Exercices d'entrainement aux olympiades de mathématiques

Exercices d'entrainement aux olympiades de mathématiques
Proposées par Prof : Habib HADJ SALEM ----Lycée pilote Médenine
Niveaux : 2ème sc- 3ème M et sc exp - 4ème M et sc exp
Exercice 1 : On considère les deux entiers A et B :
A= 20172017+20152015

et

B= 20172015 + 20152017

Comparer A et B
Exercice 2 :
Trouver les entiers x et y strictement supérieurs à 1 , tels que : x2+y=xy+1
Exercice 3 :
Montrer que pour tout réel a : a +a3-a4-a6 <1
Exercice 4 :
Soient x et y deux nombres réels strictement positifs tels que x+y+xy=3.
1) Montrer que x+y ³ 2 .
2) Pour quels valeurs de x et y on a l’égalité ( x+y=2 ) ?
Exercice 5 :
ìx 2 + y2 + z2 = 2yz + 1
Résoudre dans ¢ , le système d’équation suivant : í
îx + y + z = 4018

Exercice 6 :
Soient n ,a et b des nombres entiers naturels non nuls tels que a>b et n2+1= ab
1) Montrer a-b ³ 4n - 3
2) Trouver toutes les valeurs de n pour que l’égalité ait lieu.
Exercice 7 :
30 élèves participent à un concours d’olympiades composé de 16 questions .
Si un élève répond correctement à une question durant une minute , il reçoit 10 points pour cette
question , s’il répond correctement à la question après une minute , il reçoit 0 points.
Après la compétition , les résultats étaient les suivantes : sur les 480 réponses reçues , plus que la
moitié étaient correctes et dans le délai d’une minute, et le nombre des réponses correctes qui sont
proposées après une minute est égale au nombre de réponses incorrectes.
Montrer qu’ils existent au moins deux élèves qui ont obtenus le même score dans cette compétition.