Td 19 Suites arithmetiques et geometriques

Jean-Fran¸cois Hachelouf

1

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T.D. N◦ 19 : SUITES ARITHMETIQUES
ET GEOM
ETRIQUES.
Exercice 1
1. D´emontrer que les nombres suivants sont en progression arithm´etique :
a
x + a − 1 x2 + a − 1
;
;
.
x+1
2x
x(x + 1)
2. D´emontrer que si (a, b, c) est une progression arithm´etique, il en est de mˆeme de (a2 − bc, b2 −
ca, c2 − ab). Etudier une r´eciproque.
2 2 2
3. 
D´emontrer que si (a
, b , c ) est une progression arithm´etique, il en est de mˆeme de :
1
1
1
,
,
. Etudier une r´eciproque.
b+c c+a a+b

4. Un mobile M est en chute libre le long d’un axe vertical Ox. A la date 0, M est en O avec
une vitesse initiale de mesure alg´ebrique v0 . Soient M0 , M1 , M2 , ..., Mn les positions de M aux
dates t0 > 0, t1 , t2 , ..., tn telles que pour tout entier naturel n, tn − tn−1 = h > 0. D´emontrer que
M0 M1 , M1 M2 , M2 M3 , ..., Mn Mn+1 est une progression arithm´etique. Connaissant h et la raison
de cette progression, d´eterminer l’acc´el´eration de la pesanteur. (d´etermination stroboscopique
de l’acc´el´eration de la pesanteur.)
5. On donne deux nombres a et b. D´eterminer x afin que la progression suivante soit arithm´etique
: (1 + x)2 , (a + x)2 , (a2 + x2 ).
6. D´eterminer trois nombres x, y, z tels que (x, y + 4, z + 32) soit une progression g´eom´etrique.
7. D´eterminer quatre nombres en progression arithm´etique connaissant leur somme S = 12 et la
somme de leurs carr´es S1 = 116.
8. Soient a, b, c trois r´eels distincts, a ´etant non nul. On suppose que a, b, c sont en progression
arithm´etique et que 3a, b, c sont en progression g´eom´etrique.
Que dire de la raison de cette progression g´eom´etrique ?
Exercice 2
1. Sachant que (un ) est une suite arithm´etique, exprimer un en fonction de n dans les cas suivants.
3
;
2

(a) u0 = −6 et r =

2
et u11 = 0 ;
3
(c) u0 = 1 et u0 + u1 + ... + u100 = 2.

(b) u3 =

2. Sachant que (un ) est une suite g´eom´etrique, exprimer un en fonction de n dans les cas suivants.
1
;
5
1
=
;
16

(a) u1 = 5 et q = −
(b) u3 =

3
et u10
16

Jean-Fran¸cois Hachelouf

2

(c) q = 2 et u0 + u1 + ... + u12 = 24573.
Exercice 3
1. Calculer les sommes suivantes :
√
√
k
n
20 
X
X
1
5
19
4 2 3
27 3 81
1
; Sn = +1+ ...+ +7 ; Sn = +
Sn =
+1+...+
+
.
(2k+1) ; Sn =
−
2
3
3
3
3
3
128 256
k=1

k=3

3
2. La suite u est une suite arithm´etique de raison .
2
Pr´eciser uo et l’entier p tels que : u6 = 4 et u4 + u5 + ... + up = 682, 5.
3. La suite u est une suite arithm´etique de raison 7.
Pr´eciser uo et l’entier p tels que : up = 4 et u0 + u1 + ... + up = −1309.
4. R´esoudre dans IR l’´equation :

1+
On posera : q =

x+1
x−1




+

x+1
x−1

2


+

x+1
x−1

3
= 0.

x+1
.
x−1

5. Soit la suite de terme g´en´eral :
un =
Calculer la somme :

3n − 4n
.
3n + 4n

1
1
1
1
+
+
+ ... +
.
u1 − 1 u2 − 1 u3 − 1
un − 1

6. On consid`ere la suite u dont les premiers termes sont :
2
22 22 23 23 24
1 2
;
; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; ...
3 3 3
3
3
3
3
3
Calculer la somme S = u0 + u1 + ... + un .
Exercice 4
Un ´eleveur poss`ede plusieurs centaines de cochons, qu’il m`ene au march´e. Au premier client, il vend
la moiti´e de ses cochonc plus un cochon ; au deuxi`eme client, il vend la moiti´e du reste plus deux
cochons ; et ainsi de suite, jusqu’au dernier qui, en respectant le proc´ed´e de vente de l’´eleveur, lui
ach`ete exactement le nombre de cochons restants. Peut-on savoir combien de cochons l’´eleveur a
conduit au march´e ?
Jeux et Strat´
egies, num´
ero 15.