a : 10 444  10  34 11 , donc la suite finie uk 1k 22 est strictement
41
41

croissante sur 0,11 et strictement décroissante sur 11,22 , d’où

Max u   u11 .
k 0,22

k

D’où il fallait cocher la case D .
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga
4

n 2
lim
n 
n

Q6
On a : nlim
n  nlim


n

2

2
n
n

 nlim


D’où il fallait cocher la case

2 ln n
 
n
e

?

 nlim
e


2

ln  n
n

 e0  1

A .

lim n   n  5 n  7  ?

Q7

n

On a :

lim n   n  5 n  7   nlim
n
n



NB : 1 x 1 1 x
0

2

n2 12n  35 



 12 35  
1    2  1
 n n  


lim  n 
n 

 1  12 35  
35
lim
 n       lim  6 
 6
n
n
2 n n
2n
 

2



( notion de fonctions équivalentes au voisinage de 0 )

D’où il fallait cocher la case B .

Q8

 ln 1  x   x

, si x 0
x2
ax  b , si x  0


Soit la fonction définie sur f tel que f  x   

,

Déter min er parmi les propositions proposées celle qui constitue
une condition nécessaire et suffisante pour que f soit continue en 0
On a :


2
x2   1    x  
x  x  x2  x   x
 2
 1
2
lim f  x   lim

lim

2
x0
x0
x0
2
x
x2
NB : ln 1 x   x  1 x2  x2  x  , avec lim
  x   0 . ( développement limité à l’ordre 2 de la
x0
2
fct :

x  ln 1  x  au voisinage de 0 )

f  x   lim f  x   b  1 . On vient que a
f continue en 0  xlim

0
x0
2

D’où il fallait cocher la case D .

est quelconque

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga
5

si f  x  

Q9

x 1

On a :

 x 1
4
9
 x  2   x  3
3

f 6  x 



 





 x  2   x  3
2

3

alors

2

f  x  ?

f 6  x    x  24  x  39    x 13








f 6  x    x  2 4  x  39      x 13 






 6 f  x



f 5  x    x  24  x  39   f 6  x    x  2 4  x  39 


 x 1

3

 6 f  x

f  x

 x 1

f  x

 x 1





f 6  x   x  23  x  38  4  x  3  9  x  2   3  x 12





 x 1
 4  x  3  9  x  2  3 x 12
f  x   x  2  x  3

  x  1 6 f   x 


 6 f  x



f 6  x   4  x  2 3  x  39  9  x  2 4  x  38   3  x 12

3

 6 f  x



2



3

 6 f  x



 3  x  1

3




1
1

4  x  3  9  x  2     3

f  x   x  2  x  3


1
3  13x  30  3x 2  15 x  18  13x 2  30 x  13x  30

f  x  x  1  x  2  x  3
 x  1 x  2  x  3

 f  x 

f  x   2    5 x

2



 x  24 
 

6  x 1 x  2  x  3

5 x 2  x  24
3 x 1

3

 x  2   x  3
5

5

D’où il fallait cocher la case D .
Q10

Si f est la fonction définie sur 0,  par : f  x   xe x alors
léquation de la tan gente    de  C f 1  au po int d ' abscisse e est ?






 













 





On a    : y   f 1  e  x  f 1  e    f 1  e   e






On remarque que f 1  e , donc f 1  e  1 . On a f   x   1 x  e x , donc f  1  2e

On a : f 1  e  1  1
f  1 2e

 

.

D’où il fallait cocher la case

Donc    : y  1 x 1 1  1 x  1
2e
2 2e 2

A .

Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga
6

Q11

1 x2 dx  ?
0 1 x2
1

On a :
1 x2
0 1 x2
1

1

dx   

2 1 dx   2 Arc tan x  x 1
 

2



0

0  1 x

 2 Arc tan 1 1  2 
1   1
4
2

D’où il fallait cocher la case B .
Q12


1



n

x2 1 dx ?

1

On a :
I4 


1
1

1

 dx  2 (   4    6    4  x  1)dx

x 2 1

 2 (

4

1

x2

4

x2

3

x2

2

2

0

1

)dx  2  1 x8  74 x7  65 x5  4 x3  x 
3
9
0

x8  4 x6  6 x4  4 x2 1

0





 2  1  4  6  4 1  2  35 180  378  420  315   2  128  256
315
315 315
 9 7 5 3




D’où il fallait cocher la case D .

cos     ?


Q13



16 












1cos 2 







 , donc
On a :  0,   cos   
2





2  


cos    











16 



8 

2

1cos  
4


1 2 2
2
4  2 2 2  1 2 2 2

2
2
2
4




1cos  



1



alors il fallait cocher la case D .
Mr.EL ABBASSI Mohammed - professeur de Maths au lycée Ibn Abdoun-Khouribga
7

Q14
La forme a lg ébrique du

1
3
nombre complexe   i 
2 
2

On a :
1
3
 i

2
2 


2023

 i
  e 3



D’où il fallait cocher la case

36741






i 674  i


e3

e

2023

est ?
i
3

 1 e

 1 i 3
2
2

A .

Q15

Si z  3  i alors z5  ?
On a :

z   3 i 
5

5

 
  2 

 

i 5
5
i

2 e e 6

5






 

3  1 i     2ei6   25 ei 56  25 ei   6



5

2

2






 i 5 
4
 2  2e 6   16











z

D’où il fallait cocher la case C .

Q16

La question 16 est mal posée, les propositions
sont indépendantes de la question ?!

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8

Q17
5
La solution de l ' équation diff y  y  y  0 qui réalise les deux conditions : y  0   4 et y  0   6 est ?
2

On a :   9  3i  , r1   1  i 3
2

2

2

et

r2  r1
1x 



Donc y  y  5 y  0  x  R  y  x   e 2  cos  3 x    sin  3 x   /  ,   R 2


2



 x  R  y  x   e



2 

 2 

1x 
2 

3 
 3   3
3  3
 3 
1
  cos  x    sin  x       sin  x    cos  x   
 2
2 
 2   2
2  2
 2   



Donc

  3

 6
2


8

    4 et   
3


 y  0   4 et y  0   6      4 et
D’où il fallait cocher la case D .

Q18

Si  P  :2 x  y  2 z  2  0 et  S : x 2  6 x  y 2  z 2 10 z  2  0 et

 D  la droite passant

 

 

par le centre de S tel que  D   P

alors une représentation paramétrique de la droite  D  est ?

On a  S :  x  3   y  0   z  5  62 , donc  S   S   3,0, 5 ,6 
2

2

2

 

n  2, 1, 2 est un vecteur normal au plan P .





Comme  D  est la droite passant par  3,0, 5 et de vecteur directeur
n  2, 1, 2 alors l’une de ses représentations paramétriques est celle

proposée dans (A)
D’où il fallait cocher la case

A .

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9

Q19

La probabilité pour que l ' élève ingénieur choisi soit une fille ?

F
30
100
70
100

Csc
60
300

G
60
100

90
300

F

Csp
40
100

150
300

72
100

G

F

Cenv
28
100

G

On a : P  F   P Csc  PCsc  F   P Csp  PCsp  F   P Cenv  PCenv  F  (Formule des probabilités totales )


60 30
90 60 150 72 18 00  54 00  108 00 180 3







  0, 6
300 100 300 100 300 100
300 5
300  100

D’où il fallait cocher la case C .

Q20
La probabilité pour que l ' élève ingénieur choisi soit inscrit au c lub Environement sachant qu ' il est un garçon ?

On a :
PG Cenv  



P G  Cenv
P G 

 28 300  100
  P C   PC G   150
300 100 

42 00

env

P G 

(

env

0,4

Signalons que

4
10

42 0
7

 0,35
20
30 0  4

P  G   1 P  F  )

D’où il fallait cocher la case B .
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10

End
Toute remarque ou suggestion de votre part sera la bienvenue
Email : elabbassimed2014@gmail.com

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11