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[COURS DE MATHEMATIQUES NIVEAU TC] 15 juin 2012

Chapitre :

ISOMETRIES PLANES

I.

GENERALITES
1. Définition
On appelle isométrie du plan toute transformation plan dans lui-même qui conserve les
distances ; c'est-à-dire que si f : P P est une isométrie plane alors pour tous points A et B
du plan P tels que f ( A) A ' et f ( B) B ' on a AB A' B' .
Exemple :
Les symétries orthogonales, les translations, les rotations sont des isométries du plan.
Exercice -1:
Soit f une application du plan P dans lui-même définie par l’expression analytique suivante :
1
(3x 4 y 4)
5
. Montrer que f est une isométrie.
1
y'
( 4 x 3 y)
5

x'

2. Conservation du produit scalaire
Propriété :
Soit f une transformation du plan. f est une isométrie si et seulement si f conserve le produit
scalaire
3. Conservation du barycentre
Propriété :
Soit f une isométrie du plan , (A,) et (B,) deux points pondérés de barycentre G. Le point
f (G ) est le barycentre des points pondérés ( f ( A), ) et ( f ( B), ) .
Conséquences :
Toute isométrie conserve :
L’alignement des points ;
L’orthogonalité et le parallélisme des droites ;
Le contact d’une droite et d’un cercle , de deux droites ou de deux cercles ;
Les aires des surfaces planes,
La nature des figures géométriques ( droites, triangles, quadrilatères, cercles, coniques…).
Exercice -2:
AB du cercle circonscrit au
Soit ABC un triangle équilatéral direct, () l’arc 

triangle ABC ne contenant pas C ; M le point de (). Soit I le point du segment
[MC] tel que MA = MI et r la rotation de centre A et d’angle

3

.

Montrer que MB = IC et que déduisez que MA + MB = MC.

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II.

COMPOSITION D’ISOMETRIES
1. Composée de deux isométries
Propriété :
La composée de deux isométries est une isométries.
2. Rappels
a) Composition de deux symétries orthogonales :
Propriété :
Soit (D) et (D’) deux droites du plan ; la composée S( D)  S( D ') est :
- une translation si ( D)  ( D ') ;
- une rotation si (D) et (D’) sont sécantes.

Figure 2 : S( D ')

Figure 1 : S( D ')

 (M )
 S( D) (M ) t2 
M ''
AB

 S( D) (M ) r

 

( A;2( AI , AJ ))

(M ) M ''

b) Composition de rotations :
Propriété :
Soit r ( A; 1 ) et r '( B; 2 ) deux rotations. La composée r ' r est :
- une translation si A B et 1 2 0 ,
-une rotation si 1 2 0 .

Figure 3 :

Figure 4 :

r '( B,

)

 r( A,  ) (M ) M '' ; r '( B,

 
MM '' AA '

)

 r( A,  ) ( A)

A'

r '( B,  )  r( A,  ) (M ) M '' ; r '( B,  )  r( A,  ) ( A)
2

1

2

A''

1

[MM ‘’] et [AA’’] ont des médiatrices sécantes

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3. Décomposition d’une translation
Propriété :


Soit t une translation de vecteur u non nul et (D) une droite de vecteur normal u . Il existe
une symétrie orthogonale d’axe (D’) parallèle à (D) telle que :
tu S( D ')  S( D) ou, tu S( D)  S( D ')
Exercice-2 :

Soit ABC un triangle équilatéral et I le milieu du côté [BC]. Soit T la translation de vecteur BC et S la symétrie
orthogonale d’axe (AI).
En utilisant la décomposition de T, déterminer la composée S  T .
4. Décomposition d’une rotation
Propriété :
Soit r une rotation de centre Ω et d’angle orienté  ,(D) une droite passant par  . Il existe une
droite (D’) telle que : r S( D ')  S( D) ou, r S( D)  S( D') S( D ') et S( D) étant deux symétries
;
orthogonales.
Exercice-3 :

 

Soit ABCD un carré tel que : Mes AB; AD

et r la rotation de centre A et d’angle .
2
2
En utilisant la décomposition de r déterminer la composée r  s AC .
5. Composition d’une rotation et d’une translation
a) activité :
Exercice -4:
Soit r O; 

r la rotation de centre O et d’angle  et tu



t une translation de vecteur u .

En utilisant la décomposition des isométries r et t, déterminer la composée r  t .
b) Propriété :
La composée d’une rotation d’angle  et d’une translation est une rotation d’angle 
Exercices d’application n° 5 et 6 (voir livre de mathématiques terminale SM collection ciam).
6. Composition d’une translation et d’une symétrie orthogonale
a) Activité :
Exercice-5 :


Soit t tu une translation de vecteur u non nul et s s une symétrie orthogonale d’axe ∆.
En utilisant la décomposition de la translation t, déterminer la composée t  s .
b) Propriété :


Soit t tu une translation de vecteur u non nul et s
La composée t  s ou s  t est :

- Une symétrie orthogonale si u est normal à ∆.

- Une symétrie glissée si u n’est pas normal à ∆.

s

une symétrie orthogonale d’axe ∆.

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7. Symétrie glissée
a) Définition :
On appelle symétrie glissée toute isométrie composée d’une translation de vecteur non


nul u et d’une symétrie orthogonale d’axe (D) dont u est un vecteur directeur.
b) Théorème :
Toute symétrie glissée S s’écrit de façon unique comme composée d’une symétrie


orthogonale par rapport à une droite (D) et d’une translation de vecteur u où u est un
vecteur directeur de (D).
Dans ce seul cas, la composée de la symétrie orthogonale et de la translation est
permutable. On a : s tu  sD sD  tu
Remarque :
Cette écriture d’une symétrie glissée s’appelle la forme canonique.

(D) est l’axe de la symétrie glissée et u le vecteur de la même symétrie glissée.
c) Propriété-1 :

Soit g une symétrie glissée de vecteur u .
g  g t2u
Remarque :

Cette propriété permet de déterminer le vecteur u puis de l’axe (D) en écrivant s( D) t u  g .
d) Propriété-2 :
L’axe d’une symétrie glissée g est la droite passant par les milieux des segments [MM’], où
M’=g(M).
Exercice-6 :

x'
Soit f la symétrie glissée de forme analytique :

y'

1
x
2
3
x
2

3
y 1
2
.
1
y 2
2

Déterminer la forme canonique de f.
8.

Composée d’une rotation et d’une symétrie orthogonale

Exercice-7 :
Soit R

r

;

une rotation de centre Ω et d’angle  et S

S une symétrie orthogonale d’axe (Δ).

1)On suppose que
. En utilisant la décomposition de R en symétries orthogonales, démontré que R  S est
une symétrie orthogonale.
2)On suppose que
. Démontrer que R  S est une symétrie glissée.
Propriété :
Soit R une rotation de centre Ω et S une symétrie orthogonale d’axe (Δ).
Si
, alors R  S ou S  R est une symétrie orthogonale.
-

Si

, alors R  S ou S  R est une symétrie glissée.

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III.

CLASSIFICATION DES ISOMETRIES
1. Classification suivant l’ensemble des points invariants
a) Propriété-1 :
Toute isométrie laissant invariant trois points distincts du plan, est l’identité du plan.
b) Propriété-2 :
Toute isométrie laissant invariant deux points distincts du plan, est une symétrie orthogonale.
c) Propriété-3 :
Toute isométrie laissant invariant un seul point du plan, est une rotation du plan.
d) Propriété-4 :
Toute isométrie du plan qui n’admet aucun point invariant est soit une translation soit une
symétrie glissée.

2. Déplacements et antidéplacements
a) Définition :
- On appelle déplacement du plan toute isométrie qui conserve les angles orientés de vecteurs du
plan.
- On appelle antidéplacement du plan toute isométrie qui transforme un angle orienté de vecteurs
en son opposé.
Exemples :
Les rotations et les translations sont des déplacements.
Les symétries orthogonales et glissées sont des antidéplacements.
b) Propriétés :
La composée de deux déplacements est un déplacement ;
La composée de deux antidéplacements est un déplacement ;
La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement ;
La réciproque d’un déplacement est un déplacement ;
La réciproque d’un antidéplacement est un antidéplacement.
3. Détermination d’une isométrie
a) Propriété-1 :
Etant donné quatre points A, B, A’ et B’ tes que :AB=A’B’ et AB 0 , il existe un
déplacement et un seul transformant A en A’ et B en B’.
Exercice-8 :
ABCD est un trapèze isocèle tel que (AB) soit parallèle à (CD).
Montrer qu’il existe un déplacement d unique tel que : d(A)=B et d(D)=C. Préciser ses éléments caractéristiques.
b) Propriété-2 :
Etant donné quatre points A, B, A’ et B’ tes que :AB=A’B’ et AB
antidéplacement et un seul transformant A en A’ et B en B’.

0 , il existe un

Exercice-9 :
ABCD est un trapèze isocèle tel que (AB) soit parallèle à (CD).
Montrer qu’il existe un antidéplacement f unique tel que : f(A)=B et f(D)=C. Préciser ses éléments caractéristiques.
IV.

ECRITURE COMPLEXE D’UNE ISOMETRIE
1. Forme complexe d’une translation
Propriété :
Toute translation a une forme complexe du type : z '
translation.

z b , avec b l’affixe du vecteur de cette

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Exercice-10 :
1) Déterminer l’écriture complexe de la translation de vecteur d’affixe -2+3i.
2) Déterminer la translation dont l’écriture complexe est : z ' z 4 i
2. Forme complexe d’une rotation
Propriété :
Toute rotation du plan a une écriture complexe du type : z ' az b telle que a
-

Le centre de cette rotation a pour affixe :

1 et a 1 .

b

;
1 a
L’angle orienté de cette rotation a pour mesure arg(a) .

Exercice-11 :
1) Déterminer l’écriture complexe de la rotation de centre A(-3+i) et d’angle

3

.

2) Déterminer les éléments caractéristiques de la rotation d’écriture complexe : z '

1
3
i
z i
2
2

3. Formes complexes de quelques symétries orthogonales
Propriétés :
Soit (O, I, J) un repère orthogonal direct du plan complexe, (∆) la droite d’équation y
relativement au repère (O, I, J). On a les propriétés suivantes :
- La symétrie orthogonale d’axe (OI) a pour écriture complexe : z ' z .
z.
- La symétrie orthogonale d’axe (OJ) a pour écriture complexe : z '
-

x

La symétrie orthogonale d’axe (∆) a pour écriture complexe : z ' iz .

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